專題7.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】...........................................................................................................................4

【題型2點（線）共面問題】...................................................................................................................................5

【題型3點共線、線共點問題】...............................................................................................................................6

【題型4等角定理】...................................................................................................................................................7

【題型5平面分空間問題】.......................................................................................................................................8

【題型6異面直線的判定】.......................................................................................................................................9

【題型7異面直線所成的角】.................................................................................................................................10

【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】.....................................................................................10

【題型9立體幾何中的截面問題】.........................................................................................................................11

1、空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

空間點、直線、平面之間的位置關(guān)

系是高考的熱點內(nèi)容.從近幾年的高考

(1)借助長方體，在直觀認識空

情況來看，主要分兩方面進行考查，一

間點、直線、平面的位置關(guān)系

2023年上海卷：第15題，5分是空間中點、線、面關(guān)系的命題的真假

的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直

2025年全國一卷：第17題，15判斷；二是異面直線的判定和異面直線

線、平面的位置關(guān)系的定義

分所成角問題；常以選擇題、填空題的形

(2)了解四個基本事實和一個

式考查，難度較易；也會以解答題的一

定理，并能應(yīng)用定理解決問題

小問考查點、線、面的位置關(guān)系，難度

中等.

知識點1平面的基本事實及推論

1．四個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論

(1)四個基本事實及其表示

①基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.

②基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

③基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

④基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(2)四個基本事實的作用

基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.

基本事實2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面.

基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.

基本事實4：①判斷兩條直線平行.

(3)基本事實1和2的三個推論

推論自然語言圖形語言符號語言

經(jīng)過一條直線和這條直線

點Aa?a與A共面于平

推論1外一點，有且只有一個平

面α,且平面唯一.

面.?

經(jīng)過兩條相交直線，有且只a∩b=P?a與b共面于平

推論2

有一個平面.面α,且平面唯一.

經(jīng)過兩條平行直線，有且只直線a//b?直線a,b共面

推論3

有一個平面.于平面α,且平面唯一.

2．等角定理

(1)自然語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

(2)符號語言：如圖(1)(2)所示，在∠AOB與∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，則∠AOB=∠A'O'B'或

∠AOB+∠A'O'B'=.

知識點2共面、共線、共點問題的證明方法

1．共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

知識點3平面分空間問題

1．平面分空間問題

一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢?三個平面呢?

(1)兩個平面有兩種情形：

①當(dāng)兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當(dāng)兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).

(2)三個平面有五種情形：

①當(dāng)三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當(dāng)兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當(dāng)三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).

知識點4空間點、線、面之間的位置關(guān)系

1．空間中直線與直線的位置關(guān)系

(1)三種位置關(guān)系

我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：

(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.

2．空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點

直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點

直線與平面相交有且只有一個公共點

直線與平面平行沒有公共點

3．空間中平面與平面的位置關(guān)系

(1)兩種位置關(guān)系

兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下：

位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點

兩個平面平行沒有公共點

兩個平面相交有一條公共直線

(2)平行平面的畫法技巧

畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.

4．異面直線所成的角

(1)定義：已知a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線a'//a，b'//b，把a'與b'所成的角叫做

異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：.

【方法技巧與總結(jié)】

1．證明點共線與線共點都需用到基本事實3.

2．兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于異面直線所成的

角，也可能等于其補角.

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】

【例1】（24-25高一下·陜西西安·期末）下列命題正確的是（）

A．任何一個平面圖形都是一個平面B．平面就是平行四邊形

C．圓心和圓上兩點可確定一個平面D．梯形可確定一個平面

【變式1-1】（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）給出下面四個命題，其中錯誤的命題個數(shù)是（）

①三個不同的點確定一個平面；②一條直線和一個點確定一個平面；

③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；④兩條平行直線確定一個平面.

A．1個B．2個C．3個D．4個

【變式1-2】（24-25高一下·新疆哈密·期中）下列命題正確的是（）

A．三個點可以確定一個平面B．一條直線和一個點可以確定一個平面

C．兩條直線可以確定一個平面D．長方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長方體

【變式1-3】（24-25高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）下列不是基本事實的是（）

A．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線

B．平行于同一條直線的兩條直線平行

C．如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)

D．經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面

【題型2點（線）共面問題】

【例2】（24-25高二下·河南·階段練習(xí)）如圖，在下列四個正方體中，A，B，C，D分別為所在棱的中點，

則在這四個正方體中，A，B，C，D四點共面的是（）．

A．B．

C．D．

【變式2-1】（2025·吉林·模擬預(yù)測）在長方體中，直線與平面的交點為為

線段的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）??????1?1?1?1?1???1?1?,?

A?．1?1三點共線B．四點異不共面

C．?,?,?四點共面D．?,?,?1,?四點共面

【變式2-?2】,?（1,2?4,-?25高一下·河北邯鄲·期末）如圖，?在,?空1,間?,四?邊形各邊，，，上分別取點，

，，，若直線，相交于點，則下列結(jié)論錯誤的是（?）????????????

????????

A．點必在平面內(nèi)B．點必在平面內(nèi)

C．點?必在直線???上D．直?線與直線???為異面直線

【變式2-3】?（24-25高?三?上·河北承德·期中）如圖，在下??列正方體?中?，M，N為正方體的兩個頂點，P，Q分

別為所在棱的中點，則在這四個正方體中，M，N，P，Q四點共面的是（）

A．B．

C．D．

【題型3點共線、線共點問題】

【例3】（2025·湖南·二模）如圖，在三棱柱中，分別為的中點，

則下列說法錯誤的是（）?????1?1?1?,?,?,???1,??1,?1?1,?1?1

A．四點共面B．

C．?,?,?,?三線共點D．??//??

【變式3-?1】?,（??2,4?-2?51高一下·河南開封·期末）如圖，∠?在?正?1方=體∠???1中，為棱的靠近上

1111111

的三等分點.設(shè)與平面的交點為，則（）?????????????

????1?1??

A．三點共線，且

B．三點?1,?,?共線，且??=2??1

C．三點?1,?,?不共線，且??=3??1

D．三點?1,?,?不共線，且??=2??1

【變式3-2】（?214,?-2,5?高三·全國·課?后?作=業(yè)3?）?1在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、

G、H四點，若EF∩GH＝P，則點P（）

A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上

C．既在直線AC上也在直線BD上D．既不在直線AC上也不在直線BD上

【變式3-3】（24-25高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，P，Q分別是棱，

的中點，平面平面，則下列結(jié)論錯誤的是（???）???1?1?1?1??1

??1?1??∩????=?

A．過點B

B．?不一定過點B

C．?的延長線與的延長線的交點在上

D．?1?的延長線與??的延長線的交點在?上

?1????

【題型4等角定理】

【例4】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）若，，且，則等于（）

′′′′′′′

A．B．??C//．??或??//??∠D?．??不=能4確5°定∠???

【變式4-415】°（2025高一下·全13國5°·專題練習(xí)）已知角4的5°兩邊13和5°角的兩邊分別平行，且，則（）

???=80°?=

A．B．

C．80°或D．1不0能0°確定

【變式4-820】°（2140-02°5高二·全國·課后作業(yè)）不在同一個平面內(nèi)的兩個三角形的三組對應(yīng)邊分別平行，則這兩

個三角形（）

A．一定是全等三角形B．一定是相似但不全等的三角形

C．一定是相似或全等的三角形D．可能不全等或相似

【變式4-3】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）給出下列命題：

①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；

②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；

③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補．

其中正確的命題有（）

A．0個B．1個C．2個D．3個

【題型5平面分空間問題】

【例5】（2024·四川內(nèi)江·三模）三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則的最小值與最大值之和為

（）??

A．11B．12C．13D．14

【變式5-1】（24-25高二上·四川樂山·階段練習(xí)）三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（）

A．B．

C．D．

【變式5-2】（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則不可能是（）

A．B．C．D．??

【變式5-43】（24-25高一下·5廣東廣州·期末）空間的61個，2個，3個，4個7平面最多可將空間分別分成2個，

4個，8個，15個區(qū)域，則空間的5個平面最多可將空間分成的區(qū)域個數(shù)是（）

A．25B．26C．28D．30

【題型6異面直線的判定】

【例6】（2025·上?！つM預(yù)測）如圖，是正四棱臺，則下列各組直線中屬于異面直線的

是（）??????1?1?1?1

A．和B．和C．和D．和．

【變式6-?1】?（?210?215·上?！つM?預(yù)?測1）?如?1圖所示，在正??方1體?1??1?中1，?點?為線段上的動點，

則下列直線中，始終與直線異面的是（）??????1?1?1?1??1?1

??

A．B．C．D．

【變式6-?2】?1（24-25高一下?·河?北·期中）如圖，這是??一1個正方體的平面展開?1圖?，若將其還原成正方體，下列

直線中，與直線是異面直線的是（）

??

A．B．C．D．

【變式6-?3】?（24-25高二上?·上?海浦東新·期末）如圖??所示，長方體??中，

1111

，P是線段上的動點，則下列直線中?，?始??終?與?直?線?B?P異面的是（）

??=1,??=2,??1=3?1?1

A．B．C．D．

??1?1??1???

【題型7異面直線所成的角】

【例7】（2025·云南紅河·三模）在四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點，

，若四棱錐的外接?球?半??徑?為?2，則?與???所成角的正??弦⊥值為（????）???

??=??=2??????????

A．B．C．D．

1236

【變式7-21】（24-25高三下·2黑龍江·階段練習(xí)）在正2四面體ABCD中，M，4N分別是棱AB，CD的中點，則

直線AN與CM所成角的余弦值為（）

A．B．C．D．

1326

3333

【變式7-2】（（24-25高一下·廣東深圳·期末）在長方體中，，，

則直線與所成角的余弦值為（）??????1?1?1?1??=??=23??1=2

??1??

A．B．C．D．

3366

【變式7-33】（2025·內(nèi)蒙古呼4和浩特·二模）如圖，3已知正四棱錐4的所有棱長均相等，為棱的

中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）?????????

????

A．B．C．D．

6633

3?33?3

【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】

【例8】（2025·天津·一模）已知m，n是兩條直線，是一個平面，下列命題正確的是（）

?

A．若，，則B．若，，則

C．若?//?，?//?，則?//?D．若?⊥?，?⊥?，則?//?

【變式8-1】?（⊥2?025·?云?南?·模擬?預(yù)⊥測?）設(shè)是兩條不?同/的/?直線?，⊥?為平面?，⊥則?下列說法正確的是（）

A．若，則?,??

B．若?⊥?,?∥?，則?⊥?

C．若?∥?,?∥?，則?∥?

D．若?⊥?,?∥?，則?⊥?

【變式8-2】?（∥20?2,5?·安∥徽?·模擬?預(yù)測∥?）已知是兩個不重合的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中

錯誤的是（）?,??,?

A．若，則B．若，則

C．若?//?,???，則?//?D．若?//?,?//?,?∩?=，?則?//?

【變式8-3】?（⊥20?2,5?·天⊥津?·一模?）//已?知，是兩條不同?的⊥直?線,?，⊥?，,?，⊥?是三個?不⊥同?的平面，則下列結(jié)論正確

的是（）?????

A．若，，則B．若，，，則

C．若?//?，?//?，則?//?D．若?//?，?//?，?⊥?，則?⊥?

?⊥??⊥??//??//????????//?

【題型9立體幾何中的截面問題】

【例9】（2025·陜西銅川·三模）在正方體中，分別為的中點，若，

則平面截正方體所得截面的面積為（???）???1?1?1?1?,?,???,??,??1??=4

A．???B．C．D．

【變式9-61】2（2025·全國·模6擬預(yù)3測）如圖，在棱長1為222的正方體123中，E為棱BC的中點，

1111

用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（）?????????

?1?1

A．B．9C．D．

【變式9-32】2（+220255·上海黃浦·二模）如圖，已知22分+別2是5正方體32+23的棱和的

?,?,???????1?1?1?1??,???1?1

中點，由點確定的平面截該正方體所得截面為（）

?,?,??

A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形

【變式9-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）在正四棱柱中，為線段

的中點，一質(zhì)點從點出發(fā)，沿長方體表面運動到??達??點?處?1，?若1?沿1?質(zhì)1點的??最=短?運?動=路2,線?1截?該=正3,四?棱柱，?則1?所1

得截面的面積為（?）??

A．B．C．D．

73156

32436

一、單選題

1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）在空間中，下列命題是真命題的是（）

A．三條直線最多可確定1個平面B．三條直線最多可確定2個平面

C．三條直線最多可確定3個平面D．三條直線最多可確定4個平面

2．（2025·安徽合肥·二模）若空間中三條不同的直線，，滿足，，則是，，共面的（）

A．充分不必要條件B．必要?不?充?分條件?⊥??⊥??//????

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

3．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知是三條不重合的直線，是三個不重合的平面，則下列結(jié)論

正確的是（）?,?,??,?,?

A．若，則

B．若?⊥?,?⊥??∥?，則

C．若???,??，?則,?∥?,?∥??∥?

?∥?,?∥??∥?

D．若，則

4．（2025?·∥山?東,?濟?南·?三,?模?）?如圖?，∥下?列正方體中，M，N，P，Q分別為所在棱的中點，則在這四個正方體

中，直線MN和PQ為異面直線的是（）

A．B．

C．D．

5．（2025·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）給出下列四個判斷：

①若，為異面直線，則過空間任意一點，總可以找到直線與，都相交．

②對平?面?，和直線，若，，則?．??

③對平面?，?和直線?，若?⊥?，?⊥?，則?∥?．

④對直線?，?和平面?，若?⊥?，?//?，?且⊥?過平面內(nèi)一點，則．

其中正確的?1判?斷2有（?）?1//??2//?1?2???2??

A．1個B．2個C．3個D．4個

6．（2025高三·全國·專題練習(xí)）已知圓柱的軸截面為正方形，為下底面圓弧的中點，點在上底

面圓弧上且與在軸截面同側(cè)，若，則異??面?直?線與所?成角為（）???

1

?????=3??????

A．B．C．D．

7．（203250·°廣東茂名·一模）4在5°棱長為6的正方體60°中，75°，，過點

的平面截該正方體所得截面的周長為（）??????1?1?1?1?