專題5.4復(fù)數(shù)（舉一反三講義）

【全國通用】

【題型1復(fù)數(shù)的概念】...............................................................................................................................................6

【題型2共軛復(fù)數(shù)】...................................................................................................................................................7

【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】.......................................................................................................................................8

【題型4復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】.......................................................................................................................................9

【題型5復(fù)數(shù)的相等】.............................................................................................................................................11

【題型6復(fù)數(shù)的模】.................................................................................................................................................12

【題型7與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題】.....................................................................................................13

【題型8復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的根】.........................................................................................................................15

【題型9復(fù)數(shù)的三角表示】.....................................................................................................................................16

1、復(fù)數(shù)

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2023年新高考I卷：第2題，5分

2023年新高考Ⅱ卷：第1題，5分復(fù)數(shù)是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是每年

(1)通過方程的解，認(rèn)識復(fù)數(shù)2024年新高考I卷：第2題，5分高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考

(2)理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及2024年新高考Ⅱ卷：第1題，5分情況來看，高考對復(fù)數(shù)的考查比較穩(wěn)

其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)2024年全國甲卷（文數(shù)）：第1題，定，往往以單選題、填空題的形式考

相等的含義5分、（理數(shù)）：第1題，5分查，考查內(nèi)容、難度變化不大，主要

(3)掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了2025年全國一卷：第1題，5分考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的

解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意2025年全國二卷：第2題，5分運(yùn)算及其幾何意義，屬于簡單題.預(yù)測

義2025年北京卷：第2題，4分明年高考復(fù)數(shù)依舊以單選題、填空題

2025年天津卷：第10題，5分形式呈現(xiàn)，比較簡單.

2025年上海卷：第10題，5分

知識點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念

1．復(fù)數(shù)的概念

(1)復(fù)數(shù)的概念

我們把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)

數(shù)集.這樣，方程x2+1=0在復(fù)數(shù)集C中就有解x=i了.

(2)復(fù)數(shù)的表示

復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊說明時(shí)，復(fù)數(shù)z=a+bi都有a,b∈R，其中的a與b

分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.

(3)復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)a+bi，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)b≠0時(shí)，它叫做虛數(shù)；

當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，它叫做純虛數(shù).

顯然，實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即.

復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下：復(fù)數(shù).

2．復(fù)數(shù)相等

在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我們規(guī)定：a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c

且b=d，即當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等時(shí)，兩個(gè)復(fù)數(shù)才相等.

知識點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義

1．復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)平面

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(a,b)，而有序?qū)崝?shù)對(a,b)平面直角

坐標(biāo)系中的點(diǎn)，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖所示，點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示

復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義——與點(diǎn)對應(yīng)

由上可知，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一

個(gè)復(fù)數(shù)和它對應(yīng).復(fù)數(shù)集C中的數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，即復(fù)數(shù)z=a+bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)

Z(a,b)，這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.

(3)復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)

的.這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù).

如圖所示，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z=a+bi，連接OZ，顯然向量由點(diǎn)Z唯一確定；反過來，點(diǎn)Z(相

對于原點(diǎn)來說)也可以由向量唯一確定.

因此，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的(實(shí)數(shù)0與零向量對應(yīng))，即復(fù)數(shù)

z=a+bi平面向量，這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.

2．復(fù)數(shù)的模

向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模或絕對值，記作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a，它的模

等于|a|(就是a的絕對值).由模的定義可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).

3．共軛復(fù)數(shù)

(1)定義

一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩

個(gè)共軛復(fù)數(shù)也復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即若z=a+bi，則=a-bi.特別地，實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身.

(2)幾何意義

互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱(如圖).特別地，實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面

內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上.

(3)性質(zhì)

①=z.

②實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，即z=z∈R，利用這個(gè)性質(zhì)可證明一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).

4．復(fù)數(shù)的模的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是復(fù)數(shù)z=a+bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，這是復(fù)數(shù)的模

的幾何意義.

(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，r表示一個(gè)大于0的常數(shù)，則滿足條件|z|=r的點(diǎn)Z組成的集合是以原點(diǎn)

為圓心，r為半徑的圓，|z|<r表示圓的內(nèi)部，|z|>r表示圓的外部.

知識點(diǎn)3復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

(2)復(fù)數(shù)的減法法則

類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)

x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)

=(a-c)+(b-d)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.

(3)復(fù)數(shù)的乘法法則

2

設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把i2換成-1，并且把實(shí)部與虛部分

別合并即可.

(4)復(fù)數(shù)的除法法則

(a+bi)÷(c+di)(a,b,c,d∈R，

且c+di≠0).

由此可見，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).

2．復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義

在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)對應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，

對應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得

=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對角線OZ對應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i

對應(yīng)的向量.

(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義

兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差z1-z2

對應(yīng)的向量是，即向量.

如果作，那么點(diǎn)Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是z1-z2(如圖所示).

這說明兩個(gè)向量與的差就是與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的

減法來進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.

3．復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧

(1)復(fù)數(shù)常見運(yùn)算小結(jié)論

①；

②；

③；

④；

⑤.

(2)常用公式

；

；

.

知識點(diǎn)4復(fù)數(shù)有關(guān)問題的解題策略

1．復(fù)數(shù)的概念的有關(guān)問題的解題策略

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部.若z為實(shí)數(shù)，則虛部b=0，與實(shí)部a無關(guān)；若z

為虛數(shù)，則虛部b≠0，與實(shí)部a無關(guān)；若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=0且b≠0.

(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模記作或，即.

(3)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為，則，即，若，則

.

2．復(fù)數(shù)的運(yùn)算的解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算；

(2)復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共輪復(fù)數(shù).

3．復(fù)數(shù)的幾何意義的解題策略

由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解

析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.

4．復(fù)數(shù)的方程的解題策略

(1)對實(shí)系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.

(2)對復(fù)系數(shù)(至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.

【方法技巧與總結(jié)】

1．(1±i)2=±2i；；.

2．.

3．.

4．復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形

(1)a≤|z|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心，r為半徑的圓.

【題型1復(fù)數(shù)的概念】

【例1】（2025·全國一卷·高考真題）的虛部為（）

A．B．0(1+5i)iC．1D．6

【答案】C?1

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及虛部的定義即可求出.

【解答過程】因?yàn)?，所以其虛部?，

2

故選：C.1+5ii=i+5i=?5+i

【變式1-1】（2025·吉林·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）

2

A．B．1?C．=?或?11+(?+1)iD．2?

【答案】B?1?1

【解題思路】由純虛數(shù)定義列方程和不等式即可求解.

【解答過程】由題可得.

2

??1=0??=1

故選：B.?+1≠0

【變式1-2】（2025·貴州遵義·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)的虛部是（）

A．B．1?C．=2?iD．

【答案】Ci?1?i

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的概念求解判斷.

【解答過程】復(fù)數(shù)的虛部是.

故選：C.?=2?i?1

【變式1-3】（2025·云南曲靖·二模）已知復(fù)數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為

2

（）?=?+2+????6i?∈R?>0?

A．1B．2C．3D．6

【答案】C

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的分類列式計(jì)算作答.

【解答過程】因?yàn)?

所以?>0，

?+2>0

2??=3

故選：?C?.??6=0

【題型2共軛復(fù)數(shù)】

【例2】（2025·廣東惠州·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足（其中i為虛數(shù)單位），則（）

A．B．C?．i??=3+iD．?=

【答案】B1?3i1+3i3?i3+i

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求得，進(jìn)而可求得.

??

【解答過程】因?yàn)?，所以，?

3+i3+ii?1+3i

2

ii?1

故選：B.i?=3+i?====1?3i?=1+3i

【變式】（甘肅白銀二模）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）

2-12025··2025

3?i

?=1+2i

A．B．C．D．

17175757

?5?5i5+5i?3?3i3+3i

【答案】B

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的乘方及復(fù)數(shù)除法求出，進(jìn)而求出其共軛復(fù)數(shù).

【解答過程】依題意，?，

2025

3?i3?i(3?i)(1?2i)1?7i17

?=1+2i=1+2i=(1+2i)(1?2i)=5=5?5i

所以.

17

?=5+5i

故選：B.

【變式2-2】（2025·山東泰安·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）

A．B．?C．3?2i?=11Di．?

【答案】D2i2?2i?2

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可求解虛部.

【解答過程】因?yàn)椋?/p>

11113+2i

?=3?2i=3?2i3+2i=3+2i

所以，即復(fù)數(shù)的虛部為.

?=3?2i??2

故選：D.

【變式2-3】（2025·湖南岳陽·三模）若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

?+i

???1=1+i?

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

【答案】A

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算求z，再由復(fù)數(shù)的幾何意義可得.

【解答過程】因?yàn)?/p>

?+i

??1=1+i??+i=1+i??1??+i=1+i??1+i

所以.

1+2i?2+i

1+2i=1+i?1???=i=?1=2?i

所以.

所以?對=應(yīng)2的+點(diǎn)i位于第一象限.

故選：?A.

【題型3復(fù)數(shù)的幾何意義】

【例3】（2025·天津河北·模擬預(yù)測）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限4+3iD．第四象限

【答案】A

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)判斷其所在的象限.

【解答過程】由對應(yīng)點(diǎn)為，即位于第一象限.

故選：A.4+3i(4,3)

【變式3-1】（2025·云南·模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，則

（）?1=?1+i?2?2=

A．1B．C．D．2

【答案】B23

【解題思路】首先根據(jù)復(fù)平面內(nèi)關(guān)于實(shí)軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出復(fù)數(shù)，然后再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求

出.?2

【解|?答2|過程】，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為.

因?yàn)閺?fù)數(shù)與?復(fù)1=數(shù)?1對+應(yīng)i的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，在平面(直?角1,坐1)標(biāo)系中，關(guān)于實(shí)軸對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)

互為相反數(shù)?1.所以?對2應(yīng)的點(diǎn)為，那么復(fù)數(shù).

由，其?2中，(?1,?，1將)其代入模的?計(jì)2=算?公1式?可i得：

2

?=?1?i?=?1?=?1.

22

|?2|=(?1)+(?1)=1+1=2

故選：B.

【變式3-2】（2025·寧夏陜西·模擬預(yù)測）“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的（）

A．充分不必要條件?<0B．必要2不+充分2?條?件i

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】A

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限確定的范圍，再根據(jù)充分必要條件進(jìn)行判斷即可.

【解答過程】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象?限，則，所以，

故“”是“復(fù)數(shù)2+2??在i復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的充分2不?必?要>條0件.?<2

故選?：<A0.2+2??i

【變式3-3】（2025·湖南長沙·二模）在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，

，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）1?i?1+2i?