專題8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（舉一反三講義）【全國通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷】 6【題型2圓的弦長問題】 8【題型3圓的切線方程、切線長問題】 10【題型4圓上的點到直線距離個數(shù)問題】 11【題型5直線與圓位置關(guān)系中的最值問題】 13【題型6直線與圓的實際應(yīng)用】 15【題型7圓與圓的位置關(guān)系】 19【題型8兩圓的公共弦】 20【題型9兩圓的公切線】 211、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(2)能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題2023年新高考I卷：第6題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第15題，5分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第12題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第10題，5分2025年全國一卷：第7題，5分2025年天津卷：第12題，5分直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考的重點、熱點內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，直線與圓結(jié)合命題時，主要考察直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長問題等，有時會與距離公式等內(nèi)容結(jié)合考查，多以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，此時多與圓錐曲線相結(jié)合，難度較大，需要學(xué)會靈活求解.知識點1直線與圓的位置關(guān)系1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：位置相交相切相離交點個數(shù)兩個一個零個圖形d與r的關(guān)系d<rd=rd>r方程組解的情況有兩組不

同的解僅有一組解無解(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)來研究，若有兩組不同的實數(shù)解，即Δ>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實數(shù)解，即Δ=0，則直線與圓相切；若無實數(shù)解，即Δ<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來判斷，當d<r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d>r時，直線與圓相離.2．自一點引圓的切線的條數(shù)

(1)若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；

(2)若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；

(3)若點在圓內(nèi)，則過此點不能作圓的切線.

3．求過圓上的一點(x0,y0)的圓的切線方程

(1)求法：先求切點與圓心連線的斜率k()，則由垂直關(guān)系可知切線斜率為，由點斜式方程可求得切線方程.如果k=0或k不存在，則由圖形可直接得切線方程.(2)重要結(jié)論：①經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

②經(jīng)過圓上一點P的切線方程為.

③經(jīng)過圓+Dx+Ey+F=0上一點P的切線方程為.4．圓的弦長問題設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點坐標分別為A，B.

①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解.

②若交點坐標無法簡單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長公式.知識點2圓與圓的位置關(guān)系1．圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法(1)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設(shè)兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關(guān)系表示如下：位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線條數(shù)外離d>r1+r2四條外切d=r1+r2三條相交|r1-r2|<d<r1+r2兩條內(nèi)切d=|r1-r2|一條內(nèi)含0≤d<|r1-r2|無②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個數(shù)即可作出判斷.

當Δ>0時，兩圓有兩個公共點，相交；當Δ=0時，兩圓只有一個公共點，包括內(nèi)切與外切；當Δ<0時，兩圓無公共點，包括內(nèi)含與外離.2．兩圓的公共弦問題(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法兩圓相交時，有一條公共弦，如圖所示.設(shè)圓:，①

圓:，②

①-②，得，③

若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點，則點滿足且，所以.即點適合直線方程，故在③所對應(yīng)的直線上，③表示過兩圓與交點的直線，即公共弦所在的直線的方程.(2)求兩圓公共弦長的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求公共弦長.

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長.3．兩圓的公切線(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種情況①外離時，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；

②外切時，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

③相交時，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時，無公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù)，實質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系.

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.知識點3與圓有關(guān)的最值問題的解題策略1．解與圓有關(guān)的最值問題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問題

求圓上點到直線的最大值、最小值，需過圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；②如圖2-5-1-4②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD=2r；③如圖2-5-1-4③，當直線l與圓C相離時，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問題

解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑.

①形如u=的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.②形如t=ax+by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.

③形如的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.

(3)經(jīng)過圓內(nèi)一點的最長弦就是經(jīng)過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦.【方法技巧與總結(jié)】1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論兩圓相交時，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到.【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷】【例1】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測）直線l:x+ay?a=0與圓C:x2+y2A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定的【答案】C【解題思路】先求出直線經(jīng)過的定點A0,1，求出圓C的圓心C(0,?1)和半徑r=6，由【解答過程】因直線l:x+a(y?1)=0過定點A0,1由C:x2+y2+2y?5=0配方得：因為|CA|=2<6，所以點A在圓C內(nèi)，故直線l與圓C故選：C.【變式1-1】（2025·北京·模擬預(yù)測）“a>0”是“直線x?ay+2a?1=0(a∈R)與圓x2+yA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解題思路】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出a的取值范圍，再集合的包含關(guān)系得條件關(guān)系..【解答過程】由題知，圓的圓心為0,0，半徑為1，設(shè)圓心到直線x?ay+2a?1=0a∈R的距離為d則d=2a?11+?a而a|0<a<43為故“a>0”是“0<a<4即“a>0”是“直線x?ay+2a?1=0(a∈R)與圓x2故選：B.【變式1-2】（2025·遼寧·三模）已知直線l:y=x+m和圓O:x2+y2=2，則“m=2”是“直線A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解題思路】首先求出直線與圓相切時m的取值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【解答過程】由圓O:x2+y2若直線l:y=x+m與圓相切O:x則圓心O到直線l的距離d=r=2，則d=m1+1所以“m=2”是“直線l與圓O相切”的充分不必要條件.故選：C.【變式1-3】（2025·江蘇·二模）已知圓C：x2+y?22=103，將直線l1：A．直線l2過圓心C B．直線l2與圓C．直線l2與圓C相切 D．直線l2與圓【答案】B【解題思路】首先得到直線l1的傾斜角，即可得到直線l2的傾斜角，從而求出直線【解答過程】直線l1：3x?y=0即y=3x，斜率為將直線l1繞原點順時針方向旋轉(zhuǎn)30°得到直線l2，則直線l2所以直線l2的方程為y=33圓C：x2+y?22=圓心到直線l2的距離d=∴直線l2與圓C故選：B.【題型2圓的弦長問題】【例2】（2025·重慶·三模）直線l:3x?2y+5=0截圓A．2 B．4 C．25 D．【答案】B【解題思路】首先求出圓心到直線的距離，然后利用圓的弦長計算公式來求解弦長.【解答過程】因為圓O:x2+y圓心到直線的距離為：d=3根據(jù)弦長公式可得：弦長L=2r故選：B.【變式2-1】（2025·北京·三模）已知直線y=kx?3+1與圓x?12+y?22=25交于AA．5 B．10 C．25 D．【答案】D【解題思路】先求出直線所過的定點M，再根據(jù)直線l與CM垂直時，弦|AB|最小，結(jié)合圓的弦長公式即可得解.【解答過程】根據(jù)題意，圓x?12+y?22=25，圓心C直線l:y=kx?3+1，恒過定點M(3,1)，且點當直線l與CM垂直時，弦|AB|最小，此時|CM|=4+1則|AB|的最小值為225?5故選：D.【變式2-2】（2025·吉林·模擬預(yù)測）已知圓O:x2+y2=1，過點A2,0的直線與圓O交于B、CA．22 B．32 C．32【答案】D【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)Bx1,y1，C【解答過程】設(shè)Bx1,y1由AB=BC可得x1將B,C代入圓O方程可得x1即2x1?2將y12=1?x1則y1所以BC=故選：D.【變式2-3】（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，已知直線kx?y?k+1=0與圓x2+y2=4相交于A,BA．2 B．3 C．22 D．【答案】C【解題思路】求出直線過定點，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解..【解答過程】直線kx?y?k+1=0可化為：kx?1令x?1=0?y+1=0，得x=1y=1，所以直線過定點圓x2+y2=4當OP⊥AB時，AB有最小值，如圖所示：即圓心到直線的距離dmax所以AB的最小值為22故選：C.【題型3圓的切線方程、切線長問題】【例3】（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）過點P3,?1作圓C:x2+yA．16 B．4 C．21 D．21【答案】B【解題思路】求出圓C的圓心和半徑，再利用切線長定理求解.【解答過程】圓C:(x+1)2+(y+2)2則|PC|=(?1?3)所以PA=故選：B.【變式3-1】（24-25高二上·河北石家莊·期末）過點P(1,?1)且與圓C:x2+A．x+y=0 B．x?y?2=0C．x?y=0 D．x?y+2=0【答案】A【解題思路】經(jīng)分析知點P(1,?1)在圓上，根據(jù)過圓上點的切線與圓心和切點所在直線垂直，得到切線斜率為?1，結(jié)合直線點斜式方程即可求解.【解答過程】圓C:x2+y2∵點P(1,?1)在圓C:x∴過點P的切線與CP垂直，且kCP=∴過點P(1,?1)的切線斜率為?1，故所求直線方程為：y+1=?(x?1)，整理，得：x+y=0.故選：A.【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知P為直線l:x?y+1=0上一點，過點P作圓C:x?12+y2=1的一條切線，切點為A．1 B．2 C．3 D．2【答案】A【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合勾股定理以及點到直線的距離公式求解即可.【解答過程】連接CA，則PA=而PC的最小值為點C到直線l的距離d=1?0+1所以PAmin故選：A.【變式3-3】（25-26高二上·全國·單元測試）已知圓C的圓心為C(0,2)，且經(jīng)過點(2,2)，過點P(?2,?1)作圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，則直線AB的方程為（

）A．2x+3y?2=0 B．2x+3y+2=0C．2x?3y?2=0 D．2x?3y+2=0【答案】A【解題思路】由題意求得其中一個切點的坐標，并求出AB的斜率即可求解.【解答過程】由題意，圓C的半徑為(0?2)2+(2?2)2=2,∴當斜率不存在時，過點P(?2,?1)的直線為x=?2，與圓C相切于點(?2,2)．由圓的切線的性質(zhì)可知，AB⊥CP,∴k∴直線AB的方程為y?2=?23(x+2)故選：A.【題型4圓上的點到直線距離個數(shù)問題】【例4】（2025·廣東茂名·二模）已知圓C:x2+y2=1，直線x+y?m=0m∈R，若圓CA．2 B．22 C．±2 D．【答案】D【解題思路】利用點到直線的距離公式即可求解.【解答過程】由題意有：圓心0,0到直線x+y?m=0的距離為2，所以d=m故選：D.【變式4-1】（2025·四川·三模）已知圓C:x2+y2?2x+4y?20=0上恰有兩個點到直線A．32,72C．22,72【答案】B【解題思路】求得圓心到直線的距離d，由r?2<d<r+2求解即可.【解答過程】由題意可得圓C:x?12+y+22則圓心C到直線l的距離d=m?1因為圓C上恰有兩個點到直線l的距離為2，所以r?2<d<r+2，即3<m?12<7解得：32故選：B.【變式4-2】（2025·山東青島·三模）若圓x2+y2=4上總存在兩個點到點(a,1)的距離為3，則實數(shù)a【答案】?2【解題思路】由題意，將問題轉(zhuǎn)化為圓x2+y2=4【解答過程】根據(jù)題意，圓x2+y2=4若圓x2+y2=4則圓x2+y因為x?a2+y?b2=9所以R?r<OC<R+r則0<a2<24，即?26<a<0或0<a<2故答案為：?26【變式4-3】（2025·甘肅·模擬預(yù)測）若圓C:x2+y2+2x+m=0上恰有三個不同的點到直線l:x+【答案】?【解題思路】先求出圓C的圓心坐標和半徑，以及圓心到l的距離，結(jié)合題意可得圓C的半徑為32【解答過程】由圓C:x2+y2圓C的圓心坐標為?1,0，半徑為r=1?m圓心?1,0到l的距離為d=?1+2因為圓C上恰有三個不同的點到l的距離為1，所以圓C的半徑為32則1?m=32故答案為：?5【題型5直線與圓位置關(guān)系中的最值問題】【例5】（2025·河南信陽·模擬預(yù)測）P是圓x?a22+y?a2=1上的動點，QA．2?1 B．2 C．728【答案】C【解題思路】判斷圓與直線的位置關(guān)系為相離，可得|PQ|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑.【解答過程】由題意得，圓x?a22+y?a因為(a2,a)到直線y=x+2當且僅當a=1所以直線與該圓相離，所以|PQ|的最小值為d?r=7故選：C.【變式5-1】（2025·北京·三模）經(jīng)過點(0,0)，半徑為2的圓的圓心為A，則點A到直線x?y+2=0的距離最大值為（

）A．2 B．2+C．2?2 D．【答案】B【解題思路】先確定圓心A的軌跡方程，再根據(jù)點到直線的距離公式求出圓心A到直線x?y+2=0的距離最大值.【解答過程】已知圓經(jīng)過點(0,0)，半徑為2，設(shè)圓心A的坐標為(x,y)，可得圓心A到點(0,0)的距離為2，即(x?0)2+(y?0)所以圓心A的軌跡是以原點(0,0)為圓心，2為半徑的圓.可得原點(0,0)到直線x?y+2=0的距離為：d0所以點A到直線x?y+2=0的距離最大值為原點到直線的距離加上圓的半徑，即dmax故選：B.【變式5-2】（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測）已知直線l：2+tx?1+ty?12?8t=0，Q是圓O：x2+y2=4上的一動點，則點A．0,42?2 B．0,42+2 C．【答案】B【解題思路】先將直線方程變形求出直線所過的定點P，再結(jié)合點P與圓O的位置關(guān)系，分析點P到直線l距離的最值情況，進而確定距離d的取值范圍.【解答過程】直線l：2+tx?1+ty?12?8t=0由2x?y?12=0x?y?8=0，解得x=4，y=?4，所以l過定點P又因為點Q在圓O上，且OP=42，圓O的圓心為O0,0所以當OP⊥l，且Q，O，P三點共線時，點Q到直線l的距離d最大，最大為42此時kOP=?4?04?0=?1故直線l不存在，所以d<42當直線l與圓O相交或相切時，點Q到直線l的距離d最小，最小為0，故點Q到直線l的距離d的取值范圍為0,42故選：B．【變式5-3】（2025·陜西西安·一模）已知圓O的方程為：x2+y2=1，點A2,0，B0,2，P是線段AB上的動點，過P作圓O的切線，切點分別為C，D，現(xiàn)有以下四種說法：①四邊形PCOD的面積的最小值為1；②四邊形PCOD的面積的最大值為3；③PC?PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【答案】B【解題思路】利用數(shù)形結(jié)合，將面積PCOD的最值轉(zhuǎn)化為求OP的最值，即可判斷①②；利用數(shù)量積和三角函數(shù)表示PC?【解答過程】如圖，當點P是AB的中點時，此時OP⊥AB，OP最短，最小值為2，當點P與點A或點B重合時，此時OP最長，最大值為2，因為PC,PD是圓O的切線，所以PC⊥OC，PD⊥OD，則四邊形PCOD的面積為PCOC所以四邊形PCOD的面積的最小值為2?1=1，最大值為4?1PC?=PC=PO2+設(shè)y=t+2t?3,t∈故選：B.【題型6直線與圓的實際應(yīng)用】【例6】（24-25高二上·四川樂山·期末）某圓拱橋的水面跨度12米，拱高4米，現(xiàn)有一船寬8米，則這條船能從橋下通過的水面以上最大高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)21≈4.6，5A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米【答案】C【解題思路】建立平面直角坐標系，設(shè)圖中矩形EFGH為船剛好能通過橋下時的位置，先求得圓的方程，再將x=4代入求得縱坐標判斷.【解答過程】解：如圖，以圓拱橋橫跨水面上的正投影為x軸，過橋的最高點垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系，設(shè)圖中矩形EFGH為船剛好能通過橋下時的位置，則B(?6,0)，E(?4,0)，F(xiàn)(4,0)，C(6,0)，設(shè)圓拱橋所在圓的方程為x2由已知得：36+b2解得b=?52，故圓的方程為x令x=4，解得y=結(jié)合題意可得這條船能從橋下通過的水面以上最大高度為2.6（米），故選：C.【變式6-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如圖，已知一艘停在海面上的海監(jiān)船O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘輪船從位于海監(jiān)船正東30km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北40km的B處島嶼，速度為28A．1小時 B．0.75小時 C．0.5小時 D．0.25小時【答案】C【解題思路】以O(shè)為原點，東西方向為x軸建立直角坐標系，求出直線與圓的方程，計算圓心到直線的距離和半徑比較，可知這艘輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到；計算弦長，可求得持續(xù)時間為多長．【解答過程】如圖，以O(shè)為原點，東西方向為x軸建立直角坐標系，由題意可知A(30,0)，B(0,40)，圓O方程x2+y直線AB方程：x30+y設(shè)O到AB距離為d，則d=?120所以外籍輪船能被海監(jiān)船檢測到，如圖，設(shè)直線與圓交點為M,N，取MN中點H，連接OH，則OH⊥MN，所以MN=2O設(shè)監(jiān)測時間為t，則t=14故輪船能被海監(jiān)船檢測到的時間是0.5小時．故選：C．【變式6-2】（24-25高二上·北京·期中）如圖所示，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由一段圓弧和一個長方形構(gòu)成．已知隧道總寬度AD為63m，行車道總寬度BC為211m，側(cè)墻EA、FD高為2m，弧頂高MN為5m．為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m．請計算車輛通過隧道的限制高度是【答案】3.5【解題思路】通過已知數(shù)據(jù)求出圓弧的半徑，再通過由半徑算弦心距的方法求出最大高度，最后減去安全高度差即可.【解答過程】如下圖，圓弧的圓心O在直線MN上，過B作BG⊥AD，交圓弧于點G，作GH⊥MN于點H，連接OE、OG.由題可知，MP=5?2=3m，EP=1設(shè)OE=OM=r，則OP=r?3在△OEP中，有O即r2=∴OH=∴MH=OM?OH=6?5=1∴BG=NH=MN?MH=5?1=4故車輛通過隧道的限制高度是4?0.5=3.5m故答案為：3.5m【變式6-3】（25-26高三上·山東青島·開學(xué)考試）在氣象臺A正西方向1003km處有一臺風(fēng)中心，它正向北偏東60°方向移動，移動速度的大小為20km/h，距臺風(fēng)中心【答案】5【解題思路】以氣象臺為圓心，作半徑為100的圓交臺風(fēng)軌跡于CD兩點，計算CD兩點的長度即可求得氣象臺所在地受到臺風(fēng)影響的時間．【解答過程】如圖所示，可設(shè)臺風(fēng)中心初始位置為B，氣象臺為A，AB=1003以A為圓心，100為半徑作圓A交臺風(fēng)運動軌跡于C、D兩點，CD為圓A的弦，而臺風(fēng)向北偏東60°移動，可知∠DBA=30°，過A作BD的垂線，垂足為E，在直角△ABE中，∠ABC=30°，則AE=1在直角△ACE中，由勾股定理得CE=A所以CD=2CE=100，故持續(xù)時間為10020故答案為：5．【題型7圓與圓的位置關(guān)系】【例7】（2025·安徽·一模）圓O:x2+y2A．內(nèi)切 B．外離 C．外切 D．內(nèi)含【答案】A【解題思路】先寫出圓的圓心及半徑，再根據(jù)圓心間距離和半徑的關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系.【解答過程】圓O與圓M的半徑分別為1，4，圓心坐標分別為(0，則OM=1+8=3=4?1，故圓O故選：A.【變式7-1】（2025·浙江溫州·三模）已知圓x2+y2=1和圓x?3A．2,+∞ B．2,4 C．3,4 D．【答案】B【解題思路】由兩圓位置關(guān)系構(gòu)造不等式求解即可.【解答過程】由題可得r?1≤3≤r+1解得：2≤r≤4．故選：B.【變式7-2】（2025·山東臨沂·一模）圓C1:x2+A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】C【解題思路】根據(jù)給定條件，求出圓心距即可判斷.【解答過程】圓C1:x2+圓C2:x2+y2則|C故選：C.【變式7-3】（2025·河南·模擬預(yù)測）圓x2+y2?2x?2y+1=0A．相切 B．外離 C．內(nèi)含 D．相交【答案】B【解題思路】將兩圓的方程化為標準形式，求出圓心和半徑，根據(jù)圓心距與半徑和差的大小關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系即可.【解答過程】圓x2+y2?2x?2y+1=0即x?1圓x2+y2+4x+6y+9=0即x+22+y+32=4圓心距為1+22+1+3故選：B.【題型8兩圓的公共弦】【例8】（24-25高三下·黑龍江·階段練習(xí)）圓x2+y2?4=0A．22 B．23 C．14【答案】A【解題思路】先求兩圓公共弦所在的直線方程，再用“幾何法”求直線與圓相交所得的弦長.【解答過程】圓C1：x2+y2?4=0圓C2：x2+y2?4x+4y?12=0因為r2?r1<因此公共弦所在直線的方程為①?②：x?y+2=0，圓C1的圓心到公共弦的距離為d=即公共弦長為l=2R故選：A.【變式8-1】（2024·河北石家莊·二模）已知圓O1:x2+y2=5與圓O2A．52 B．5 C．15 D．【答案】C【解題思路】根據(jù)題意，兩圓方程相減即可得到直線AB的方程，再由弦長公式，即可得到結(jié)果.【解答過程】因為圓O1:x2+y2則直線AB的方程即為兩圓相減，可得2x+4y?5=0，且圓O1:xO10,0到直線2x+4y?5=0的距離所以|AB|=25故選：C.【變式8-2】（2025·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知圓C1:x2+A．x+y+2=0 B．x+y?2=0 C．x+y+1=0 D．x+y?1=0【答案】B【解題思路】兩圓方程作差即可.【解答過程】由圓C1:x兩式作差得，4x+4y?4=4，即x+y?2=0，所以兩圓的公共弦所在直線方程是x+y?2=0.故選：B.【變式8-3】（2025·黑龍江·模擬預(yù)測）圓C1:x2+A．27 B．7 C．6 D．【答案】A【解題思路】兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程為3x?4y+7=0，即可利用點到線的距離公式以及圓的弦長公式求解.【解答過程】C1,CR?r<C將兩個圓的方程作差得6x?8y+14=0，即公共弦所在的直線方程為3x?4y+7=0，又知C2?2,4，則C2?2,4到直線的3x?4y+7=0的距離所以公共弦長為24故選：A.【題型9兩圓的公切線】【例9】（2025·山東·模擬預(yù)測）已知圓C1:x2+y2A．21 B．29 C．±29 D．【答案】D【解題思路】根據(jù)兩圓恰有三條公切線，可得兩圓外切，利用圓心距等于半徑之和即可求解.【解答過程】由題知，兩圓外切，由圓C1方程得C10,0由圓C2方程得C2?a,?2，半徑r2=3故選：D.【變式9-1】（24-25高三下·山東·開學(xué)考試）圓C1:x2+A．y=?x+1 B．y=?x+1或y=x+5C．y=?x+5 D．y=x+1或y=2x+5【答案】A【解題思路】先判斷兩個圓的位置關(guān)系，確定公切線的條數(shù)，求解出兩圓的公共點，然后根據(jù)圓心連線與公切線的關(guān)系求解出公切線的方程.【解答過程】解：C1:(x+4)2+C2:(x+3)2+因為C1所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，因為圓心連線與切線相互垂直，kC所以切線斜率為?1，由方程組x2+y故圓C1與圓C2的切點坐標為故公切線方程為y?3=?(x+2)，即y=?x+1．故選：A.【變式9-2】（2025·全國·模擬預(yù)測）圓C1:x2+y2【答案】4【解題思路】先由圓心距與兩圓半徑和差關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系，再由幾何性質(zhì)利用勾股定理求解公切線長.【解答過程】由題可得，由圓C1則圓心為C1?2,?3，半徑為由圓C2則圓C2的圓心為C22,1則兩圓心的距離C1因為6?2<C1C2<6+2如圖，設(shè)切點為P,Q，作C2C⊥C所以圓C1與圓C2的公切線長為故答案為：4.

【變式9-3】（24-25高二上·重慶·期中）已知圓C1:x2+y2=1與圓C2【答案】2【解題思路】根據(jù)條件得到圓C1與圓C【解答過程】因為圓C1:x2+y2=1與圓又圓C1:x2+y2=1的圓心為C1所以a2+1=1+4=5，得到a2=24故答案為：26一、單選題1．（2025·北京海淀·三模）已知直線y=kx?2與圓C:x?12+y?12A．23 B．34 C．43【答案】C【解題思路】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點到直線的距離公式，列出不等式，求解即可.【解答過程】由題可知，直線與圓有交點，故圓心C(1,1)到直線y=kx?2的距離d，小于等于半徑即|k?3|k2+1≤1，故k?32≤k2+1故選：C.2．（2025·河南·模擬預(yù)測）已知不重合的圓C1,C2都過點?1,2，且均與兩坐標軸相切，則圓A．1 B．2 C．22 D．【答案】B【解題思路】分析出兩圓公共弦的端點，利用兩點間的距離公式可求公共弦長.【解答過程】如圖：因為兩圓C1,C2都過點?1,2，且均與兩坐標軸相切，所以點A?1,2關(guān)于直線y=?x的對稱點為B?2,1，則線段AB即為圓因為AB=故選：B.3．（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知直線3x+4y+4=0與圓M:x2+y2?2ax=0a>0A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【解題思路】由直線與圓相切求出a，進而判斷兩圓位置關(guān)系.【解答過程】圓M:x2+y2由直線3x+4y+4=0與圓M相切，得|3a+4|32+圓N:(x?1)2+(y?1)2而|MN|=(a?1)2+(0?1)2故選：C.4．（2025·新疆喀什·模擬預(yù)測）已知直線l:x?y+4=0與圓x2+y2=9交于A,B兩點，過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,DA．2 B．2 C．22 【答案】C【解題思路】利用垂徑定理求得|AB|，由題意可得直線l的傾斜角為α=45°，根據(jù)cosα=|AB||CD|【解答過程】由x2+y2=9圓心O(0,0)到直線l:x?y+4=0的距離為d=|0?0+4|所以|AB|=2r2?d2=2，又因為所以cosα=|AB||CD|

故選：C.5．（2025·四川成都·模擬預(yù)測）過點P(m,3)作圓C:(x+2)2+(y+2)2=1的切線，切點為A．26 B．5 C．26 D．【答案】A【解題思路】根據(jù)圓的標準方程得出圓心坐標與半徑，再利用切線的性質(zhì)得到|PQ|與|PC|的關(guān)系，最后根據(jù)|PC|的最小值求出|PQ|的最小值.【解答過程】已知圓C的方程為(x+2)2+(y+2)2=1因為PQ為圓C的切線，所以CQ⊥PQ，在Rt△PCQ中，根據(jù)勾股定理可得|PQ已知|CQ|=r=1，則|PQ|點P(m,3)，根據(jù)兩點間距離公式，可得|PC|=(m+2)因為(m+2)2≥0，當且僅當m=?2時，(m+2)2=0，此時因為|PQ|2=|PC|2?1，當則|PQ||PQ|的最小值為26故選：A.6．（2025·山東泰安·二模）已知直線l與圓(x?2)2+(y?3)2=1和圓(x+1)A．x+2y?23=0 B．x+2y+23=0C．3x+4y?23=0 D．3x+4y+23=0【答案】C【解題思路】通過計算可知兩個圓內(nèi)切，故兩圓相減得到的方程即為所求.【解答過程】圓(x?2)2+(y?3)2圓(x+1)2+(y+1)∵|MN|=所以兩個圓內(nèi)切，因此與兩圓均相切的直線l為兩個圓的公共弦所在的直線方程，所以l:(x+1整理得l:3x+4y?23=0，故選：C.7．（2025·全國一卷·高考真題）已知圓x2+(y+2)2=r2(r>0)A．(0,1) B．(1,3) C．(3,+∞) 【答案】B【解題思路】先求出圓心E0,?2到直線y=【解答過程】由題意，在圓x2+y+22=到直線y=3x+2的距離為1的點有且僅有∵圓心E0,?2到直線y=3x+2

故由圖可知，當r=1時，圓x2+y+22=r2當r=3時，圓x2+y+22=r2當則r的取值范圍為1,3時，圓x2+y+22=故選：B.8．（2025·山西呂梁·三模）已知點M為圓O:x2+y2=4與y軸負半軸的交點，直線l:y=kx+32與圓O交于A．3 B．143 C．4 D．【答案】B【解題思路】注意到直線l:y=kx+32過點C0,32，將直線與圓方程聯(lián)立，設(shè)Ax1,【解答過程】注意到直線l:y=kx+32過點C0,3可得x2+kx+設(shè)Ax1,又S△ABM=1則S=7當且僅當1k故選：B.二、多選題9．（2025·湖南益陽·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，圓C的半徑為1，點P2,1在圓C上，則（

A．y軸與圓C可能相切B．直線x+y=0與圓C可能相交C．x軸被圓C所截得的弦長的最大值是2D．原點O與圓C上的點的距離的最大值為5【答案】AC【解題思路】A，設(shè)圓C:x?a2+y?b2=1，令a=1舉例說明；B，令t=a+b，利用關(guān)系式2?a2+1?b2=1求出【解答過程】設(shè)圓C:x?a2因點P2,1在圓C上，則2?a若a=1，則b=1，則圓C:x?12+y?12=1令t=a+b，則a+b?t=0，因直線a+b?t=0與圓2?a2+1?b得3?2則圓心C到直線x+y=0的距離d=a+b則d>1，故直線x+y=0與圓C不可能相交，故B錯誤；因2?a2=1?1?b令y=0，則x?a2+y?b故當b∈0,1時圓C與x弦長為21?b2因2?a2則a2+b2可以理解為以P2,1則a2+b故OC+1=故原點O與圓C上的點的距離的最大值為5+2故選：AC.10．（2025·寧夏銀川·二模）已知圓C:(x+2)2+y2A．直線l與圓C可能相切B．當m=0時，圓C上恰有三個點到直線l的距離等于1C．直線l與直線2x?(m+1)y=0垂直D．若圓C與圓x2+【答案】CD【解題思路】對于A項，求出直線l經(jīng)過的定點坐標，判斷該點與圓的關(guān)系，即可判斷；對于B項，代入m=0，得出直線的方程，求出圓心到直線的距離，即可得出答案；對于C項，根據(jù)兩直線的系數(shù)計算即可得出；對于D項，根據(jù)已知可知兩圓外切，根據(jù)已知求出兩圓圓心、半徑，列出方程，求解即可得出答案.【解答過程】對于A項，整理直線l:(m+1)x+2y?1+m=0(m∈R)可得出mx+1解方程組x+1=0x+2y?1=0可得，直線l過定點A圓C:(x+2)2+y2則AC=所以點A在圓內(nèi)，即直線l過圓內(nèi)一定點，所以，直線l與圓C一定相交.故A錯誤；對于B項，當m=0時，直線l化為x+2y?1=0.此時有圓心C?2,0到直線l的距離d=?2×1?11因此圓C上只有兩個點到直線l的距離等于1.故B錯誤；對于C項，因為m+1×2?2所以直線l與直線2x?(m+1)y=0垂直.故C正確；對于D項，要使圓C與圓x2圓x2+y2?2x+8y+a=0圓心為M1,?4，半徑為R=因為兩圓外切，所以有MC=r+R即17?a+2=整理可得17?a=3，化簡可得17?a=9解得a=8.故D項正確.故選：CD.11．（2025·遼寧·三模）已知直線4x+3y?12=0與x軸、y軸交于A,B兩點，點P為圓C:(x?3)2+A．直線AB與圓C相離 B．△ABC的面積為12C．當∠PBA最小時，|PB|=5 D．點P到直線AB距離的最大值為【答案】AC【解題思路】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法，可得判定A正確；由點到直線的距離公式，結(jié)合三角形的面積公式，可判定B錯誤；當當∠PBA最小時，直線PB與圓相切，利用切線長公式，可判定C正確；根據(jù)圓的性質(zhì)，可得判定D錯誤.【解答過程】由圓C:(x?3)2+(y?4)2對于A中，圓心坐標C到直線4x+3y?12=0的距離為d=|12+12?12|所以直線AB與圓C相離，所以A正確；對于B中，由點C到直線AB的距離為125，則△ABC的面積S對于C中，如圖所示，當∠PBA最小時，直線PB與圓相切，此時|PB|=B對于D中，由點P到直線AB距離的最大值為d+r=12故選：AC.三、填空題12．（2025·云南曲靖·模擬預(yù)測）已知圓x2+y2=1和圓x?32+【答案】2或4【解題思路】由兩圓位置關(guān)系構(gòu)造方程求解即可.【解答過程】圓x2+y由題可得|r?1|=3(r>0)或r+1=3，解得r=2或故答案為：2或4.13．（2025·上海·模擬預(yù)測）圓x2+y2?2x?4y+4=0上的點到直線3x+4y+4=0【答案】4【解題思路】首先確定圓的圓心坐標和圓的半徑，然后確定直線與圓的位置關(guān)系，進而可求出圓上的點到直線的距離的最大值.【解答過程】因為C:x所以圓心坐標為C1,2，半徑r=1所以圓上的點到3x+4y+4=0的距離最大值為圓心到直線的距離加圓的半徑，即AB的長度.所以d=3+8+4故答案為：4.14．（2025·天津·高考真題）l1:x?y+6=0，與x軸交于點A，與y軸交于點B，與(x+1)2+(y?3)2=r2r>0交于C【答案】2【解題思路】先根據(jù)兩點間距離公式得出|AB|=62，再計算出圓心到直線的距離d，根據(jù)弦長公式|CD|=2【解答過程】因為直線l1:x?y+6=0與x軸交于A?6,0，與y軸交于B0,6，所以圓(x+1)2+y?32=r2的半徑為r故CD=2r2故答案為：2.四、解答題15．（2025·天津紅橋·模擬預(yù)測）已知圓C：x2+y2?2x?2y?2=0(1)求圓C的圓心及半徑；(2)求直線l被圓C截得的弦AB的長度.【答案】(1)圓心1,1，半徑r=2(2)2【解題思路】（1）將圓C的方程化為圓的標準方程，即可求解；（2）首先求出圓心C到直線l的距離，再根