答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁江西省2026屆高三上學(xué)期8月入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．59 B．61 C．63 D．653．“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若隨機(jī)變量，且，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．5．已知圓臺(tái)的上底面積，下底面積分別為，體積為，則該圓臺(tái)的外接球表面積為（

）A． B． C． D．6．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為．直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為．若，且，則的周長(zhǎng)為（

）A．24 B．28 C．32 D．367．已知數(shù)列滿足，且函數(shù)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．已知為曲線上的兩點(diǎn)，為曲線上的兩點(diǎn)．其中點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)．則矩形的面積最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若雙曲線的焦距是虛軸長(zhǎng)的倍，則（

）A．的離心率為 B．的漸近線方程為C．的漸近線夾角的正切值為 D．的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的倍10．在直角中，且．若的內(nèi)切圓半徑為2，且與線段相切于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．11．贛南臍橙是江西省贛州市特產(chǎn)，中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，被譽(yù)為＂中華名果＂．近年贛南臍橙受黃龍病影響，臍橙產(chǎn)品合格率有所降低．現(xiàn)有6個(gè)臍橙，其中有3個(gè)不合格產(chǎn)品，每次從中抽取1個(gè)且不放回，設(shè)為抽到第2件合格品時(shí)的抽取次數(shù)，則（

）A．的取值為2，3，4，5 B．時(shí)，共有108種抽取順序C． D．三、填空題12．已知，則的實(shí)部為．13．已知，且，則．（用含的代數(shù)式表示）14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知．若拋物線上有且僅有一點(diǎn)滿足，則．四、解答題15．2025年江西省城市足球聯(lián)賽（即“贛超”）在江西各區(qū)市舉行為了研究觀看“贛超”與經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，在城市社區(qū)隨機(jī)調(diào)查了1200人，得到如下的列聯(lián)表：觀看“贛超”不觀看“贛超”經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)67921不經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)121379(1)求觀看“贛超”者不經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)的概率的估計(jì)值；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析觀看“贛超”是否與經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)有關(guān)．附：．0.0500.0100.0013.8416.63510.82816．如圖，三棱錐中，，，，，，．(1)若，證明：平面平面；(2)若二面角的正切值為，求三棱錐的外接球表面積．17．已知函數(shù)．(1)若曲線的切線過點(diǎn)，求與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值；(2)（ⅰ）求曲線在處的切線方程；（ⅱ）設(shè)函數(shù)，判斷有幾個(gè)極值點(diǎn)并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）18．已知數(shù)列，其前項(xiàng)的和為．設(shè)數(shù)列，其中．(1)求；(2)設(shè)，求的值；(3)設(shè)，求使得成立的最大正整數(shù)的值．（其中符號(hào)表示不超過的最大整數(shù)）19．已知和為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)和也在橢圓上，點(diǎn)A在射線上且滿足，線段與橢圓交于異于的點(diǎn)B，記和的面積分別為，且．(1)用表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)（i）求；（ii）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．《江西省2026屆高三上學(xué)期8月入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案CDDABBBAACBD題號(hào)11答案ABD1．C【分析】本題可先求解集合B，由于最終求的是交集，故可以先把x的范圍限定在內(nèi)，通過比較在該范圍內(nèi)、的函數(shù)圖象得到集合A中大于0的元素范圍，再根據(jù)交集的定義求出．【詳解】求解時(shí)，先求簡(jiǎn)單的集合B，根據(jù)可知，，進(jìn)行因式分解，得，故求集合A時(shí)可只考慮的范圍，由于存在底數(shù)為2的指數(shù)，求導(dǎo)難以判斷單調(diào)性（的近似值未告知），所以可通過觀察、的函數(shù)圖象得到不等式解集，比較特殊點(diǎn)，可得，x0123450149162512481632當(dāng)x繼續(xù)增大時(shí)，指數(shù)函數(shù)比冪函數(shù)增長(zhǎng)速度快，再無其他交點(diǎn)，故在的范圍內(nèi)，解集為，的結(jié)果為與之間的交集，即，，故選：C．2．D【分析】本題可利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件列出方程組求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，，化簡(jiǎn)為，，化簡(jiǎn)為，聯(lián)立解得，則．故選：D．3．D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性討論求解出，，進(jìn)而結(jié)合充分、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由為偶函數(shù)，則函數(shù)和均為偶函數(shù)或均為奇函數(shù)，若為偶函數(shù)，則，此時(shí)，而，顯然不恒成立，舍去；若為奇函數(shù)，則，此時(shí)，而，由，則，即，此時(shí)，定義域?yàn)椋瑵M足題意綜上所述，，，而對(duì)于，可取，此時(shí)“函數(shù)不為偶函數(shù)”，所以“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的既不充分也不必要條件.故選：D.4．A【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求得的關(guān)系，進(jìn)而求出最小值.【詳解】由隨機(jī)變量，且，得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A5．B【分析】根據(jù)圓臺(tái)的底面面積和體積公式，求得圓臺(tái)的底面圓半徑以及高；再根據(jù)外接球球心的幾何特點(diǎn)，列出等量關(guān)系，進(jìn)而求得球半徑，再求球的表面積即可.【詳解】設(shè)該圓臺(tái)的上底面和下底面半徑分別為，高為；由題可知：，，解得；設(shè)圓臺(tái)上底面、下底面圓心為，外接球球心為，球半徑長(zhǎng)度為，顯然，球心在的連線上，設(shè)，根據(jù)題意，作圖如下所示：

若要滿足題意，則，也即，，解得，故，則該圓臺(tái)外接球表面積.故選：B.6．B【分析】先求出，由可得，，進(jìn)而得到直線的方程為，，可求得，再建立方程可求得，可得，進(jìn)而結(jié)合橢圓定義求解即可.【詳解】由題意，，則，所以直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即，則，，由，則，則，則，即，則，整理得，即，又，則，即，則，，則直線的方程為，而橢圓，聯(lián)立，解得或，即，則，解得，則，所以的周長(zhǎng)為.故選：B.7．B【分析】本題通過分析函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合恰好有一個(gè)零點(diǎn)推出數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而求出．【詳解】函數(shù)，其中與的圖象均關(guān)于直線對(duì)稱，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)闀r(shí)恰有一個(gè)零點(diǎn)，所以該零點(diǎn)為，即，將代入，結(jié)合，可得，，進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為，，由此可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，，當(dāng)時(shí)，，即．故選：B．8．A【分析】利用反函數(shù)的對(duì)稱性和矩形的性質(zhì)表示出面積，利用導(dǎo)數(shù)可求答案.【詳解】因?yàn)楹突榉春瘮?shù)，所以其圖象關(guān)于直線對(duì)稱；因?yàn)樗倪呅螛?gòu)成矩形，所以和，和均關(guān)于直線對(duì)稱；設(shè)，，則，，；由矩形性質(zhì)可得，即，整理可得，即.，，設(shè)矩形的面積為，則，其中，設(shè)，，則，令得，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；又，，所以最大值為，即矩形的面積最大值為.故選：A9．AC【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合雙曲線中的關(guān)系可得，，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由題意，，則，所以，則，即，所以，故A正確；而，所以，所以漸近線方程為或，即或，故B錯(cuò)誤；當(dāng)兩條漸近線其中一條漸近線的斜率為時(shí)，設(shè)其傾斜角為，則，而兩條漸近線夾角的正切值為，當(dāng)兩條漸近線其中一條漸近線的斜率為2時(shí)，設(shè)其傾斜角為，則，而兩條漸近線夾角的正切值為，而，則實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．BD【分析】設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，與相切于點(diǎn)，內(nèi)切圓半徑為，設(shè)角所對(duì)的邊為，根據(jù)題設(shè)可得，結(jié)合得到，再由等面積法求得的值，進(jìn)而求解判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】如圖，設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，與相切于點(diǎn)，內(nèi)切圓半徑為，設(shè)角所對(duì)的邊為，由于，則，又，所以，則，又，則，即，由，則，解得，則，解得或，故A錯(cuò)誤；易得四邊形為正方形，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故B正確；由，當(dāng)時(shí)，，，則，故C錯(cuò)誤；由，可得，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，故D正確.故選：BD.

11．ABD【分析】首先根據(jù)已知條件確定隨機(jī)變量X的取值，再分別計(jì)算X取不同值時(shí)的抽取順序數(shù)，然后根據(jù)期望和方差公式計(jì)算和即可判斷選項(xiàng).【詳解】已知6個(gè)臍橙，其中有3個(gè)不合格產(chǎn)品，即合格品有3個(gè)，每次從中抽取1個(gè)且不放回，所以要抽到第2件合格品時(shí)的抽取次數(shù)X的取值為2，3，4，5，故選項(xiàng)A正確.當(dāng)時(shí)，表示前3次抽取中有1個(gè)合格品和2個(gè)不合格品，第4次抽取的是合格品。從3個(gè)合格品中選1個(gè)，有種選法;從3個(gè)不合格品中選2個(gè)，有種選法;前3次抽取的順序有種排法，第四次抽合格品，此時(shí)剩2件合格品，有2種抽法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，抽取順序共有=（種），故選項(xiàng)B正確.,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.,故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.12．【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法及乘方運(yùn)算求出即可.【詳解】依題意，.所以的實(shí)部為.故答案為：13．或【分析】根據(jù)已知條件，利用和差化積公式，以及降冪擴(kuò)角公式求得或，再利用倍角公式和特殊角三角函數(shù)即可求得結(jié)果.【詳解】由可得也即，也即，又，故，則或，又，故時(shí)，.若，又，則，此時(shí)故答案為：或.14．32【分析】設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，根據(jù)可得方程.再設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)方程只有1解求參數(shù)的值.【詳解】設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，由.由題意，方程有且只有1解.設(shè)，則.易知在上為增函數(shù)，且，所以方程必定只有1個(gè)正根，設(shè)為.即.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.由有且僅有1解，所以.所以所以或.當(dāng)時(shí)，由，又，所以；當(dāng)時(shí)，由，所以該方程無解.綜上可知：.故答案為：3215．(1)(2)有關(guān)【分析】（1）根據(jù)題設(shè)數(shù)據(jù)求解即可.（2）求出的值，即可進(jìn)行判斷.【詳解】（1）根據(jù)表格可知，觀看“贛超”的800人中有121人不經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)，所以所求概率的估計(jì)值為.（2）零假設(shè)為：觀看“贛超”與經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)無關(guān)，根據(jù)題中表格得：觀看“贛超”不觀看“贛超”合計(jì)經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)67921700不經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)121379500合計(jì)8004001200代入公式得：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷不成立，即觀看“贛超”與經(jīng)常參與足球運(yùn)動(dòng)有關(guān).16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明平面即可證明平面平面．（2）通過在平面內(nèi)，過點(diǎn)A作得到二面角的平面角，進(jìn)一步再推導(dǎo)出三棱錐可放置于以長(zhǎng)方體內(nèi)，得到外接球的直徑，再通過公式即可求得外接球表面積．【詳解】（1），解得，在中，由余弦定理，，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，由勾股定理逆定理得，，因?yàn)榍?，所以，又因?yàn)?，所以，所以即，結(jié)合前述，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）在中，由余弦定理，，因?yàn)?，所以，所以，解得，在平面?nèi)，過點(diǎn)A作，取，則在平面內(nèi)，，且，所以，四邊形為矩形，由知，因?yàn)槠矫嫫矫?，又，所以二面角的平面角為，連接PE，則，也即，在中，，解得，又因?yàn)椋?，所以，即為直角三角形，，又因?yàn)?，，所以平面，所以，得到，所以平面，由此以矩形為底，為高?gòu)建長(zhǎng)方體，如圖所示，所以可將三棱錐放入長(zhǎng)方體內(nèi)，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線等于外接球的直徑，，所以．17．(1)(2)（i）；（ⅱ）有1個(gè)極值點(diǎn)，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)切線條件求出切線與x軸的截距，列出三角形面積表達(dá)式，求導(dǎo)研究單調(diào)性即可．（2）（?。┣蟪銮悬c(diǎn)處的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出切線方程；（ⅱ）求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，即求的變號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過研究的導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性后即可進(jìn)一步確定，研究過程中，要適當(dāng)分區(qū)間考慮，合并結(jié)論后求解出最終結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)，則的方程為，將代入得，得：，，令，解得：，所求三角形面積，，時(shí)，，則單調(diào)遞減，時(shí)，，則單調(diào)遞增，，即所求三角形面積最小值為．（2）（i），則曲線在處的切線方程為，即．（ⅱ），欲求有幾個(gè)極值點(diǎn)，即求有幾個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，①時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，由零點(diǎn)存在定理：，使得，時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)，②時(shí)，，此時(shí)無零點(diǎn)，③時(shí)，下證：，令，則，時(shí)，，故單調(diào)遞減；時(shí)，，故單調(diào)遞增，，令，則，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，，，恒成立，此時(shí)無零點(diǎn)，④時(shí)，，但兩者不同時(shí)取得等號(hào)，恒成立，此時(shí)無零點(diǎn)，綜上可得，有1個(gè)極值點(diǎn)．18．(1)，(2)(3)64【分析】（1）根據(jù)題設(shè)定義分析求解即可；（2）先求得，結(jié)合題設(shè)分析可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求解即可；（3）先由題設(shè)可得，利用作差法及二項(xiàng)式定理可證得當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得到，進(jìn)而求得，再解不等式即可.【詳解】（1），，，即，，，即，，同理，，則，而，所以.（2）由，則，當(dāng)時(shí)，，可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，，，.（3），下證當(dāng)時(shí)，：①顯然恒成立②，，，故，，，即，又，，因此滿足不等式的最大正整數(shù).19．(1)(2)（i）；（ii）和．【分析】（1）通過平面向量之間的變換，求得與、之間的關(guān)系，即可求解．（2）（i）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，