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小學(xué)奧數(shù)3上個解答公式+30類苗應(yīng)經(jīng)典題型

，和差倍問題：

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數(shù)的和與差幾個數(shù)的和與幾個數(shù)的差與倍數(shù)

倍數(shù)

公式適用已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系

范圍

①（和■差）+2=

較小數(shù)

較小數(shù)+差=較

大數(shù)和X倍數(shù)+1）

和-較小數(shù)=較=小數(shù)

差X倍數(shù)-1）=小數(shù)

大數(shù)小數(shù)X倍數(shù)=大

公式小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)

②（和+差）+2=數(shù)

小數(shù)+差=大數(shù)

較大數(shù)和?小數(shù)二大

較大數(shù)-差=較數(shù)

小數(shù)

和-較大數(shù)=較

小數(shù)

關(guān)鍵問題求出同一條件下的

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■D-一--:；_7二一、?二二

和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)

2.年齡問題基本特征：

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；

3、歸一問題的基本特點：

問題中有一個不變的量，一般是那個〃單一量〃，題目一般用〃照

這樣的速度”……等詞語來表示。

關(guān)鍵問題：

根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；

4、植樹問題:

在直線或

在直線或者在直線或者不

者不封閉

基本不封閉的曲封閉的曲線上

的曲線上封閉曲線上植樹

類型線上植樹，植樹，只有一

植樹，兩端

兩端都植樹端植樹

都不植樹

基本棵數(shù)二段數(shù)棵數(shù)=段數(shù)棵數(shù)二段數(shù)

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公式+1一-1棵距X段數(shù)=總長

棵距X段數(shù)棵距X段數(shù)

二總長=總長

關(guān)鍵

確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系

問題

5、雞兔同籠問題：

基本概念：

雞兔同籠問題又稱為置換問題■假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯的那部

分置換出來；

基本思路：

①假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；

④再根據(jù)這兩個差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把所有雞假設(shè)成兔子：雞數(shù)二（兔腳數(shù)X總頭數(shù)?總腳數(shù)）-

（兔腳數(shù)?雞腳數(shù)）

②把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)二（總腳數(shù)一雞腳數(shù)X總頭數(shù)）?

（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）

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.I-―-—一一=_三二二_1:二一一?—

關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

6、盈虧問題：

基本概念：

一定量的對象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種

標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的

差異，由它們的關(guān)系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭俊?/p>

基本思路：

先將兩種分配方案進行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變

化，根據(jù)這個關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對

象的總量。

基本題型：

①一次有余數(shù)，另一次不足；

基本公式：總份數(shù)=（余數(shù)+不足數(shù)）?兩次每份數(shù)的差

②當(dāng)兩次都有余數(shù)；

基本公式：總份數(shù)=（較大余數(shù)一較小余數(shù)）?兩次每份數(shù)的差

③當(dāng)兩次都不足；

基本公式：總份數(shù)二（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）?兩次每份數(shù)

的差

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r"

基本特點：

對象總量和總的組數(shù)是不變的。

關(guān)鍵問題：

確定對象總量和總的組數(shù)。

7.牛吃草問題：

基本思路：

假設(shè)每頭牛吃草的速度為份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出

其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的

生長速度和總草量。

基本特點：

原草量和新草生長速度是不變的；

關(guān)鍵問題：

確定兩個不變的量。

基本公式：

生長量=（較長時間x長時間牛頭數(shù)?較短時間x短時間牛頭數(shù)）?

（長時間?短時間）；

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______________-Ju

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■D-一--:；_7二一、?二二

總草量=較長時間X長時間牛頭數(shù)?較長時間X生長量；

8、周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律：

周期現(xiàn)象：

事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。

周期：

我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時間叫周期。

關(guān)鍵問題：

確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被

400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除：②如果年份能被100整除，但不能被400

整除；

9、平均數(shù):

基本公式：

①平均數(shù)=總數(shù)量+總份數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)x總份數(shù)

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.I-―-—一一=_三二二_1:二一一?—

總份數(shù)=總數(shù)量+平均數(shù)

②平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)+每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和+總份數(shù)

基本算法：

①求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式①進行計算.

②基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個基準(zhǔn)數(shù)；一般

選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，

求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差

的平均數(shù)；最后求這個差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平

均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式②

10、抽屜原理：

抽屜原則一：

如果把(n+l)個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至

少放有2個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數(shù)的

和，那么就有以下四種情況：

(1)4=4+0+0(2)4=3+1+0(5)4=2+2+0@4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那

么一個抽屜里有2個或多于2個物體，也就是說必有一個抽屜中

至少放有2個物體。

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■D-一--:；_7二一、?二二

抽屜原則二：

如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽

屜至少有：

④k=[n/m]+1個物體：當(dāng)n不能被m整除時。

②k=n/m個物體：當(dāng)n能被m整除時。

理解知識點：

[X]表示不超過X的最大整數(shù)。

例[4.35]]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;

關(guān)鍵問題：

構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽

屜原則進行運算。

11、定義新運算：

基本概念：

定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混

合）運算。

基本思路：

嚴(yán)格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除

的運算，然后按照基本運算過程、規(guī)律進行運算。

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關(guān)鍵問題：

正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：

①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

12、數(shù)列求和：

等差數(shù)列：

在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就

叫做等差數(shù)列。

基本概念：

首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用al表示；

項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示；

公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示；

通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示；

數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

基本思路：

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n■D-一--:；_7二一、?n二二

等差數(shù)列中涉及五介量：al,an,dfn,sn〃通項公式中涉及四個量，

如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，

如果己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：

通項公式:an=al+(n-1)d;

通項=首項+(項數(shù)一l)x公差；

數(shù)列和公式：snf=(al+an)xn+2;

數(shù)列和二(首項+末項)x項數(shù)+2;

項數(shù)公式：n=(an+al)+d+1;

項數(shù)二(末項?首項)+公差+T;

公差公式:d=(an-al))+(n-1);

公差二(末項?首項)+(項數(shù)-1)；

關(guān)鍵問題：

確定已知量和未知量，確定使用的公式；

13,二進制及其應(yīng)用：

十進制：

用。?9十個數(shù)字表示，逢TO進1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同

的含義，十位上的2表示20,百位上的2表示200。所以

234=200+30+4=2xl02+3xl0+4o

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■D-一--:；_7二一、?二二

=Anx10n-l+An-lx10n-2+An-2x10n-3+An-3x

10n-4+An-4x10n-5+An-6x10n-7+...+A3x102+A2x

lOl+AlxlOO

注意：NO=1;N1=N(其中N是任意自然數(shù))

二進制：

用。?1兩個數(shù)字表示，逢2進1;不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同

的含義。

(2)=Anx2n-l+An-lx2n-2+An-2x2n-3+An-3x

2n-4+An-4x2n-5+An-6x2n-7

+……+A3x22+A2x21+Alx20

注意：An不是0就是1。

十進制化成二進制：

①根據(jù)二進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數(shù)，直到商為

0,然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于

這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0,按照二進制展

開式特點即可寫出。

14、加法乘法原理和計數(shù)：

加法原理：

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■D-一--:；_7二一、?二二

如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方

法，在第二類方法中有m2種不同方法在第n類方法中有

mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：ml+m2…….+mn

種不同的方法。

關(guān)鍵問題：

確定工作的分類方法。

基本特征：

每一種方法都可完成任務(wù)。

乘法原理：

如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進行，做第1步有ml種方

法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管

前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件

任務(wù)共有：mlxm2xmn種不同的方法。

關(guān)鍵問題：

確定工作的完成步驟。

基本特征：

每一步只能完成任務(wù)的一部分。

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直線：

一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：

沒有端點，沒有長度。

線段：

直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：

有兩個端點，有長度。

射線：

把直線的一端無限延長。

射線特點：

只有一個端點；沒有長度。

①數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)=1+2+3+…+（點數(shù)-1）;

②數(shù)角規(guī)律=1+2+3+...+（射線數(shù)一1）;

③數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=長的線段數(shù)x寬的線段數(shù)：

④數(shù)長方形規(guī)律：個數(shù)=lxl+2x2+3x3+…+行數(shù)x列數(shù)

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15.質(zhì)數(shù)與合數(shù)：

質(zhì)數(shù)：

一個數(shù)除了1和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，

也叫做素數(shù)。

合數(shù)：

一個數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù)。

質(zhì)因數(shù)：

如果某個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因

數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：

把一個數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用

短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。

分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：

N=,其中al.a2、a3……an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且

al<a2<a3<......<ano

求約數(shù)個數(shù)的公式：

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P=(rl+l)x(r2+l)x(r3+l)x……x(rn+l)

互質(zhì)數(shù)：

如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1,這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。

16、約數(shù)與倍數(shù)：

約數(shù)和倍數(shù)：

若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。

公約數(shù)：

幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，

叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。

最大公約數(shù)的性質(zhì)：

1、幾個數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個商是互質(zhì)數(shù)。

2.幾個數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個數(shù)的約數(shù)。

3、幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。

4、幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)m,所得的積的最大公約數(shù)等于這

幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以mo

例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12;

18的約數(shù)有：1、2.3.6、9.18;

那么12和18的公約數(shù)有：1、2.3.6;

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那么12和18最大的公約數(shù)是：6,記作（12,18）=6;

求最大公約數(shù)基本方法：

1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。

3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個

余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。

公倍數(shù)：

幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，

叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有:12、24、36.48……;

18的倍數(shù)有:18、36、54、72……;

那么12和18的公倍數(shù)有：36.72、108……；

那么12和18最小的公倍數(shù)是36,記作[12,18]=36;

最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2.分解質(zhì)因

數(shù)的方法

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17,數(shù)的整除：

基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數(shù)a,除以一個自然數(shù)b,得到一個整數(shù)商

c,而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a,記作

b|ao

2、常用符號：整除符號〃|〃，不能整除符號"“；因為符號〃J,

所以的符號

整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

3.能被8.125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整

除。

4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能

被7整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差

能被11整除。

②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

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③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

7.能被13整除:

①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差

能被13整除。

②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

整除的性質(zhì)：

1.如果a.b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、（:整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整

除。

18、余數(shù)及其應(yīng)用：

基本概念：

對任意自然數(shù)a.b.q.r,如果使得a+b=q……r,且Ovr<b,

那么r叫做a除以b的余數(shù)，q叫做a除以b的不完全商。

余數(shù)的性質(zhì)：

①余數(shù)小于除數(shù)。

②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-ao

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③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的

余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以(:的余

數(shù)的積除以c的余數(shù)。

19.余數(shù).同余與周期：

同余的定義：

①若兩個整數(shù)a.b除以m的余數(shù)相同，則稱a.b對于模m同

余。

②已知三個整數(shù)a、b.m,如果m|a-b，就稱a、b對于模m

同余，記作a=b(modm),讀作a同余于b模m。

同余的性質(zhì)：

①自身性：a三a(modm);

②對稱性：若a三b(modm),則b三a(modm);

③傳遞性：若a=b(modm),b”(modm),則a=c(modm);

④和差性：若a三b(modm),cHd(modm),則a+c三b+d(mod

m),a-c=b-d(modm);

⑤相乘性若三

ab(modm)fc=d(modm),R!laxesbxd(mod

m);

⑥乘方性：若a=b(modm),則an三bn(modm);

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⑦同倍性:若a三b(modm),整數(shù)c,則axesbxc(modmx

c)；

關(guān)于乘方的預(yù)備知識：

①若A=axb,則MA=Maxb=(Ma)b

②若B=c+d則MB=Mc+d=McxMd

被3.9.11除后的余數(shù)特征：

①一個自然數(shù)M,n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M三

n(mod9)或(mod3);

②一個自然數(shù)M,X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示

M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和則M三Y?X或MmlNX-YXmod

ID；

費爾馬小定理：

如果p是質(zhì)數(shù)(素數(shù))，a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1

Hl(modp)o

20、分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用：

基本概念與性質(zhì)：

分?jǐn)?shù)：把單位平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

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分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除

外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

分?jǐn)?shù)單位：把單位〃1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

百分?jǐn)?shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進行思考。

②對應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應(yīng)

關(guān)系。

③轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進行解答。

最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分

數(shù)中一股指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常

見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。

④假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假

設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進

行調(diào)整，求出最后結(jié)果。

⑤量不變思維方法:在變化的各個量當(dāng)中，總有一個量是不變的，

不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種

情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B.總量發(fā)生變化，但其中

有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量

不變化。

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⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一

化.量率關(guān)系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

21、分?jǐn)?shù)大小的比較：

基本方法：

①通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和

分母的關(guān)系比較。

②通分分瑁法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和

分子的關(guān)系比較。

③基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時，分子或分

母越大的分?jǐn)?shù)值越大。

⑤倍率比較法：當(dāng)比較兩個分子或分母同時變化時分?jǐn)?shù)的大小，

除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。

（具體運用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進

行比較。

⑦倍數(shù)比較法用一個數(shù)除以另一個數(shù)結(jié)果得數(shù)和1進行比較。

⑧大小比較法用一個分?jǐn)?shù)減去另一個分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和0比較。

⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

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⑩基準(zhǔn)數(shù)比較法：確定一個基準(zhǔn)數(shù)，每一個數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。

22.分?jǐn)?shù)拆分：

將一個分?jǐn)?shù)單位分解成兩個分?jǐn)?shù)之和的公式：

23,完全平方數(shù)：

完全平方數(shù)特征：

1.末位數(shù)字只能是：0.1、4、5、6.9;反之不成立。

2.除以3余?；蛴?;反之不成立。

3.除以4余?；蛴?;反之不成立。

4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。

7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

平方差公式：

X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：

(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：

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（X-Y）2=X2-2XY+Y2

24.比和比例：

比：兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比

號后面的數(shù)叫比的后項。

比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

比的性質(zhì)：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），

比值不變。

比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質(zhì)：兩個外項積等于兩個內(nèi)項積（交叉相乘），

ad=bco

正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商

不變時），則A與B成正比。

反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積

不變時），則A與B成反比。

比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

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按比例分配：把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

25、綜合行程：

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、

時間.路程三者之間的關(guān)系.

基本公式：路程=速度x時間；路程?時間=速度；路程，速度二

時間

關(guān)鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和x相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間=路程差+速度差（寫出其他公式）

流水問題：順?biāo)谐潭ù?水速）x順?biāo)畷r間

逆水行程二（船速?水速）x逆水時間

順?biāo)俣?船速+水速

逆水速度二船速?水速

靜水速度二（順?biāo)俣?逆水速度）+2

水速=（順?biāo)俣?逆水速度）+2

流水問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

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主要方法：畫線段圖法

基本題型：

已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、

速度（速度和.速度差）中任意兩個量，求第三個量。

26、工程問題：

基本公式：

①工作總量=工作效率x工作時間

②工作效率=工作總量+工作時間

③工作時間=工作總量+工作效率

基本思路：

①假設(shè)工作總量為〃r‘（和總工作量無關(guān)）；

②假設(shè)一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用

時間的最小公倍數(shù)），利用上述三個基本關(guān)系，可以簡單地表示

出工作效率及工作時間.

關(guān)鍵問題：

確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。

27、邏輯推理：

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條件分析一假設(shè)法：

假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個假設(shè)去判斷，如果有

與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他

的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過程中

出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

條件分析一列表法：

當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時，就需要進行列表

來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個長方形表

格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的

題設(shè)情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。

條件分析一圖表法：

當(dāng)兩個對象之間只有兩種關(guān)系時，就可用連線表示兩個對象之間

的關(guān)系，有連線則表示〃是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表

示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認(rèn)識或不認(rèn)識兩種狀態(tài)，

有連線表示認(rèn)識，沒有表示不認(rèn)識。

邏輯計算：

在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應(yīng)

的計算，根據(jù)計算的結(jié)果為推理提供一介新的判斷篩選條件。

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簡單歸納與推理：

根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從

特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問

題的解決。

28、幾何面積：

基本思路：

在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對

圖形進行割補，平移，旋轉(zhuǎn)，翻折，分解，變形、重疊等，使不

規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些

常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法：

L連輔助線方法

2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設(shè)（有些點的設(shè)置題目中說的是任意點，解題時可把任

意點設(shè)置在特殊位置上）。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平

方除以4等于等腰直角三角形的面積）

②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

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29,時鐘問題一快慢：

基本思路：

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、不同的表當(dāng)成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4.時間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時間；

5.合理利用行程問題中的比例關(guān)系；

30、時鐘問題T中面追及：

基本思路：

封閉曲線上的追及問題。

關(guān)鍵問題：

①確定分針與時針的初始位置；

②確定分針與時針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。

分針每小時走60分格，即一周；而時針只走5分格，故分針每

分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。

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②度數(shù)方法：

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360。，分針每分鐘轉(zhuǎn)360/60

度，即6。，時針每分鐘轉(zhuǎn)360/12X60度，即1/2度。

31、濃度與配比：

經(jīng)驗總結(jié)：

在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進行混合的兩種溶

液的重量和他們濃度的變化成反比。

溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽，酒精等）叫溶質(zhì)。

溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。

溶液：溶質(zhì)和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

基本公式：

溶液重量二溶質(zhì)重量+溶劑重量；

溶質(zhì)重量二溶液重量又濃度；

濃度=溶質(zhì)/溶液xl00%=溶質(zhì)/（溶劑+溶質(zhì)）xlOO%

經(jīng)驗總結(jié)：

在配比的過程中存在這樣的一個反比例關(guān)系，進行混合的兩種溶

液的重量和他們濃度的變化成反比。

32、經(jīng)濟問題：

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利潤的百分?jǐn)?shù)=（賣價?成本）?成本X100%;

賣價二成本X（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；

成本=賣價+（1+利潤的百分?jǐn)?shù)）；

商品的定價按照期望的利潤來確定；

定價二成本x（1+期望利潤的百分?jǐn)?shù)）；

本金：儲蓄的金額；

利率：利息和本金的比；

利息=本金x利率x期數(shù)；

含稅價格二不含稅價格x（1+增值稅稅率）；

33、不定方程：

一次不定方程：

含有兩個未知數(shù)的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不

唯一，所以也叫做二元一次不定方程；

常規(guī)方法：觀察法、試驗法.枚舉法；

多元不定方程：含有三個未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解

也不唯一；

多元不定方程解法：

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根據(jù)已知條件確定一個未知數(shù)的值，或者消去一個未知數(shù)，這樣

就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方

程解即可；

涉及知識點：

列方程.數(shù)的整除、大小比較；

解不定方程的步驟：

1、列方程；2、消元；3、寫出表達式；4、確定范圍；5.確定

特征；6、確定答案；

技巧總結(jié)：

A、寫出表達式的技巧：用特征不明顯的未知數(shù)表示特征明顯的

未知數(shù)，同時考慮用范圍小的未知數(shù)表示范圍大的未知數(shù)；

B■消元技巧：消掉范圍大的未知數(shù)；

34、循環(huán)小數(shù)：

把循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)的規(guī)則：

①純循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：將一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)

作為分子，分母的各位都是9,9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，

最后能約分的再約分。

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②混循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分化成分?jǐn)?shù)：分子是第二個循環(huán)節(jié)以前的小

數(shù)部分的數(shù)字組成的數(shù)與不循環(huán)部分的數(shù)字所組成的數(shù)之差，分

母的頭幾位數(shù)字是9,9的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，末幾

位是o,o的個數(shù)與不循環(huán)部分的位數(shù)相同。

分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成循環(huán)小數(shù)的判斷方法：

①一個最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中既含有質(zhì)因數(shù)2和5,又含有2和

5以外的質(zhì)因數(shù)，那么這個分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是混循環(huán)小數(shù)。

②一個最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么

這個分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)必定是純循環(huán)小數(shù)。

時學(xué)奧數(shù)應(yīng)用題30道典型題型（完整版）

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i.歸一問題11.行船問題21、方陣問題

2、歸總問題12.列車問題22、商品利潤問題

3、和差問題13、時鐘問題23、存款利率問題

4、和倍問題14、盈虧問題24、溶液濃度問題

5.差倍問題15、工程問題25、構(gòu)圖布數(shù)問題

6?倍比問題16.正反比例問題26、幻方問題

7.相遇問題17.按比例分配27、抽屜原則問題

8.追及問題18.百分?jǐn)?shù)問題28、公約公倍問題

9.植樹問題19.“牛吃草〃問題29、最值問題

10.年齡問題20、雞兔同籠問題30.列方程問題

一、歸一問題

【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以

單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。

【數(shù)量關(guān)系】總量2份數(shù)=1份數(shù)量

1份數(shù)量x所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量

另一總量?（總量:份數(shù)）=所求份數(shù)

【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所

要求的數(shù)量。

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