第04講整式的乘法思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.計算單項式乘單項式2.利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值3.計算單項式乘多項式及求值4.單項式乘多項式的應(yīng)用5.利用單項式乘多項式求字母的值6.計算多項式乘多項式7.(x+p)(x+q)型多項式乘法8.已知多項式乘積不含某項，求字母的值9.多項式乘多項式——化簡求值10.多項式乘多項式與圖形面積結(jié)合11.多項式乘法中的規(guī)律性問題12.整式乘法混合運(yùn)算一、單項式與單項式相乘單項式乘法法則：單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式.單項式乘法法則在運(yùn)用時要注意以下幾點(diǎn)：①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號，再計算絕對值.這時容易出現(xiàn)的錯誤是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆；②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則；③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個因式；④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；⑤單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式.二、單項式與多項式相乘單項式乘以多項式，是通過乘法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm．單項式與多項式相乘時要注意以下幾點(diǎn)：①單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同；②運(yùn)算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；③在混合運(yùn)算時，要注意運(yùn)算順序.三、多項式與多項式相乘多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．多項式與多項式相乘時要注意以下幾點(diǎn)：①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原兩個多項式項數(shù)的積；②多項式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項；③對含有同一個字母的一次項系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘，其二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)等于兩個因式中常數(shù)項的和，常數(shù)項是兩個因式中常數(shù)項的積.即(x+a)(x+b)=x2+（a+b)x+ab．對于一次項系數(shù)不為1的兩個一次二項式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.一、不含某一項按正常的計算法則去計算，然后不包含那一項，只需要讓那一項的系數(shù)為0即可.二、看錯題，求正確結(jié)果先按看錯的去計算，求出參數(shù)的值，然后代入，求出正確結(jié)果即可.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、計算單項式乘單項式例題1．計算：．【答案】【解析】．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．計算：．【答案】【解析】，故答案為：．2．計算：（1）；（2）；（3）．【答案】；；【解析】（1）；（2）；（3）．故答案為：；；．考點(diǎn)二、利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值例題2．若，則的值為__________．【答案】4【解析】因?yàn)?，所以，所以①，②．所以，得．故答案為?．【變式訓(xùn)練】1．若單項式與的積為，則．【答案】-2【解析】由題意，得，，則．故答案為：-2．考點(diǎn)三、計算單項式乘多項式及求值例題3．先化簡，再求值：，其中．【解析】，當(dāng)時，原式．【變式訓(xùn)練】1．先化簡，再求值：，其中．【解析】，當(dāng)時，原式．考點(diǎn)四、單項式乘多項式的應(yīng)用例題4．如圖，正方形和正方形的邊長分別為a，b．(1)用含a，b的代數(shù)式表示陰影部分的面積．(2)當(dāng)，時，陰影部分的面積是多少？【解析】（1）因?yàn)檎叫魏驼叫蔚倪呴L分別為a，b，所以；（2）當(dāng)，時，．【變式訓(xùn)練】1．學(xué)校課外學(xué)習(xí)小組想靠著一面足夠長的舊墻，開墾一塊長方形的實(shí)驗(yàn)田，如圖所示，實(shí)驗(yàn)田的一邊靠墻，另外三邊用竹籬笆圍起來，并在平行于墻的一邊上留1米寬裝門，已知現(xiàn)有竹籬笆長共27米．(1)設(shè)垂直于墻面的一邊長為米，則邊的長用含的代數(shù)式可表示為______米；(2)用含的代數(shù)式來表示實(shí)驗(yàn)田的面積；(3)當(dāng)時，實(shí)驗(yàn)田面積為多少平方米？【解析】（1）米，故答案為：；（2）因?yàn)椋?，所以平方米；?）當(dāng)時，（平方米）．考點(diǎn)五、利用單項式乘多項式求字母的值例題5．若對任意都成立，則．【答案】1【解析】，，，因?yàn)樵阶訉θ我舛汲闪?，所以，，解得，，所以．故答案為?．【變式訓(xùn)練】1．若，則的值為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，故答案為：?．若，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以．故答案為．考點(diǎn)六、計算多項式乘多項式例題6．計算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【變式訓(xùn)練】1．計算：．【解析】．考點(diǎn)七、(x+p)(x+q)型多項式乘法例題7．計算：．【解析】．【變式訓(xùn)練】1．已知，則，．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，，故答案為：，?．若，則．【答案】12【解析】因?yàn)?，所以，，故答案為：．考點(diǎn)八、已知多項式乘積不含某項，求字母的值例題8．已知關(guān)于x的多項式與的積不含項和項，求常數(shù)m，n的值．【解析】因?yàn)?，又因?yàn)榉e中不含項和項，所以，，解得，．【變式訓(xùn)練】1．若關(guān)于的多項式不含二次項和一次項．(1)求的值；(2)求．【解析】（1）因?yàn)槎囗検讲缓雾椇鸵淮雾?，所以，，解得，．?）由（1）可得，，所以．2．若的積中不含項與項，(1)求、的值；(2)求代數(shù)式的值．【解析】（1）積中不含有項與項所以p-3=0,pq+1=0，解得p=3,；（2）將，代入，得．考點(diǎn)九、多項式乘多項式——化簡求值例題9．化簡求值：，其中，．【解析】，當(dāng)，時，原式．【變式訓(xùn)練】1．先化簡再求值：，其中．【解析】，因?yàn)?，所以原式．考點(diǎn)十、多項式乘多項式與圖形面積結(jié)合例題10．如圖，從一個長方形鐵皮中剪去一個小正方形，長方形的長為（2a+b）米，寬為（a+b）米，正方形的邊長為a米．（1）求剩余鐵皮的面積；（2）當(dāng)a=3，b=2時，求剩余鐵皮的面積．【解析】（1）因?yàn)閺囊粋€長方形鐵皮中剪去一個小正方形，所以剩余鐵皮的面積為（a+b）（2a+b）–a×a，化簡得a2+3ab+b2，即剩余鐵皮的面積為（a2+3ab+b2）平方米；（2）將a=3，b=2代入a2+3ab+b2，得32+3×3×2+22=31，所以剩余鐵皮的面積為31平方米．【變式訓(xùn)練】1．為貫徹落實(shí)《“健康中國”2030規(guī)劃綱要》，河南省制定了《河南省“十四五”體育發(fā)展規(guī)劃》《規(guī)劃》中提到為使全民健身公共服務(wù)體系更加健全，到2025年，人均體育場地面積要達(dá)到平方米，競技體育綜合實(shí)力要有明顯提高．如圖是一塊長米，寬米的長方形地塊，鄭州市發(fā)改委計劃在陰影部分鋪設(shè)塑膠跑道，中間修建一個邊長為米的正方形足球場地．(1)塑膠跑道的面積是多少平方米？（用含a，b的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)，時，求塑膠跑道的面積．【解析】（1）塑膠跑道的面積：，所以塑膠跑道的面積是平方米．（2）當(dāng)，時，原式（平方米），所以當(dāng)，時，求塑膠跑道的面積為平方米．考點(diǎn)十一、多項式乘法中的規(guī)律性問題例題11．探索題：，，，，……(1)當(dāng)時，＝．(2)試求：的值．【解析】（1）當(dāng)時，，（2）根據(jù)題意可得：，則．【變式訓(xùn)練】1．觀察以下等式：；；；…(1)按以上等式的規(guī)律，填空：(a+b)(__________)=a3+b3；(2)利用多項式的乘法法則，證明(1)中的等式成立；(3)利用(1)中的公式化簡：.【解析】(1)；故答案為：；(2)；(3)．考點(diǎn)十二、整式乘法混合運(yùn)算例題12．計算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．【變式訓(xùn)練】1．計算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．過關(guān)檢測一、選擇題1．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．若，則m，n的值分別是（

）A． B． C． D．3．要使多項式與的乘積中不出現(xiàn)一次項，那么下列各式正確的是（

）A． B． C． D．4．如圖，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)給出了四種表示該長方形面積的算式：①；②；③；④．你認(rèn)為其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．在矩形內(nèi)，將兩張邊長分別為和的正方形紙片按圖1、圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為．當(dāng)時，的值為（

）A． B． C． D．二、填空題6．計算：．7．若且，則代數(shù)式的值等于．8．若的結(jié)果中，x的系數(shù)是，則．9．設(shè)，為任意實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算：，則．10．小楊為一個長方形娛樂場所提供了如圖所示的設(shè)計方案，其中半圓形休息區(qū)和長方形游泳區(qū)外的地方都是綠地．這個娛樂場所的長與寬之間滿足，而小楊設(shè)計的長方形游泳區(qū)的長和寬分別為和，其中，，請用含的代數(shù)式表示綠地的面積為．三、問答題11．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．12．先化簡，再求值：(1)，其中；(2)，其中．13．已知展開式中不含和項．(1)求，的值；(2)當(dāng)，取第（1）小題的值時，求的值．14．如圖，學(xué)校操場主席臺前計劃修建一塊凹字形花壇．（單位：米）(1)用含a，b的整式表示花壇的面積（陰影部分）；(2)若3，工程費(fèi)為500元/平方米，求建花壇的總工程費(fèi)為多少元．15．對于任何數(shù)，我們規(guī)定：．例如：．(1)按照這個規(guī)定，請你化簡：；(2)按照這個規(guī)定，當(dāng)時，求的值．

第04講整式的乘法思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.計算單項式乘單項式2.利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值3.計算單項式乘多項式及求值4.單項式乘多項式的應(yīng)用5.利用單項式乘多項式求字母的值6.計算多項式乘多項式7.(x+p)(x+q)型多項式乘法8.已知多項式乘積不含某項，求字母的值9.多項式乘多項式——化簡求值10.多項式乘多項式與圖形面積結(jié)合11.多項式乘法中的規(guī)律性問題12.整式乘法混合運(yùn)算一、單項式與單項式相乘單項式乘法法則：單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式.單項式乘法法則在運(yùn)用時要注意以下幾點(diǎn)：①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)積，先確定符號，再計算絕對值.這時容易出現(xiàn)的錯誤是，將系數(shù)相乘與指數(shù)相加混淆；②相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則；③只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)作為積的一個因式；④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用；⑤單項式乘以單項式，結(jié)果仍是一個單項式.二、單項式與多項式相乘單項式乘以多項式，是通過乘法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，即單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm．單項式與多項式相乘時要注意以下幾點(diǎn)：①單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同；②運(yùn)算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號；③在混合運(yùn)算時，要注意運(yùn)算順序.三、多項式與多項式相乘多項式與多項式相乘，先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．多項式與多項式相乘時要注意以下幾點(diǎn)：①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原兩個多項式項數(shù)的積；②多項式相乘的結(jié)果應(yīng)注意合并同類項；③對含有同一個字母的一次項系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘，其二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)等于兩個因式中常數(shù)項的和，常數(shù)項是兩個因式中常數(shù)項的積.即(x+a)(x+b)=x2+（a+b)x+ab．對于一次項系數(shù)不為1的兩個一次二項式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.一、不含某一項按正常的計算法則去計算，然后不包含那一項，只需要讓那一項的系數(shù)為0即可.二、看錯題，求正確結(jié)果先按看錯的去計算，求出參數(shù)的值，然后代入，求出正確結(jié)果即可.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、計算單項式乘單項式例題1．計算：．【答案】【解析】．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．計算：．【答案】【解析】，故答案為：．2．計算：（1）；（2）；（3）．【答案】；；【解析】（1）；（2）；（3）．故答案為：；；．考點(diǎn)二、利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值例題2．若，則的值為__________．【答案】4【解析】因?yàn)椋?，所以①，②．所以，得．故答案為?．【變式訓(xùn)練】1．若單項式與的積為，則．【答案】-2【解析】由題意，得，，則．故答案為：-2．考點(diǎn)三、計算單項式乘多項式及求值例題3．先化簡，再求值：，其中．【解析】，當(dāng)時，原式．【變式訓(xùn)練】1．先化簡，再求值：，其中．【解析】，當(dāng)時，原式．考點(diǎn)四、單項式乘多項式的應(yīng)用例題4．如圖，正方形和正方形的邊長分別為a，b．(1)用含a，b的代數(shù)式表示陰影部分的面積．(2)當(dāng)，時，陰影部分的面積是多少？【解析】（1）因?yàn)檎叫魏驼叫蔚倪呴L分別為a，b，所以；（2）當(dāng)，時，．【變式訓(xùn)練】1．學(xué)校課外學(xué)習(xí)小組想靠著一面足夠長的舊墻，開墾一塊長方形的實(shí)驗(yàn)田，如圖所示，實(shí)驗(yàn)田的一邊靠墻，另外三邊用竹籬笆圍起來，并在平行于墻的一邊上留1米寬裝門，已知現(xiàn)有竹籬笆長共27米．(1)設(shè)垂直于墻面的一邊長為米，則邊的長用含的代數(shù)式可表示為______米；(2)用含的代數(shù)式來表示實(shí)驗(yàn)田的面積；(3)當(dāng)時，實(shí)驗(yàn)田面積為多少平方米？【解析】（1）米，故答案為：；（2）因?yàn)?，，所以平方米；?）當(dāng)時，（平方米）．考點(diǎn)五、利用單項式乘多項式求字母的值例題5．若對任意都成立，則．【答案】1【解析】，，，因?yàn)樵阶訉θ我舛汲闪?，所以，，解得，，所以．故答案為?．【變式訓(xùn)練】1．若，則的值為．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，故答案為：?．若，則．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以．故答案為．考點(diǎn)六、計算多項式乘多項式例題6．計算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【變式訓(xùn)練】1．計算：．【解析】．考點(diǎn)七、(x+p)(x+q)型多項式乘法例題7．計算：．【解析】．【變式訓(xùn)練】1．已知，則，．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，，故答案為：，?．若，則．【答案】12【解析】因?yàn)椋?，，故答案為：．考點(diǎn)八、已知多項式乘積不含某項，求字母的值例題8．已知關(guān)于x的多項式與的積不含項和項，求常數(shù)m，n的值．【解析】因?yàn)椋忠驗(yàn)榉e中不含項和項，所以，，解得，．【變式訓(xùn)練】1．若關(guān)于的多項式不含二次項和一次項．(1)求的值；(2)求．【解析】（1）因?yàn)槎囗検讲缓雾椇鸵淮雾?，所以，，解得，．?）由（1）可得，，所以．2．若的積中不含項與項，(1)求、的值；(2)求代數(shù)式的值．【解析】（1）積中不含有項與項所以p-3=0,pq+1=0，解得p=3,；（2）將，代入，得．考點(diǎn)九、多項式乘多項式——化簡求值例題9．化簡求值：，其中，．【解析】，當(dāng)，時，原式．【變式訓(xùn)練】1．先化簡再求值：，其中．【解析】，因?yàn)椋栽剑键c(diǎn)十、多項式乘多項式與圖形面積結(jié)合例題10．如圖，從一個長方形鐵皮中剪去一個小正方形，長方形的長為（2a+b）米，寬為（a+b）米，正方形的邊長為a米．（1）求剩余鐵皮的面積；（2）當(dāng)a=3，b=2時，求剩余鐵皮的面積．【解析】（1）因?yàn)閺囊粋€長方形鐵皮中剪去一個小正方形，所以剩余鐵皮的面積為（a+b）（2a+b）–a×a，化簡得a2+3ab+b2，即剩余鐵皮的面積為（a2+3ab+b2）平方米；（2）將a=3，b=2代入a2+3ab+b2，得32+3×3×2+22=31，所以剩余鐵皮的面積為31平方米．【變式訓(xùn)練】1．為貫徹落實(shí)《“健康中國”2030規(guī)劃綱要》，河南省制定了《河南省“十四五”體育發(fā)展規(guī)劃》《規(guī)劃》中提到為使全民健身公共服務(wù)體系更加健全，到2025年，人均體育場地面積要達(dá)到平方米，競技體育綜合實(shí)力要有明顯提高．如圖是一塊長米，寬米的長方形地塊，鄭州市發(fā)改委計劃在陰影部分鋪設(shè)塑膠跑道，中間修建一個邊長為米的正方形足球場地．(1)塑膠跑道的面積是多少平方米？（用含a，b的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)，時，求塑膠跑道的面積．【解析】（1）塑膠跑道的面積：，所以塑膠跑道的面積是平方米．（2）當(dāng)，時，原式（平方米），所以當(dāng)，時，求塑膠跑道的面積為平方米．考點(diǎn)十一、多項式乘法中的規(guī)律性問題例題11．探索題：，，，，……(1)當(dāng)時，＝．(2)試求：的值．【解析】（1）當(dāng)時，，（2）根據(jù)題意可得：，則．【變式訓(xùn)練】1．觀察以下等式：；；；…(1)按以上等式的規(guī)律，填空：(a+b)(__________)=a3+b3；(2)利用多項式的乘法法則，證明(1)中的等式成立；(3)利用(1)中的公式化簡：.【解析】(1)；故答案為：；(2)；(3)．考點(diǎn)十二、整式乘法混合運(yùn)算例題12．計算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．【變式訓(xùn)練】1．計算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．過關(guān)檢測一、選擇題1．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故選D．2．若，則m，n的值分別是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，所以，，故選D．3．要使多項式與的乘積中不出現(xiàn)一次項，那么下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因?yàn)槎囗検脚c的乘積中不出現(xiàn)一次項，所以，故選A．4．如圖，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)給出了四種表示該長方形面積的算式：①；②；③；④．你認(rèn)為其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①根據(jù)長方形的面積等于6個長方形的面積之和，得，故①正確，②根據(jù)長方形的面積等于左邊、中間及右邊的長方形面積之和，得，故②正確；③根據(jù)長方形的面積等于上下兩個長方形面積之和，得，故③正確；④根據(jù)長方形的面積公式，得，故④正確；則正確的有①②③④，共4個．故選D．5．在矩形內(nèi)，將兩張邊長分別為和的正方形紙片按圖1、圖2兩種方式放置（圖1