專題1.1.2集合的基本關(guān)系重難點題型專訓（3個知識點+9大題型+2大拓展訓練+自我檢測）題型一判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)題型二求集合的子集(真子集)題型三判斷兩個集合的包含關(guān)系題型四根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)題型五判斷兩個集合是否相等題型六根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)題型七空集的概念以及判斷題型八空集的性質(zhì)及應(yīng)用題型九根據(jù)集合相等關(guān)系進行計算拓展訓練一集合間關(guān)系的求參問題拓展訓練二子集（真子集）與空集的性質(zhì)及應(yīng)用知識點一：子集①概念

對于兩個集合A，B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集(subset).

記作：A?B(或B?A)，讀作：A包含于B，或B包含A.

當集合A不包含于集合②Venn圖

【即時訓練】1．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習）定義集合運算，若，則集合的子集個數(shù)為（）A．14 B．0 C．31 D．322．（23-24高一上·天津濱海新·期中）已知集合，則集合的子集有.知識點二：真子集概念：若集合A?B，但存在元素x∈B且x?A，則稱集合A是集合B的真子集.

記作：A?B(或B?A)

(有些地方?用?或?表示)讀作：A真包含于B(或B真包含A)

類比?與?的關(guān)系就好比≤與小于<的關(guān)系，"≤"是小于或等于，"?"是真包含或相等Eg：3≤3是對的，而3<3是錯的，若a<b，則a≤b也成立；對比下，A?A是對的，但A?A是錯的，若A?B，則【即時訓練】1．（24-25高三上·江西宜春·期末）集合的真子集的個數(shù)是（

）A．15 B．8 C．7 D．632．（22-23高一上·浙江·階段練習）集合的非空真子集有個．知識點三：集合相等如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A與集合B相等．即A?B且B?A?A=B.幾個結(jié)論①空集是任何集合的子集：??A；

②空集是任何非空集合的真子集；

③任何一個集合是它本身的子集；

④對于集合A,B,C，如果A?B且B?C，那么A?C；

⑤集合中有n個元素，則子集的個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2【即時訓練】1．（24-25高一上·福建泉州·階段練習）若集合是與的公倍數(shù)，，，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．以上選項均不正確2．（24-25高一上·廣西欽州·階段練習）已知集合，若，則.【經(jīng)典例題一判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)】【例1】（2025·廣東深圳·二模）已知集合的子集中含有3個元素的子集記為.記為集合中的最小元素，若，則（

）A．55 B．70 C．89 D．630【例2】（23-24高三上·江蘇泰州·開學考試）設(shè)集合，集合，滿足，且.(1)若，求滿足條件的集合的個數(shù)；(2)對任意的滿足條件的及，求集合的個數(shù).1．（24-25高一上·北京通州·期中）設(shè)集合為非空集合，且，若，則，滿足上述條件的集合的個數(shù)為（

）A．12 B．15 C．31 D．322．（多選題）（2025高三·全國·專題練習）已知集合，則（

）A．滿足的數(shù)列的所有項構(gòu)成的集合是集合A的子集B．滿足的數(shù)列的所有項構(gòu)成的集合是集合A的子集C．若m，，則D．若m，，則3．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎?，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c滿足，則符合要求的集合P個數(shù)是.4．（23-24高二下·河南·階段練習）若集合，集合，其中，則稱集合是集合的一個“元子集”.若“元子集”中的元素滿足對任意，恒有，則稱為的一個“個性獨立子集”.已知集合，集合是的一個“個性獨立子集”.(1)求所有滿足條件的集合的個數(shù)；(2)若且互不相等，證明：為定值.【經(jīng)典例題二求集合的子集(真子集)】【例1】（23-24高一上·河南鄭州·階段練習）含有有限個元素的數(shù)集，定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從小到大的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù)，例如的交替和是；而的交替和是5，則集合的所有非空子集的交替和的總和為（

）A．12 B．32 C．80 D．192【例2】（23-24高一上·山西太原·階段練習）寫出集合P的所有子集，其中.1．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）滿足條件??M?{a，b，c}的集合M共有（）A．3個 B．6個 C．7個 D．8個2．（多選題）（24-25高一上·遼寧·階段練習）我們將數(shù)集的任意一個非空子集中的各元素之和稱為的一個子集和（若的子集只有一個元素，則該元素為的一個子集和）.若有限數(shù)集中的元素均為正整數(shù)，且的任何兩個子集和均不相等，則稱為異和型集，下列結(jié)論正確的是（

）A．集合的一個子集和可能為5B．存在含有4個元素的異和型集，其元素均小于9C．集合為異和型集D．任意一個含有個元素的異和型集，其元素之和不小于3．（24-25高一上·上海·階段練習）記為集合中所有元素之和，對于集合，，則所有之和等于.4．（24-25高三上·山東·期中）已知集合，集合，記的元素個數(shù)為.若集合中存在三個元素，，，使得，則稱為“理想集”.(1)若，分別判斷集合，是否為“理想集”（不需要說明理由）；(2)若，寫出所有的“理想集”的個數(shù)并列舉；(3)若，證明：集合必為“理想集”.【經(jīng)典例題三判斷兩個集合的包含關(guān)系】【例1】（24-25高二上·云南保山·階段練習）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【例2】（24-25高一上·陜西商洛·期中）已知集合.(1)判斷5，12，14是否屬于，并說明理由；(2)集合，證明：；(3)寫出集合中的所有偶數(shù).1．（24-25高一上·天津北辰·階段練習）設(shè)，，，那么集合M，P，Q的關(guān)系是（

）A． B． C． D．2．（多選題）（22-23高一下·江蘇蘇州·開學考試）已知集合，非空集合，下列條件能夠使得的是（

）A． B．C． D．且3．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）若集合，，則與的關(guān)系是．4．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習）已知集合．(1)判斷10，11，12是否屬于集合A；(2)若集合，證明：；(3)寫出所有滿足集合A的偶數(shù)構(gòu)成的集合，并說明理由．【經(jīng)典例題四根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)】【例1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【例2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知或.若或，，求的取值范圍.（2）若，，求的取值范圍.1．（2025·河南·二模）已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（多選題）（24-25高三上·遼寧·期末）已知集合，，若，則的值可能是（

）A． B． C．1 D．33．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，若，則的取值范圍為.4．（23-24高一上·江蘇南通·開學考試）已知集合，，，問是否存在實數(shù)，同時滿足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，請說明理由.【經(jīng)典例題五判斷兩個集合是否相等】【例1】（24-25高一上·山東泰安·階段練習）下列每組集合是相等集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【例2】（2025高三·全國·專題練習）集合，，試證：．1．（22-23高一上·福建廈門·階段練習）下列各組集合表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2024高三·全國·專題練習）已知集合，則（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·上海·期中）是有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．與集合相等的集合序號是.4．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知集合其中函數(shù)（1）若，求集合；（2）若是單元素集，則、之間的關(guān)系如何？（3）一般情況下，猜想與之間的關(guān)系，并給予證明.【經(jīng)典例題六根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)】【例1】（23-24高一上·全國·期末）已知，，若集合，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【例2】（24-25高一上·河北保定·階段練習）設(shè)，若集合，求的值.1．（24-25高一下·湖北黃石·階段練習）設(shè)集合，，若，則的值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．3．（24-25高一上·安徽·期中）若，則．4．（24-25高一上·山西太原·階段練習）已知集合，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【經(jīng)典例題七空集的概念以及判斷】【例1】（23-24高一上·遼寧·階段練習）滿足下面兩個條件的整數(shù)的所有取值之和為（

）①關(guān)于的不等式組的解集為；②關(guān)于，的二元一次方程組有正整數(shù)解（，均為正整數(shù)）．A．9 B．8 C．7 D．6【例2】（24-25高一上·河北·階段練習）已知集合，，（1）若A為空集，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若B是A的真子集，求實數(shù)a的取值范圍.1．（2024·全國·一模）下列四個集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．2．（多選題）（22-23高一上·江西南昌·階段練習）下列集合是空集的是（

）A．B．C．D．3．（2024高一上·江蘇·專題練習）已知集合，且，則實數(shù)m的取值范圍是.4．（22-23高一上·遼寧朝陽·階段練習）已知集合，或．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【經(jīng)典例題八空集的性質(zhì)及應(yīng)用】【例1】（24-25高一上·新疆·期中）下列四個關(guān)系式中正確的個數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．4【例2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）集合，，若集合中至少有一個非空集合，求實數(shù)的取值范圍.1．（22-23高一上·天津和平·階段練習）下列四個說法中，正確的有（

）①空集沒有子集；②空集是任何集合的真子集；③若，則；④任何集合至少有兩個子集．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個2．（多選題）（24-25高一上·廣東汕尾·期末）已知集合，且，則實數(shù)的取值可以為（

）A． B．0 C．1 D．23．（24-25高一上·廣西玉林·期中）設(shè)集合A={}，B={x}，且AB，則實數(shù)k的取值范圍是(寫成集合形式).4．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知三個集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同時滿足，C?A的實數(shù)a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題九根據(jù)集合相等關(guān)系進行計算】【例1】（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）已知集合，若下列三個關(guān)系有且只有一個正確：①；②；③，則（

）A．2 B．3 C．5 D．8【例2】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）若，求的值.1．（24-25高三上·江西贛州·期中）已知、，若，則的值為（

）A． B．0 C． D．或2．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）已知集合，集合，若，則（

）A． B． C．或 D．或3．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若集合，且，則的值為．4．（23-24高一上·上海·期中）已知實數(shù)R的子集均滿足規(guī)律：，已知數(shù)集具有性質(zhì)P：對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于A（如與中至少有一個屬于A）.(1)求證：集合不可能為單元素集；(2)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)P，并說明理由；(3)數(shù)集A中的_____集合（選填“”或“”），請寫出一個自然數(shù)：________，使其不可能屬于集合；(4)證明：.【拓展訓練一集合間關(guān)系的求參問題】【例1】（24-25高一上·廣東廣州·階段練習）設(shè)集合，，那么（

）A． B． C． D．【例2】（24-25高一上·河北廊坊·階段練習）設(shè)集合，．(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍1．（24-25高一上·重慶北碚·期中）已知集合其中，，其中則與的關(guān)系為A． B． C． D．2．（多選題）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）對于集合，給出以下結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）設(shè)集合，（，）且A中任意兩數(shù)之和不能被5整除，則n的最大值為.4．（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合A包含有個元素，．(1)若，寫出；(2)寫出一個，使得；(3)當時，是否存在集合A，使得？若存在，求出此時的集合A，若不存在，請說明理由．【拓展訓練二子集（真子集）與空集的性質(zhì)及應(yīng)用】【例1】（23-24高一上·湖北孝感·階段練習）定義：若一個位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù).已知集合，是自戀數(shù)，則的真子集個數(shù)為（

）A．7 B．15 C．31 D．63【例2】（24-25高一上·上海徐匯·期中）已知集合為非空數(shù)集，定義：，.(1)若集合，求證：，并直接寫出集合；(2)若集合，，且，求證：；(3)若集合，，記為集合中元素的個數(shù)，求的最大值.1．（2024高三上·河北衡水·專題練習）對于任意兩個正整數(shù)，定義某種運算，法則如下：當都是正奇數(shù)時，；當不全為正奇數(shù)時，，則在此定義下，集合的真子集的個數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·江西贛州·階段練習）下列四個集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）設(shè)集合，選擇的兩個非空子集和，要使中最小的數(shù)大于中最大的數(shù)，滿足這樣條件的一個集合A與對應(yīng)的一個集合B稱為一組合，則不同的組合共有種．4．（24-25高二下·浙江寧波·期中）對于含有有限個元素的非空數(shù)集，定義其“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從小到大的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地減，加后繼的數(shù)，例如的“交替和”是的“交替和”是5.(1)求集合的所有非空子集的交替和的總和；(2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的總和；(3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的總和.1．（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知集合，，若，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．162．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習）已知集合，，，則的關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·天津濱海新·期中）已知集合，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·重慶沙坪壩·階段練習）若，則的值是（

）A． B．0 C．1 D．25．（24-25高三上·河南·階段練習）已知集合，若，則（

）A． B．0 C．1 D．26．（多選題）（22-23高一上·四川宜賓·階段練習）已知集合恰有4個子集，則的值可能為（

）A． B． C．0 D．17．（多選題）（23-24高三下·浙江·開學考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．8．（多選題）（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）已知，則的值可以為（

）A．1 B．6 C．8 D．109．（多選題）（23-24高一上·山東·期中）已知集合，且，則實數(shù)可能的取值是（

）A． B．0 C．-1 D．10．（多選題）（23-24高二下·重慶·期末）下列說法中正確的是（

）A．任何集合都是它自身的真子集B．集合共有4個子集C．集合D．集合11．（24-25高一上·江西上饒·階段練習）已知集合，對于它的任一非空子集A，可以將A中的每一個元素k都乘以再求和，例如，則可求得和為，對S的所有非空子集，這些和的總和為.（用數(shù)字作答）12．（24-25高二下·遼寧遼陽·期末）設(shè)集合，若，則．13．（23-24高三上·上海楊浦·階段練習）設(shè)是有理數(shù)，集合，在下列集合中：①；②；③；④；與相等的集合的序號是14．（24-25高一上·廣東揭陽·階段練習）若集合，則實數(shù)的取值范圍是.15．（23-24高二下·湖南常德·階段練習）若集合，且下列四個關(guān)系：（1）；（2）；（3）；（4）有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數(shù)組的個數(shù)是.16．（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）定義：若任意（可以相等），都有，則集合稱為集合的生成集．(1)求集合的生成集；(2)若集合，的生成集為，的子集個數(shù)為4個，求實數(shù)的值；(3)若集合，的生成集為，求證．17．（24-25高一上·北京東城·期末）已知集合中都至少有個元素，且，滿足：①，且，總有；②，且，總有．(1)若集合，直接寫出所有滿足條件的集合；(2)已知，（?。┤?，且，求證：．（ⅱ）求證：．18．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知集合.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若且，求實數(shù)的取值范圍.19．（23-24高一上·北京順義·階段練習）已知為實數(shù)數(shù)組，定義集合，給定正整數(shù)m，若，則稱A為連續(xù)生成數(shù)組．(1)判斷是否為連續(xù)生成數(shù)組？是否為連續(xù)生成數(shù)組？說明理由；(2)若為連續(xù)生成數(shù)組，求的值，并說明理由；(3)數(shù)組是否為連續(xù)生成數(shù)組？說明理由．20．（24-25高一上·上海普陀·期中）已知集合，，，對任意，定義.若存在正整數(shù)，使得對任意，都有，則稱集合具有性質(zhì).如集合、都具有性質(zhì).記是集合中的最大值.(1)判斷集合和集合是否具有性質(zhì)（直接寫出結(jié)論）；(2)若集合具有性質(zhì)，求證：和；(3)若集合具有性質(zhì)，求證：.

專題1.1.2集合的基本關(guān)系重難點題型專訓（3個知識點+9大題型+2大拓展訓練+自我檢測）題型一判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)題型二求集合的子集(真子集)題型三判斷兩個集合的包含關(guān)系題型四根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)題型五判斷兩個集合是否相等題型六根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)題型七空集的概念以及判斷題型八空集的性質(zhì)及應(yīng)用題型九根據(jù)集合相等關(guān)系進行計算拓展訓練一集合間關(guān)系的求參問題拓展訓練二子集（真子集）與空集的性質(zhì)及應(yīng)用知識點一：子集①概念

對于兩個集合A，B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集(subset).

記作：A?B(或B?A)，讀作：A包含于B，或B包含A.

當集合A不包含于集合②Venn圖

【即時訓練】1．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習）定義集合運算，若，則集合的子集個數(shù)為（）A．14 B．0 C．31 D．32【答案】D【分析】列舉出滿足條件的元素a，b并求出其和，據(jù)互異性，即可得出新集合的元素個數(shù)，進一步求出其子集個數(shù).【詳解】因為，且，所以，可知集合中共有5個元素，所以集合的所有子集的個數(shù)為.故選：D.2．（23-24高一上·天津濱海新·期中）已知集合，則集合的子集有.【答案】，，，【分析】先求出集合，再列出它的子集即可.【詳解】∵，所以集合的子集有：，，，.故答案為：，，，知識點二：真子集概念：若集合A?B，但存在元素x∈B且x?A，則稱集合A是集合B的真子集.

記作：A?B(或B?A)

(有些地方?用?或?表示)讀作：A真包含于B(或B真包含A)

類比?與?的關(guān)系就好比≤與小于<的關(guān)系，"≤"是小于或等于，"?"是真包含或相等Eg：3≤3是對的，而3<3是錯的，若a<b，則a≤b也成立；對比下，A?A是對的，但A?A是錯的，若A?B，則【即時訓練】1．（24-25高三上·江西宜春·期末）集合的真子集的個數(shù)是（

）A．15 B．8 C．7 D．63【答案】C【分析】根據(jù)條件求解的范圍，結(jié)合，得到集合為，寫出其真子集即得解.【詳解】由于，，又，，，即集合，該集合的所有真子集為，該集合的真子集個數(shù)為，故選：C.2．（22-23高一上·浙江·階段練習）集合的非空真子集有個．【答案】30【分析】首先用列舉法表示集合，即可得到其元素的個數(shù)，再根據(jù)含有個元素的集合的非空真子集有個計算可得.【詳解】解：因為，所以集合含有個元素，則其非空真子集有個；故答案為：知識點三：集合相等如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A與集合B相等．即A?B且B?A?A=B.幾個結(jié)論①空集是任何集合的子集：??A；

②空集是任何非空集合的真子集；

③任何一個集合是它本身的子集；

④對于集合A,B,C，如果A?B且B?C，那么A?C；

⑤集合中有n個元素，則子集的個數(shù)為2n，真子集的個數(shù)為2【即時訓練】1．（24-25高一上·福建泉州·階段練習）若集合是與的公倍數(shù)，，，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．以上選項均不正確【答案】C【分析】根據(jù)是的倍數(shù)，，即可求解.【詳解】由于是與的公倍數(shù),，故是的倍數(shù),，,故，故選：C2．（24-25高一上·廣西欽州·階段練習）已知集合，若，則.【答案】【分析】根據(jù)建立方程，求解出參數(shù)，得到答案即可.【詳解】因為集合，所以，解得，從而故答案為：【經(jīng)典例題一判斷集合的子集(真子集)的個數(shù)】【例1】（2025·廣東深圳·二模）已知集合的子集中含有3個元素的子集記為.記為集合中的最小元素，若，則（

）A．55 B．70 C．89 D．630【答案】A【分析】用列舉法找出滿足條件的子集即可.【詳解】最小元素是2的有，共10個；最小元素是3的有，共6個；最小元素是4的有，共3個；最小元素是5的有，共1個，所以.故選：A【例2】（23-24高三上·江蘇泰州·開學考試）設(shè)集合，集合，滿足，且.(1)若，求滿足條件的集合的個數(shù)；(2)對任意的滿足條件的及，求集合的個數(shù).【答案】(1)16個；(2).【分析】（1）時，可得出，根據(jù)條件，可分別求出時，集合的個數(shù)，再求和即可；（2）當時，分別求出時，集合的個數(shù)，再求和即可.【詳解】（1）解：當時，；∵，∴或，當時，和可分別為2和4,3和5,4和6；此時對應(yīng)的分別有1個，2個和3個；當時，和可分別為2和3,3和4,4和5,5和6；此時對應(yīng)的分別有1個，2個，3個和4個；∴集合的個數(shù)個；（2）解：當時，若時，則和可分別為2和4,3和5,…，和，此時對應(yīng)的分別有1個，2個，…，個，共有個；同理，時，則和可分別為2和3,3和4,…，和，此時對應(yīng)的分別有1個，2個，3個，…，個，共有個；∴集合的個數(shù)為：.故集合的個數(shù)為.1．（24-25高一上·北京通州·期中）設(shè)集合為非空集合，且，若，則，滿足上述條件的集合的個數(shù)為（

）A．12 B．15 C．31 D．32【答案】B【分析】寫出72在大于3時的全部因數(shù)，為了滿足題意集合中的元素需要成對出現(xiàn)，所以看作只有4個元素的集合，求非空子集的個數(shù)即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴滿足“，則”的的集合是的子集，但3和24，4和18，6和12，8和9需同時出現(xiàn)，∴將集合看作有4個元素，求其非空子集個數(shù)為：.故選：B.2．（多選題）（2025高三·全國·專題練習）已知集合，則（

）A．滿足的數(shù)列的所有項構(gòu)成的集合是集合A的子集B．滿足的數(shù)列的所有項構(gòu)成的集合是集合A的子集C．若m，，則D．若m，，則【答案】AC【分析】對于A由即可判斷，對于B由于即可判斷，對于C存在，，，使得，，計算是否滿足集合即可判斷，對于D驗證是否滿足集合即可判斷.【詳解】對于A：因為對任意的，均有，顯然，，故的所有項構(gòu)成的集合是A的子集，故A正確；對于B：數(shù)列的首項，，a，，故B錯誤；對于C：若m，，則存在，，，使得，，則，故，故C正確；對于D：由C項知，但不一定是整數(shù)，故不一定有，故D錯誤．故選：AC.3．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，集合P是集合M的三元子集，即，P中的元素a，b，c滿足，則符合要求的集合P個數(shù)是.【答案】1012【分析】根據(jù)題中條件先用表示出，得到，再由，求出范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，整理得，所以，故或（舍去），則，所以，令，得，又，，所以符合要求的集合的個數(shù)為.故答案為：1012.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)，用表示出，再由集合滿足的條件，求解即可.4．（23-24高二下·河南·階段練習）若集合，集合，其中，則稱集合是集合的一個“元子集”.若“元子集”中的元素滿足對任意，恒有，則稱為的一個“個性獨立子集”.已知集合，集合是的一個“個性獨立子集”.(1)求所有滿足條件的集合的個數(shù)；(2)若且互不相等，證明：為定值.【答案】(1)1024(2)證明見解析【分析】（1）將集合分成10個2元子集，再從中各取1個元素，進而求得集合的元素，得到其子集的個數(shù)；（2）方法一、設(shè)，由（1）可知，與的關(guān)系為或，得到或，從而證得等式兩邊加上相同項，即可得證；方法二、根據(jù)題意得到，結(jié)合，即可得證.【詳解】（1）將集合分成10個2元子集，，，其中每個集合中兩元素之和均為21，故從中各取1個元素，作為集合的元素，則符合題意，所以集合的個數(shù)為.（2）方法一、設(shè)，是的兩個不同的“個性獨立子集”，且，由（1）可知，通過排序可使得，同理，故當，且時，與的關(guān)系為或，因為，可得或，設(shè)去掉集合中相同的項重新組成的集合分別為，，又因為，故，則，所以，等式兩邊加上相同項，即為定值.方法二、由題意得，即，故，因為，可得，所以為定值.【點睛】方法點睛：與新定義有關(guān)的問題的求解策略：1、通過給出一個新的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.方法點撥：與數(shù)列有關(guān)的問題的求解策略：3、若新定義與數(shù)列有關(guān)，可得利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合數(shù)列的相關(guān)知識進行求解，多通過構(gòu)造的分法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題求解，求解過程靈活運用數(shù)列的性質(zhì)，準確應(yīng)用相關(guān)的數(shù)列知識.4、若新定義與集合的運算有關(guān)，要熟記集合的性質(zhì)以及集合的運算法則，必要時可利用集合的韋恩圖，更加直觀的求解.【經(jīng)典例題二求集合的子集(真子集)】【例1】（23-24高一上·河南鄭州·階段練習）含有有限個元素的數(shù)集，定義“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從小到大的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù)，例如的交替和是；而的交替和是5，則集合的所有非空子集的交替和的總和為（

）A．12 B．32 C．80 D．192【答案】B【分析】求出集合的所有非空子集，再利用交替和的定義求解即得.【詳解】集合的所有非空子集為，所以交替和的總和為.故選：B【例2】（23-24高一上·山西太原·階段練習）寫出集合P的所有子集，其中.【答案】，，，【分析】依次寫出集合P中的所有元素，，即可寫出其所有子集.【詳解】由題可解得，所有子集分為：沒有元素：；一個元素：；兩個元素：；三個元素：；四個元素：.所以，所有子集為：，，，【點睛】此題考查求集合中的元素和寫出集合的子集，其中要求根據(jù)題目條件準確寫出集合中的元素，根據(jù)集合中元素個數(shù)分別寫出子集，做到不重不漏.1．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）滿足條件??M?{a，b，c}的集合M共有（）A．3個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】B【分析】利用真子集定義、列舉法能求出滿足條件??M?{a，b，c}的集合M的個數(shù).【詳解】解：滿足條件??M?{a，b，c}的集合M有：{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.共6個，∴滿足條件??M?{a，b，c}的集合M共有6個.故選：B.2．（多選題）（24-25高一上·遼寧·階段練習）我們將數(shù)集的任意一個非空子集中的各元素之和稱為的一個子集和（若的子集只有一個元素，則該元素為的一個子集和）.若有限數(shù)集中的元素均為正整數(shù)，且的任何兩個子集和均不相等，則稱為異和型集，下列結(jié)論正確的是（

）A．集合的一個子集和可能為5B．存在含有4個元素的異和型集，其元素均小于9C．集合為異和型集D．任意一個含有個元素的異和型集，其元素之和不小于【答案】ABD【分析】根據(jù)本題集合的新定義，逐個判斷即可.【詳解】A選項：，且，故A選項正確；B選項：的子集和為,滿足任何兩個子集和均不相等且元素均小于9，故B選項正確；C選項：的子集與的子集和相等，故不滿足異和型集，故C選項不正確；D選項：當集合含有n個元素的異和型集時，設(shè)設(shè)為數(shù)列的前項和，則，∴要想最小，則，，此時，故D選項正確；故選：ABD3．（24-25高一上·上?！るA段練習）記為集合中所有元素之和，對于集合，，則所有之和等于.【答案】【分析】列舉出所有滿足條件的集合，即可得出所有之和.【詳解】因為集合，，分別列舉出滿足條件的集合（1）若集合只有一個元素，則集合為：、、、、；（2）若集合有兩個元素，則集合為：、、、、、、、、、，在這些集合中，、、、、每個數(shù)都出現(xiàn)次；（3）若集合有個元素，則集合為：、、、、、、、、、，在這些集合中，、、、、每個數(shù)都出現(xiàn)次；（4）若集合有個元素，則集合為：、、、、，在這些集合中，、、、、每個數(shù)都出現(xiàn)次；（5）若集合有個元素，則.綜上所述，所有之和為.故答案為：.4．（24-25高三上·山東·期中）已知集合，集合，記的元素個數(shù)為.若集合中存在三個元素，，，使得，則稱為“理想集”.(1)若，分別判斷集合，是否為“理想集”（不需要說明理由）；(2)若，寫出所有的“理想集”的個數(shù)并列舉；(3)若，證明：集合必為“理想集”.【答案】(1)不是“理想集”，是“理想集”.(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，分別取集合中的三個數(shù)，利用列舉法，可得答案；（2）利用分類討論的思想，根據(jù)集合的元素個數(shù)，結(jié)合元素的大小關(guān)系，可得答案；（3）利用反證法，任意取三個元素，假設(shè)不等式成立，結(jié)合元素之間的大小關(guān)系，可得答案.【詳解】（1）不是“理想集”，是“理想集”.由題意，令，則；令，則；令，則；令，則；所以不是“理想集”.令，則，所以是“理想集”.（2）共16個“理想集”.若，有.當時，若，則，由可知，故或；若，則，由可知，則，故.故含有三個元素的“理想集”，或，共3個.當時，，，，，，，或，共7個.當時，，，，，，共5個.當時，，共1個.綜上所述，所有“理想集”的個數(shù)為16個分別為：，，，，，，，，，，，，，，，.（3）若，記且.利用反證法，假設(shè)對于中任意三個元素，，，均有，則，，，…，.記，于是，則.因此，矛盾.故集合必為“理想集”.【經(jīng)典例題三判斷兩個集合的包含關(guān)系】【例1】（24-25高二上·云南保山·階段練習）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將集合中表達式化為，再由此判斷表達式中分子所表示集合的關(guān)系，即可確定的包含關(guān)系．【詳解】根據(jù)已知得，，所以，故選:．【例2】（24-25高一上·陜西商洛·期中）已知集合.(1)判斷5，12，14是否屬于，并說明理由；(2)集合，證明：；(3)寫出集合中的所有偶數(shù).【答案】(1)，，理由見解析(2)證明見解析(3)，【分析】（1）根據(jù)定義可判斷為中元素，利用反證法可判斷不是中元素；（2）由，即可證明；（3）根據(jù)，同奇同偶及，可得中所有偶數(shù)的形式.【詳解】（1）∵，，∴假設(shè)，則，且，，∴，或，均無整數(shù)解，∴（2）∵集合，恒有∴，∴（3）集合，成立，同奇或同偶時，，均為偶數(shù)，為4的倍數(shù)，一奇一偶時，，均為奇數(shù)，為奇數(shù).因為，故，所以，集合中的所有偶數(shù)為，.1．（24-25高一上·天津北辰·階段練習）設(shè)，，，那么集合M，P，Q的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先要理解集合的定義以及元素之間的關(guān)系.對于這三個集合，需要通過對集合中元素表達式的變形來分析它們之間的包含關(guān)系.我們將分別對三個集合中的表達式進行分析和轉(zhuǎn)化，然后比較它們的關(guān)系.【詳解】先化簡集合、、的表達式：對于集合，已知，將其通分可得.對于集合，已知，通分得到.對于集合，已知，通分得到.再分析集合和的關(guān)系：對于集合中的表達式，我們可以進行變形：，這里.這意味著對于任意的，表示的數(shù)和（）表示的數(shù)是一樣的形式，都是的某個整數(shù)倍加.所以集合和中的元素是相同的，即.最后分析集合與（）的關(guān)系：對于集合中的表達式，.這表明表示的是的偶數(shù)倍加，而集合（）中的素是的整數(shù)倍加.所以集合中的元素都是集合（）中的元素，但集合（）中存在元素不屬于集合，綜上，.故選：.2．（多選題）（22-23高一下·江蘇蘇州·開學考試）已知集合，非空集合，下列條件能夠使得的是（

）A． B．C． D．且【答案】ACD【分析】把三次方程因式分解求根，即可化簡集合B，然后利用集合關(guān)系即可判斷.【詳解】對于選項A，方程，因式分解得，解得，所以，滿足，所以選項A正確；對于選項B，方程，因式分解得，解得或，所以，不滿足，所以選項B錯誤；對于選項C，方程，因式分解得，解得，所以，滿足，所以選項C正確；對于選項D，因為，所以是方程的解，所以方程變形為，因為，所以方程無解，所以方程有唯一解，所以，滿足，所以選項D正確；故選：ACD.3．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）若集合，，則與的關(guān)系是．【答案】【分析】化簡集合，再根據(jù)集合間的關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，集合，又因為，所以.故答案為.【點睛】本題主要考查了集合與集合的關(guān)系的判定，其中解答中正確化簡集合，以及熟記集合的包含關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習）已知集合．(1)判斷10，11，12是否屬于集合A；(2)若集合，證明：；(3)寫出所有滿足集合A的偶數(shù)構(gòu)成的集合，并說明理由．【答案】(1)；；(2)證明見詳解(3)，理由見詳解【分析】（1）先由平方差公式因數(shù)分解，再利用方程組思想確定是否有整數(shù)解，從而得出判斷；（2）根據(jù)題意結(jié)合子集關(guān)系分析證明即可；（3）利用平方差因數(shù)分解，利用奇偶數(shù)思想分析，即可得到滿足集合中的偶數(shù)一定是4的倍數(shù)，再證明4的倍數(shù)一定是集合中的元素，從而可得集合中的偶數(shù)一定是.【詳解】（1）假設(shè)，則，且，由于，所以或，顯然均無整數(shù)解，所以；由于，滿足集合A中元素特征，所以；由于，滿足集合A中元素特征，所以.（2）對任意，均有，可知，所以.（3）集合，而，①當和同為奇數(shù)和偶數(shù)時，均為偶數(shù)，所以為4的倍數(shù)，反之當，則不妨令，可解得，滿足集合A中元素特征，所以滿足集合A的偶數(shù)為；②當和一奇一偶時，和均為奇數(shù)，所以為奇數(shù)，不滿足題意；綜上所述：所有滿足集合A的偶數(shù)構(gòu)成的集合為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第3小問的解決關(guān)鍵是分類討論和同為奇數(shù)和偶數(shù)與和一奇一偶兩種情況，結(jié)合因式分解即可得解.【經(jīng)典例題四根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)】【例1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】依題意可得，則或，求出的值，再檢驗即可.【詳解】因為，且，所以，則或，解得或或，當或時，此時集合不滿足集合元素的互異性，故舍去；當時，，滿足，符合題意.故選：D.【例2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知或.若或，，求的取值范圍.（2）若，，求的取值范圍.【答案】（1）或（2）【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系，建立不等式即可解出結(jié)果.【詳解】（1）即的范圍小于的范圍.當，即時，，滿足；當，即時，要使，由圖1得，①②等號不同時成立，解得.

綜上所述，的取值范圍為或.（2）即的范圍小于的范圍.要使，優(yōu)先考慮是否為空集.當，即時，，滿足；當，即時，要使，由圖2得或，解得.又因為，所以.

綜上所述，的取值范圍為.1．（2025·河南·二模）已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解集合，然后根據(jù)列不等式組即可求解.【詳解】由題意可得，又，，所以，解得.故選：B.2．（多選題）（24-25高三上·遼寧·期末）已知集合，，若，則的值可能是（

）A． B． C．1 D．3【答案】AB【分析】由，列出等式或，求得，再逐個進行驗證即可；【詳解】因為，所以或，解得或或或．當時，，，此時，則不符合題意．當時，，，此時，則符合題意．當時，，，此時，則符合題意．當時，，，此時，則不符合題意．故選：AB3．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，若，則的取值范圍為.【答案】或【分析】分為單元素集合、為雙元素集合三種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍即可得解.【詳解】集合中含有參數(shù)，所以先考慮是否為空集.因為，所以，若為空集，則，解得；若為單元素集合，則，解得，將代入方程，得，解得，所以，符合要求；若為雙元素集合，則，即，此時，即，解得綜上所述，的取值范圍為或.故答案為：或.4．（23-24高一上·江蘇南通·開學考試）已知集合，，，問是否存在實數(shù)，同時滿足是的真子集，？若存在，求出，的所有值；若不存在，請說明理由.【答案】【分析】由題意，所以，這里可以分三種情況，集合是空集、集合中只含有集合中的一個元素，集合中含有集合中的兩個元素；對于是的真子集這種情況，較為簡單，直接對比即可得解.【詳解】一方面：因為，又，所以；又因為，且，所以當,即時，集合，此時有是的真子集，所以滿足題意，當時，，此時集合不是集合的真子集，結(jié)合以上兩種情況有.另一方面：因為，所以,分以下三種情況：情形一：集合是空集，即是空集，所以方程無解，即，解得;情形二：集合中只含有集合中的一個元素，又因為，所以或，說明方程有重根1或2，即或，由完全平方展開得以上情況不可能成立；情形三：集合中含有集合中的兩個元素，又因為，所以，說明方程有兩個不同的實數(shù)根或，即，將展開得，對比即得.結(jié)合以上三種情形有：.綜上所述：，.【經(jīng)典例題五判斷兩個集合是否相等】【例1】（24-25高一上·山東泰安·階段練習）下列每組集合是相等集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)集合相等的概念判斷四個選項即可.【詳解】對于A，，，故，所以A錯誤；對于B，為點集，為數(shù)集，故，所以B錯誤；對于C，，，故，所以C錯誤；對于D，數(shù)集和數(shù)集元素一樣，故，所以D正確，故選：D.【例2】（2025高三·全國·專題練習）集合，，試證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)集合相等的定義“若且，則”證明即可.【詳解】一方面，對N中任一元素u，有，從而.另一方面，對M中任一元素u，有，從而.故．1．（22-23高一上·福建廈門·階段練習）下列各組集合表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)可判斷ACD的正誤，算出B中后可判斷B的正誤.【詳解】對于A，是數(shù)的集合，而是點的集合，故不是同一集合，故A錯誤；對于B，，，故不是同一集合，故B錯誤；對于C，不是同一個點，故不是同一集合，故C錯誤；對于D，由集合元素的無序性可得，故D正確；故選：D.2．（2024高三·全國·專題練習）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對參數(shù)進行分類討論求解即可.【詳解】當時，，當時，，所以，所以，故A正確.故選：A3．（23-24高一上·上海·期中）是有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．與集合相等的集合序號是.【答案】④【分析】集合相等的條件為集合中的元素相同，根據(jù)此條件分別判斷①②③④中四個集合中元素是否與集合一致即可.【詳解】對于①，因為，設(shè)，則，不妨取，可知，而，顯然，所以①與集合不相等；對于②，令，則，顯然，但，即②與集合不相等；對于③，當時，此時，即，而集合中不包含元素0，所以③與集合不相等；對于④，令，則，其中，所以④與集合相等；故答案為：④4．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知集合其中函數(shù)（1）若，求集合；（2）若是單元素集，則、之間的關(guān)系如何？（3）一般情況下，猜想與之間的關(guān)系，并給予證明.【答案】（1）；（2）；（3），證明見解析.【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，為方程的根，從而得到，，再根據(jù)，得到，解方程即可得到集合.（2）首先根據(jù)是單元素集，設(shè)，得到，再根據(jù)得到方程，根為，從而得到，即.（3）首先設(shè)為方程的根，即，，又因為，得到，即可得到.【詳解】（1）因為，所以.若，則，為方程的根，所以，解得，即.又因為，即.，整理得，，，，，解得，，故.（2）若是單元素集，設(shè)，則為方程的唯一根，所以，即.對集合，則，所以，即，因為，，所以方程的解為，即，故.（3）設(shè)為方程的根，即，.則，所以為方程的根，故，所以【點睛】本題主要考查集合間的關(guān)系，同時考查了二次方程的根系關(guān)系，屬于難題.【經(jīng)典例題六根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)】【例1】（23-24高一上·全國·期末）已知，，若集合，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，由集合相等列出方程，即可求得，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，解得或當時，不滿足集合元素的互異性，故，，.故選：B.【例2】（24-25高一上·河北保定·階段練習）設(shè)，若集合，求的值.【答案】.【解析】由集合，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】由題意，集合，可得，，由兩個集合相等定義可知，若，得，經(jīng)驗證，符合題意；若，由于，則方程組無解，綜上可知，，，故.【點睛】本題主要考查了根據(jù)集合相等求參數(shù)，其中解答中熟記集合相等的概念，結(jié)合元素的互異性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.1．（24-25高一下·湖北黃石·階段練習）設(shè)集合，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令或分類討論即可．【分析】因為集合，，若，由集合的互異性知，則或．當時，，，有，得，所以；當時，集合，，有，又，所以，得，不滿足題意．綜上．故選：C．2．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】由兩集合相等，元素完全一樣，則可列出等式，結(jié)合集合中元素滿足互異性即可解出答案.【詳解】因為，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿足互異性，所以，則．故選：C.3．（24-25高一上·安徽·期中）若，則．【答案】【分析】由為分母可得，再利用集合相等的性質(zhì)計算即可得解．【詳解】由題意可得，則，即，則，解得或，若，則違背集合元素的互異性，舍去；若，則有，符合要求；綜上所述，，則．故答案為：．4．（24-25高一上·山西太原·階段練習）已知集合，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由題，集合最多兩個元素，，則，所以集合中的方程兩根為-4,0，即可求解；（2）分類討論：為空集，單元素集合，兩個元素的集合三種情況分別求解即可.【詳解】（1）由題集合最多兩個元素，，，則，所以集合中的方程兩根為-4,0，，即，由根與系數(shù)的關(guān)系，，解得：；（2）由題，中最多兩個元素，對于方程當集合時：，即時，方程無解，，符合題意；當集合中只有一個元素時：，即時，方程的解為，，符合題意；當中有兩個元素時：，即時，方程有兩個不同實根，集合有兩個元素，此時則，所以集合中的方程兩根為，由根與系數(shù)的關(guān)系，，解得：；綜上所述：或.【點睛】此題考查通過集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值，集合是方程的解集，在進行分類討論時應(yīng)以集合中元素個數(shù)為分類標準方可做到不重不漏.【經(jīng)典例題七空集的概念以及判斷】【例1】（23-24高一上·遼寧·階段練習）滿足下面兩個條件的整數(shù)的所有取值之和為（

）①關(guān)于的不等式組的解集為；②關(guān)于，的二元一次方程組有正整數(shù)解（，均為正整數(shù)）．A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】由不等式組無解，確定出滿足題意的范圍，解出二元一次方程組的解，由為整數(shù)且方程組的解為正整數(shù)確定出的值，即可得到答案.【詳解】由，解得，由題意可知，解得，由，解得，由為正整數(shù)可知，0，2，6，經(jīng)驗證可知當，6時，為正整數(shù)，所以，6，則整數(shù)的所有取值之和為8.故選：B．【例2】（24-25高一上·河北·階段練習）已知集合，，（1）若A為空集，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若B是A的真子集，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用空集的意義列式作答；(2)利用集合的包含關(guān)系列出不等式組求解即得.【詳解】（1）因是空集，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是；（2）且B是A的真子集，則，解得，顯然，a-1=0與2a+1=1不同時成立，于是得，所以實數(shù)a的取值范圍.1．（2024·全國·一模）下列四個集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對每個集合進行逐一檢驗，研究集合內(nèi)的元素是否存在即可選出.【詳解】選項A，；選項B，；選項C，；選項D，，方程無解，.選:D.2．（多選題）（22-23高一上·江西南昌·階段練習）下列集合是空集的是（

）A．B．C．D．【答案】AB【分析】根據(jù)方程有解的條件逐項判斷即可．【詳解】解：，無解，為空集，A符合題意；，，∴方程解為空集，B符合題意；由得，故C不符合題意；由得，即，故D不符合題意．故選：AB．3．（2024高一上·江蘇·專題練習）已知集合，且，則實數(shù)m的取值范圍是.【答案】【分析】分B為空集和不是空集兩種情況，根據(jù)集合建的包含關(guān)系得到不等式（組）求解.【詳解】解：分兩種情況考慮：①若B不為空集，可得：，解得：，，且，解得：，所以,②若B為空集，符合題意，可得：，解得：.綜上，實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.4．（22-23高一上·遼寧朝陽·階段練習）已知集合，或．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用非空集合思想來得到參數(shù)的不等式求解即可；（2）根據(jù)子集思想，討論空集和非空集合兩種情形，再進行端點值比較，得到不等式求解即可.【詳解】（1）由，則，因為集合，所以，解得：，故實數(shù)的取值范圍是；（2）由，則，當為空集時滿足題意，此時有，即；當，且，或．則,而且還滿足或，解得：或，由于，所以此時只有，綜上可得：實數(shù)的取值范圍是.【經(jīng)典例題八空集的性質(zhì)及應(yīng)用】【例1】（24-25高一上·新疆·期中）下列四個關(guān)系式中正確的個數(shù)是（

）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)空集的定義，可得答案.【詳解】解：對于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正確；對于（2），表示有一個元素0的單元素集合，所以（2）錯誤；對于（3），，所以錯誤；對于（4），由于空集是任何集合的子集，故正確．所以正確的有：（1），（4）共2個．故選：B．【例2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）集合，，若集合中至少有一個非空集合，求實數(shù)的取值范圍.【答案】{或，且}【分析】先求出都是空集時，再從補集角度求出兩個集合至少有一個集合不為空集或，且.【詳解】對于，由，解得；對于B，由，解得.當集合都是空集時，則，當兩個集合至少有一個集合不為空集，所以的取值范圍是{或，且}【點睛】關(guān)于“至少”“至多”“不存在”等問題可考慮反面，本題的反面是都是空集，由此能求出的取值范圍.對于難于從正面入手的數(shù)學問題，在解題時，可從問題的反面入手，探求已知和未知的關(guān)系，這樣能起到化難為易、化隱為顯的作用，從而將問題解決.1．（22-23高一上·天津和平·階段練習）下列四個說法中，正確的有（

）①空集沒有子集；②空集是任何集合的真子集；③若，則；④任何集合至少有兩個子集．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)判斷即可.【詳解】①空集是任何集合的子集，所以①錯；②空集是任何非空集合的真子集，所以②錯；③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③錯；④空集只有自己本身一個子集，所以④錯.故選：A.2．（多選題）（24-25高一上·廣東汕尾·期末）已知集合，且，則實數(shù)的取值可以為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】ABC【分析】先判斷時，符合題意，再由時化簡集合B，即得或，解得結(jié)果即可.【詳解】依題意，當時，，滿足題意；當時，，要使，則有或，解得.綜上，或或.故選：ABC.3．（24-25高一上·廣西玉林·期中）設(shè)集合A={}，B={x}，且AB，則實數(shù)k的取值范圍是(寫成集合形式).【答案】【分析】由知，集合B為A的非空子集或空集，列出滿足的包含關(guān)系，求得k的范圍.【詳解】由知，集合B為A的非空子集或空集，即或，解得或故答案為：4．（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知三個集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同時滿足，C?A的實數(shù)a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，請說明理由．【答案】存在a＝2，b＝3或滿足要求．【解析】先解出集合A，由且，可得B集合中只有一個元素1，即可求出a的值；由C?A，可得或{1}或{2}或{1，2}，分別檢驗C集合的取值，即可得答案.【詳解】A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴.又，∴a－1＝1，即a＝2.∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C?A，∴或{1}或{2}或{1，2}．當C＝{1，2}時，b＝3；當C＝{1}或{2}時，Δ＝b2－8＝0，即，此時x＝±，與C＝{1}或{2}矛盾，故舍去；當時，Δ＝b2－8<0，即，綜上可知，存在a＝2，b＝3或滿足要求．【點睛】本題考查集合的包含關(guān)系，易錯點為：當C?A，且C集合帶參數(shù)，需討論C集合是否為空集，考查分析計算的能力，分類討論的思想，屬中檔題.【經(jīng)典例題九根據(jù)集合相等關(guān)系進行計算】【例1】（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）已知集合，若下列三個關(guān)系有且只有一個正確：①；②；③，則（

）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】B【分析】根據(jù)集合相等的定義分類討論進行求解即可.【詳解】假設(shè)①，②錯，③對，因為，所以有，此時；假設(shè)①，③錯，②對，因為錯，必有，而，不符合集合元素的互異性，假設(shè)不成立；假設(shè)②，③錯，①對，因為錯，所以，因為錯，所以對，而對，因此只能，不符合集合元素的互異性，假設(shè)不成立，綜上所述：，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用假設(shè)法、應(yīng)用集合元素的互異性進行判斷.【例2】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）若，求的值.【答案】或.【解析】利用兩個集合相等它們的元素分別對應(yīng)相等,得到關(guān)于的方程,再利用集合中元素的互異性進行取舍即可.【詳解】由題意知，當時，，此時符合題意；當時，，此時不符合集合中元素的互異性，（舍去）；當時，，此時，符合題意；綜上可知，或.【點睛】本題考查兩個集合相等和集合中元素的互異性;屬于中檔題、?？碱}型.1．（24-25高三上·江西贛州·期中）已知、，若，則的值為（

）A． B．0 C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)集合相等則元素相同，再結(jié)合互異性，計算即可得解.【詳解】由且，則，∴，于是，解得或,根據(jù)集合中元素的互異性可知應(yīng)舍去，因此，,故．故選：C.2．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）已知集合，集合，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由兩集合相等可得結(jié)合中元素，結(jié)合集合中元素的無序性，分兩種情況進行討論，從而可選出正確答案.【詳解】解：因為，所以中元素為,當時，此時，當時，此時,故選：D.3．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若集合，且，則的值為．【答案】【分析】由，根據(jù)一元二次方程的性質(zhì)，得到是方程的兩根，結(jié)合韋達定理，即可求解.【詳解】由題意，集合，因為，根據(jù)一元二次方程的性質(zhì)，可得是方程的兩根，由韋達定理，可得，解得，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了根據(jù)集合相等求參數(shù)，以及一元二次方程的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記集合相等的概念，結(jié)合一元二次方程的韋達定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.4．（23-24高一上·上?！て谥校┮阎獙崝?shù)R的子集均滿足規(guī)律：，已知數(shù)集具有性質(zhì)P：對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于A（如與中至少有一個屬于A）.(1)求證：集合不可能為單元素集；(2)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)P，并說明理由；(3)數(shù)集A中的_____集合（選填“”或“”），請寫出一個自然數(shù)：________，使其不可能屬于集合；(4)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)A不具有，B具有，理由見解析(3)?，2(4)證明見解析【分析】(1)假設(shè)為單元素集，則，化簡后可得不存在，所以即可證明；(2)根據(jù)定理羅列出與值，看是否屬于數(shù)集與數(shù)集，即可判斷；(3)已知數(shù)集具有性質(zhì)P，則，所以只有，再根據(jù)已知條件可求得，假設(shè)，代入可發(fā)現(xiàn)矛盾，所以可判斷；(4)根據(jù)數(shù)集具有性質(zhì)P，可判定且，則可以證得結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)題意設(shè)為單元素集，即，且，代入可得，可以算出無解，所以，故不可能為單元素集；（2）由于均不屬于數(shù)集，所以數(shù)集不具有性質(zhì)P，由于都屬于數(shù)集，所以數(shù)集具有性質(zhì)P；（3）已知數(shù)集具有性質(zhì)P，則，所以只有，又因，則可得，若，則有，與矛盾，所以；若，設(shè)，均滿足規(guī)律：，則，根據(jù)集合元素互異性，所以.故答案為：；2.（4）由(3)知，所以由于數(shù)集具有性質(zhì)P，故，所以，，所以，則，所以【點睛】思路點睛：對于新定義題關(guān)鍵在于對定義的理解，通常通過類比、舉例分析等方法加深對新概念的理解，然后圍繞所給定義進行求解.【拓展訓練一集合間關(guān)系的求參問題】【例1】（24-25高一上·廣東廣州·階段練習）設(shè)集合，，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形表達式為相同的形式，利用集合間的關(guān)系，比較可得.【詳解】由題意得，即是的奇數(shù)倍構(gòu)成的集合，，即是的整數(shù)倍構(gòu)成的集合，所以.故選：.【例2】（24-25高一上·河北廊坊·階段練習）設(shè)集合，．(1)若，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍【答案】(1)或(2)【分析】（1）由，對集合進行分類討論：①若，②若為，，③若，由此求得的值即可．（2）先化簡集合，，再由，能求得的值．【詳解】（1）集合，，①若，則則；②若或，則解得：，將代入方程得：得：，即符合要求；③若，則，即即的兩根分別為、0，則有且，則綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或．（2），，則，即即0和是方程的兩根解得：或（舍去）故．1．（24-25高一上·重慶北碚·期中）已知集合其中，，其中則與的關(guān)系為A． B． C． D．【答案】A【解析】先任取，分同為奇數(shù)或同為偶數(shù)和一奇一偶兩種情況向集合B進行變形，得到形式，說明同理任取，變形為說明得到.【詳解】任取當同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時，當一奇一偶時，因為所以，所以所以任取，，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查了集合的包含關(guān)系的判斷和應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸分類的思想，屬于難題.2．（多選題）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）對于集合，給出以下結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么【答案】AC【分析】分別將各選項中式子或者集合變形，判斷是否能變形成與集合M中元素一樣的特征.【詳解】對于A，，則恒有，即，則，故A選項正確；對于B，，若，則存在使得，即，又和同奇或同偶，若和都是奇數(shù)，則為奇數(shù)，而是偶數(shù)；若和都是偶數(shù)，則能被4整除，而不一定能被4整除，所以不能得到，故B選項錯誤；如果，可設(shè)，對于C，，可得，故C選項正確；對于D，，不一定成立，不能得到，故D選項錯誤.故選：AC【點睛】方法點睛：按照題目中關(guān)于集合中元素的定義，對選項中的算式進行變形整理，表示成中元素的形式，判斷是否能夠成立.3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）設(shè)集合，（，）且A中任意兩數(shù)之和不能被5整除，則n的最大值為.【答案】16【分析】先根據(jù)中的數(shù)除以的余數(shù)將集合進行分組，然后根據(jù)整除的知識求得正確答案.【詳解】根據(jù)除以5的余數(shù)，可將A集合分為5組：，則，，則，，則，，則，，則，A中的任何兩個數(shù)之和不能被5整除，故和，和中不能同時取數(shù)，且中最多取一個，∴最多的取法是取和中的一個元素，，故n的最大值為16.故答案為：【點睛】兩數(shù)之和能被整除，則兩數(shù)分別除以的余數(shù)之和能被整除.本題的分析方法是先求得中所有數(shù)除以的余數(shù)，從而進行分組，分組之后根據(jù)和能被整除的知識來求得正確答案.4．（24-25高一上·北京密云·期末）已知集合A包含有個元素，．(1)若，寫出；(2)寫出一個，使得；(3)當時，是否存在集合A，使得？若存在，求出此時的集合A，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)集合的新定義，寫出中的元素即得；（2）根據(jù)條件分析集合中的元素性質(zhì)即得；（3）根據(jù)題意可得出不存在這樣的集合，利用反證法證明即可.【詳解】（1）因，，則都是中的元素，故；（2）取，此時，符合；（3）當時，不存在集合A，使得，理由如下：假設(shè)存在，且，則，故為中7個不同的元素，則，由解得：，此時與矛盾，故假設(shè)不成立，即不存在這樣的集合.【點睛】思路點睛：本題主要考查集合新定義的應(yīng)用問題，屬于難題.解題應(yīng)從集合新定義的規(guī)定入手，吃透其內(nèi)涵，經(jīng)常遵循從特殊到一般的思維方式，有時需要從反面角度考慮，運用反證法予以證明.【拓展訓練二子集(真子集)與空集的性質(zhì)及應(yīng)用】【例1】（23-24高一上·湖北孝感·階段練習）定義：若一個位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù).已知集合，是自戀數(shù)，則的真子集個數(shù)為（

）A．7 B．15 C．31 D．63【答案】A【分析】根據(jù)自戀數(shù)的定義逐個的進行判斷可得集合B，進而即得.【詳解】，所以8是自戀數(shù)；，所以23不是自戀數(shù)；，所以81不是自戀數(shù)；，所以153是自戀數(shù)；，所以254不是自戀數(shù)；，所以370是自戀數(shù).所以集合.所以真子集個數(shù)：個.故選：A【例2】（24-25高一上·上海徐匯·期中）已知集合為非空數(shù)集，定義：，.(1)若集合，求證：，并直接寫出集合；(2)若集合，，且，求證：；(3)若集合，，記為集合中元素的個數(shù)，求的最大值.【答案】(1)證明見解析，；(2)證明見解析；(3)集合A中元素的個數(shù)的最大值為1348.【分析】(1)根據(jù)題目的定義，直接計算集合S、T即可；(2)根據(jù)相等集合的概念即可得出結(jié)果；(3)通過假設(shè)集合()，求出對應(yīng)的集合S、T，通過建立不等式關(guān)系，求出對應(yīng)的值即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，由集合，計算集合，，所以；（2）由于，，且，所以T中也只包含4個元素，即，剩下的元素滿足，即；（3）設(shè)滿足題意，其中，則，所以，，所以，因為，由容斥原理，，最小的元素為0，最大的元素為，所以，所以，解得，實際上當時滿足題意，證明如下：設(shè)，則，，依題意，有，即，所以m的最小值為674，于是當時，集合A中的元素最多，即時滿足題意.綜上所述，集合A中元素的個數(shù)的最大值為1348.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.1．（2024高三上·河北衡水·專題練習）對于任意兩個正整數(shù)，定義某種運算，法則如下：當都是正奇數(shù)時，；當不全為正奇數(shù)時，，則在此定義下，集合的真子集的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，當都是正奇數(shù)時，；當不全為正奇數(shù)時，；若都是正奇數(shù)，則由，可得，此時符合條件的數(shù)對為（滿足條件的共8個；若不全為正奇數(shù)時，，由，可得，則符合條件的數(shù)對分別為共5個；故集合中的元素個數(shù)是13，所以集合的真子集的個數(shù)是故選C．【點睛】本題考查元素與集合關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解所給的定義及熟練運用分類討論的思想進行列舉，2．（24-25高一上·江西贛州·階段練習）下列四個集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用空集的定義直接判斷選項是否是空集，即可．【詳解】解：，，所以，A不是空集．，，所以,B不是空集．，，，；即C是空集．，，，即，所以；D不是空集．故選：C．3．（24-25高一上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）設(shè)集合，選擇的兩個非空子集和，要使中最小的數(shù)大于中最大的數(shù)，滿足這樣條件的一個集合A與對應(yīng)的一個集合B稱為一組合，則不同的組合共有種．【答案】129【分析】討論A中最大的數(shù)，分別求出A和B的非空子集，從而求得正確答案.【詳解】當A中最大的數(shù)為1時，B可以是的非空子集，有（種）選擇方法；當A中最大的數(shù)為2時，A可以是或，B可以是的非空子集，有（種）選擇方法；當A中最大的數(shù)為3時，A可以是，，或，B可以是的非空子集，有（種）選擇方法；當A中最大的數(shù)為時，A可以是，，，，，，，或，B可以是的非空子集，有（種）選擇方法.當中最大的數(shù)為時，可以是：，，，，，是，有（種）選擇方法.所以滿足條件的集合共有（種）不同的選擇方法.故答案為：.【點睛】思路點睛：解題的突破口在于“中最小的數(shù)大于中最大的數(shù)”，解題的思想方法是分類討論的數(shù)學思想方法，根據(jù)集合中最大的數(shù)進行分類討論，分類討論要做到不重不漏.4．（24-25高二下·浙江寧波·期中）對于含有有限個元素的非空數(shù)集，定義其“交替和”如下：把集合中的數(shù)按從小到大的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地減，加后繼的數(shù)，例如的“交替和”是的“交替和”是5.(1)求集合的所有非空子集的交替和的總和；(2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的總和；(3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的總和.【答案】(1)12；(2)672；(3).【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根據(jù)“交替和”的定義分別求和后可得所有的“交替和”的和；（2）根據(jù)題意計算每個元素出現(xiàn)的次數(shù)求所有非空子集的元素和的總和；（3）將集合的所有非空子集分類，并將含有3的多元素子集與不含有3的非空子集配對求出每對集合的“交替和”的和，再加上單元素集的“交替和”即可.【詳解】（1）集合的非空子集有，根據(jù)題意，集合的交替和分別為，集合的交替和為，集合的交替和為，集合的交替和為，集合的交替和為，所以，集合的所有非空子集的交替和的總和為.（2）集合的所有非空子集中，考慮數(shù)字1在子集中出現(xiàn)的情況，相當于從剩下的5個元素中選取若干個元素與1組成子集，那么1出現(xiàn)的次數(shù)為次.同理，每個元素出現(xiàn)的次數(shù)為次，所以，集合所有非空子集的元素和的總和為.（3）集合，其非空子集有個，將這些非空子集分為3類：第一類，含元素3的單元素集，有1個，其“交替和”為3；第二類，含元素3的多元素集合（至少兩個元素），有個；第三類，不含元素3的非空集合，有個，將第二類中的集合與第三類中的集合（集合中的元素去掉元素3構(gòu)成的新集合）配對，則集合與集合的“交替和”的和始終為3，如取，則，集合與集合的“交替和”的和為，這樣的配對共有組，因此集合的所有非空子集的“交替和”的總和為.1．（24-25高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知集合，，若，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】求出集合A、B，根據(jù)集合的包含關(guān)系可知集合M中一定包含元素0、1，直接列舉出滿足條件的集合M.【詳解】，，，則集合M中一定包含元素0、1，滿足條件的集合M有：，共15個.故選：C【點睛】本題考查集合的包含關(guān)系，屬于中檔題.2．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習）已知集合，，，則的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將集合中元素化為統(tǒng)一形式，然后進行判斷即可.【詳解】，,，故故選：B.3．（24-25高二下·天津濱海新·期中）已知集合，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分情況討論集合是否為空集，再根據(jù)集合間的包含關(guān)系列出不等式組求解，最后綜合兩種情況得出的取值范圍.【詳解】當為空集時，時.解不等式，可得.因為空集是任何集合的子集，所以當時，.當不為空集時，時，解不等式，可得.此時，要使，那么集合中的元素都要滿足集合的范圍.

已知，，所以需滿足.解不等式，可得.綜合可得，又因為前提是，所以取交集得.綜合兩種情況，將和兩種情況綜合起來，取并集可得.能使成立的所有組成的集合為，故選：C.4．（23-24高一上·重慶沙坪壩·階段練習）若，則的值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】由可得①或②，解出，再由集合的互異性檢