.2子集、全集、補集題型1求集合的子集、真子集1．子集的概念定義一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集記法

與讀法記作(或)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示或結(jié)論(1)任何一個集合是它本身的子集，即；

(2)對于集合A,B,C，若，且，則2．真子集的概念定義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合A是集合B的真子集記法記作(或)圖示結(jié)論(1)且，則；

(2)，且，則【注】(1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“AB”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因為集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)對于集合A，B，C，若AB，BC，則AC；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若AB，且A≠B，則AB.1．（23-24高三上·遼寧朝陽·月考）集合，若，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．7 D．82．（23-24高三上·浙江衢州·月考）已知集合所有非空真子集的元素之和等于12，則（

）A．3 B．4 C．6 D．23．（24-25高三上·山東菏澤·期中）已知集合，且中至多有一個奇數(shù)，則這樣的集合共有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個4．（23-24高一上·重慶沙坪壩·周測）若集合?，且中至少含有兩個奇數(shù)，則滿足條件的集合的個數(shù)是.5．集合的非空真子集有個．6．（24-25高一上·江西上饒·周測）已知集合的所有非空真子集的元素之和為2030，則．7．集合的子集有；其中真子集有．題型2集合的子集（真子集）的個數(shù)問題1.集合A中含有n個元素，則有(1)A的子集的個數(shù)有2n個．(2)A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．(3)A的真子集的個數(shù)有2n－1個．(4)A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．2.空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．1．（24-25高三上·山東日照·月考）已知集合，，則集合的非空真子集個數(shù)為（

）A．12 B．10 C．16 D．142．（24-25高一上·福建福州·期中）滿足的集合的個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（24-25高一上·云南昆明·周測）設(shè)集合，則集合A的子集個數(shù)為（

）A．4 B．16 C．8 D．94．集合的真子集個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（24-25高一上·山西晉城·月考）集合的真子集的個數(shù)是.6．（24-25高一上·四川成都·期中）滿足的集合有個.題型3集合相等如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B且B?A，則A＝B.1．已知集合A＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，則集合A，B之間的關(guān)系為()A．A?B B．B?AC．A＝B D．A≠B2．（23-24高一上·湖北宜昌·階段練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，3．（多選題）下列各組集合不表示同一集合的是（

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·貴州遵義·周測）（多選題）給出以下幾組集合，其中是相等集合的有（

）A．，B．，C．，D．，題型4空集空集的概念(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.1．（24-25高一上·江蘇無錫·月考）下列關(guān)系中表述正確的是（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·浙江·周測）若集合是空集，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）下列四個命題正確的個數(shù)是（

）①是空集；②若，則；③集合有兩個元素；④集合是有限集A．1 B．2 C．3 D．04．（24-25高一上·江蘇鹽城·期中）下列各式中，正確的個數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．1 B．2 C．3 D．45．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）下列是關(guān)于的描述，其中錯誤的是（

）A． B． C． D．6．（23-24高一上·浙江金華·月考）（多選題）下列說法中錯誤的是（

）A．?與表示同一個集合B．集合＝與＝表示同一個集合C．方程＝的所有解的集合可表示為D．集合可以用列舉法表示題型5集合的關(guān)系用韋恩圖表示Venn圖的優(yōu)點及其表示(1)優(yōu)點：形象直觀.(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合.1．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知集合，，若A，B關(guān)系如圖所示，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知集合，集合與的關(guān)系如圖所示，則集合可能是（

）A． B． C． D．3．設(shè)集合，則下列圖形能表示A與B關(guān)系的是．4．（24-25高一上·上?！ぶ軠y）已知全集，則正確表示集合和關(guān)系的維恩圖是（

）A． B．C． D．5．（多選題）關(guān)于下圖說法正確的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同題型6判斷集合間的關(guān)系集合間關(guān)系的性質(zhì)：(1)任何一個集合都是它本身的子集，即AA.(2)對于集合A，B，C，①若AB，且BC，則AC；②若AB，B=C，則AC.(3)若AB，A≠B，則AB.1．（24-25高一上·江蘇揚州·周測）已知集合，則間的關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·山西·周測）（多選題）已知集合，，，則（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·江蘇連云港·月考）（多選題）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．4．（2025·山東青島·三模）若集合，，則（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·陜西西安·周測）下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．6．（23-24高一上·廣東茂名·期中）（多選題）已知集合，則以下正確的有（

）A． B．C． D．集合A的真子集個數(shù)為47．（24-25高一上·陜西寶雞·周測）（多選題）下列說法正確的是（

）A． B．C． D．

題型7根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)(1)、確定集合的元素是什么，即集合是（數(shù)軸）數(shù)集、（平面直角坐標系）點集還是其他類型的集合．(2)、看這些元素滿足什么限制條件．(3)、根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．1．（23-24高一上·山東·期中）（多選題）已知集合，且，則實數(shù)可能的取值是（

）A． B．0 C．-1 D．2．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知集合，其中是關(guān)于的方程的兩個不同的實數(shù)根.(1)若，求出實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.3．（23-24高一上·山東德州·階段練習(xí)）已知集合(1)若集合且求實數(shù)的值(2)若集合且求實數(shù)的取值范圍4．已知集合，集合.（1）若,求實數(shù)a的取值范圍（2）若,求實數(shù)a的取值范圍;（3）A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說明理由.5．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}．(1)若B?A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若A?B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求實數(shù)m的取值范圍．

題型8全集及補集運算如果一個集合包含了我們所要研究的各個集合的全部元素，這樣的集合就稱為全集，全集通常用字母U表示；集合的補集圖形符號?UA＝{x|x∈U，且x?A}1．（24-25高二下·江蘇淮安·期末）設(shè)全集，集合，則中元素個數(shù)為（

）A．0 B．2 C．3 D．42．（24-25高二下·江蘇揚州·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·浙江·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·陜西漢中·期末）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，則．7．（19-20高一·浙江杭州·期末）若集合，則．8．（24-25高一上·河南駐馬店·開學(xué)考試）已知全集，，則．

一、單選題1．（23-24高一上·山東日照·階段練習(xí)）已知集合滿足，則集合的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（24-25高二下·江蘇南京·期末）已知集合，則集合A的真子集的個數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（24-25高一上·江蘇常州·期中）滿足?的集合A的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．已知集合，則與集合相等的集合為（）A． B．C． D．5．（24-25高一上·全國·周測）下列四個集合中是空集的是（

）A． B．C．，或 D．6．下列表示集合和關(guān)系的Venn圖中正確的是（

）A． B．C． D．7．（24-25高一下·山西臨汾·期末）已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．二、多選題8．（多選題）下列與集合表示同一個集合的有（

）A． B． C． D．9．（24-25高一上·浙江·周測）（多選題）已知集合，，，下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．10．（24-25高一上·江蘇南通·月考）（多選題）下列結(jié)論錯誤的是（

）A．任何一個集合至少有兩個子集B．空集是任何集合的真子集C．若且，則D．若且，則11．（多選題）下列命題中，正確的有（

）A．集合的所有真子集為B．若（其中），則C．是菱形是平行四邊形D．12．（多選題）集合U，S，T，F(xiàn)的關(guān)系如圖所示，那么下列關(guān)系中正確的是（

）

A． B． C． D．三、填空題13．（24-25高一上·山東聊城·周測）集合的非空真子集有個.14．（24-25高一上·江蘇常州·月考）滿足關(guān)系的集合有個.15．已知集合====，則集合的關(guān)系為．16．（23-24高一上·四川廣安·期中）若集合，則實數(shù)a的值的集合為．17．（23-24高一上·江蘇常州·周測）若集合，，，則如圖中的陰影部分表示的集合為．

18．設(shè)全集，集合，則19．（23-24高一上·陜西西安·周測）若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為．

四、解答題20．（24-25高一上·江蘇泰州·月考）已知集合，集合，且．(1)若時，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值；(3)若，且實數(shù)的所有可能值構(gòu)成的集合為，集合中恰有2個元素，求實數(shù)的取值范圍．

1.2子集、全集、補集題型1求集合的子集、真子集1．子集的概念定義一般地，對于兩個集合A,B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集記法

與讀法記作(或)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)圖示或結(jié)論(1)任何一個集合是它本身的子集，即；

(2)對于集合A,B,C，若，且，則2．真子集的概念定義如果集合，但存在元素，且，我們稱集合A是集合B的真子集記法記作(或)圖示結(jié)論(1)且，則；

(2)，且，則【注】(1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“AB”理解為“A是B中部分元素組成的集合”，因為集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)對于集合A，B，C，若AB，BC，則AC；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若AB，且A≠B，則AB.1．（23-24高三上·遼寧朝陽·月考）集合，若，則滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．7 D．8【答案】D【難度】0.94【知識點】求集合的子集（真子集）【分析】先判斷集合A的元素個數(shù)，再利用集合的子集個數(shù)公式計算即可.【詳解】，因為，所以滿足條件的集合的個數(shù)為.故選：D.2．（23-24高三上·浙江衢州·月考）已知集合所有非空真子集的元素之和等于12，則（

）A．3 B．4 C．6 D．2【答案】B【難度】0.85【知識點】求集合的子集（真子集）【分析】根據(jù)題意得集合的所有非空真子集，再求和即可.【詳解】解：因為集合的所有非空真子集：，所以，，即.故選：B3．（24-25高三上·山東菏澤·期中）已知集合，且中至多有一個奇數(shù)，則這樣的集合共有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】D【難度】0.85【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)【分析】分中只有一個奇數(shù)和沒有奇數(shù)，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】若中只有一個奇數(shù)，則集合可以是，若中沒有奇數(shù)，則或，所以符合條件的集合共有6個，故選：D.4．（23-24高一上·重慶沙坪壩·周測）若集合?，且中至少含有兩個奇數(shù)，則滿足條件的集合的個數(shù)是.【答案】87【難度】0.65【知識點】求集合的子集（真子集）【分析】先考慮反面的兩種情況，即中不含有奇數(shù)和中只含有一個奇數(shù)時集合的個數(shù)，再求出不考慮奇數(shù)條件時集合的個數(shù)，相減即可得出答案.【詳解】考慮反面的兩種情況：若中不含有奇數(shù)，則集合的個數(shù)等價于集合的子集的個數(shù)，即.若中只含有一個奇數(shù)，則有4種可能，集合的個數(shù)等價于集合的子集的個數(shù)的4倍，即.不考慮奇數(shù)條件時集合共，故共有個.故答案為：87.5．集合的非空真子集有個．【答案】30【難度】0.85【知識點】求集合的子集（真子集）【分析】首先用列舉法表示集合，即可得到其元素的個數(shù)，再根據(jù)含有個元素的集合的非空真子集有個計算可得.【詳解】解：因為，所以集合含有個元素，則其非空真子集有個；故答案為：6．（24-25高一上·江西上饒·周測）已知集合的所有非空真子集的元素之和為2030，則．【答案】290【難度】0.85【知識點】求集合的子集（真子集）【分析】寫出集合的所有非空真子集，得到，化簡得到的值.【詳解】集合的所有非空真子集有：，，，，，，，，，，，，，，所以有，解得：.故答案為：290.7．集合的子集有；其中真子集有．【答案】【難度】0.94【知識點】求集合的子集（真子集）【分析】根據(jù)子集和真子集的定義求解即可.【詳解】集合{a，b，c}的子集有：；真子集有：.故答案為：；題型2集合的子集（真子集）的個數(shù)問題1.集合A中含有n個元素，則有(1)A的子集的個數(shù)有2n個．(2)A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．(3)A的真子集的個數(shù)有2n－1個．(4)A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．2.空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．1．（24-25高三上·山東日照·月考）已知集合，，則集合的非空真子集個數(shù)為（

）A．12 B．10 C．16 D．14【答案】D【難度】0.94【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)【分析】利用分類討論求得集合，進而可求得集合的非空真子集個數(shù)【詳解】因為，當時，，當時，或或，當時，或或，所以，所以集合的非空真子集個數(shù)為.故選：D.2．（24-25高一上·福建福州·期中）滿足的集合的個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【難度】0.85【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)【分析】首先要解出方程的根，得到集合的元素.然后根據(jù)子集關(guān)系確定滿足條件的集合的個數(shù).【詳解】解方程的根，，則.因為.那么A中一定含有元素和，可能含有元素，，（但不全有），所以集合的個數(shù)即為集合的真子集個數(shù)，共有個.故選：C.3．（24-25高一上·云南昆明·周測）設(shè)集合，則集合A的子集個數(shù)為（

）A．4 B．16 C．8 D．9【答案】B【難度】0.85【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用【分析】根據(jù)條件，先化簡集合A，再利用子集個數(shù)的計算公式，即可求解.【詳解】由，則集合A的子集個數(shù)為.故選：B.4．集合的真子集個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【難度】0.94【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)【分析】根據(jù)含有個元素的集合的真子集有個計算可得.【詳解】集合含有個元素，所以集合的真子集有個.故選：C5．（24-25高一上·山西晉城·月考）集合的真子集的個數(shù)是.【答案】7【難度】0.85【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)【分析】根據(jù)題意確定集合中元素的個數(shù)，即可得到真子集的個數(shù).【詳解】由題意得，為4的正因數(shù)，故，所以此集合的真子集個數(shù)為.故答案為：7.6．（24-25高一上·四川成都·期中）滿足的集合有個.【答案】8【難度】0.85【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合子集的概念求解即可.【詳解】滿足條件的集合為：，，，，，，，，共8個.故答案為：8.題型3集合相等如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B且B?A，則A＝B.1．已知集合A＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，則集合A，B之間的關(guān)系為()A．A?B B．B?AC．A＝B D．A≠B【答案】C【難度】0.85【分析】由題意分別確定結(jié)合A和集合B，然后考查兩者之間的關(guān)系即可.【詳解】由題意可得：A＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，故A＝B.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，集合相等的充分必要條件等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2．（23-24高一上·湖北宜昌·階段練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【難度】0.94【知識點】判斷兩個集合是否相等【分析】根據(jù)集合的定義及集合中元素的特性分別判斷.【詳解】A選項：與不是同一個點，A選項錯誤；B選項：集合是點集，集合是數(shù)集，B選項錯誤；C選項：根據(jù)集合中元素的無序性可知，是同一個集合，C選項正確；D選項：集合是數(shù)集，集合是點集，D選項錯誤；故選：C.3．（多選題）下列各組集合不表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【難度】0.94【知識點】判斷兩個集合是否相等【分析】利用集合的意義，逐項判斷即可作答.【詳解】對于A，集合都是單元素集，而元素與不同，A不是；對于B，集合的元素為有序?qū)崝?shù)對，而集合的元素為實數(shù)，B不是；對于C，集合都含有兩個元素4，5，只是排列順序不同，而集合的元素具有無序性，C是；對于D，集合有兩個元素1，2，而集合只有一個元素，D不是.故選：ABD4．（23-24高一上·貴州遵義·周測）（多選題）給出以下幾組集合，其中是相等集合的有（

）A．，B．，C．，D．，【答案】CD【難度】0.85【知識點】判斷兩個集合是否相等【分析】利用集合相等的定義即可判斷各選項.【詳解】對于A，是點集，是數(shù)集，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，，，故D正確.故選：CD.題型4空集空集的概念(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.1．（24-25高一上·江蘇無錫·月考）下列關(guān)系中表述正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷兩個集合的包含關(guān)系、空集的概念以及判斷【分析】根據(jù)空集不含任意元素，元素與集合的關(guān)系用，集合與集合的關(guān)系用，可得結(jié)論．【詳解】空集不含任意元素，故A錯誤；因為，所以，故B正確；是實數(shù)，故C錯誤；，，故D錯誤．故選：B．2．（24-25高三上·浙江·周測）若集合是空集，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】空集的概念以及判斷【分析】根據(jù)給定條件，利用空集的意義，結(jié)合一元二次方程根的情況求得答案.【詳解】集合是空集，則關(guān)于的方程無實根，當時，方程為有兩個不等實根，不符合要求，當時，，方程無實根，所以的取值范圍是.故選：B3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）下列四個命題正確的個數(shù)是（

）①是空集；②若，則；③集合有兩個元素；④集合是有限集A．1 B．2 C．3 D．0【答案】D【難度】0.85【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、描述法表示集合、空集的概念以及判斷、集合的分類【分析】對①，根據(jù)空集的定義可判斷；對②，根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷；對③，求出方程的根可判斷；對④，根據(jù)集合的表示，無限集合定義可判斷.【詳解】對于①，不是空集，空集中無任何元素，故①錯；對于②，若，當時，，故②錯；對于③，集合，只有一個元素，故③錯；對于④，集合是無限集，故④錯；綜上，正確的命題有0個.故選：D.4．（24-25高一上·江蘇鹽城·期中）下列各式中，正確的個數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤；⑥.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【難度】0.85【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷兩個集合的包含關(guān)系、判斷兩個集合是否相等【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系判斷各命題.【詳解】因為，故①錯；因為，故②對；因為，故③對；因為且，故④錯；因為，故⑤錯；因為，又且，故⑥錯；所以正確的個數(shù)為個，故B正確.故選：B.5．（24-25高一上·江蘇蘇州·期中）下列是關(guān)于的描述，其中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷兩個集合的包含關(guān)系【分析】根據(jù)集合與集合，元素與集合的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對于AB，，故A正確，B錯誤；對于CD，，，故CD正確.故選：B.6．（23-24高一上·浙江金華·月考）（多選題）下列說法中錯誤的是（

）A．?與表示同一個集合B．集合＝與＝表示同一個集合C．方程＝的所有解的集合可表示為D．集合可以用列舉法表示【答案】ACD【難度】0.85【知識點】判斷是否為同一集合、描述法表示集合、列舉法表示集合、空集的概念以及判斷【分析】根據(jù)集合的相關(guān)概念和性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：?：不含任何元素的集合，：僅含有一個元素0的集合，所以?與表示不同的集合，故A錯誤；對于選項B：根據(jù)集合的無序性可知：集合＝與＝表示同一個集合，故B正確；對于選項C：因為方程＝的解為1，2，結(jié)合集合的互異性可知：方程＝的所有解的集合可表示為，故C錯誤；對于選項D：因為集合的元素為實數(shù)，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)可知無法逐一列舉，故D錯誤；故選：ACD.題型5集合的關(guān)系用韋恩圖表示Venn圖的優(yōu)點及其表示(1)優(yōu)點：形象直觀.(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合.1．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知集合，，若A，B關(guān)系如圖所示，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)【分析】解出集合，再根據(jù)求出的取值范圍.【詳解】由題意可知，根據(jù)圖示可知，所以的取值范圍是.故選：D2．已知集合，集合與的關(guān)系如圖所示，則集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點】求集合的子集（真子集）、判斷兩個集合的包含關(guān)系【解析】由圖可得，由選項即可判斷.【詳解】解：由圖可知：，，由選項可知：，故選：D.3．設(shè)集合，則下列圖形能表示A與B關(guān)系的是．A． B． C． D．【答案】A【難度】0.85【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系【詳解】集合,,,故選A.4．（24-25高一上·上?！ぶ軠y）已知全集，則正確表示集合和關(guān)系的維恩圖是（

）A． B．C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、補集的概念及運算、交并補混合運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式【分析】運用兩集合之間的關(guān)系進行判斷即可.【詳解】因為集合，而所以，故選:C.5．（多選題）關(guān)于下圖說法正確的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同【答案】ABC【難度】0.94【知識點】判斷是否為同一集合、判斷兩個集合的包含關(guān)系、子集的概念【分析】由圖形可知集合間的包含關(guān)系，對選項中的結(jié)論進行判斷.【詳解】由韋恩圖可得，ABU，且，結(jié)合真子集的定義可知，集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A選項正確；集合A、B、U中有相同的元素，B選項正確；集合U中有元素不在集合B中，C選項正確；集合A、B、U不相等，D選項錯誤.故選：ABC.題型6判斷集合間的關(guān)系集合間關(guān)系的性質(zhì)：(1)任何一個集合都是它本身的子集，即AA.(2)對于集合A，B，C，①若AB，且BC，則AC；②若AB，B=C，則AC.(3)若AB，A≠B，則AB.1．（24-25高一上·江蘇揚州·周測）已知集合，則間的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系【分析】利用集合間的包含關(guān)系直接判斷即可.【詳解】由，，則.故選：B2．（24-25高二上·山西·周測）（多選題）已知集合，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【難度】0.85【知識點】描述法表示集合、判斷兩個集合的包含關(guān)系【分析】根據(jù)題意，化簡集合，得到，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由題意得，集合，，，所以，結(jié)合選項，可得A，C正確，B，D錯誤.故選：AC.3．（24-25高一上·江蘇連云港·月考）（多選題）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【難度】0.85【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷兩個集合的包含關(guān)系、判斷兩個集合是否相等【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合間的關(guān)系逐項分析判斷.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，集合表示數(shù)集，集合表示點集，兩者不相等，故B錯誤；對于C，因為點與點不一定重合，所以兩個集合不一定相等，故C錯誤；對于D，空集是任意集合的子集，故D正確．故選：AD．4．（2025·山東青島·三模）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【難度】0.85【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系【分析】通過分析兩個集合的元素形式來判斷兩個集合的關(guān)系.【詳解】因為集合,，則.故選：B5．（24-25高一上·陜西西安·周測）下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.94【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、判斷兩個集合是否相等、空集的概念以及判斷【分析】利用集合與集合的關(guān)系逐項判斷即可.【詳解】對于A，集合中的元素在集合中，，A正確；對于B，集合與集合中的元素相同，，B正確；對于C，集合中的元素都在集合中，，C正確；對于D，集合中的元素不是空集，不正確，D錯誤.故選：D6．（23-24高一上·廣東茂名·期中）（多選題）已知集合，則以下正確的有（

）A． B．C． D．集合A的真子集個數(shù)為4【答案】AC【難度】0.85【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、求集合的子集（真子集）、判斷兩個集合的包含關(guān)系【分析】根據(jù)條件，先求出集合，再對各個選項逐一分析判斷即可得到結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，則選項A正確；對于選項B，因為集合與集合間的關(guān)系是包含關(guān)系，所以選項B錯誤；對于選項C，因為是任何集合的子集，所以選項C正確；對于選項D，因為，集合含2個元素，故集合A的真子集個數(shù)為，所以選項D錯誤.故選：AC.7．（24-25高一上·陜西寶雞·周測）（多選題）下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【難度】0.94【知識點】判斷元素與集合的關(guān)系、判斷兩個集合的包含關(guān)系、空集的概念以及判斷【分析】利用元素與集合、集合與集合的關(guān)系逐項判斷即得.【詳解】對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，D正確.故選：ACD題型7根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)(1)、確定集合的元素是什么，即集合是（數(shù)軸）數(shù)集、（平面直角坐標系）點集還是其他類型的集合．(2)、看這些元素滿足什么限制條件．(3)、根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．1．（23-24高一上·山東·期中）（多選題）已知集合，且，則實數(shù)可能的取值是（

）A． B．0 C．-1 D．【答案】ABC【難度】0.65【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、空集的概念以及判斷【分析】首先求出集合A，然后結(jié)合的條件，對集合B中的參數(shù)a分類討論即可得答案.【詳解】解：，且，則：①當時，或，解得或，A適合題意；②若，則，解得，③若，則，此時無解，④若，則，此時無解，不合題意；綜上：的值為0和.故選：ABC.2．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知集合，其中是關(guān)于的方程的兩個不同的實數(shù)根.(1)若，求出實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【難度】0.85【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)【分析】（1）先根據(jù)得到，結(jié)合方程的兩根得到方程，求出；（2），故，結(jié)合方程的兩根得到不等式，求出.【詳解】（1）因為，故，又的兩根分別為，故，故；（2）因為，故，又的兩根分別為，故，解得，故實數(shù)的取值范圍是.3．（23-24高一上·山東德州·階段練習(xí)）已知集合(1)若集合且求實數(shù)的值(2)若集合且求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)(2)或【難度】0.85【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)集合相等的概念，分別討論解出實數(shù)的值即可；（2）由集合間的包含關(guān)系，對集合是否為空集進行分類討論即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由集合，且所以可得，此時方程組無解；或，解得；所以實數(shù)的值為.（2）當集合且可知：若，則，解得當時，若，則，，此時，不滿足若，則，此時，滿足符合題意；綜上可知，實數(shù)的取值范圍為或.4．已知集合，集合.（1）若,求實數(shù)a的取值范圍（2）若,求實數(shù)a的取值范圍;（3）A，B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說明理由.【答案】（1）或

（2）

（3）能，【難度】0.65【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)【分析】（1）由是的子集，確定實數(shù)的取值范圍，（2）由是的子集，確定實數(shù)的取值范圍；（3）假定、相等，確定的值【詳解】（1）當時，，不滿足；當時，，由，得解得；當時，，由，得解得；.綜上可知，當時，或.（2）當時，，滿足；當時，得解得；當時，得解得綜上可知，當時，.（3）當且僅當且時，，由第（1）（2）分析可知.【點睛】本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．要正確判斷兩個集合間的包含關(guān)系，必須對集合的相關(guān)概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，認清集合的特征．5．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}．(1)若B?A，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若A?B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若A＝B，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【難度】0.85【知識點】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)、根據(jù)兩個集合相等求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)B?A分或兩種情況進行解答即可；（2）借助于子集概念得到兩集合端點值的關(guān)系，求解不等式得到m的范圍；（2）借助于相等集合的概念得到兩集合端點值的關(guān)系，求解等式得到m的范圍．【詳解】（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，由B?A得或，即或m+1＞2m﹣1，解得2≤m≤3或m＜2，所以實數(shù)m的取值范圍是；（2）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，由A?B得，解得3≤m≤4，所以實數(shù)m的取值范圍是[3，4]；（3）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m﹣6≤x≤2m﹣1}，由A＝B得，無解，所以實數(shù)．題型8全集及補集運算如果一個集合包含了我們所要研究的各個集合的全部元素，這樣的集合就稱為全集，全集通常用字母U表示；集合的補集圖形符號?UA＝{x|x∈U，且x?A}1．（24-25高二下·江蘇淮安·期末）設(shè)全集，集合，則中元素個數(shù)為（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】C【難度】0.85【知識點】補集的概念及運算【分析】根據(jù)補集的定義即可求出．【詳解】因為，集合，所以，故中的元素個數(shù)為3.故選：C．2．（24-25高二下·江蘇揚州·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】補集的概念及運算【分析】先化簡集合，再由補集的定義即可得.【詳解】因為，，所以.故選：B.3．（24-25高二下·浙江·階段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點】補集的概念及運算【分析】由補集的概念即可求解.【詳解】由于集合中的元素只有1，，故．故選：C．4．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】補集的概念及運算【分析】求出集合，利用補集的定義可求得集合.【詳解】因為集合，，故.故選：B.5．（24-25高二上·陜西漢中·期末）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【難度】0.94【知識點】補集的概念及運算【分析】根據(jù)補集的定義進行計算即可．【詳解】全集，集合，則，故選：C6．（24-25高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，則．【答案】/【難度】0.94【知識點】補集的概念及運算【分析】利用集合的補集運算即可.【詳解】由全集可得：，因為集合，所以，故答案為：.7．（19-20高一·浙江杭州·期末）若集合，則．【答案】【難度】0.94【知識點】補集的概念及運算【解析】由集合補集的定義即可得解.【詳解】因為集合，所以.故答案為：.8．（24-25高一上·河南駐馬店·開學(xué)考試）已知全集，，則．【答案】【難度】0.85【知識點】補集的概念及運算【分析】化簡集合，再求補集.【詳解】，且，當時，，故．故答案為：一、單選題1．（23-24高一上·山東日照·階段練習(xí)）已知集合滿足，則集合的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【難度】0.94【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、求集合的子集（真子集）【分析】利用集合的子集、真子集的概念求解.【詳解】由題可知，集合可以為：共3個，故選：C.2．（24-25高二下·江蘇南京·期末）已知集合，則集合A的真子集的個數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【難度】0.85【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)【分析】先求出集合A，再根據(jù)真子集的個數(shù)公式計算求解.【詳解】集合，則集合A的真子集的個數(shù)是.故選：C.3．（24-25高一上·江蘇常州·期中）滿足?的集合A的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【難度】0.94【知識點】判斷集合的子集（真子集）的個數(shù)、求集合的子集（真子集）、判斷兩個集合的包含關(guān)系【分析】根據(jù)集合之間的關(guān)系直接得出結(jié)果.【詳解】集合A可以是，共3個.故選：B.4．已知集合，則與集合相等的集合為（）A． B．C． D．【答案】D【難度】0.85【知識點】判斷兩個集合是否相等【分析】求出每個選項的集合，即可比較得出.【詳解】對A，，故A錯誤；對B，中，解得，故，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：D.5．（24-25高一上·全國·周測）下列四個集合中是空集的是（

）A． B．C．，或 D．【答案】B【難度】0.94【知識點】空集的概念以及判斷【分析】根據(jù)空集的定義進行判斷可得答案.【詳解】對于A，不是空集，故A錯誤；

對于B，無解，所以集合是空集，故B正確；對于C，集合，或不是空集，故C錯誤；對于D，集合不是空集，故D錯誤.故選：B.6．下列表示集合和關(guān)系的Venn圖中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系【分析】先求出集合M、N，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系選出對應(yīng)的韋恩圖.【詳解】解：由題意得：由題意得，所以N是M的真子集．故選：B7．（24-25高一下·山西臨汾·期末）已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【難度】0.94【知識點】補集的概念及運算【分析】解出不等式后可得，再利用補集定義計算即可得.【詳解】由可得，則，則.故選：B.二、多選題8．（多選題）下列與集合表示同一個集合的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【難度】0.85【知識點】判斷兩個集合是否相等【分析】解方程組求得的值，得到方程組的解的有序數(shù)對，集合M是這個有序數(shù)對構(gòu)成的集合，據(jù)此作出判定.【詳解】由解得,所以，所以根據(jù)集合的表示方法知A，C與集合M表示的是同一個集合，集合的元素是和兩個數(shù)，的元素是和這兩個等式，與集合M的元素是有序數(shù)對(可以看做點的坐標或者對應(yīng)坐標平面內(nèi)的點)不同,故BD錯誤.故選：．9．（24-25高一上·浙江·周測）（多選題）已知集合，，，下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【難度】0.85【知識點】描述法表示集合、判斷兩個集合的包含關(guān)系、判斷兩個集合是否相等【分析】根據(jù)題意得出，集合表示直線圖象上點的坐標，即可判斷ABC；判斷出在直線的圖象上，即可判斷D．【詳解】由題可知，，集合表示直線圖象上點的坐標，所以，故A正確；因為集合與中元素種類不同，故B錯誤，C正確；因為，所以在直線的圖象上，故D正確；故選：ACD．10．（24-25高一上·江蘇南通·月考）（多選題）下列結(jié)論錯誤的是（

）A．任何一個集合至少有兩個子集B．空集是任何集合的真子集C．若且，則D．若且，則【答案】ABD【難度】0.85【知識點】判斷兩個集合的包含關(guān)系、空集的性質(zhì)及應(yīng)用、子集的概念【分析】AB選項，根據(jù)空集的性質(zhì)判斷；CD選項，根據(jù)子集的定義判斷.【詳解】空集只有一個子集，故A錯；空集時任何非空集合的真子集，故B錯；因為，所以集合中所有元素都屬于集合，則，故C正確；例如，，，滿足且，此時，故D錯.故選：ABD.11．（多選題）下列命題中，正確的有（

）A．集合的所有真子集為B．若（其