PAGE培優(yōu)點(diǎn)13一網(wǎng)打盡恒（能）成立問題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01重點(diǎn)解讀 202思維升華 303典型例題 5題型一：轉(zhuǎn)化為單調(diào)性問題 5題型二：任意存在型 9題型三：指對(duì)同構(gòu)法 11題型四：直接法(換元、虛設(shè)零點(diǎn)） 14題型五：參數(shù)全分離 18題型六：換元后參數(shù)分離 22題型七：參數(shù)半分離 26題型八：主元變換法 28題型九：一階端點(diǎn)效應(yīng) 31題型十：二階端點(diǎn)效應(yīng) 37題型十一：必要性探路 42題型十二：朗博同構(gòu) 46題型十三：整數(shù)恒成立問題 49題型十四：共零點(diǎn)模型 56題型十五：雙參數(shù)問題 58題型十六：放縮變形、兩邊夾 62題型十七：雙重最值恒成立 65題型十八：已知恒成立，求具體參數(shù)值 6904課時(shí)精練 76不等式恒成立與能成立問題是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)結(jié)合，以壓軸題形式出現(xiàn)。恒成立問題要求不等式在定義域內(nèi)對(duì)所有變量值都成立，需通過求函數(shù)最值確定參數(shù)范圍；能成立問題則只需不等式在定義域內(nèi)有解，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域問題。解題時(shí)，需靈活運(yùn)用參數(shù)分離、數(shù)形結(jié)合、分類討論等方法。考生需熟練掌握函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，加強(qiáng)綜合運(yùn)用能力訓(xùn)練，以應(yīng)對(duì)高考中不等式恒成立與能成立問題的挑戰(zhàn)。

在處理不等式恒成立或能成立問題時(shí)，以下是一些常用的解題策略：1、完全參數(shù)分離法方法描述：首先，將原不等式中的參數(shù)與變量進(jìn)行完全分離，使得不等式轉(zhuǎn)化為形如（或）的形式。應(yīng)用條件：當(dāng)分離后的函數(shù)結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，且易于求取其最值時(shí)，此方法尤為有效。解題步驟：（1）對(duì)原不等式進(jìn)行變形，將參數(shù)與變量完全分離。（2）求解函數(shù)的最值。（3）根據(jù)最值確定參數(shù)的取值范圍。2、部分參數(shù)分離法方法描述：將原不等式轉(zhuǎn)化為形如（或）的形式，其中是一個(gè)既包含參數(shù)a又包含變量x的函數(shù)。應(yīng)用條件：當(dāng)完全參數(shù)分離法難以實(shí)施或結(jié)果復(fù)雜時(shí)，可考慮此方法。解題步驟：（1）對(duì)原不等式進(jìn)行變形，實(shí)現(xiàn)部分參數(shù)分離。（2）通過繪制函數(shù)圖像或分析臨界狀態(tài)（如切線、端點(diǎn)等），確定參數(shù)a的取值范圍。3、不分離參數(shù)法（隱零點(diǎn)、端點(diǎn)效應(yīng)）方法描述：在某些情況下，不直接分離參數(shù)，而是利用函數(shù)的隱零點(diǎn)或端點(diǎn)效應(yīng)來求解不等式。應(yīng)用條件：當(dāng)參數(shù)與變量之間的關(guān)系復(fù)雜，難以直接分離時(shí)，此方法可能更為適用。解題步驟：（1）分析函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值點(diǎn)等。（2）利用隱零點(diǎn)或端點(diǎn)效應(yīng)，結(jié)合不等式的條件，確定參數(shù)的取值范圍。4、特殊方法（如同構(gòu)法）方法描述：針對(duì)某些具有特殊結(jié)構(gòu)的不等式，可以采用同構(gòu)等特殊方法進(jìn)行求解。應(yīng)用條件：當(dāng)不等式具有某種特定的結(jié)構(gòu)或形式時(shí)，可考慮使用此方法。解題步驟：（1）識(shí)別不等式的特殊結(jié)構(gòu)或形式。（2）應(yīng)用同構(gòu)等特殊方法，將不等式轉(zhuǎn)化為更易求解的形式。（3）求解轉(zhuǎn)化后的不等式，確定參數(shù)的取值范圍。綜上所述，解決不等式恒成立或能成立問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)不等式的具體形式和特點(diǎn)，選擇合適的解題策略。

題型一：轉(zhuǎn)化為單調(diào)性問題【例1】若對(duì)，，，恒成立，則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)椋?，則可化為，整理得，因?yàn)?，所以，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，所以，故，所以得最小值為.故答案為：【變式1-1】已知函數(shù)對(duì)于恒有則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】求導(dǎo)可得，由的范圍可知，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，則原不等式可化為.又，不妨設(shè)，由可得，且.令，，則有且，原不等式可化為，即，即在上恒成立.設(shè)，可知在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，故.令，則，因?yàn)?，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，故選：.【變式1-2】任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有成立，則的范圍為.【答案】【解析】由得，即有，設(shè)，即有，知在上單調(diào)遞減，故在上恒成立，故在上恒成立，故.故答案為：.【變式1-3】（2025·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù).對(duì)于函數(shù)圖象上對(duì)任意不同兩點(diǎn)，，設(shè)直線的斜率為，若恒成立，的取值范圍為.【答案】【解析】由題意，，則原不等式化為，不妨設(shè)，則，即，即.設(shè)，則，由已知，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則在上是增函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，，即，即恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以.故的取值范圍是.故答案為：【變式1-4】已知函數(shù)，若，且，有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】不妨設(shè)，則不等式可化為，所以，設(shè)，由已知可得在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，滿足，即，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，又，所以，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.題型二：任意存在型【例2】已知函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【答案】【解析】對(duì)求導(dǎo)得.時(shí)，，遞增.所以.

對(duì)求導(dǎo)得.令，得.時(shí)，，遞增；時(shí)，，遞減.則.

根據(jù)題意知道，即.移項(xiàng)得，所以取值范圍是.

故答案為：.【變式2-1】已知若存在，使得成立，則的最大值為.【答案】/【解析】因則，由知時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.由可得：且,故得：，則，不妨設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，即，故的最大值為.故答案為：.【變式2-2】設(shè)函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)于，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】若對(duì)于，，使成立，只需，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以在上是減函數(shù)，所以函數(shù)取得最小值．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，函數(shù)取得最小值，需，不成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，函數(shù)取得最小值，需，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)取得最小值，需，解得或，此時(shí)無解；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【變式2-3】已知函數(shù)，，對(duì)于任意的，存在，使得成立，則的最大值為．【答案】/【解析】因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，所以，又，所以.所以.令，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以有最大值.故答案為：.題型三：指對(duì)同構(gòu)法【例3】（2025·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，則，令，則，則，令，解得，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，故只需，即，令，則，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，故，則，即，故選：C.【變式3-1】已知對(duì)任意的正數(shù)，不等式恒成立，則正數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由對(duì)恒成立，且，即恒成立，即恒成立，設(shè)，則，因?yàn)椋?，即函?shù)在上單調(diào)遞增，則由恒成立，可以轉(zhuǎn)化為恒成立，即對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，即.設(shè)，，則，令，即；令，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：.【變式3-2】對(duì)任意，不等式恒成立，則正數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)任意的，不等式恒成立，則，可得，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，則，故對(duì)任意的，，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，故，解得，即正實(shí)數(shù)的最大值為.故選：A.【變式3-3】已知對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則.∵時(shí)，，，∴，故在上單調(diào)遞增.∵對(duì)恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，則有，當(dāng)時(shí)，可等價(jià)變形為.∵在上單調(diào)遞增，且，（），∴由可得，即對(duì)恒成立.設(shè)，則.令得，令得，令得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，.∵對(duì)恒成立，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B【變式3-4】（2025·甘肅金昌·三模）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)有，當(dāng)即時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)即時(shí)，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而即因?yàn)椋始丛谏虾愠闪?，而時(shí)，恒成立即恒成立，故在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，故，故，故，故選：B.題型四：直接法(換元、虛設(shè)零點(diǎn)）【例4】已知函數(shù)，若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】恒成立，即，等價(jià)于，恒成立，令，因?yàn)楹愠闪ⅲ栽谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，所以恒成立，等價(jià)于恒成立，令，①當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；③當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，要使得恒成立，只需，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式4-1】已知函數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值是．【答案】【解析】，對(duì)任意的，不等式恒成立，則為函數(shù)在內(nèi)的最大值點(diǎn)，也為函數(shù)的極大值點(diǎn)，故即，所以，因?yàn)?，若，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)時(shí)，函數(shù)取得極大值，也是最大值，滿足題意；此時(shí)；若，令可得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極小值，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，與已知矛盾當(dāng)，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，因?yàn)槭巧系淖畲笾?，則且，即，解可得，，所以且即的最小值為．故答案為：【變式4-2】（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)(1)求在處的切線方程；(2)若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以切線斜率，故切線方程為.（2）設(shè)，的定義域?yàn)椋?，設(shè)，則，故在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，因此，所以的取值范圍是.【變式4-3】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由，得，所以的定義域?yàn)椋?，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，為減函數(shù)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由題意得當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，由（1）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不符合題意，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，解得，綜上所述，．【變式4-4】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若時(shí)，，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由，得.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值為.令，得，所以.當(dāng)，即時(shí)，若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值為.令，解得.綜上，的取值范圍為.題型五：參數(shù)全分離【例5】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，直接寫出的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，，，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，，∴.∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，∴.令，解得；令，解得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）當(dāng)時(shí)，，∴.∵對(duì)恒成立，∴對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，∴.設(shè)，則.∵，∴，.令，，則，∴在上單調(diào)遞增.又，，∴由零點(diǎn)存在性定理可知：，使得，即，∴時(shí)，，，在上單調(diào)遞減；時(shí)，，，在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí)，取得最小值.∴，即的取值范圍為.【變式5-1】已知函數(shù)在處取得極值，其圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行．(1)求的值；(2)若對(duì)任意，都有恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，由題意可得，即，解得，所以，故當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，符合題意，所以，.（2）由，即，則，對(duì)任意，令，則，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故，所以，解得或.所以的取值范圍為.【變式5-2】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)若時(shí)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，則，時(shí)恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)的最小值為：．（2）當(dāng)時(shí)，成立，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，由，得．令，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增．所以．因此，即．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式5-3】（2025·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；(3)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求整數(shù)k的值組成的集合．【解析】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，則，解得，所以的解析式為.（2）由（1）得，則，求導(dǎo)得，由，得；由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，要使在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）對(duì)任意的，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，恒成立，①當(dāng)時(shí)，，顯然成立，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，恒成立，令，求導(dǎo)得，而當(dāng)時(shí)，恒成立，由得；由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值，則；③當(dāng)時(shí)，恒成立，令，此時(shí)，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，由零點(diǎn)存在定理得存在，使得，即，由，得，由，得，在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且，則，于是實(shí)數(shù)k的取值范圍為，所以整數(shù)k的值組成的集合為.【變式5-4】已知函數(shù)，,若對(duì)于任意的,恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為.【答案】【解析】對(duì)于任意的，恒成立，即在上恒成立，也即（*）在上恒成立，設(shè)，則，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，又，則當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，由（*）可得，即，故實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：.題型六：換元后參數(shù)分離【例6】函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，解方程；(3)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)且，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，若，，即在上單調(diào)遞減，若，，即在上單調(diào)遞增，綜上，時(shí)在上單調(diào)遞增，時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由題設(shè)，則，即，令且，則，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞減，又，即，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以的解為，即的解為.（3）由且，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，，，恒成立，令，則，令，則，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且，故時(shí)，即，時(shí)，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，即，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式6-1】（2025·河北秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：；(3)若，求的取值范圍．【解析】（1）由，可得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，且，故存在，使，則得.當(dāng)時(shí)，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.故，因，故得，即，故.（3）由可得，即，設(shè)，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.再設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故得，即的取值范圍是.【變式6-2】（2025·山東煙臺(tái)·三模）若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，令，則恒成立，則恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故a的取值范圍為.故選：C.【變式6-3】已知函數(shù).(1)若,求的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；(2)若,且當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時(shí),,令,得,所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,極大值點(diǎn)為,無極小值點(diǎn).(2)方法一,即.令,則,對(duì)于恒成立,即,(*)易證當(dāng)時(shí),,則,即,于是,由可得,令,則.當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,所以在(0,1)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,所以,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型七：參數(shù)半分離【例7】若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】不等式恒成立,恒成立,,當(dāng)時(shí),顯然不恒成立,當(dāng)時(shí),原不等式等價(jià)于恒成立,由于在處的切線方程為,要使恒成立,只需,即,的取值范圍為.【變式7-1】已知函數(shù)，其中．(1)求在處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)若關(guān)于x的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）根據(jù)題意，，則，且，所以在處的切線方程為：；（2）令，得或，則當(dāng)和時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和，極大值為，極小值為；（3）根據(jù)題意關(guān)于x的不等式在上有解，即在上有解，設(shè)，，，，由于，在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞減，所以，則，解得.【變式7-2】（2025·河南·模擬預(yù)測(cè)）若，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，令，令，其中，則，其中，因?yàn)楹瘮?shù)、在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，又，由可得，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，，所以，，即.故的取值范圍為．故答案為：．題型八：主元變換法【例8】函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若存在唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若存在，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，可得，，切線方程為，化簡(jiǎn)得.（2）由得，令，則，當(dāng)時(shí)，解得，可知當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在處取得最大值，，當(dāng)時(shí)，且，則函數(shù)圖形如下圖：存在唯一的極值點(diǎn)，即有唯一解，即有唯一解，由可知，或，即或，當(dāng)時(shí)，在R上，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，存在一點(diǎn)，使，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值.所以存在唯一的極值點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（3）存在，使得對(duì)任意成立，則在R上恒成立，即，即，由（2）可知，當(dāng)時(shí)，存在，使在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處，取得最大值則，即，因?yàn)?，解得，代入得，令，則，可知在上，，在上單調(diào)遞減，在上，，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，，所以，實(shí)數(shù)b的取值范圍是.【變式8-1】已知函數(shù)（），若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，則的取值范圍．【答案】【解析】由條件，可知，從而恒成立．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，在上恒成立，所以，因此滿足條件的的取值范圍是．故答案為:【變式8-2】已知不等式對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍.【解析】令,由于,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以.即,令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在(0,2)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以的取值范圍為.【變式8-3】已知函數(shù),對(duì)任意和任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】由題知對(duì)任意恒成立,即恒成立,令,則,即,所以恒成立,令,則,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以,故的取值范圍為.題型九：一階端點(diǎn)效應(yīng)【例9】（2025·甘肅白銀·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若在其定義域上單調(diào)，求的取值范圍；(2)若．（?。┳C明：；（ii）若，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，則；若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，，（i）由題意得在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，，則，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以得證；（ii）由得在區(qū)間上恒成立，令，，則，且，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以，解得，因?yàn)?，所以，，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以恒成立，合乎題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式9-1】已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值(3)當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【解析】（1）由，則，求導(dǎo)可得，所以在處的切線斜率，由，則切線方程為，即.（2）由，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，當(dāng)時(shí)，，解得，，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值為，無極大值，綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無極值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，極小值為，無極大值.（3）由題意化簡(jiǎn)不等式為，令，求導(dǎo)可得，令，化簡(jiǎn)可得，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，易知在上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，存在，使得，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，不符合題意；綜上可得：.【變式9-2】（2025·黑龍江大慶·一模）已知函數(shù)，其中.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)若時(shí)，有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)?，則對(duì)任意恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以當(dāng)時(shí)，.（2）因?yàn)?，則，令，則對(duì)任意恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，當(dāng)，即時(shí)，則對(duì)任意恒成立，即，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，則在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可知存在極小值，符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）令，則，原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立，且，則，解得，若，因?yàn)?，則，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即符合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式9-3】（2025·江蘇揚(yáng)州·三模）已知函數(shù).(1)若，且，求a的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求b的取值范圍.【解析】（1）時(shí)，，則，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，而成立，故，即，所以的最小值為.（2）的定義域?yàn)?設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵趫D象上，故，而，所以也在圖象上，由的任意性可得圖象為中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為.（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個(gè)解，所以，可得，依題意在上恒成立，設(shè)，則，則有在上恒成立，因?yàn)椋稍O(shè)，所以①當(dāng)時(shí)，由知，，所以，所以在單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意都成立，所以在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)，即時(shí)，而當(dāng)時(shí)，，所以，使，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以舍去；②當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，則，所以舍去；③當(dāng)時(shí)，與在上都單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則，所以舍去.綜上，.【變式9-4】（2025·北京海淀·三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線；(2)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）由，得，則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線為；（2）當(dāng)時(shí)，，所以，令，則，所以在單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（3）設(shè)，則，因?yàn)闀r(shí)，所以為增函數(shù)，又在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以時(shí)，符合題意；②當(dāng)即時(shí)，，又，當(dāng)即時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，此時(shí)不符合題意；當(dāng)即時(shí)，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，不符合題意；綜上所述，的取值范圍是題型十：二階端點(diǎn)效應(yīng)【例10】（2025·湖北·三模）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以切線方程為，即；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，則.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，可知在上單調(diào)遞減，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，所以滿足題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，此時(shí)，則在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，即不恒成立，可知不合題意.綜上所述，.【變式10-1】（2025·北京東城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，．(1)證明：在區(qū)間恒成立；(2)若的最小值為0，求的值；(3)若在區(qū)間內(nèi)恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）在恒正，則在區(qū)間恒成立等價(jià)于在區(qū)間恒成立．取，，故在區(qū)間單調(diào)遞增，所以．故原不等式恒成立．（2），，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．則的最小值為，令，，則，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，．即當(dāng)時(shí)，的最小值為0，．（3）記，則當(dāng)時(shí)，由（2）知，在上單調(diào)遞減，所以．對(duì)恒成立，又當(dāng)時(shí)，由（1）知，，取時(shí)，，則與已知不等式矛盾．當(dāng)時(shí)，，，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，取，則，從而由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，存在，使，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，，與已知不等式矛盾．當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，從而，，滿足題意．綜上可知．【變式10-2】（2025·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，曲線與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，求函數(shù)的解析式；(2)討論在上的單調(diào)性；(3)若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，設(shè)點(diǎn)為圖象上任一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為在的圖象上，所以，即，所以；（2）因?yàn)椋?；①?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，在[上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）不等式在上恒成立，則恒成立，所以恒成立，設(shè)，則，令，則，令，則，故在上單調(diào)遞增，且，所以，所以在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增，且，故恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，且當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減，又，則當(dāng)時(shí)，，不滿足題意．故．【變式10-3】已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)若時(shí)，，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，故，又，所以處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，時(shí),，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，時(shí),，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)恒成立，在單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增．（3）由題意得對(duì)于任意的恒成立，且當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．令則，，①若，則．令，則，顯然在上恒成立，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．當(dāng)，即時(shí)，．又，易證，，，使，時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，對(duì)，，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，，符合題意，所以；②當(dāng)時(shí)，只需證明當(dāng)時(shí)，即可．令，則，易得，即在上單調(diào)遞增，故時(shí)，，，，即在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，在上恒成立，綜上所述，的取值范圍是．題型十一：必要性探路【例11】已知函數(shù),若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】恒成立,,解得.下面證明當(dāng)時(shí),恒成立,將視為關(guān)于的函數(shù),易知單調(diào)遞增,,又,,即,所以,綜上,的取值范圍是.【變式11-1】（2025·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足.(1)求的取值范圍；(2)判斷并證明函數(shù)的對(duì)稱性；(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意知：有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)；令，在上遞減，上遞增；，又，得，即；（2），則對(duì)稱性有關(guān)的橫坐標(biāo)：，且，又，有，故有對(duì)稱中心，無對(duì)稱軸；（3）法一：有，故有；當(dāng)時(shí)，，故.下證充分性：有.令，則，令，有，故在上遞減，又，故存在，使得，故在上遞增，在上遞減.又，故恒成立，若，有，由，故存在，使得，故不合題意.綜上，若恒成立，則實(shí)數(shù).法二：有，故有，參變分離得，令，有，其中，令，有在上成立，故在上遞增，又，故，令，有，在上，且單調(diào)遞減，且單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，故，故在上單調(diào)遞減，又，故存在使得.故在上遞減，在上遞增，又，故.【變式11-2】（2025·江西·三模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，求的取值范圍.【解析】（1）若，則，.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）（解法一）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋缘葍r(jià)于.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù).因?yàn)?，所以在上恒成立，不符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù).當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.所以.因?yàn)?，所?設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.所以，所以有唯一解，即.故的取值范圍是.（解法二）因?yàn)榈亩x域?yàn)?所以等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，則.因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，解?下面證明時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.所以，故，得證，故的取值范圍是.【變式11-3】（2025·安徽合肥·三模）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求m的取值構(gòu)成的集合．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得，則且，所以切線的斜率為，切點(diǎn)為，

故所求切線方程為，即.（2）由函數(shù)，可得其定義域?yàn)椋坏仁胶愠闪?，等價(jià)于恒成立，令，可得，其中，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒成立，所以是的最大值點(diǎn)，也是極大值點(diǎn)，則，可得，解得，當(dāng)時(shí)，可得，令，則，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，所以，滿足條件，所以綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值構(gòu)成的集合為．題型十二：朗博同構(gòu)【例12】（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）求導(dǎo)得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值．（2）方法一：由題知不等式在上恒成立，則原問題等價(jià)于不等式在上恒成立，記，則，記，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不等式恒成立，所以；②?dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖?，使得，而，此時(shí)不滿足，所以無解．綜上所述，．方法二：由題知不等式在上恒成立，原問題等價(jià)于不等式在上恒成立，即在上恒成立．記，則，當(dāng)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因?yàn)榧?，①?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以不等式恒成立，所以；②?dāng)時(shí)，令，顯然單調(diào)遞增，且，故存在，使得，即，而，此時(shí)不滿足，所以無解．綜上所述，．【變式12-1】（2025·貴州貴陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．（1）若過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有一條，求實(shí)數(shù)t的值；（2）若恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)，由，求導(dǎo)得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得，化簡(jiǎn)可得，，依題意方程僅只一個(gè)實(shí)根，于是，解得或，所以當(dāng)或時(shí)，過點(diǎn)P作曲線的切線有且僅有一條．（2）設(shè)，，則恒成立，于是在上單調(diào)遞增，則，即，因此當(dāng)時(shí)，恒有成立，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，，則恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，，使得，于是在上恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，即成立；當(dāng)時(shí)，存在滿足，即，此時(shí)，，不合題意，綜上，a的取值范圍是．【變式12-2】（2025·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，令，則，令，，∵，∴p(x)在(0，+)上單調(diào)遞增，∵，∴當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；∴，∴≥恒成立，則．故選：A題型十三：整數(shù)恒成立問題【例13】已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求整數(shù)的最大值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)若，則，單調(diào)遞減；若，則，單調(diào)遞增；若，則，單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，?下證在上恒成立，令，只需證.，令，則，因?yàn)?，所以，所以單調(diào)遞增，，，所以存在，使得，即當(dāng)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，，單調(diào)遞增；所以，因?yàn)?，所以，所以，所以整?shù)的最大值為2.【變式13-1】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，可知的定義域?yàn)?，且，令，解得；令，解得；可知的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；所以函數(shù)的最小值為.（2）由題意可知的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，令解得，令，解得；令，解得；所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即，整理可得，原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立，令，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即，所以，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以，因?yàn)?，則，即，且為整數(shù)，則，所以整數(shù)的最大值是.【變式13-2】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若時(shí)（Ⅰ）函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，均有恒成立，求整數(shù)的最小值.【解析】（1）的定義域?yàn)椋?/p>

當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增,②當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）（Ⅰ），

，

令，要使存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則方程有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，，所以

，解得，所以的取值范圍為.

（Ⅱ）由于在上恒成立，在上恒成立，

令，則在上恒成立，則，當(dāng)時(shí)，，令，則，在上單調(diào)遞增，

又，，存在使得，即，，

故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

從而，令，，則，在上單調(diào)遞增，，又為整數(shù)，故，即整數(shù)的最小值為.【變式13-3】已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)當(dāng)為整數(shù)時(shí)，若恒成立，求的最小值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，曲線在處的切線方程為：．（2）的定義域?yàn)?，?/p>

①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（3），即．

設(shè)，則．

設(shè)，則．

設(shè)，則，令，得；令，得．時(shí)，為增函數(shù)，時(shí)，為減函數(shù)，

，即在上為減函數(shù)．

，，使，時(shí)，，從而為增函數(shù)；時(shí)，，從而為減函數(shù)；的最大值為．

由得，，

，，

整數(shù)的最小值為1．【變式13-4】若，恒有，則正整數(shù)的最大值為．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】3【解析】由題，任意，，恒有，則.令（），則.令得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有最大值.令（），則.令，.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，此時(shí)，必有成立；當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有最小值.則，即.兩邊取自然對(duì)數(shù)可得，即求最大的使得.因，則上述不等式可轉(zhuǎn)化為.令，即求使得的最大的正整數(shù).恒成立，則在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，，則使成立的最大正整數(shù)為3.故答案為：3題型十四：共零點(diǎn)模型【例14】設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】要使得在上恒成立，則，且無變號(hào)零點(diǎn)，分析與的符號(hào)情況如下：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，即，①當(dāng)時(shí)，，所以且，又，所以所以，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，所以且，又，所以所以，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，，所以且，又，所以所以，滿足題意；綜上，當(dāng)時(shí)，在上恒成立.所以，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，即故選：C【變式14-1】已知函數(shù)，，，則（

）A． B． C．4 D．16【答案】D【解析】設(shè)，，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的極小值為，又因?yàn)椋?，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，，，且，即得，（*）若，，則的零點(diǎn)也為，，且代入（*）式得：，所以.故選：D．【變式14-2】設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由題意知，則，因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上也單調(diào)遞增.當(dāng)在區(qū)間上，函數(shù)與有相同的零點(diǎn)，且符號(hào)相同，就滿足函數(shù)恒成立.解，得，解，得，所以，解，得，所以，所以.令，則，解，得，解，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：C.【變式14-3】函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的定義域?yàn)椋深}意得，即在上恒成立，由于在上單調(diào)遞增，故需在上單調(diào)遞增，且與兩函數(shù)零點(diǎn)相同時(shí)，可保證在上恒成立，令得，令得，即，且，所以，，令，，則，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，又時(shí)，，所以.故選：B題型十五：雙參數(shù)問題【例15】已知不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)t恒成立，則的最大值為．【答案】【解析】依題意可知對(duì)任意的實(shí)數(shù)t恒成立．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，不合題意．當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)t恒成立，故恒成立，即恒成立，則恒成立．令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．故，故，當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為．故答案為：【變式15-1】設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)?，所?對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：.①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減.要使得，則并不恒成立，所以.②當(dāng)時(shí)，令，則，即.所以此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；令，則，即.所以此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減；此時(shí)函數(shù)在上取得最大值為.要使得恒成立，則，即，此時(shí).令，求導(dǎo)得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，此時(shí)，所以的最小值為.③當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t，所以，所以此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減.此時(shí)函數(shù)無最大值，那么并不恒成立.綜上所述，只有當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的最小值為.故答案為：.【變式15-2】已知，若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最大值為.【答案】/【解析】令，由不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立等價(jià)于，所以，令有，令，由有，有，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，令，所以，令有，由有，由有，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故答案為：.【變式15-3】已知函數(shù)（，），，若對(duì)，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，令，則，恒成立，即恒成立，即，，令，解得，令，即在上單調(diào)遞增；令，即在上單調(diào)遞減.，，，令，，令，即在單調(diào)遞增；令，即在單調(diào)遞減；，，即的取值范圍為.故選：B題型十六：放縮變形、兩邊夾【例16】已知．(1)討論函數(shù)在的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若恒成立，求b的取值范圍．【解析】（1）由題可得，令，得．①若，則，即，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．②若則，即，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．-（2）法一：當(dāng)時(shí)，即恒成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在唯一的，使得（☆），當(dāng)時(shí)，，即，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，則在上單調(diào)遞增，則．由（☆）得，設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，所以，得，由，得，故，故，因此，故b的取值范圍為．-法二：當(dāng)時(shí)，即恒成立，令，則，而，-令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．令，則在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，取得最小值1．因此，故的取值范圍為．【變式16-1】（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b為實(shí)數(shù)，若對(duì)任意，都有恒成立，則的最小值為．【答案】1【解析】對(duì)任意，都有恒成立，故．由，得，所以，從而恒成立，故，易知，于是．設(shè)．設(shè)．故在上單調(diào)遞增，結(jié)合，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．故，所以的最小值為1，此時(shí)．故答案為：.【變式16-2】若不等式恒成立，則的取值范圍為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，即，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．又，所以，則，所以．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，且當(dāng)時(shí)，．故答案為：．【變式16-3】設(shè)，若不等式成立，則．【答案】/【解析】不等式，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，于是，從而，此時(shí)，所以.故答案為：【變式16-4】已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，設(shè)，則，故，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)，，在單調(diào)遞減.所以，所以，令，則，當(dāng)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)，，在單調(diào)遞減.故，所以.由題意可知若，則，故，，此時(shí)且，解得，故.故選：A.題型十七：雙重最值恒成立【例17】（2025·河南·三模）已知函數(shù)，，其中．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)．（?。┯帽硎緈，n的最大值，證明：；（ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上為減函數(shù)．又因?yàn)?，故函?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)0.（2）（?。┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.（ⅱ）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以等價(jià)于當(dāng)時(shí)，恒成立，又，若，當(dāng)時(shí)，由，所以在上遞增，所以此時(shí)恒成立.若，當(dāng)時(shí)，由，解得為，在上遞減，此時(shí)，不符合題意．綜上可知，存在實(shí)數(shù)a滿足題意，a的取值范圍是.【變式17-1】（2025·高三·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù)，，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；(2)求函數(shù)的零點(diǎn)；(3)用表示、的最大值，記．問：是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，此時(shí)曲線在點(diǎn)處切線的方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)?，故函?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).（3）函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）知，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，由于當(dāng)時(shí)，恒成立，所以等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，，且.下面考慮，當(dāng)時(shí)，恒成立，①若，當(dāng)時(shí)，，故，在遞增，此時(shí)，不合題意；②若，當(dāng)時(shí)，由知，存在，使得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，在上遞增，故當(dāng)，，遞增，此時(shí)，不合題意；③若，當(dāng)時(shí)，由知，對(duì)任意，，遞減，此時(shí)，符合題意.且當(dāng)時(shí)，，合乎題意，綜上可知：存在實(shí)數(shù)滿足題意，的取值范圍是.【變式17-2】（2025·高三·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知函數(shù)，設(shè)表示的最大值，記.(1)討論在上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【解析】（1），，令，則;令，則或，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由(1)知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，,等價(jià)于在上恒成立..令當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，.所以的取值范圍是.【變式17-3】（2025·貴州銅仁·三模）已知函數(shù)，．用表示的最大值，記．若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于，故，從而對(duì)和均有.這表明在和上均單調(diào)遞增，從而在上遞增.由于，故.①若，則，且等號(hào)至多對(duì)成立，所以在上單調(diào)遞減.這就意味著對(duì)有，對(duì)有，從而始終有成立，滿足條件；②若，取，使得，則對(duì)有，從而在上遞增.這就意味著有，，所以，不滿足條件.綜合①②兩個(gè)方面可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.題型十八：已知恒成立，求具體參數(shù)值【例18】（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處取得極小值.(1)求的值；(2)證明：；(3)若，求的值.【解析】（1）由題得，又在處取得極小值，所以，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故.（2）由（1）得，要證，即證，只需證，只需證.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，故可得.（3）由題得，令，其中，且，令，解得.①若，則，，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，且，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，符合題意.令，則.②若，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又，且，所以存在，使得，則當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，則，不符合題意.③若，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，又以及的連續(xù)性，所以存在，使得當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，則，不符合題意.綜上，的值為.【變式18-1】（2025·高三·云南·期中）已知函數(shù)(1)求曲線過點(diǎn)的切線方程；(2)若（i）當(dāng)時(shí)，求的極值;（ii）若恒成立，求實(shí)數(shù).【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，則，故切線方程為，將代入可得，解得，故切線方程為，即.（2）（i）當(dāng)時(shí)，．的定義域?yàn)椋?；令得，或（舍去）；所以?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；故函數(shù)的極小值為，無極大值．（ii）令，，所以．由當(dāng)時(shí)，恒成立，得，恒成立，而，所以是函數(shù)的最小值．①當(dāng)時(shí)，，；令，，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，則，；所以，，則在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，不符合題意．

②當(dāng)時(shí)，令，，所以，則在上單調(diào)遞增；又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以存在唯一，使得；所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；故函數(shù)，則，所以．綜上，得．【變式18-2】（2025·湖南邵陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，證明：恒成立；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，.令，，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增...當(dāng)時(shí)，在上恒成立.（2）令，，則.若對(duì)任意，恒成立，則.令，，.①當(dāng)時(shí)，.由（1）知.在上恒成立，且不恒為0.在上單調(diào)遞增.，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.，符合題意.②當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，；在上單調(diào)遞增.，.∴存在，使得.當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；，則在上單調(diào)遞減；，則在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，，不合題意.③當(dāng)時(shí)，.若，由②知在上單調(diào)遞增.則存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；若，由②知在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增.故時(shí)，，不合題意.綜上所述，存在，使得任意，都有恒成立.實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式18-3】已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，恒成立，求的值；【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則.令，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）由，得，.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以是在區(qū)間上的最小值，即當(dāng)時(shí)，是的極小值點(diǎn)，所以，解得.當(dāng)時(shí)，.令，則.由（1）知，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，符合題意.故.

1．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，定義域因?yàn)榭勺冃螢?，所以的反函?shù)為，則要使得不等式恒成立，則必須且只需要恒成立，因?yàn)?，則分離參變量得，即，，構(gòu)造，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，所以，又因?yàn)?，所以，故選：C.2．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】①因，則，由得，；得，，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因，則，因，則，即，則，又，則由零點(diǎn)存在性定理可知，在和內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)，②若，則在上單調(diào)遞增；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③因?yàn)楹愠闪?，所以和有兩個(gè)相同正根，且，對(duì)于方程，即，則，且，；由和，可得，兩式相加得，，即，令，對(duì)求導(dǎo)，.令，即，解得.當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減.所以在處取最大值，.綜上，的最大值為.故選：B.3．（2025·河北廊坊·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，，即在時(shí)恒成立，令，則，令得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.4．（2025·湖北·二模）已知，函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得的定義域?yàn)椋O(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．設(shè)，由，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，，．又，，所以，，所以，即，則，所以．易知，，故，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故的最小值為．解法二由，，，得．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的大致圖象，數(shù)形結(jié)合可知，若，則與，的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)重合，如圖，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為，則為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，，．易知為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，，以下同解法一．故選：C.5．（2025·遼寧·一模）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，不滿足恒成立；當(dāng)時(shí)，令，可得或，函數(shù)的零點(diǎn)為和，因?yàn)楹愠闪?，所以，所以，令，則，令，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，所以的最小值為1.故選：D6．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則由，得恒成立，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，故不可能恒成立，故不成立；?dāng)時(shí)，由，得，由得，由，得，由得，因?yàn)楹愠闪?，故，即，故，設(shè)，則，由，得到，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故，所以的最小值為，故選：D.7．（2025·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若，則的取值范圍是．【答案】【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，要使得恒成立，即恒成立，只需恒成立，即恒成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，從而，則，又，得，所以由恒成立，得恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為1，即，所以只需，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.8．若關(guān)于的不等式且在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由得，令，則，由二次函數(shù)性質(zhì)可知在單調(diào)遞增，且，所以，即，即在上恒成立.令，則，由可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，所以，即，可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：9．已知恒成立，則正數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由有，令，即，由，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，由有，即，令，所以，所以，令有，由有，有，所以單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，所以，所以，即，故答案為：.10．，，恒成立，則最小值為．【答案】【解析】由，可得，因?yàn)?，則，可得，故，故，構(gòu)造函數(shù)，其中，則對(duì)任意的恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，故，令，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，則，故對(duì)任意的時(shí)，恒成立，此時(shí)函數(shù)在上為減函數(shù)，此時(shí)，合乎