15綜合與實(shí)踐

最短路徑問(wèn)題----牧民飲馬問(wèn)題復(fù)習(xí)舊知：

A

B

①②③

Pl

A

B

C

D兩個(gè)最短兩點(diǎn)之間，線段最短（點(diǎn)點(diǎn)之間）點(diǎn)到直線的距離垂線段最短（點(diǎn)線之間）情境引入：牧民從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．牧民到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？牧民飲馬問(wèn)題探究新知：如圖，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小.ABl原理：兩點(diǎn)之間，線段最短P解決問(wèn)題之一：化抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題ABl在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小．解決問(wèn)題之二：化未知為已知ABl說(shuō)說(shuō)下面兩圖的區(qū)別.ABl待解決已解決能轉(zhuǎn)化嗎？怎么轉(zhuǎn)化？P解決問(wèn)題之二：化異側(cè)為同側(cè)ABl思考：怎樣把點(diǎn)B移到直線l的另一側(cè)呢？可利用什么知識(shí)？ABl待解決已解決B'P作軸對(duì)稱(chēng)作法：①作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'②連接AB'，與直線l相交與點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.P解決問(wèn)題之三：證明“最短”思考：你能用所學(xué)的知識(shí)證明AP+BP最短嗎？ABlB'PC總結(jié)歸納：在解決牧民飲馬問(wèn)題時(shí)，步驟如下：實(shí)際問(wèn)題化抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)把同側(cè)點(diǎn)轉(zhuǎn)為異側(cè)點(diǎn)利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定所求位置課堂練習(xí)：1.如圖，一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請(qǐng)畫(huà)出旅游船的最短路徑．QPBCP'E2.如圖，小河邊有兩個(gè)村莊Ａ、Ｂ．要在河邊建一自來(lái)水廠向Ａ村與Ｂ村供水．（1）若要使廠部到Ａ、Ｂ村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠？（2）若要使廠部到Ａ、Ｂ村的水管最省料，應(yīng)建在什么地方？BAEF3.A,B兩地相距5km，A,B兩地到河l的距離分別為3km,6km,欲在l上某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站向A,B兩地供水，現(xiàn)有以下四種鋪設(shè)方案，紅色實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所用管道最短的是（）ABCD拓展提高:如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）.造橋選址問(wèn)題l

B

AABNM

抽象成

M

N作圖問(wèn)題：在直線l上求作一點(diǎn)M，使AM+MN+NB最短問(wèn)題化數(shù)學(xué)問(wèn)題為數(shù)學(xué)模型：那么怎樣確定AM+MN+BN在什么情況下最短呢？l

A'

N

M

A

B①平移A到A'，使AA'等于河寬，并且AA'⊥河岸.②連接A'B交河岸于N③作橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.證明:另任作橋M1N１，連接AM１，BN１，A'N１.

AM＝A'N，AA'＝MN＝M１N１，AM１＝A'N１在△A'N１B中，∵A'N1+BN1＞A'B∴AM1+M1N1+BN1＞AM+MN+BN為什么橋的位置建在M、N處，AM+MN+BN在這個(gè)位置時(shí)最短？l

M1

N1

A'

N

M

A

B由平移性質(zhì)可知：AM+MN+BN=A'N+AA'+BN=AA'+A'BAM1+M1N1+BN1=AN1+AA1+BN1∴橋的位置建在MN

處，AM+MN+BN最短.河河

A

BAB

例1：A和B兩地在二條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造二座橋MN、PQ.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNPQB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？MNPQ

抽象成

M

N

P

Q河河

M

N

P

Q

B橋MN、PQ.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNPQB最短?

A1

A

A2作法一還可以怎么作呢？作A點(diǎn)的兩次平移河河

M

N

P

Q

B

A1

A

B1作法二作A點(diǎn)、B點(diǎn)各一次平移例2：有三條河，修