/山西省晉中市部分學(xué)校2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期10月階段性考試數(shù)學(xué)試題（B卷）一、單選題1．直線：在軸上的截距為（

）A． B． C．1 D．22．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．已知直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．4．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．兩條平行直線與之間的距離為（

）A．6 B．5 C． D．6．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則到直線的距離為（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．78．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則當(dāng)三棱錐外接球半徑最小時(shí)，的長為（

）A． B． C． D．二、多選題9．如果，那么直線通過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．四點(diǎn)共面11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形周長為B．動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為C．動(dòng)點(diǎn)離原點(diǎn)的最長距離為2D．動(dòng)點(diǎn)離原點(diǎn)的最短距離為三、填空題12．已知直線的方向向量為且過點(diǎn)，則的方程為.13．在空間直角坐標(biāo)系中，，若點(diǎn)在線段上，且，則點(diǎn)坐標(biāo)為．14．在平行六面體中，，且，若，，則棱的最大值為.四、解答題15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.(1)求邊上的中線所在直線的斜截式方程；(2)求邊上的高所在直線的截距式方程.16．如圖，四棱錐的側(cè)棱底面，已知底面是正方形，若，且是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．已知直線.(1)已知直線恒過定點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值.18．如圖，矩形所在的平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，且.(1)若，證明：；(2)當(dāng)三棱錐的體積是三棱錐的體積的2倍時(shí)，求平面和平面夾角的余弦值.19．曼哈頓距離是由十九世紀(jì)的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對軸距總和.例如：在平面直角坐標(biāo)系中，若，兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離；在空間直角坐標(biāo)系中，若，兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離.(1)已知點(diǎn)，求的值；(2)已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，求的最小值；(3)已知在空間直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)圍成的幾何體的表面積.

題號12345678910答案BAADCBBDABCABD題號11答案AC1．B由題意結(jié)合截距的概念運(yùn)算即可得解.【詳解】令，代入，得，故選：B2．A根據(jù)對稱的性質(zhì)即可求解.【詳解】顯然關(guān)于平面對稱點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.3．A根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，則.故選：A.4．D建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線的夾角余弦即可.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，以為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則.所以，即與所成角的余弦值為.故選：D5．C借助平行線間距離公式計(jì)算即可得.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，直線即為，所以兩條平行直線之間的距離為.故選：C.6．B由點(diǎn)坐標(biāo)寫出向量坐標(biāo)，然后取與的同向的單位向量，然后即可求得在上的投影，然后由勾股定理求出到直線的距離.【詳解】由題意得，取.又，所以，.即到直線的距離.故選：B.7．B由題意，轉(zhuǎn)化為軸上動(dòng)點(diǎn)到第一象限兩定點(diǎn)的距離之和最小值，利用對稱性可得三點(diǎn)共線得解.【詳解】設(shè).由，得的幾何意義為的值.點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以.故選：B8．D建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，三棱錐的外接球球心為，外接球半徑為，利用得到，根據(jù)最小時(shí)的值即可得到的坐標(biāo)即可求出.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則.設(shè)三棱錐的外接球球心為，外接球半徑為，則，即，化簡得，則，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，即，所以.故選：D9．ABC根據(jù)直線的斜率以及軸截距判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，由，得直線斜率，令，所以直線經(jīng)過第一、二、三象限.故選：ABC.10．ABD利用空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示，模長公式一一判定選項(xiàng).【詳解】由題可得.所以，即，故A正確；由，得，故B正確；由，得，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，所以三點(diǎn)共線，又，所以點(diǎn)不在所在直線上，所以可以確定一個(gè)平面，即四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11．AC設(shè)，結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算及絕對值性質(zhì)分類討論可得點(diǎn)軌跡為菱形，則可利用菱形性質(zhì)得到A、B、C，再利用等面積法計(jì)算可得D.【詳解】設(shè)，則，得.由，得，即.當(dāng)，且時(shí)，方程為；當(dāng)，且時(shí)，方程為；當(dāng)，且時(shí)，方程為；當(dāng)，且時(shí)，方程為；所以點(diǎn)對應(yīng)的軌跡如圖所示：顯然，，且點(diǎn)軌跡為菱形，所以其周長為，面積為，所以A正確，B錯(cuò)誤；顯然當(dāng)在或點(diǎn)時(shí)，離原點(diǎn)距離最長為2，所以C正確；離原點(diǎn)最短距離為，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.12．先根據(jù)直線的方向向量求得直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出方程即可.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線的斜率，故的方程為，即.故答案為：.13．由題可知，設(shè)，然后根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和的坐標(biāo)，再利用列出方程，進(jìn)而求解點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】由，得.設(shè)，由，得，即.解得，即.故答案為：．14．4設(shè)，結(jié)合空間向量基本定理，利用數(shù)量積的運(yùn)算律及模的運(yùn)算列方程得，將代入，得，利用判別式法得，解不等式即可.【詳解】設(shè)，則有，由，所以，所以，將代入，整理得，所以，即，解得，則棱的最大值為4.故答案為：4.15．(1)(2)（1）先求出邊的中點(diǎn)，再有點(diǎn)斜式求出直線的方程，化成斜截式即可；（2）先求出直線的斜率，利用高的性質(zhì)求出邊上的高線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出高線方程，化成截距式即可.【詳解】（1）由，得的中點(diǎn).則邊上的中線的斜率為.故邊上的中線所在直線方程為，化為斜截式方程為.（2）由，可得直線的斜率為.則邊上的高所在直線的斜率為.所以邊上的高所在直線方程為，化為截距式方程為.16．(1)證明見解析(2)（1）連接交于點(diǎn)，連接，證明，利用線面平行的判定定理即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)條件建系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸钦叫危詾榈闹悬c(diǎn)，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面.（2）因?yàn)樗睦忮F的底面是正方形，所以，又因?yàn)閭?cè)棱底面，所以，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則.所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，故可取，設(shè)直線與平面所成角為.則.即直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)(2)16.（1）根據(jù)即可求解定點(diǎn).（2）根據(jù)面積公式，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）由，得.顯然時(shí)，.所以直線恒過定點(diǎn).（2）由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由題意可知，所以，故.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故的最小值為16.18．(1)證明見解析；(2).（1）建系，寫坐標(biāo)，先設(shè)，由在上，可設(shè)出，利用此式子求出用表示的點(diǎn)的坐標(biāo)，由得到，計(jì)算出的值，從而得到是的中點(diǎn)，即得；（2）由三棱錐的體積是三棱錐的體積的2倍，通過轉(zhuǎn)化三棱錐的頂點(diǎn)和底面得到，通過向量法求出的坐標(biāo)，再求出平面和平面的法向量，利用向量的數(shù)量積求出平面和平面夾角的余弦值即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)榫匦嗡诘钠矫?，所以兩兩垂?分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.設(shè)，則，即，所以，由，得，即，得，即是的中點(diǎn)，所以.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，三棱錐的體積，三棱錐的體積，由已知可得，即，得，，設(shè)平面的法向量為，則即得，取，得，所以，易得平面的法向量為，則，所以平面和平面夾角的余弦值為.19．(1)(2)2(3)【詳解】（1）由題意可得，所以.（2）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，則，所以，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為2.（3）動(dòng)點(diǎn)圍成的幾