試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁廣東省深圳市中薈中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期初期調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合，，，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．52．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．某市評選市級三好學(xué)生，申報條件之一為：申報者須獲得校級三好學(xué)生資格.則“同學(xué)甲是校級三好學(xué)生”是“同學(xué)甲是市級三好學(xué)生”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知數(shù)列滿足，則（

）A．100 B．101 C．102 D．1035．已知，，，，則（

）A． B．3 C． D．16．已知函數(shù)（，）圖象上相鄰的兩條對稱軸之間的距離為3，且對，恒成立，則（

）A． B． C． D．7．已知，，，則（

）A． B． C． D．8．甲、乙兩人玩“六六大順”游戲，其規(guī)則為：盒子中裝有編號為1，2，……，6的6張卡片，卡片除編號外完全相同，兩人輪流有放回的從盒子中任意抽取1張卡片，先抽得6號卡片者勝，且游戲結(jié)束；若一人抽得的不是6號卡片，則換另一個人來抽；若一輪中兩人均沒有抽得6號卡片，則游戲重新開始，一直這樣輪回下去，直至游戲結(jié)束.若游戲開始時，甲先抽，設(shè)甲、乙人獲勝的概率分別和，則（

）A． B．1 C． D．二、多選題9．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，且，則 B．若，則C．若，且，則 D．若，且，則10．李老師用3D打印技術(shù)制作了一個北極星金屬圖標(biāo)（如圖），該圖標(biāo)的外部輪廓曲線在平面直角坐標(biāo)系中可以用曲線E表示，已知曲線E上的任意一點M到兩個坐標(biāo)軸距離的算術(shù)平方根之和為2.則下列結(jié)論正確的是（

）A．點M到x軸的最大距離為2B．曲線E有4條對稱軸C．曲線E與直線有3個交點D．點M到坐標(biāo)原點的最小距離為11．在棱長為4的正方體中，分別為棱上的動點，且.則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面//平面B．當(dāng)時，平面截該正方體所得的截面為梯形C．三棱錐體積的最大值為D．三棱錐外接球半徑的最小值為三、填空題12．已知拋物線與橢圓相交于A，B兩點，若，則.13．若，則.14．使不等式成立的實數(shù)a的取值范圍為.四、解答題15．已知分別為的內(nèi)角的對邊，且滿足，.(1)若，求a；(2)設(shè)角A的內(nèi)角平分線交邊BC于點D，若，求的面積.16．“讀萬卷書，行萬里路”，小茗同學(xué)利用假期時間從所居住的A城市到B，C兩個城市旅行，行程為：先從A城市到B城市，再從B城市到C城市，最后從C城市返回A城市.在每兩個城市之間都只能選擇高鐵、飛機、大巴三種交通工具中的一種.為了體驗沿途的不同風(fēng)光，她決定不連續(xù)兩次乘坐同一種交通工具.已知在每次乘坐高鐵后，下一次乘坐飛機的概率為；在每次乘坐飛機后，下一次乘坐高鐵的概率為；在每次乘坐大巴后，下一次乘坐飛機的概率為.(1)若小茗乘坐飛機從A城市到B城市，求她從C城市返回A城市乘坐高鐵的概率；(2)在小茗乘坐高鐵從A城市到B城市的前提下，求她此次旅行乘坐高鐵的次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.17．如圖，在三棱錐中，分別為的中點，平面平面，，且平面.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.18．已知，函數(shù)，.(1)若為的極值，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，分別判斷函數(shù)和的零點個數(shù)；(3)當(dāng)時，證明：不等式組的解集非空.19．定義：已知雙曲線，過C的上支上一點斜率為k的直線與C的下支交于點，點關(guān)于x軸的對稱點為，過點斜率為k的直線與C的下支交于點，點關(guān)于x軸的對稱點為，……，以此類推，過點斜率為k的直線與C的下支交于點，點關(guān)于x軸的對稱點為.記，則稱數(shù)列為C的“k數(shù)列”.引理：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，點，，若O，A，B三點可以構(gòu)成三角形，則的面積.利用上述定義和引理求解下列問題：若為雙曲線的上支上一點，且C的離心率為，數(shù)列為C的“數(shù)列”.(1)求，，；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)記線段，的中點分別為，證明：的面積為定值（O為坐標(biāo)原點）.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《廣東省深圳市中薈中學(xué)2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期初期調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷》參考答案題號12345678910答案CABBADBCBCBCD題號11答案ACD1．C【分析】求出，又，可得即可求解.【詳解】，，，所以，又，所以，則.故選：C.2．A【分析】由復(fù)數(shù)除法運算法則以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題意，所以.故選：A3．B【分析】根據(jù)評選規(guī)則，由充分條件、必要條件的概念判斷即可.【詳解】根據(jù)評選規(guī)則：若同學(xué)甲是市級三好學(xué)生，則同學(xué)甲必須是校級三好學(xué)生，但是同學(xué)甲是校級三好學(xué)生不一定能評上市級三好學(xué)生，所以“同學(xué)甲是校級三好學(xué)生”是“同學(xué)甲是市級三好學(xué)生”的必要不充分條件.故選：B4．B【分析】根據(jù)給定的通項公式，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列求和公式計算即可．【詳解】因為，則．故選：B5．A【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算化簡計算即可.【詳解】因為，，，所以，所以.故選：A6．D【分析】根據(jù)題設(shè)條件，求得函數(shù)的周期，得到，再由，得出為的一條對稱軸，利用正弦函數(shù)的對稱軸結(jié)論及求得.【詳解】由題意得圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為3，可得，所以，所以，又由，可得為的一條對稱軸，所以，解得，又因為，所以.故選：D7．B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合不等式判斷即可．【詳解】設(shè)，（），則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，則，所以，所以；設(shè)（），則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，則，所以；綜上可得：．故選：B8．C【分析】根據(jù)題意得抽中6號的概率為，未抽中的概率為，再列出遞推式求解即可.【詳解】由題知抽中6號的概率為，未抽中的概率為，則，解得，，解得，所以.故選：C.9．BC【分析】利用作差法可判斷AD選項；利用不等式性質(zhì)可判斷BC選項.【詳解】對于A，若，且，則，即，不知道的符號，則的符號無法確定，即不一定成立，A錯；對于B，若，則，且，所以，所以，B對；對于C，若，且，則，所以，C對；對于D，，若，且，則，，所以，所以，D錯.故選：BC10．BCD【分析】求出曲線方程，結(jié)合方程特點可判斷A,B選項，聯(lián)立方程，通過解的情況可判斷C選項，先表示出距離表達(dá)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求最小距離，進(jìn)而判斷D選項.【詳解】設(shè)，由題意可得，因為，所以，所以點M到x軸的最大距離為，A不正確；把中的換為，方程不變，所以曲線E關(guān)于軸對稱，把中的換為，方程不變，所以曲線E關(guān)于軸對稱，把中的與互換，方程不變，所以曲線E關(guān)于對稱，把中的換為，換為，方程不變，所以曲線E關(guān)于對稱，所以曲線E有4條對稱軸，B正確；因為，所以，聯(lián)立，得，移項平方可得，當(dāng)時，上式化為，解得；當(dāng)時，上式化為，解得；當(dāng)時，上式化為，解得；所以曲線E與直線有3個交點，C正確；點M到坐標(biāo)原點的距離為，由圖形的對稱性可知，只需研究時即可.由得代入可得令，則，令，則，因為，所以時，，為減函數(shù)，時，，為增函數(shù)，所以有最小值，即有最小值，D正確.故選：BCD11．ACD【分析】對于A，由已知可得∥，∥，然后根據(jù)面面平行的判定定理證明即可，對于B，延長交延長線于，延長交延長線于，連接交于，延長交延長線于，連接，可判斷截面形狀，對于C，利用計算判斷即可，對于D，以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解判斷.【詳解】對于A：因為，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因為，所以，因為∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因為，平面，所以平面//平面，所以A正確；對于B：當(dāng)時，由，正方體的棱長為4，得，則為等腰直角三角形，延長交延長線于，延長交延長線于，連接交于，延長交延長線于，連接，因為為等腰直角三角形，所以，所以和均為等腰直角三角形，所以，因為，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因為平面，平面平面，所以∥，所以∥，所以，所以，所以和為等腰直角三角形，所以，所以為等腰直角三角形，所以，所以，所以為等腰直角三角形，所以，設(shè)分別交直線于，則和均為等腰直角三角形，所以，所以點在線段上，點在線段上，所以平面截該正方體所得的截面為六邊形，所以B錯誤；對于C：因為，正方體的棱長為4，所以，所以，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，所以C正確；對于D：以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為為直角三角形，為斜邊，所以外接圓的圓心為的中點，設(shè)三棱錐外接球的球心為，則平面，所以設(shè)，則，因為，所以，化簡整理得，所以當(dāng)時，取得最小值，此時三棱錐外接球的半徑取得最小值為，所以D正確.故選：ACD12．/【分析】設(shè)點，根據(jù)橢圓和拋物線的對稱性求得，然后代入橢圓方程可得點，最后代入拋物線方程計算即可.【詳解】由橢圓和拋物線的對稱性，知軸，且關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，則，，由可知，代入得，即，再將代入可得，解得.故答案為：.13．【分析】將已知條件化為，再由誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式求值即可.【詳解】由，即，所以，則，所以，而.故答案為：14．【分析】設(shè)，易知，再分，，三種情況進(jìn)行符號判定即可解不等式.【詳解】由，即，令，易知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，所以，則，綜上，不等式的解為.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）利用正余弦定理和二倍角公式將正弦函數(shù)化為相應(yīng)的邊，求解即可；（2）由（1）得，，利用余弦定理求出，進(jìn)一步利用二倍角公式和兩角和的正弦公式求得及，然后利用正弦定理求出的長，再利用三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，由得，又，所以，所以，即，所以；（2）由（1）得，，化簡得，所以，所以，所以，又，所以，在中，，由正弦定理得，所以的面積為.16．(1)(2)【分析】（1）由題可知小茗應(yīng)依次乘坐飛機、大巴、高鐵，再利用乘法公式計算概率即可；（2）由題得可取1,2，分別計算對應(yīng)概率，寫出分別并計算期望即可.【詳解】（1）根據(jù)題意若小茗乘坐飛機從A城市到B城市，要從C城市返回A城市乘坐高鐵，則從B城市到C城市只能乘坐大巴。因此可知小茗應(yīng)依次乘坐飛機、大巴、高鐵，所以她從C城市返回A城市乘坐高鐵的概率.（2）因為小茗乘坐高鐵從A城市到B城市，所以從B城市到C城市可選乘飛機、大巴，可知從B到C，再從C到A的交通工具組合有以下四種情況：(飛機,高鐵)、(飛機,大巴)、(大巴,高鐵)、(大巴,飛機)?！钡乃锌赡苋≈禐?,2，，，則分布列為：12期望.17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)題意先證平面得到，接著由平面得到，再根據(jù)線面垂直的判定定理得平面即由面面垂直判定定理證得平面平面；（2）由題可證得為等邊三角形，再以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后求出平面與平面的法向量，根據(jù)夾角余弦值可得，再根據(jù)線面夾角的向量法求解即可.【詳解】（1）證明：，為中點，，又平面平面，平面平面，平面，又平面，，又平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，平面，所以，所以兩兩垂直，以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，為的重心，又平面，平面，所以，又D，E分別為AC，SC的中點，所以，則，所以，所以為等邊三角形，故可設(shè)，則，則，由題易得平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量，則，不妨取，則，又平面與平面的夾角的余弦值為，所以，解得，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18．(1)(2)函數(shù)無零點，函數(shù)只有一個零點(3)證明見解析【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的定義可得，即，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合點斜式方程求解即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性，即可結(jié)合最值求解，（3）設(shè)，結(jié)合題設(shè)易得，即可求證.【詳解】（1）由，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則時，函數(shù)取得極小值，極小值為，無極大值，則，即，此時，則，而，則，所以曲線在點處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時，，，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，則恒成立，即函數(shù)無零點；而，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則恒成立，所以函數(shù)只有一個零點.（3）設(shè)，由，得，，所以，且函數(shù)在上連續(xù)，則不等式組的解集非空.19．(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）求出雙曲線方程，由雙曲線對稱性、聯(lián)立直線與雙曲線方程求