2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——隨機(jī)過程在風(fēng)險管理中的重要性考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述馬爾可夫鏈的定義及其主要特性。請舉例說明一個金融或經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，并嘗試構(gòu)建一個簡單的離散時間馬爾可夫鏈模型來描述該現(xiàn)象的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程。二、設(shè)\(W_t\)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。定義隨機(jī)過程\(X_t=W_t^2-t\)。證明\(X_t\)是一個馬爾可夫過程，并求其生成元（生成矩陣或生成函數(shù)，根據(jù)狀態(tài)空間是離散還是連續(xù)說明）。三、幾何布朗運(yùn)動是金融市場中描述資產(chǎn)價格隨機(jī)變動的一種常用模型。設(shè)某資產(chǎn)價格\(S_t\)遵循幾何布朗運(yùn)動方程：\[dS_t=\muS_tdt+\sigmaS_tdW_t,\]其中\(zhòng)(\mu\)是漂移率，\(\sigma\)是波動率，\(W_t\)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。假設(shè)當(dāng)前資產(chǎn)價格\(S_0=100\)，求該資產(chǎn)價格在\(T\)時刻的數(shù)學(xué)期望\(\mathbb{E}[S_T]\)和方差\(\text{Var}(S_T)\)。四、泊松過程是描述在固定時間間隔內(nèi)發(fā)生獨(dú)立隨機(jī)事件的模型。假設(shè)某保險公司接到理賠的電話服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松過程。求在任意連續(xù)的1小時內(nèi)至少接到2個理賠電話的概率。又設(shè)在3小時內(nèi)接到第1個理賠電話的期望時間是多少？五、隨機(jī)微分方程（SDE）是描述隨機(jī)變量演化過程的強(qiáng)大工具?？紤]以下隨機(jī)微分方程：\[dX_t=\theta(mu-X_t)dt+\sigmadW_t,\]其中\(zhòng)(W_t\)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，\(\theta\)是調(diào)整速度參數(shù)，\(\mu\)是目標(biāo)水平，\(\sigma>0\)是擴(kuò)散系數(shù)。假設(shè)初始條件\(X_0\)。求該方程的解，并解釋該方程可能描述的物理或經(jīng)濟(jì)意義（例如，價格調(diào)整模型、均值回歸模型等）。六、在現(xiàn)代風(fēng)險管理中，價值-at-risk（VaR）和expectedshortfall（ES）是常用的風(fēng)險度量指標(biāo)。假設(shè)某投資組合的價值\(V_t\)可以表示為一個隨機(jī)過程（例如幾何布朗運(yùn)動）。請簡述VaR和ES的定義，并說明它們在風(fēng)險管理中的區(qū)別和聯(lián)系。如果已知\(V_t\)服從對數(shù)正態(tài)分布，如何計算在置信水平\(\alpha\)下的一日VaR和ES？七、比較馬爾可夫鏈和齊次隨機(jī)過程（如Wiener過程）在描述系統(tǒng)狀態(tài)演化方面的異同。在風(fēng)險管理背景下，哪些類型的風(fēng)險更適合用馬爾可夫鏈模型來刻畫？請給出具體理由。試卷答案一、馬爾可夫鏈?zhǔn)侵敢粋€系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移只依賴于當(dāng)前狀態(tài)，而與過去狀態(tài)無關(guān)的隨機(jī)過程。其主要特性是馬爾可夫性（無后效性）、時間齊次性（或非齊次，根據(jù)定義）。設(shè)金融現(xiàn)象為市場情緒（樂觀、悲觀），狀態(tài)轉(zhuǎn)移可以表示為：如果市場樂觀，則下一時期保持樂觀或轉(zhuǎn)為悲觀的概率取決于當(dāng)前信息；如果市場悲觀，則下一時期轉(zhuǎn)為樂觀的概率較小。狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣\(P=\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}\\p_{21}&p_{22}\end{pmatrix}\)描述了狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移可能，其中\(zhòng)(p_{ij}\)是從狀態(tài)\(i\)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)\(j\)的概率。二、證明\(X_t\)是馬爾可夫過程：根據(jù)\(X_t=W_t^2-t\)，有\(zhòng)(dX_t=d(W_t^2)-dt=2W_tdW_t+1dt-dt=2W_tdW_t\)?？紤]\(X_{t+\Deltat}-X_t=2W_t(\DeltaW_t)+o(\Deltat)\)。當(dāng)\(\Deltat\to0\)，\(\DeltaW_t\simN(0,\Deltat)\)，故\(X_{t+\Deltat}-X_t\simN(0,4t\Deltat)\)。狀態(tài)\(X_t\)只依賴于當(dāng)前\(W_t\)，而\(W_t\)滿足馬爾可夫過程（布朗運(yùn)動）。因此，給定\(X_t\)，\(X_{t+\Deltat}\)的條件分布只依賴于\(X_t\)和\(\Deltat\)，滿足馬爾可夫過程定義。求生成元\(Q\)：\(X_t\)的狀態(tài)空間為\(\mathbb{R}\)。對\(f(x)\)，\[\mathbb{E}[f(X_{t+\Deltat})|X_t=x]=\mathbb{E}[f(x+2x'\sqrt{\Deltat}+o(\Deltat))]\approxf(x+2x\sqrt{\Deltat})=f(x)+2\sqrt{\Deltat}f'(x)+o(\Deltat)。\]\[\frac{\mathbb{E}[f(X_{t+\Deltat})|X_t=x]-f(x)}{\Deltat}\approx\frac{f(x+2x\sqrt{\Deltat})-f(x)}{\Deltat}\approx2\sqrt{\Deltat}f'(x)。\]令\(\Deltat\to0\)，得\(Qf(x)=\lim_{\Deltat\to0}\frac{f(x+\Deltat)-f(x)}{\Deltat}-f(x)=0\cdotf'(x)=0\)。更準(zhǔn)確地說，生成元\(Q\)的無窮小生成元形式為\(Qf(x)=\sigma^2xf'(x)\)，其中\(zhòng)(\sigma^2=1\)（對應(yīng)\(2W_t\)的方差）。三、根據(jù)伊藤引理，對于函數(shù)\(g(S_t)=S_t\)，有\(zhòng)(dg(S_t)=\muS_tdt+\sigmaS_tdW_t\)。應(yīng)用伊藤引理于\(S_t\)本身，得到\(dS_t=\muS_tdt+\sigmaS_tdW_t\)。計算期望：\[\mathbb{E}[S_T]=\mathbb{E}[S_0\exp(\int_0^T(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigmaW_T)]=S_0\exp\left(\muT-\frac{1}{2}\sigma^2T\right)\mathbb{E}[\exp(\sigmaW_T)]。\]由于\(W_T\simN(0,T)\)，\(\mathbb{E}[\exp(\sigmaW_T)]=\exp(\frac{1}{2}\sigma^2T)\)。因此，\(\mathbb{E}[S_T]=S_0\exp\left(\muT-\frac{1}{2}\sigma^2T+\frac{1}{2}\sigma^2T\right)=S_0\exp(\muT)\)。計算方差：\[\text{Var}(S_T)=\mathbb{E}[S_T^2]-(\mathbb{E}[S_T])^2。\]\[\mathbb{E}[S_T^2]=\mathbb{E}[S_0^2\exp(2\int_0^T(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+2\sigmaW_T)]=S_0^2\exp(2\muT-\sigma^2T)\mathbb{E}[\exp(2\sigmaW_T)]。\]由于\(\mathbb{E}[\exp(2\sigmaW_T)]=\exp(2\sigma^2T)\)。因此，\(\mathbb{E}[S_T^2]=S_0^2\exp(2\muT-\sigma^2T+2\sigma^2T)=S_0^2\exp(2\muT+\sigma^2T)\)。\[\text{Var}(S_T)=S_0^2\exp(2\muT+\sigma^2T)-(S_0\exp(\muT))^2=S_0^2\exp(2\muT+\sigma^2T)-S_0^2\exp(2\muT)=S_0^2\exp(2\muT)(\exp(\sigma^2T)-1)。\]或者直接用\(\text{Var}(aX+bY+Z)=a^2\text{Var}(X)+b^2\text{Var}(Y)\)（若獨(dú)立），令\(S_t=S_0e^{\mut+\sigmaW_t}\)，\(\text{Var}(S_T)=S_0^2e^{2\muT}\text{Var}(e^{\sigmaW_T})\)。\(\text{Var}(e^{\sigmaW_T})=\mathbb{E}[(e^{\sigmaW_T})^2]-(\mathbb{E}[e^{\sigmaW_T}])^2=\mathbb{E}[e^{2\sigmaW_T}]-(e^{\frac{1}{2}\sigma^2T})^2=e^{\sigma^2T}-e^{\sigma^2T}=\sigma^2Te^{\sigma^2T}\)。所以\(\text{Var}(S_T)=S_0^2e^{2\muT}(\sigma^2Te^{\sigma^2T})=S_0^2\sigma^2Te^{2\muT+\sigma^2T}\)。四、求至少接到2個電話的概率：方法一：\(P(N(1)\geq2)=1-P(N(1)<2)=1-(P(N(1)=0)+P(N(1)=1))\)。\(P(N(1)=0)=e^{-\lambda}=e^{-1}\)。\(P(N(1)=1)=\lambdae^{-\lambda}=1\cdote^{-1}=e^{-1}\)。所以\(P(N(1)\geq2)=1-(e^{-1}+e^{-1})=1-2e^{-1}\)。方法二：利用泊松過程的獨(dú)立增量性。在任意非重疊時間區(qū)間內(nèi)，事件發(fā)生的次數(shù)是獨(dú)立的。令\(N_1\)為1小時內(nèi)接到的電話數(shù)，\(N_2\)為下一個1小時內(nèi)接到的電話數(shù)。\(N_1,N_2\)獨(dú)立同分布于\(Pois(\lambda)\)。\(P(N_1+N_2\geq2)=1-P(N_1+N_2=0)-P(N_1+N_2=1)\)。\(P(N_1+N_2=0)=P(N_1=0)P(N_2=0)=e^{-\lambda}e^{-\lambda}=e^{-2\lambda}=e^{-2}\)。\(P(N_1+N_2=1)=P(N_1=0,N_2=1)+P(N_1=1,N_2=0)=(e^{-\lambda}e^{-\lambda})+(e^{-\lambda}e^{-\lambda})=2e^{-2\lambda}=2e^{-2}\)。所以\(P(N_1+N_2\geq2)=1-e^{-2}-2e^{-2}=1-3e^{-2}\)。兩種方法結(jié)果一致（此處\(\lambda=1\)）。求第1個電話期望時間：泊松過程\(N(t)\)的等待時間間隔\(T_1\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的指數(shù)分布，即\(f_{T_1}(t)=\lambdae^{-\lambdat},t\geq0\)。期望\(\mathbb{E}[T_1]=\int_0^\inftyt\lambdae^{-\lambdat}dt\)。令\(u=\lambdat\)，則\(du=\lambdadt\)，\(dt=\frac{du}{\lambda}\)。\(\mathbb{E}[T_1]=\int_0^\infty\frac{u}{\lambda}e^{-u}\frac{du}{\lambda}=\frac{1}{\lambda^2}\int_0^\inftyue^{-u}du\)。\(\int_0^\inftyue^{-u}du=1!=1\)（gamma函數(shù)\(\Gamma(n+1)=n!\)）。所以\(\mathbb{E}[T_1]=\frac{1}{\lambda^2}\cdot\lambda^2=1\)小時?；蛘咧苯邮褂弥笖?shù)分布期望公式\(\mathbb{E}[T_1]=\frac{1}{\lambda}\)。五、求SDE解：令\(Y_t=X_t-\mu\)。則\(dY_t=d(X_t-\mu)=dX_t-0dt=2\theta(mu-X_t)dt+2\theta\mudt-2\thetaX_tdt+\sigmadW_t\)。\[dY_t=-2\thetaX_tdt+\sigmadW_t=-2\theta(Y_t+\mu)dt+\sigmadW_t=(-2\thetaY_t-2\theta\mu)dt+\sigmadW_t。\]即\(dY_t=-2\thetaY_tdt+\sigmadW_t\)。這是一個標(biāo)準(zhǔn)的一階線性隨機(jī)微分方程。其解為\(Y_t=Y_0\exp(-2\thetat)+\int_0^t\exp(-2\theta(t-s))\sigmadW_s\)。根據(jù)Girsanov定理或積分性質(zhì)，令\(Z_t=\exp(-2\thetat)\)，則\(dZ_t=-2\thetaZ_tdt\)，\(Z_0=1\)。\[Y_t=Y_0Z_t+\sigma\int_0^tZ_sdW_s=Y_0\exp(-2\thetat)+\sigma\int_0^t\exp(-2\thetas)dW_s。\]所以\(X_t=Y_t+\mu=Y_0\exp(-2\thetat)+\mu+\sigma\int_0^t\exp(-2\thetas)dW_s\)。令\(Y_0=X_0-\mu\)，則最終解為：\[X_t=(X_0-\mu)\exp(-2\thetat)+\mu+\sigma\int_0^t\exp(-2\thetas)dW_s。\]解釋意義：該方程描述了一個均值回歸過程。\(X_t\)的漂移項(xiàng)\(-2\theta(X_t-\mu)\)指向均值\(\mu\)，表明當(dāng)\(X_t\)偏離均值時，存在一個大小與偏離程度成正比的力將其拉回均值。\(\theta\)越大，回歸速度越快。擴(kuò)散項(xiàng)\(\sigmaX_t\)（或\(\sigma\exp(-2\thetat)\)在此特定解中）代表隨機(jī)擾動，使得過程在回歸均值的同時帶有隨機(jī)波動。這在金融市場中可以模擬價格過度反應(yīng)后的均值回歸行為，或者在經(jīng)濟(jì)學(xué)中模擬某個變量（如通貨膨脹率）圍繞其目標(biāo)值\(\mu\)的波動和回歸。六、VaR和ES定義：VaR（Value-at-Risk）是指在給定置信水平\(\alpha\)下，在持有期\(\Deltat\)內(nèi)，投資組合價值損失（或未實(shí)現(xiàn)收益）超過某個特定閾值\(VaR_\alpha\)的概率不超過\(1-\alpha\)。即\(P(\text{Loss}>VaR_\alpha)\leq1-\alpha\)。ES（ExpectedShortfall），也稱為條件在險價值，是指在給定置信水平\(\alpha\)下，在持有期\(\Deltat\)內(nèi)，投資組合價值損失超過VaR閾值的期望值。即\(ES_\alpha=\mathbb{E}[\text{Loss}|\text{Loss}>VaR_\alpha]\)。區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別在于VaR只提供了一個損失的“門檻”值，而ES衡量了超過這個門檻值后的平均損失大小，提供了更全面的風(fēng)險信息，尤其是在極端損失情況下。ES對極端事件更敏感，通常被認(rèn)為比VaR能更好地反映尾部風(fēng)險。聯(lián)系在于ES的計算通常以VaR為基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用中，ES常被用作比VaR更穩(wěn)健的風(fēng)險度量。計算VaR和ES（假設(shè)對數(shù)正態(tài)分布）：設(shè)\(V_0\)為初始價值，\(V_T\)為期末價值，\(V_T\sim\ln(N(\muT,\sigma^2T))\)。損失\(L=V_0-V_T\)。\(L\sim\ln(N(-\muT,\sigma^2T))\)。給定置信水平\(\alpha\)，VaR閾值\(VaR_\alpha\)滿足\(P(L>VaR_\alpha)=1-\alpha\)。即\(P(\ln(N(-\muT,\sigma^2T))>\ln(V_0-VaR_\alpha))=1-\alpha\)。即\(P(N(-\muT,\sigma^2T)<V_0-VaR_\alpha)=1-\alpha\)。令\(Z\simN(0,1)\)，則\(N(-\muT,\sigma^2T)=\sigma\sqrt{T}Z+\muT\)。\(P(\sigma\sqrt{T}Z+\muT<V_0-VaR_\alpha)=1-\alpha\)。\(P(Z<\frac{V_0-VaR_\alpha-\muT}{\sigma\sqrt{T}})=1-\alpha\)。令\(z_\alpha\)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布\(N(0,1)\)的\((1-\alpha)\)分位點(diǎn)，即\(P(Z<z_\alpha)=1-\alpha\)。所以\(\frac{V_0-VaR_\alpha-\muT}{\sigma\sqrt{T}}=z_\alpha\)。解得\(VaR_\alpha=V_0-\muT-z_\alpha\sigma\sqrt{T}\)。計算ES：\(ES_\alpha=\mathbb{E}[L|L>VaR_\alpha]=\mathbb{E}[V_0-V_T|V_T<V_0-VaR_\alpha]\)。令\(x=V_0-VaR_\alpha\)，則\(ES_\alpha=\mathbb{E}[V_0-V_T|V_T<x]\)。\(V_T\)的條件分布是\(N(-\muT,\sigma^2T)\)中小于\(x\)的部分。其密度函數(shù)為\(f_{V_T|V_T<x}(v)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\piT}}\exp\left(-\frac{(v+\muT)^2}{2\sigma^2T}\right)\)（當(dāng)\(v<x\)時）。\(ES_\alpha=\int_x^{V_0}(V_0-v)f_{V_T|V_T<x}(v)dv\)。由于\(V_T\sim\ln(N(-\muT,\sigma^2T))\)，計算此積分相對復(fù)雜，通常需要數(shù)值方法?；蛘呤褂脴?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表示：令\(W_T=\frac{V_T-\muT}{\sigma\sqrt{T}}\simN(0,1)\)，則\(V_T=\sigma\sqrt{T}W_T+\muT\)。\(P(V_T<x)=P(\sigma\sqrt{T}W_T+\muT<x)=P(W_T<\frac{x-\muT}{\sigma\sqrt{T}})=P(W_T<z_\alpha)=1-\alpha\)。條件分布\(V_T|V_T<x\)對應(yīng)\(W_T\)的條件分布\(W_T|W_T<z_\alpha\)。這個條件分布沒有簡單的解析形式，通常用Cornish-Fisher展開或蒙特卡洛模擬近似。一種近似方法是利用\(VaR\)和ES的關(guān)系：\(ES_\alpha\approxVaR_\alpha+\frac{\sigma\sqrt{T}}{z_\alpha\sqrt{2(1-\alpha)}}\)（當(dāng)\(\alpha\)較小時）。這里給出的VaR計算公式和ES的概念性描述。