2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)中的微分幾何應(yīng)用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述微分幾何中“流形”概念的意義。請說明為什么在研究物理時空或數(shù)據(jù)高維分布時，使用“流形”這種數(shù)學(xué)對象是合適的。二、設(shè)M是三維歐幾里得空間R3中的曲面S，其參數(shù)方程為x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)，其中u,v∈R2。定義在S上的度量張量g的分量g_ij由g_ij=(?x/?u^i)(?x/?u^j)+(?y/?u^i)(?y/?u^j)+(?z/?u^i)(?z/?u^j)給出，其中i,j=1,2。1.計算度量張量g的分量。2.計算度量的行列式det(g)。3.計算Christoffel符號Γ^k_ij的所有非零分量。三、在n維黎曼流形(M,g)上，考慮一個光滑函數(shù)f。證明梯度?f（定義為其對偶向量場，滿足g(?f,X)=df(X)對任意切向量X）滿足梯度的協(xié)變導(dǎo)數(shù)方程：?_μ?_νf=(?_μ?_νf)+Γ^λ_μν?_λf，其中μ,ν,λ是指標。四、考慮二維球面S2，其標準度量為ds2=dθ2+sin2θdφ2。計算該球面上的Gaussian曲率K。五、微分形式是微分幾何和物理學(xué)中的重要工具。設(shè)ω=xdy-ydx是二維流形上的一個1-形式。1.驗證ω是一個閉形式，即dω=0。2.求解微分方程ω|_C=1，其中C是連接點(1,0)和(0,1)的任意光滑曲線。討論解的唯一性。六、在廣義相對論中，時空度規(guī)張量g_μν描述了時空的幾何性質(zhì)?？紤]一個在Schwarzschild度規(guī)下（ds2=(1-2M/r)dt2-(1-2M/r)^(-1)dr2-r2(dθ2+sin2θdφ2)，M為中心質(zhì)量，r>2M為事件視界）做自由落體運動的質(zhì)點。1.求此質(zhì)點的測地線方程（協(xié)變形式）。2.說明該方程描述了什么物理現(xiàn)象（無需詳細推導(dǎo)，只需定性說明）。七、微分幾何在數(shù)據(jù)降維中有所應(yīng)用。LLE（局部線性嵌入）算法的思想之一是認為數(shù)據(jù)在高維空間中可能嵌入在一個低維流形上。假設(shè)n維數(shù)據(jù)點x_i位于一個d維子流形上（d<n），且在局部鄰域內(nèi)，點x_i可以表示為x_i≈x_0+Σ_jw_ij(x_j-x_0)，其中w_ij是局部鄰域內(nèi)點x_j相對于x_0的線性坐標。請簡述LLE算法如何通過求解一個優(yōu)化問題來估計這些局部坐標w_ij，并說明其與微分幾何中哪個概念（或思想）相關(guān)聯(lián)。八、設(shè)M是一個四維黎曼流形，其Riemann曲率張量R^μν_λσ被假設(shè)滿足一個特殊的條件：R^μν_λσ=ε^μρσλR^ρν_λμ，其中ε^μνρσ是完全反對易符號，R^ρν_λμ是Riemann曲率張量的縮并形式R_μνλ=R^ρ_μνρλg_σμg_τνg_λσg_ρτ。證明在此條件下，M的所有sectionalcurvature(截面曲率)必須為零。試卷答案一、流形是局部類似于Euclidean空間的拓撲空間，它允許在局部范圍內(nèi)使用熟悉的分析工具，如微積分。物理時空在廣義相對論中常被模型化為四維流形，因為時空的局部鄰域可以近似看作平坦的閔可夫斯基空間。數(shù)據(jù)高維分布通常具有“局部結(jié)構(gòu)”和“低維嵌入”的特性，即數(shù)據(jù)點在低維子空間或流形上分布，流形提供了一種自然的框架來描述這種低維結(jié)構(gòu)，忽略高維空間的“噪音”維度。二、1.計算度量張量分量：g_{11}=(?x/?u)(?x/?u)+(?y/?u)(?y/?u)+(?z/?u)(?z/?u)g_{12}=g_{21}=(?x/?u)(?x/?v)+(?y/?u)(?y/?v)+(?z/?u)(?z/?v)g_{22}=(?x/?v)(?x/?v)+(?y/?v)(?y/?v)+(?z/?v)(?z/?v)其中(?x/?u),(?y/?u),(?z/?u)和(?x/?v),(?y/?v),(?z/?v)是x,y,z對u,v的偏導(dǎo)數(shù)。2.計算度量的行列式det(g)：det(g)=det(g_{ij})=g_{11}g_{22}-g_{12}^2。將第1步計算得到的g_{11},g_{12},g_{22}代入此式即可得到結(jié)果。3.計算Christoffel符號Γ^k_ij：Γ^k_ij=1/2g^{kl}(?g_{li}/?x^j+?g_{lj}/?x^i-?g_{ij}/?x^l)。需要計算g_{ij}的偏導(dǎo)數(shù)，然后利用逆度量張量g^{kl}進行計算。由于S是嵌入在R3中的曲面，其度量g是degenerate但symmetric的，計算會涉及第二類導(dǎo)數(shù)。對于i,j,k=1,2，需要將所有可能的組合代入上述公式進行計算。三、證明思路：1.記?_μf=Γ^k_μfdx^k為f的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。2.計算?_ν(?_μf)：?_ν(?_μf)=?_ν(Γ^k_μfdx^k)=(?_νΓ^k_μf)dx^k+Γ^k_μ(?_νf)dx^k=(?_νΓ^k_μf+Γ^k_μΓ^l_νf)dx^k。3.計算(?_μ?_νf)：(?_μ?_νf)=(?_μ(Γ^k_νfdx^k))=(?_μΓ^k_νf)dx^k+Γ^k_ν(?_μf)dx^k=(?_μΓ^k_νf+Γ^k_νΓ^l_μf)dx^l。4.比較?_ν(?_μf)和(?_μ?_νf)的表達式，注意到dx^k和dx^l是線性無關(guān)的基形式。5.因此，必須有(?_νΓ^k_μf+Γ^k_μΓ^l_νf)=(?_μΓ^k_νf+Γ^k_νΓ^l_μf)對所有f和k成立。6.由于f和k的任意性，得到對稱性條件：Γ^k_μΓ^l_ν=Γ^k_νΓ^l_μ。7.利用Christoffel符號的定義Γ^k_μν=Γ^k_μΓ^l_νg^ln-Γ^k_lΓ^l_μg^ln，結(jié)合上述對稱性，可以得到：Γ^k_μΓ^l_νg^ln-Γ^k_lΓ^l_μg^ln=Γ^k_νΓ^l_μg^ln-Γ^k_lΓ^l_νg^ln。簡化得到：Γ^k_μΓ^l_ν=Γ^k_νΓ^l_μ。8.將此對稱性條件代入?_ν(?_μf)和(?_μ?_νf)的表達式中，得到：?_ν(?_μf)=(?_νΓ^k_μf+Γ^k_μΓ^l_νf)dx^k=(?_μΓ^k_νf+Γ^k_νΓ^l_μf)dx^k=(?_μ?_νf)+Γ^k_μΓ^l_νfdx^k+Γ^k_νΓ^l_μfdx^k=(?_μ?_νf)+(Γ^k_μΓ^l_ν+Γ^k_νΓ^l_μ)fdx^k。9.注意到Γ^k_μΓ^l_ν+Γ^k_νΓ^l_μ=Γ^λ_μν（利用定義和對稱性），所以?_ν(?_μf)=(?_μ?_νf)+Γ^λ_μν?_λf。即?_μ?_νf=(?_μ?_νf)+Γ^λ_μν?_λf。四、計算Gaussian曲率K：1.在球面S2上，取球坐標(θ,φ)，其中θ∈[0,π],φ∈[0,2π)。點(θ,φ)的位置向量為r(θ,φ)=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)。2.計算切向量：e_θ=?r/?θ=(cosθcosφ,cosθsinφ,-sinθ)e_φ=?r/?φ=(-sinθsinφ,sinθcosφ,0)3.度量分量已知為g_{θθ}=1,g_{φφ}=sin2θ,g_{θφ}=g_{φθ}=0。4.計算度量的行列式det(g)=g_{θθ}g_{φφ}-g_{θφ}^2=1*sin2θ-0=sin2θ。5.計算非零Christoffel符號：Γ^θ_θθ=1/2g^θθ(?g_{θθ}/?θ+?g_{θθ}/?θ-?g_{θθ}/?θ)=0。Γ^θ_θφ=Γ^θ_φθ=1/2g^θθ(?g_{θφ}/?θ+?g_{θθ}/?φ-?g_{θφ}/?θ)=1/2*1*(0+0-0)=0。Γ^θ_φφ=1/2g^θθ(?g_{φφ}/?θ+?g_{φφ}/?φ-?g_{θφ}/?φ)=1/2*1*(2sinθcosθ+0-0)=sinθcosθ。Γ^φ_θθ=Γ^φ_θφ=Γ^φ_φθ=0。Γ^φ_φφ=1/2g^φφ(?g_{φφ}/?φ+?g_{φφ}/?φ-?g_{φφ}/?φ)=1/2*(1/sin2θ)*(0+0-0)=0。6.計算Riemann曲率張量分量R^θ_φθφ：R^θ_φθφ=-Γ^λ_φθΓ^λ_φφ+Γ^λ_φφΓ^λ_φθ=-Γ^θ_φθΓ^θ_φφ+Γ^θ_φφΓ^θ_φθ=-0+sinθcosθ*0=0。R^φ_θθφ=-Γ^λ_θθΓ^λ_φφ+Γ^λ_θφΓ^λ_φθ=-Γ^θ_θθΓ^θ_φφ+Γ^θ_φθΓ^θ_φθ=-0+0*0=0。R^θ_θφφ=-Γ^λ_θφΓ^λ_φφ+Γ^λ_θφΓ^λ_φθ=-Γ^θ_θφΓ^θ_φφ+Γ^θ_φθΓ^θ_φθ=-0+0*sinθcosθ=0。R^φ_φθφ=R^θ_φφθ=R^φ_φφφ=0。7.計算曲率張量縮并形式R_θφφ=g^θλg^μνR^λ_μνφφ：R_θφφ=g^θθg^μνR^θ_μνφφ+g^θφg^μνR^φ_μνφφ=g^θθ*0+g^θφ*0=0。8.計算截面曲率K：K=R_θφφ/|g_{θφ}|2=0/(g_{θφ}^2)=0/0。這需要更精確的計算。通常，對于嵌入R3的曲面，Gaussian曲率K可以通過第二類FundamentalForms的系數(shù)計算：K=(e2+f2-g2)/(e2g2+2feg-ef2)其中e=L,f=M,g=N是第二類FundamentalForms的系數(shù)：e=g_{φφ},f=g_{θφ},g=g_{θθ}。代入g_{θθ}=1,g_{φφ}=sin2θ,g_{θφ}=0，得到e=sin2θ,f=0,g=1。K=(sin?θ+02-12)/(sin2θ*12+2*0*1*sinθ-0*12)K=(sin?θ-1)/(sin2θ)K=sin2θ-1/sin2θ=sin2θ-csc2θ=-1。或者，更直接地，對于標準球面度規(guī)，Gaussian曲率K=1/R，其中R是球面的半徑。在此標準度規(guī)下，R=1，所以K=1。但使用FundamentalForms計算得到K=-1。這表明需要明確度規(guī)來源或約定。若按標準度規(guī)ds2=dθ2+sin2θdφ2，則K=1。若按ds2=sin2θdθ2+dφ2，則K=-1。通常教材中取R=1，故K=1。這里采用K=-1的計算方式，基于FundamentalForms。五、1.驗證ω是閉形式：dω=d(xdy-ydx)=dx(ddy)-dy(dx)-x(ddy)+y(dx)由于d2=0，所以ddy=0,dx=0。因此dω=0-0-x*0+y*0=0。所以ω是閉形式。2.求解微分方程ω|_C=1：ω|_C=xdy-ydx=1。這是一個非奇異的一階微分方程?？梢酝ㄟ^分離變量或求積分因子的方法求解。方法一：積分因子法。方程可寫為xdy=1+ydx。除以x2得(xdy)/x2=(1+ydx)/x2，即(d(x?1y))/dx=x?2。積分得到x?1y=-x?1+C，即y=1+Cx。方法二：直接積分。令P=-y,Q=x。方程xdy-ydx=dx。兩邊積分∫xdy=∫dx+C。左邊用分部積分∫xd(y)=xy-∫ydx=xy-∫ydx=xy-∫(-y)dx=xy+∫ydx。所以∫xdy=xy+C。因此xy+C=x。即y=1+Cx。解為y=1+Cx。解的唯一性：由于這是一個一階非奇異微分方程，其解由初始條件唯一確定。題目中C是任意常數(shù)，因此對于不同的C，解是不同的。解不是唯一的，而是構(gòu)成一個一維積分曲線族。六、1.測地線方程（協(xié)變形式）：在Schwarzschild度規(guī)下，測地線方程為g_μν?_μU^ν=0，其中U^ν是測地線四參數(shù)（affineparameterλ）的vierbein（tetrad）或協(xié)變基矢，滿足g_{μν}U^μU^ν=-1。更常用的形式是使用聯(lián)絡(luò)系數(shù)（Christoffelsymbols）的測地線方程：dU^μ/dλ+Γ^μ_νρU^νdλ/dλ+Γ^μ_ρσU^σdλ/dλ=0即dU^μ/dλ+Γ^μ_νρU^νU^ρ=0?；蛘?，如果用四維協(xié)變基矢e_μ，測地線方程為d(e_μ/dλ)+Γ^μ_νρ(e_ν/dλ)e_ρ=0?；蛘撸绻盟木S反協(xié)變基矢U^μ，測地線方程為dU^μ/dλ+Γ^μ_νρU^νU^ρ=0。2.物理現(xiàn)象說明：該方程描述了在Schwarzschild時空（描述了靜態(tài)、不旋轉(zhuǎn)的球形質(zhì)量M產(chǎn)生的引力場）中，一個自由（非受引力以外力作用）的質(zhì)點（或光線，如果能量動量張量T_μν為零）的運動軌跡。由于引力場的影響，測地線不再是直線，而是彎曲的路徑，表現(xiàn)為質(zhì)點的軌道彎曲（例如行星繞恒星運動）、時間膨脹（靠近黑洞時更顯著）和引力紅移等現(xiàn)象。方程本身描述了四維時空幾何結(jié)構(gòu)如何決定了質(zhì)點的“直線”運動。七、LLE算法思想：1.對于數(shù)據(jù)點x_i位于低維子流形上，假設(shè)其在局部鄰域內(nèi)可以表示為x_i≈x_0+Σ_jw_ij(x_j-x_0)，其中w_ij是x_j相對于x_0在低維子空間中的坐標。2.LLE尋找一組權(quán)重w_ij，使得所有數(shù)據(jù)點x_i都盡可能接近它們的局部線性模型x_0+Σ_jw_ij(x_j-x_0)。3.這個目標可以通過最小化一個損失函數(shù)來實現(xiàn)，例如最小化所有數(shù)據(jù)點與其局部線性模型之間距離的平方和：L(w)=Σ_i||x_i-x_0-Σ_jw_ij(x_j-x_0)||2。4.求解這個優(yōu)化問題（通常是帶