2025年高二數(shù)學(xué)月考試卷及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.函數(shù)\(y=\log_{2}(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.44.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)5.拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)6.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)7.直線\(3x+4y-12=0\)與\(x\)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.\((0,3)\)B.\((3,0)\)C.\((0,4)\)D.\((4,0)\)8.函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x\)的極大值點(diǎn)是（）A.1B.-1C.0D.29.已知\(a,b\inR\)，且\(a\gtb\)，則下列不等式一定成立的是（）A.\(a^{2}\gtb^{2}\)B.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)C.\(a-b\gt0\)D.\(ac\gtbc\)10.已知\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值為（）A.3B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.2二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=x^{3}\)2.以下哪些是直線的方程形式（）A.點(diǎn)斜式B.斜截式C.兩點(diǎn)式D.截距式3.對于橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)，以下說法正確的是（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)4.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)，公比為\(q\)，則下列說法正確的是（）A.\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)B.若\(m,n,p,q\inN^+\)，\(m+n=p+q\)，則\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)C.前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}(q\neq1)\)D.等比數(shù)列一定是單調(diào)數(shù)列5.下列命題中，正確的是（）A.若\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)B.若\(\vec{a}\parallel\vec\)，\(\vec\parallel\vec{c}\)，則\(\vec{a}\parallel\vec{c}\)（\(\vec\neq\vec{0}\)）C.\(\vert\vec{a}+\vec\vert\leqslant\vert\vec{a}\vert+\vert\vec\vert\)D.\((\vec{a}+\vec)\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec\cdot\vec{c}\)6.函數(shù)\(y=\sin(2x+\varphi)\)的圖象可能是（）A.關(guān)于點(diǎn)\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱B.關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{6}\)對稱C.周期為\(\pi\)D.值域?yàn)閈([-1,1]\)7.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列說法正確的是（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)C.\(a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)8.直線\(l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)與\(l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)平行的條件是（）A.\(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0\)B.\(A_{1}C_{2}-A_{2}C_{1}\neq0\)C.\(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}\neq0\)D.\(\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}\neq\frac{C_{1}}{C_{2}}\)（\(A_{2},B_{2},C_{2}\neq0\)）9.下列導(dǎo)數(shù)公式正確的是（）A.\((x^{n})^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\cosx)^\prime=\sinx\)D.\((e^{x})^\prime=e^{x}\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可導(dǎo)，則下列說法正確的是（）A.若\(f^\prime(x)\gt0\)在\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞增B.若\(f^\prime(x)\lt0\)在\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞減C.\(f(x)\)的極值點(diǎn)處\(f^\prime(x)=0\)D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上的最大值一定在端點(diǎn)處取得三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是減函數(shù)。（）3.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)。（）4.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec=(2,4)\)共線。（）5.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）6.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）7.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）8.函數(shù)\(y=\cos^{2}x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）9.若\(a,b\)為實(shí)數(shù)，\(ab\gt0\)，則\(\frac{a}+\frac{a}\geqslant2\)。（）10.函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)處連續(xù)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和公式（\(a_{1}\)為首項(xiàng)，\(d\)為公差）。答案：\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)，推導(dǎo)是將\(S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots+[a_{1}+(n-1)d]\)與\(S_{n}=a_{n}+(a_{n}-d)+(a_{n}-2d)+\cdots+[a_{n}-(n-1)d]\)相加得\(2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\)，又\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，所以\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)。2.求函數(shù)\(y=x^{2}+2x-3\)的單調(diào)區(qū)間。答案：對函數(shù)\(y=x^{2}+2x-3\)求導(dǎo)得\(y^\prime=2x+2\)。令\(y^\prime\gt0\)，即\(2x+2\gt0\)，解得\(x\gt-1\)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((-1,+\infty)\)；令\(y^\prime\lt0\)，即\(2x+2\lt0\)，解得\(x\lt-1\)，所以單調(diào)遞減區(qū)間是\((-\infty,-1)\)。3.已知向量\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\vec=(3,4)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec\)及\(\vert\vec{a}\vert\)。答案：\(\vec{a}\cdot\vec=2\times3+(-1)\times4=6-4=2\)；\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\)。4.求橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的長軸長、短軸長、焦距和離心率。答案：由橢圓方程\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，\(a^{2}=9\)，\(b^{2}=4\)，則\(a=3\)，\(b=2\)，\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{5}\)。長軸長\(2a=6\)，短軸長\(2b=4\)，焦距\(2c=2\sqrt{5}\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的圖象關(guān)系及性質(zhì)差異。答案：圖象關(guān)系：\(y=\cosx\)圖象可由\(y=\sinx\)圖象向左平移\(\frac{\pi}{2}\)個單位得到。性質(zhì)差異：\(y=\sinx\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)遞增，\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)遞減，\([\frac{3\pi}{2},2\pi]\)遞增；\(y=\cosx\)在\([0,\pi]\)遞減，\([\pi,2\pi]\)遞增。且零點(diǎn)、最值點(diǎn)位置不同。2.討論直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：方法一，代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓方程得方程組，消元后判斷判別式\(\Delta\)，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離；方法二，幾何法，計算圓心到直線距離\(d\)，與半徑\(r\)比較，\(d\ltr\)相交，\(d=r\)相切，\(d\gtr\)相離。3.討論在利用基本不等式\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)\)求最值時需要注意的要點(diǎn)。答案：需注意“一正、二定、三相等”。“一正”指\(a,b\)都為正；“二定”是和\(a+b\)或積\(ab\)為定值；“三相等”是當(dāng)且僅當(dāng)\(a=b\)時等號成立。若不滿足這些條件，可能導(dǎo)致錯誤結(jié)果。4.討論等比數(shù)列和等差數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用實(shí)例。答案：等比數(shù)列應(yīng)用如細(xì)胞分裂，每次分裂數(shù)量成等比；還有