3.18我國(guó)第一顆人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運(yùn)行，地球的中心處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。已知地球半徑為Re=6.378×106m，人造衛(wèi)星距地面的最近高度（即近地點(diǎn)）為h1=4.39×105m，最遠(yuǎn)高度（即遠(yuǎn)地點(diǎn)）為h2=2.384×106m。衛(wèi)星在近地點(diǎn)的速度為v1=8.10×103m/s。畫出[解析]取地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則表示地球圓周的參數(shù)方程為x=Recosθ，y=Resinθ。(3.1)衛(wèi)星橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為a=(h1+h2+2Re)/2=(r1+r2)/2，(3.2)其中，r1=Re+h1，r2=Re+h2。半焦距為c=a-Re–h1=(h2-h1)/2，(3.3)半短軸為。(3.4)橢圓的方程為，(3.5)其參數(shù)方程為x=acosθ-c，y=bsinθ。(3.6)設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，衛(wèi)星在近地點(diǎn)的角動(dòng)量為L(zhǎng)1=mv1r1，在遠(yuǎn)地點(diǎn)的角動(dòng)量為L(zhǎng)2=mv2r2，根據(jù)角動(dòng)量守恒定律可得。(3.7)方法一：用開普勒第二定律求周期。行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第二定律是：行星對(duì)太陽(yáng)的矢徑在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。該定律也適用于衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的情況。(3.8)根據(jù)近地點(diǎn)的速度和距離可計(jì)算常數(shù)C，(3.9)當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)行一圈時(shí)，矢徑掃過(guò)的面積就是橢圓的面積，衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就是一個(gè)周期。橢圓的短半軸可表示為，(3.10)橢圓的面積為，(3.11)因此衛(wèi)星的周期為。(3.12)方法二：用開普勒第三定律求周期。行星運(yùn)動(dòng)的開普勒第三定律是：行星公轉(zhuǎn)周期的平方與它的軌道長(zhǎng)半軸的立方成正比。該定律也適用于衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的情況。(3.13)如果衛(wèi)星的軌道是圓形，長(zhǎng)半軸就是圓的半徑。假設(shè)一顆繞地衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T0，則常數(shù)C為。(3.14)本題中衛(wèi)星的周期為。(3.15)假設(shè)繞地衛(wèi)星的質(zhì)量為m，在繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)向心力公式得，其速度為=7.91×103m/s，(3這就是第一宇宙速度。地面衛(wèi)星的周期為，(3.17)由(3.15)式可得衛(wèi)星周期為。(3.18)[算法]根據(jù)橢圓的兩個(gè)半軸可畫衛(wèi)星的軌跡，根據(jù)開普勒第二定律和第三定律都能求出運(yùn)行周期，兩種方法的結(jié)果可相互參照。[程序]P3_18.m如下。%我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星的橢圓軌道和周期clear%清除變量re=6.378e6;%地球半徑th=(0:10000)/10000*2*pi;%角度向量x=re*cos(th);%地球橫坐標(biāo)y=re*sin(th);%地球縱坐標(biāo)figure%創(chuàng)建圖形窗口fill(x,y,'g')%畫地球h1=4.39e5;%近地高度h2=2.384e6;%遠(yuǎn)地高度r1=re+h1;%近地距離r2=re+h2;%遠(yuǎn)地距離a=(r1+r2)/2;%軌道半長(zhǎng)軸c=a-r1;%軌道半焦距b=sqrt(a^2-c^2);%軌道半短軸axis([-r2,r1,-b,b])%軌道范圍axisequal%使軸相等gridon%加網(wǎng)格fs=16;%字體大小title('我國(guó)第一顆人造地球衛(wèi)星的軌道和周期','fontsize',fs)%標(biāo)題xlabel('\itx\rm/m','fontsize',fs)%標(biāo)記坐標(biāo)x符號(hào)ylabel('\ity\rm/m','fontsize',fs)%標(biāo)記坐標(biāo)y符號(hào)v1=8.1e3;%近地速率fs=14;%字體大小text(r1,0,['\itv\rm_1='num2str(v1)'m/s'],'fontsize',fs)%顯示近地點(diǎn)速率v2=v1*r1/r2;%求遠(yuǎn)地速率text(-r2,0,['\itv\rm_2='num2str(v2)'m/s'],'fontsize',fs)%顯示遠(yuǎn)地點(diǎn)速率x=a*cos(th)-c;%橢圓橫坐標(biāo)y=b*sin(th);%橢圓縱坐標(biāo)holdon%保持圖像plot([-r2,r1],[0,0])%畫長(zhǎng)軸comet(x,y)%畫慧星軌道plot(x,y)%畫橢圓%用開普勒第二定律計(jì)算周期s=pi*a*b;%求橢圓面積c=r1*v1/2;%求常數(shù)t=s/c;%求周期txt=['用開普勒第二定律求周期\itT\rm='num2str(t)'s'];%周期文本text(-r2,b,txt,'fontsize',fs)%顯示周期%用開普勒第三定律和地面衛(wèi)星計(jì)算周期g=9.8;%重力加速度vI=sqrt(re*g);%第一宇宙速度t0=2*pi*re/vI;%地面衛(wèi)星的周期tt=t0*(a/re)^(3/2);%衛(wèi)星周期txt=['用開普勒第三定律求周期\itT\rm='num2str(tt)'s'];%周期文本text(-r2,-b,txt,'fontsize',fs)%顯示周期[圖示]如P3.1