10.16一非勻強(qiáng)磁場B沿著Z方向，大小與Z成正比：B=Kzk（K為比例常數(shù)）。一質(zhì)量為m，電量為q的帶電粒子以初速度v0從原點(diǎn)射入磁場，初速度方向在O-XZ平面，與Z方向的夾角為θ，如圖10.16所示。粒子的運(yùn)動軌跡有什么特點(diǎn)？[解析]根據(jù)洛侖茲力和牛頓第二定律可得粒子運(yùn)動矢量微分方程F=ma=qv×B。(10.1)其中=Kzvyi-Kzvxj。(10.2)粒子運(yùn)動微分方程的分量為ZXOCY題ZXOCY題10.16圖Bv0θ。(10.3b)。(10.3c)對(10.3c)式積分可得vz=C=v0cosθ，(10.4)再積分，由于z(0)=0，可得z=v0tcosθ。(10.5c)當(dāng)θ=0時，vx=vy=0，因此粒子沿z軸作勻速直線運(yùn)動。當(dāng)θ=π/2時，vx=v0，vz=vy=0，在x=0的平面，B=0，因此粒子沿x軸作勻速直線運(yùn)動。在一般情況下，需要求粒子在x方向和y方向的運(yùn)動方程，才能知道粒子的運(yùn)動軌跡。將(10.3a)式除以(10.3b)式，可得微分方程，即vxdvx+vydvy=0。利用初始條件vx=v0sinθ，vy=0，積分上式得vx2+vy2=v02sin2θ，(10.6)設(shè)vx=v0sinθcosφ，(10.7a)vy=v0sinθsinφ，(10.7b)將上面兩式和(10.5c)式代入(10.3a)式，可得方程，當(dāng)t=0時，φ=0，積分上式得。(10.8)上式代入(10.7a)式可得，積分得。設(shè)，，可得。(10.5a)這個積分稱為菲涅耳余弦積分，只有數(shù)值解。利用(10.7b)式可得。(10.5b)這個積分稱為菲涅耳正弦積分，也只有數(shù)值解。當(dāng)積分上限趨于無窮大時，兩個菲涅耳積分都趨于，因此粒子的極限坐標(biāo)為，(10.6a)。(10.6b)P10.16.1a圖P10.16.1b圖[圖示](1)如P10.16.1a之上圖和中圖所示，帶電粒子的入射角為60o時，帶電粒子位置的x和y坐標(biāo)均隨時間周期性地變化，時間越長，幅度越小，x坐標(biāo)都大于零，y坐標(biāo)都小于零。如P10.16.1a之下圖所示，帶電粒子位置的z坐標(biāo)隨時間直線增加。(2)如P10.16.1b圖所示。帶電粒子的運(yùn)動軌跡是螺旋上升的，時間越長，粒子運(yùn)動得越高，半徑也越小。極限橫坐標(biāo)為1.085R，極限縱坐標(biāo)為-1.085R。由于粒子在z方向作勻速直線運(yùn)動，因此，粒子不會返回來，這是因?yàn)閳鰪?qiáng)只有z分量。在場強(qiáng)只有z分量的情況下，不管磁感應(yīng)強(qiáng)度與z的多少次方成正比，粒子都不會返回來。(3)當(dāng)帶電粒子的入射角為-60o時，粒子的運(yùn)動規(guī)律如P10.16.1c圖所示，粒子的運(yùn)動軌跡如P10.16.1d圖所示。(4)當(dāng)帶電粒子的入射角為120o時，粒子的運(yùn)動軌跡是向下的螺旋線(圖略)。P10.16.1c圖P10.16.1d圖[算法]方法一：用解析式求解。取的倒數(shù)為時間單位，取為長度單位，則帶電粒子的運(yùn)動方程可表示為，(10.5a*)，(10.5b*)。(10.5c*)其中，t*=ωt，。粒子的極限坐標(biāo)可表示為。(10.6*)[程序]P10_16.m如下。%帶電粒子在非勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動clear%清除變量theta=input('請輸入入射角度數(shù):');%鍵盤入射角度數(shù)th=theta*pi/180;%化為弧度tm=40;%運(yùn)動時間dt=0.01;%時間間隔t=0:dt:tm;%時間向量wt%----------------------------------------------------------u=t*sqrt(cos(th)/2);%積分變量fsin=inline('sin(x.^2)');%菲涅耳正弦積分內(nèi)線函數(shù)fcos=inline('cos(x.^2)');%菲涅耳余弦積分內(nèi)線函數(shù)x=sin(th)*cumsum(fcos(u))*dt;%求x坐標(biāo)y=-sin(th)*cumsum(fsin(u))*dt;%求y坐標(biāo)z=cos(th)*t;%求z坐標(biāo)%----------------------------------------------------------r={x,y,z};%化為元胞fs=16;%字體大小figure%開創(chuàng)圖形窗口fori=1:3%按子圖循環(huán)subplot(3,1,i)%選子圖plot(t,r{i})%畫運(yùn)動規(guī)律曲線gridon%加網(wǎng)格ifi==1title('帶電粒子在非勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動規(guī)律','fontsize',fs),end%標(biāo)題xlabel('\it\omegat','fontsize',fs)%標(biāo)注x軸符號ylabel(['\it'char(double('x')+i-1)'/R'],'fontsize',fs)%標(biāo)注y軸符號end%結(jié)束循環(huán)zm=max(z);%求最大高坐標(biāo)text(0,zm,['\it\theta\rm='num2str(theta)'\circ'],'fontsize',fs)%標(biāo)注入射角text(tm/2,zm/2,'\it\omega\rm=(\itkqv\rm_0/\itm\rm)^{1/2}','fontsize',fs)%標(biāo)注角速度text(0,zm/2,'\itR\rm=\itv\rm_0/\it\omega','fontsize',fs)%標(biāo)注長度單位figure%開創(chuàng)圖形窗口comet3(x,y,z)%畫彗星式軌跡plot3(x,y,z)%重畫軌跡title('帶電粒子在非勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動軌跡','fontsize',fs)%標(biāo)題xlabel('\itx/R','fontsize',fs)%標(biāo)注x軸符號ylabel('\ity/R','fontsize',fs)%標(biāo)注y軸符號zlabel('\itz/R','fontsize',fs)%標(biāo)注z軸符號gridon%加網(wǎng)格boxon%加框xm=sin(th)/2*sqrt(pi/cos(th));%極限坐標(biāo)holdon%保持圖像plot3([1,1]*xm,[-1,-1]*xm,[0,zm*1.1],'r--','LineWidth',3)%畫軸txt=[num2str(xm),',',num2str(-xm),',0'];%極限坐標(biāo)text(xm,-xm,0,txt,'fontsize',fs)%標(biāo)注極限坐標(biāo)方法二：用微分方程的數(shù)值解求解。帶電粒子速度的微分方程的分量為，，。取的倒數(shù)為時間單位，取為長度單位，則速度的分量式可表示為，，。其中，t*=ωt，x*=x/R，y*=y/R，z*=z/R；vx*=vx/v0，vy*=vy/v0，vz*=vz/v0。加速度的分量式可表示為，，。設(shè)r(1)=dx*/dt*，r(2)=dy*/dt*，r(3)=dz*/dt*；r(4)=dvx*/dt*，r(5)=dvy*/dt*，r(6)=dvz*/dt*，則微分方程組可表示為，，；，，。初始條件為r(1)=0，r(2)=0，r(3)=0；r(4)=sinθ，r(5)=0，r(6)=cosθ。[程序]P10_16_.m計(jì)算部分如下。%----------------------------------------------------------vx=sin(th);%x速度vy=0;%y速度vz=cos(th);%z速度r0=[0,0,0,vx,vy,vz];%初始條件[t,R]=ode45('p10_18_fun',t,r0);%求微分方程數(shù)值解x=R(:,1);y=R(:,2);z=R(:,3);%取坐標(biāo)%----------------------------------------------------------(程序的其他部分與上一程序的相同)程序在執(zhí)行時將調(diào)用一個函數(shù)P10_18_fun.m。%帶電粒子在非勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的函數(shù)functionf=fun(t,r)%定義函數(shù)f=[r(4);%x速度r(5);%y速度r(6);%z速度r(3)*r(5);%x加速度-r(3)*r(4);%y加速度0];%z加速度方法三：用微分方程的符號解求解。z方向的運(yùn)動方程已經(jīng)求出，將(1.5c)式代入(1.3a)式和(1.3b)式，可得，。取的倒數(shù)為時間單位，取為長度單位，上述方程可表示為，。初始條件為x*=0，y*=0，z*=0；vx*=sinθ，vy*=0，vz*=cosθ。[程序]P10_16.m計(jì)算部分如下。%----------------------------------------------------------s1='D2x-Dy*cos(th)*t';%第一個微分方程字符串s2='D2y+Dx*cos(th)*t';%第二個微分方程字符串d=dsolve(s1,s2,'x(0)=0','y(0)=0','Dx(0)=sin(th)','Dy(0)=0');%求微分方程符號解x=subs(d.x,'th',th);