11/702025屆中考復習專題04:圓的常考模型歸納總覽總覽題型解讀【題型1】弦切角定理與切割線定理 24【題型2】中點弧模型 28【題型3】內(nèi)心模型 32【題型4】線段和差問題（構造手拉手） 35【題型5】阿基米德折弦定理 39【題型6】平行弦與相交弦，垂直線，割線模型 44【題型7】垂徑圖 47【題型8】等腰圖 50【題型9】雙切圖 53【題型10】射影圖 57【題型11】切割圖 60【題型12】圓與三角函數(shù)綜合 64【題型13】圓與相似綜合 67題型匯編題型匯編知識梳理與?？碱}型圓的基本模型（一）：圓冪定理1.弦切角與切割線 ①①PA是切線；②（弦切角定理）；③以上三個結論知一推二弦切角：弦和切線所夾的角等于它們所夾的弧所對的圓周角，即切線AP和弦AB所夾的∠1，等于它們所夾的弧EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AB)所對的圓周角∠22.圓冪定理①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。②切割線定理：從圓外點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。③割線定理（推論）：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B、C、D，則有PA·PB=PC·PD。【統(tǒng)一歸納】：過任意不在圓上的一點P引兩條直線l1、l2，l1與圓交于A、B（可重合，即切線），l2與圓交于C、D（可重合），則有【模型圖解】相交弦定理割線定理切割線定理切線長定理PA·PB=PC·PDPA·PB=PC·PDPA2=PC·PDPA=PC統(tǒng)一敘述為：過一點P（無論點P在圓內(nèi)，還是在圓外）的兩條直線，與圓相交或相切（把切點看成兩個重合的“交點”）于點A、B、C、D,則有圓冪定理:過一個定點P的任何一條直線與圓相交，則這點到直線與圓的交點的兩條線段的乘積為定值（定值稱做點P對的“冪”，等于點P到圓心的距離與半徑的平方差的絕對值）【問題】求證（點在圓外）【證明】由切割線定理推論得：PA·PB=PC·PD，又∵PC·PD=(PH―CH)(PH+CH)=PH2―CH2=(OP2―OH2)―(r2―OH2)=OP2―r2【例題】如圖，已知PAB是⊙O的割線，PO=14cm，PA=4cm，AB=16cm。求⊙O的半徑?！咀C明】由得，r2=OP2－PA·PB=132,∴r=

圓的基本模型（二）：中點弧模型點P是優(yōu)弧AB上一動點，則 【以下五個條件知一推四】【以下五個條件知一推四】點C是的中點AC＝BCOC⊥ABPC平分∠APB(即)【簡證】∠1＝∠2，∠PCB為公共角，子母型相似 【補充】⑥PE?PC＝PA?PB，注意：⑥不能反推出前五項【例】如圖，四邊形內(nèi)接于，對角線、交于點，且，若，，則．易知，則， 圓的基本模型（三）：內(nèi)心模型與等腰【模型講解】外接圓+內(nèi)心?得等腰如圖，圓O是△ABC外接圓圓心，I是三角形ABC的內(nèi)心，延長AI交圓O于D，則DI＝DC＝BD【簡證】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3圓的基本模型（四）：線段和差問題（構造手拉手或阿基米德折弦定理）1.中點弧與旋轉【模型解讀】點P是優(yōu)弧AB上一動點，且點C是的中點鄰邊相等+對角互補旋轉相似模型，一般用來求圓中三條線段之間的數(shù)量關系.由于對角互補，即，顯然共線，且，通過導角不難得出相似.2.常見結構（1）圓內(nèi)接等邊三角形結論：，可構造做角平分線或構造手拉手模型 【簡析】 （2）圓內(nèi)接等腰直角三角形（正方形）情況一：有角平分線 情況二：無角平分線截長補短構造手拉手——旋轉相似，一轉成雙在AP上取一點Q，使BP=BQ,,【旋轉六法】 補充【托密勒定理】：秒殺！（選填可用）3.阿基米德折弦定理【模型解讀】【問題】：已知M為的中點，B為上任意一點，且MD⊥BC于D．求證：AB＋BD＝DC 證法一：(補短法)如圖：延長DB至F，使BF＝BA∵M為中點∴＝，∴∠1＝∠2－－－①又∵EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3－－－②又∵∠3＋∠MBF＝180°－－－③由圓內(nèi)接四邊形對角互補∴∠2＋∠MBA＝180°－－－④由①②③④可得：∠MBA＝∠MBF，在△MBF與△MBA中eq\B\lc\{(\a\al(BF＝BA,∠MBA＝∠MBF,MB＝MB))∴△MBF≌△MBA(SAS)∴MF＝MA，又∵MC＝MA∴MF＝MC又∵MD⊥CF∴DF＝DC∴FB＋BD＝DC又∵BF＝BA∴AB＋BD＝DC(證畢)證法二：(截長法——兩種截取方式)如圖1：在CD上截取CG＝AB，則有DC＝CG＋DG，再證出BD＝DG即可∵EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BM)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BM)∴∠1＝∠2－－－①又∵M是EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AC)中點，∴MA＝MC－－－②由①②可知，在△MBA與△MGC中∴△BMA≌△GMC(SAS)∴BD＝GD又∵MD⊥BG∴BD＝DG∴AB＋BD＝DC(證畢)如圖2：在CD上截取DB＝DG，再證明AB＝CG即可簡證：易知△MBG與△MAC均為等腰三角形，且∠1＝∠2，可知△MBG與△MAC構成手拉手模型，∴△BMA≌△GMC(SAS)∴AB＝CG常規(guī)證明：∵MD⊥BG∴MB＝MG∴∠2＝∠MGD－－－①又∵EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)，∴∠1＝∠2－－②∵M是中點，∴＝∴∠1＝∠MCA－－③由①②③可得∠MGD＝∠MC，而∠MGD＋∠MGC＝180°，∠MCA＋∠MBA＝180°∴∠MGC＝∠MBA又∵＝，∴＝在△MBA與△MGC中，∴△BMA≌△GMC(AAS)∴AB＝GC∴AB＋BD＝DC（證畢）證法三：(翻折)——證共線如圖3：連接MB，MC，MA，AC，將△BAM沿BM翻折，使點A落至點E，連接ME，BE∵△MBA與△MBE關于BM對稱，所以△MBE≌△MBA∴MA＝ME，∠MBA＝∠MBE－－①又∵MA＝MC，∴ME＝MC，又∵M，B，A，C四點共圓，∴∠MBA＋∠MCA＝180°－－②又∵MA＝MC（已證）∴∠MAC＝∠MCA又∵EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)，∴∠MBC＝∠MAC∴∠MBC＝∠MCA－－－③由①②③得：∠MBC＋∠MBE＝180°∴E，B，C三點共線。又∵ME＝MC，MD⊥CE∴DE＝DC，∴EB＋BD＝DC，又∵△MBE≌△MBA∴AB＝EB∴AB＋BD＝DC（證畢）證法四：兩次全等如圖4，連接MB，MA，MC，AC，延長AB，過點M作MH⊥AB于點H，∵M為EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AC)的中點∴AM＝MC，又∵EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BM)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BM)∴∠HAM＝∠DCM又∵∠MHA＝∠MDC＝90∴在△MHA與△MDC中∴△MHA≌△MDC(AAS)∴CD＝AH－－①MD＝MH在Rt△MHB與RtT△MDB中∴△MDB≌△MHB(HL)∴BD＝BH又∵AH＝AB＋BH，∴AH＝AB＋BD－－②由①②可得DC＝AB＋BD(證畢)證法五：補短法（2）——兩次全等如圖4，延長AB至H，使BH＝BD，則AB＋BD＝AH，先證△BHM≌△BDM(HL)，再證△MHA≌△MDC(HL)圓的基本模型（五）：平行弦與垂直相交弦，割線定理一、平行弦：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD，∴ 二、相交弦：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等即：在⊙O中，∵弦AC、BD相交于點G，則AG·CG=BG·DG【模型構造】1.當圓中有相互垂直的弦時（I）經(jīng)常作直徑所對的圓周角，可以得到平行弦（II）還可以構造相似（III）當圓中有和弦垂直的線段時，還可以構造平行弦，可得例題：弦CD⊥弦AB，過圓心O作OF⊥BC于F，證AD=2OF 練習：（深圳南山區(qū)模擬）如圖，PC為圓的切線，弦CD⊥弦AB，AD=2,BC=6，求圓的半徑 【簡證】易知：AE∥CD，AD=EC=2,通過勾股定理可知直徑EB2.當圓中有相等的弦、弧時（I）等弧時常作輔助線：（1）構造等弦或等角（2）構造平行 （II）等弦時常作輔助線：（1）構造等角（2）作弦心距（3）作平行 【小試牛刀】試一試看能寫出幾種證法【證法1】，，，∴∠B=∠D【證法2】【證法3】【證法4】三、割線定理割線PD、PC相交于點P，則圓的基本模型（六）：垂徑圖一、弧中點與垂徑圖 知1推5知1推5AD平分∠CABD是的中點DO⊥CB二、垂徑+相等的三段弧如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是的中點，弦CE⊥AB于點H，連結AD，分別交CE、BC于點P、Q，連結BD。（1）證CO∥BD（2）AD＝CE（3）證：P是線段AQ的中點（4）證：CP·CE＝AH·AB＝CQ·CB（5）tan∠DBC＝（6）若AD＝8，BD＝6，求AH的值（7）若⊙O的半徑為5，AQ＝，求弦CE的長.【簡證】（1）（2）(3)先利用弧相等導角證AP＝CP，再通過Rt△ACQ中的互余關系，得到PQ＝CP，∴AP＝PQ＝CP（4）CP＝AP，CE＝AD?CP?CE＝AP?AD，△APH～△ABD?AP?AD＝AH?AB（5）（6）法一（6）法二（7）找到對應相似三角形是關鍵補充拓展：垂徑圖導子母相似如圖弦CD⊥直徑AB于點G，E是直線AB上一點（不與其他點重合），DE交圓O于F，CF交直線AB于點P（1）證；（2）當點E在AB延長線上時，（1）的結論還成立嗎？ 圓的基本模型（七）：等腰圖（直徑在腰上）直徑在腰上：如圖，已知AB是直徑，AB=AC，則有 結論（1）BD=CD=ED結論（1）BD=CD=ED（2）DO∥AC（3）知1推3：【補充】圓心在三線上：如圖，已知AB是直徑，AB=AC，則有圓的基本模型（八）：雙切圖補充：多切圖內(nèi)切圓半徑為r∠C＝90°?r＝a＋b?c2內(nèi)切圓半徑為r∠C≠90°?(aBE圓的基本模型（九）：射影圖圓的基本模型（十）：切割圖（切線和割線垂直）

【題型1】弦切角定理與切割線定理【例題1】（2024·四川眉山·中考真題）如圖，是的直徑，點在上，點在的延長線上，，平分交于點，連結．(1)求證：是的切線；(2)當時，求的長．【例題2】(四川瀘州中考)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點F，AE是⊙O的直徑，連接EC．

（1）求證：∠ACF＝∠B；（2）若AB＝BC，AD⊥BC于點D，F(xiàn)C＝4，F(xiàn)A＝2，求ADAE的值．【例題3】（湖北·黃石中考）如圖，是的直徑，點D在的延長線上，C、E是上的兩點，，，延長交的延長線于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，求弦的長．【例題4】（湖北·十堰中考）如圖，中，，以為直徑的交于點，點為延長線上一點，且．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．【鞏固練習1】如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長線上一點，連接，且．(1)求證：是的切線；(2)若直徑，求的長．【鞏固練習2】（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，內(nèi)接于，，過點A作，交的直徑的延長線于點E，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求和的長．【鞏固練習3】（2024·四川雅安·中考真題）如圖，是的直徑，點C是上的一點，點P是延長線上的一點，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，求證：；(3)若于D，，，求的長．【鞏固練習4】（成都中考）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接AC，BC，D為AB延長線上一點，連接CD，且∠BCD＝∠A．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為，△ABC的面積為，求CD的長；(3)在(2)的條件下，E為⊙O上一點，連接CE交線段OA于點F，若，求BF的長．【題型2】中點弧模型【例題1】(蘇州·中考)如圖，是的直徑，、為上位于異側的兩點，連接并延長至點，使得，連接交于點，連接、、．（1）證明：；（2）設交于點，若，是的中點，求的值．【例題2】(深圳·中考)如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點M，將EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),CD)沿CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP＝OA，連接PC（1）求CD的長；（2）求證：PC是⊙O的切線；（3）點G為EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),ADB)的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E．交EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),BC)于點F（F與B、C不重合）．問GE·GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由．【拓展】（4）在（3）的條件下，當CF∥AB時，求FE·FG的值【鞏固練習1】如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，交BC于點F，∠ABC的平分線交AD于點E．（1）求證：DE＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的長

【鞏固練習2】（山東棗莊·中考）如圖，為的直徑，點C是的中點，過點C做射線的垂線，垂足為E．

(1)求證：是切線；(2)若，求的長；(3)在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有的式子表示）．【鞏固練習3】（2024·四川巴中·中考真題）如圖，內(nèi)接于，點為的中點，連接，平分交于點，過點作交的延長線于點．(1)求證：是的切線．(2)求證：．(3)若，，求的長．

【鞏固練習4】(江蘇無錫·中考)如圖，是的直徑，與相交于點．過點的圓O的切線，交的延長線于點，．

(1)求的度數(shù)；(2)若，求的半徑．【鞏固練習5】（2024·云南昆明·一模）如圖，是的兩條直徑，且，點E是上一動點（不與點B，D重合），連接并延長交的延長線于點F，點P在上，且，連接分別交于點M，N，連接，設的半徑為．(1)求證：是的切線；(2)當時，求證：；(3)在點E的移動過程中，判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

【題型3】內(nèi)心模型【例題1】（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，是的直徑，內(nèi)接于，點I為的內(nèi)心，連接并延長交O于點D，E是上任意一點，連接，，，．(1)若，求的度數(shù)；(2)找出圖中所有與相等的線段，并證明；(3)若，，求的周長．

【例題2】(廣東省·中考)如圖1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過點C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點D，連接AD交BC于點E，延長DC至點F，使CF＝AC，連接AF．（1）求證：ED＝EC；（2）求證：AF是⊙O的切線；（3）如圖2，若點G是△ACD的內(nèi)心，BC·BE＝25，求BG的長．

【鞏固練習1】已知：如圖，在中，E是內(nèi)心，延長AE交的外接圓于點D，弦AD交弦BC于點F．求證：；當點A在優(yōu)弧BC上運動時，若，，，求y與x之間的函數(shù)關系．【鞏固練習2】(湖北·孝感中考)如圖，點I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長線與△ABC的外接圓⊙O交于點D，與AC交于點E，延長CD、BA相交于點F，∠ADF的平分線交AF于點G．（1）求證：DG∥CA；（2）求證：AD＝ID；（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的長．【題型4】線段和差問題（構造手拉手）【例題1】在的內(nèi)接四邊形中，，，，點為弧的中點，則的長是．【例題2】（2024·山東濟寧·二模）【初步感知】如圖1，點，，均在上，若，則銳角的大小為____；【深入探究】如圖2，小聰遇到這樣一個問題：是等邊三角形的外接圓，點在上（點不與點重合），連接，，．求證：；小聰發(fā)現(xiàn)，延長至點，使，連接，通過證明．可推得是等邊三角形，進而得證．請根據(jù)小聰?shù)姆治鏊悸吠瓿勺C明過程．【啟發(fā)應用】如圖3，是的外接圓，，，點在上，且點與點在的兩側，連接，，，若，則的值為______．

【例題3】如圖，已知是的弦，點是弧的中點，是弦上一動點，且不與、重合，的延長線交于點，連接、，過點作，垂足為，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長；（3）當點在弦上運動時，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請寫出其變化范圍；如果不變，請求出其值．【鞏固練習1】如圖，在⊙O中AB=AC，點D是EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),CMB)上一動點（點D不與C、B重合）連接DA、DB、DC，∠BAC=120°（1）若AC=4，求⊙O的半徑（2）探究DA、DB、DC之間的關系，并證明。

【鞏固練習2】（吉林長春·中考）【感知】如圖①，點A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A、C重合），連結、、．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長至點E，使，連結，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長至點E，使，連結，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．，．是等邊三角形．，請你補全余下的證明過程．【應用】如圖③，是的外接圓，，點P在上，且點P與點B在的兩側，連結、、．若，則的值為__________．

【鞏固練習3】（2024·江蘇揚州·中考真題）在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊情況，猜想結論，然后再研究一般情況，證明結論．如圖，已知，，是的外接圓，點在上（），連接AD、BD、CD．【特殊化感知】（1）如圖1，若，點在延長線上，則與CD的數(shù)量關系為________；【一般化探究】（2）如圖2，若，點、在AB同側，判斷與CD的數(shù)量關系并說明理由；【拓展性延伸】（3）若，直接寫出AD、BD、CD滿足的數(shù)量關系．（用含的式子表示）

【題型5】阿基米德折弦定理【例題1】如圖，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是⊙O的一條折弦），BC＞AB，M是EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),ABC)的中點，過點M作MD⊥BC垂足為D，求證：CD=AB+BD.（阿基米德折弦定理） 【例題2】己知:如圖1，在⊙O中，C是劣弧AB的中點，直線CD⊥AB于E,易證得:AE=BE,從圓上任意一點出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦。(1)如圖2，PA、PB組成⊙O的一條折弦，C是劣弧AB的中點，直線CD⊥PA于E,求證:AE=PE+PB(2)如圖3，PA、PB組成⊙O的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點，直線CD⊥PA于E,則AE、PE、PB之間存在怎樣的數(shù)量關系?寫出結論，并證明。

【鞏固練習1】如圖，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，AB=2，點D為弧AC上一點，∠ABD=45°，AE⊥BD于E，求△BDC的周長?！眷柟叹毩?】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＜BC,點D為EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),ACB)的中點，求證AD2=AC·BC+CD2【鞏固練習3】已知⊙O是等邊△ABC的外接圓，P是⊙O上一點，求證PA+PB≤AC+BC【鞏固練習4】（山西中考）古希臘數(shù)學家阿基米德提出并證明了“折弦定理”．如圖1,AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦),BC>AB,M是優(yōu)弧ABC的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．（1）請按照下面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，

連接MA,MB,MC和MG．

∵M是EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),ABC)的中點，

∴EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MA)=EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),MC)

∴MA=MC．

（2）如圖(3),已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=2，D為⊙O上一點,∠ABD=45°,AE⊥BD,垂足為E，請你運用“折弦定理”求△BDC的周長．

2025屆中考復習70/71【鞏固練習5】（深圳·中考）如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,BC=2,AB=AC，點D為EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AC)上的動點，且cos∠ABC=．

（1）求AB的長度；

（2）在點D的運動過程中，弦AD的延長線交BC延長線于點E，問AD﹒AE的值是否變化？若不變，請求出ADAE的值；若變化，請說明理由；

（3）在點D的運動過程中，過A點作AH⊥BD,求證：BH=CD+DH．（4）拓展：求DA,DB,DC之間的數(shù)量關系

【鞏固練習6】已知：如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，且AD=DC+CB．過D作AC的垂線交△ABC的外接圓于M，過M作AB的垂線MN，交圓于N．求證：MN為△ABC外接圓的直徑．【鞏固練習7】如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB=AC，BD平分∠ABC交⊙O于點D，連接AD、CD。作AE⊥BD與點E，若AE=3，DE=1，求△ACD的面積【鞏固練習8】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=3，cos∠ABC=，D是劣弧AC上一點，且AD=2CD，求BD的長為.【鞏固練習9】如圖，PA⊥x軸于點A，點B在y軸正半軸上，PA＝PB，OA=6，OB=2,，點C是線段PB延長線上的一個動點，△ABC的外接圓⊙M與y軸的另一個交點是D．（1）證明：AD=AC（2）試問：在點C運動的過程中，BD﹣BC的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請給出合理的解釋．【題型6】平行弦與相交弦，垂直線，割線模型【例題1】如圖，半圓O的直徑，延長到A，直線AD交半圓于點E，D，且，求的長．【例題2】（2024·廣東中山·模擬預測）如圖，線段是的直徑，弦于點H，點M是上任意一點，，．(1)求的半徑r的長度；(2)求(3)直線交直線于點，直線交于點，連接交于點，求的值【鞏固練習1】（蘇州·中考）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，，點在上，連接并延長，交于點，連接，作，垂足為．(1)求證：；(2)若，求的長．

【鞏固練習2】如圖，和是的半徑，并且，是上任意一點，的延長線交于點，點在的延長線上，且．（1）求證：是的切線；（2）當時，試確定的取值范圍；（3）求證：【鞏固練習3】如圖，線段是的直徑，弦于點H，點是弧上任意一點（不與B，C重合），，．延長線段交的延長線于點E，直線交于點N，連結交于點F，則，．【鞏固練習4】（湖南張家界·中考）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是直徑，點是的中點，延長交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．【題型7】垂徑圖【例題1】如圖，為的直徑，，為圓上的兩點，，弦，相交于點．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【例題2】如圖，是的直徑，為弦的中點，連接并延長交于點，連接交于點，延長至點，使得，連接．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求的長．【鞏固練習1】如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為EQD,\o\ac(\S\UP7(⌒),AC)＝EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),CE)．（1）求證：AF＝CF；（2）若⊙O的半徑為5，AE＝8，求EF的長．

【鞏固練習2】（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，是的直徑，是一條弦，點是的中點，于點，交于點，連結交于點．(1)求證：；(2)延長至點，使，連接．①求證：是的切線；②若，，求的半徑．【鞏固練習3】（四川綿陽·中考）如圖，是的直徑，點為的中點，為的弦，且，垂足為，連接交于點，連接，，．（1）求證：；（2）若，求的長．

【題型8】等腰圖【例題1】（成都·中考）如圖，以的邊為直徑作，交邊于點D，過點C作交于點E，連接．

(1)求證：；(2)若，求和的長．【例題2】（四川宜賓·中考）如圖，線段經(jīng)過的圓心O，交于A、C兩點，，為的弦，連接，，連接并延長交于點E，連接交于點M．（1）求證：直線是的切線；（2）求的半徑的長；（3）求線段的長．

【鞏固練習1】（黃岡·中考）如圖，中，以為直徑的交于點，是的切線，且，垂足為，延長交于點．

(1)求證：；(2)若，求的長．

【鞏固練習2】（遼寧營口·中考）如圖，在中，，以為直徑作與交于點D，過點D作，交延長線于點F，垂足為點E．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．【鞏固練習3】（江蘇無錫·校聯(lián)考一模）如圖所示，在中，AB＝AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點D，過點D作DE⊥AB于點E，ED、AC的延長線交于點F．(1)求證：EF是⊙O的切線．(2)若EB＝6，且sin∠CFD＝，求⊙O的半徑與線段AE的長．【鞏固練習4】（廣西玉林·中考）如圖，在中，，，以AB為直徑作⊙O分別交于AC，BC于點D，E，過點E作⊙O的切線EF交AC于點F，連接BD．（1）求證：EF是△的中位線；（2）求EF的長．

【鞏固練習5】（四川眉山·中考）如圖，中，以為直徑的交于點E．平分，過點E作于點D，延長交的延長線于點P．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．【鞏固練習6】（孝感·中考）如圖，中，，以為直徑的交于點，交于點，過點作于點，交的延長線于點.（1）求證：是的切線；（2）已知，，求和的長.

【鞏固練習7】（湖南婁底·一模）如圖，在中，平分，交于點．是的直徑，連接、過點作，交于點，交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若的半徑為5，，求的長．【題型9】雙切圖【例題1】（2024·湖北·中考真題）如圖，在中，，點在上，以CE為直徑的經(jīng)過AB上的點，與交于點，且．(1)求證：AB是的切線；(2)若，，求的長．

【例題2】（武漢·中考）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點.過A作OP的垂線AB，垂足為點C，交⊙O于點B．延長BO與⊙O交于點D，與PA的延長線交于點E.(1)求證：PB為⊙O的切線；(2)若tan∠ABE=，求sinE的值.【例題3】如圖，D為O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）過點B作O的切線交CD的延長線于點E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的長【鞏固練習1】（四川瀘州·中考）如圖，⊙O與Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB分別相切于點C、D，與邊BC相交于點F，OA與CD相交于點E，連接FE并延長交AC邊于點G．（1）求證：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的長．【鞏固練習2】（四川樂山·中考）如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，BC＝6，．求BE的長．【鞏固練習3】（廣東省·中考）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C，連接AC，OD交于點E．（1）證明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切；（3）在（2）條件下，連接BD交于⊙O于點F，連接EF，若BC=1，求EF的長．

【鞏固練習4】（四川·樂山中考）如圖，P是⊙O外的一點，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B是切點，PO交AB于點F，延長BO交⊙O于點C，交PA的延長交于點Q，連結AC．（1）求證：AC∥PO；（2）設D為PB的中點，QD交AB于點E，若⊙O的半徑為3，CQ＝2，求的值．【鞏固練習5】（四川遂寧·中考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB邊上的一點，以AD為直徑的⊙O交BC于點E，交AC于點F，過點C作CG⊥AB交AB于點G，交AE于點H，過點E的弦EP交AB于點Q（EP不是直徑），點Q為弦EP的中點，連結BP，BP恰好為⊙O的切線．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）求證：＝；（3）若sin∠ABC═，AC＝15，求四邊形CHQE的面積．

【鞏固練習6】（武漢·中考）如圖，PA是⊙O的切線，A是切點，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB于點E，且PA=PB，（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．【題型10】射影圖【例題1】如圖，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過圓心O作AC的平行線OE，交BC于點E，連接DE并延長交AB的延長線于點F．(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若BF＝1，DF＝3，求⊙O的半徑；(3)若DC＝DE＝1，求AD的長．

【例題2】（安徽·統(tǒng)考一模）如圖，中，，以為直徑的交于點D，E是的中點，連接．（1）求證：與相切；（2）求證：；（3）若，求的長．【鞏固練習1】（成都·一模）如圖，在中，，以AB為直徑的圓交AC于點D,E是BC的中點，連接DE.

（1）求證：DE是的切線；（2）設的半徑為r，證明；（3）若，求AD之長.【鞏固練習2】如圖，在中，，以為直徑的交于點，是的中點，連接．

(1)求證：是的切線；(2)連接，若，，求的長．【鞏固練習3】（湖南永州·中考）如圖，以為直徑的是的外接圓，延長到點D．使得，點E在的延長線上，點在線段上，交于N，交于G．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長；(3)若，求證：．【鞏固練習4】（四川廣安·中考）如圖，以的直角邊為直徑作，交斜邊于點，點是的中點，連接．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的長；(3)求證：．【題型11】切割圖【例題1】（四川涼山州中考倒數(shù)第二題）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，點D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圓，交AC于點F．

（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，AC＝8，求S△BDE．【例題2】（云南中考倒數(shù)第二題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上異于A、B的點，連接AC、BC，點D在BA的延長線上，且∠DCA＝∠ABC，點E在DC的延長線上，且BE⊥DC．

（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若，BE＝3，求DA的長．【鞏固練習1】（2024·山東東營·中考真題）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點在上，點是的中點，，垂足為點D，的延長線交的延長線于點F．(1)求證：是的切線；(2)若，，求線段的長．【鞏固練習2】（2024·四川涼山·中考真題）如圖，是的直徑，點在上，平分交于點，過點的直線，交的延長線于點，交的延長線于點．(1)求證：是的切線；(2)連接并延長，分別交于兩點，交于點，若的半徑為，求的值．【鞏固練習3】如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過點C的切線乖直，垂足為點D，AD交⊙O于點E.(1)求證：AC平分∠DAB；(2)直線BE交AC于點F，若cos∠CAD＝，求的值.【鞏固練習4】如圖1，△ABC內(nèi)接于以AB為直徑的⊙O，點D在⊙O上，過點C的切線CE⊥BD于點E，直徑DF交AC于點M.(1)求證：＝；(2)如圖2，若＝，求tan∠BAC的值.【鞏固練習5】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，點O在AB上，以OA為半徑的⊙O經(jīng)過點D，與AB交于點E.(1)求