河北省2025年普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)題目及答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，則$f(2)$的值為（）A.1B.0C.-1D.-32.若$a>0$，$b>0$，且$a+b=1$，則$(a+b)^2$的最大值為（）A.2B.1C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{3}{4}$3.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,3)$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$的值為（）A.5B.7C.9D.114.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項(xiàng)$a_n$的表達(dá)式為（）A.$a_n=a_1+(n-1)d$B.$a_n=a_1+nd$C.$a_n=a_1-(n-1)d$D.$a_n=a_1-nd$5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，則$f(x)$的圖像大致為（）A.B.C.D.6.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公比為$q$，則第$n$項(xiàng)$a_n$的表達(dá)式為（）A.$a_n=a_1\cdotq^{n-1}$B.$a_n=a_1\cdotq^n$C.$a_n=a_1\cdotq^{n+1}$D.$a_n=a_1\cdotq^{n-2}$7.已知函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(-1)$的值為（）A.0B.1C.2D.38.若$a>0$，$b>0$，且$a^2+b^2=1$，則$(a+b)^2$的最小值為（）A.0B.1C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{3}{4}$9.已知向量$\overrightarrow{a}=(3,4)$，$\overrightarrow=(-2,1)$，則$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$的值為（）A.-5B.-7C.-9D.-1110.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項(xiàng)$a_n$的表達(dá)式為（）A.$a_n=a_1+(n-1)d$B.$a_n=a_1+nd$C.$a_n=a_1-(n-1)d$D.$a_n=a_1-nd$二、填空題要求：在每小題的空格內(nèi)填入正確的數(shù)字或字母。11.已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$，則$f(3)$的值為______。12.若$a>0$，$b>0$，且$a+b=1$，則$(a+b)^3$的最大值為______。13.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,3)$，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$的坐標(biāo)為______。14.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項(xiàng)$a_n$的通項(xiàng)公式為______。15.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，則$f(x)$的圖像大致為______。16.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公比為$q$，則第$n$項(xiàng)$a_n$的通項(xiàng)公式為______。17.已知函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(-1)$的值為______。18.若$a>0$，$b>0$，且$a^2+b^2=1$，則$(a+b)^4$的最小值為______。19.已知向量$\overrightarrow{a}=(3,4)$，$\overrightarrow=(-2,1)$，則$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的坐標(biāo)為______。20.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，則第$n$項(xiàng)$a_n$的通項(xiàng)公式為______。三、解答題要求：請將解答過程和答案寫在本試卷的背面。21.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$的極值。22.已知$a>0$，$b>0$，且$a+b=1$，求$(a+b)^3$的最大值。23.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,3)$，求$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$的值。24.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，求第$n$項(xiàng)$a_n$的通項(xiàng)公式。25.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，求$f(x)$的圖像。26.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公比為$q$，求第$n$項(xiàng)$a_n$的通項(xiàng)公式。27.已知函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$，求$f(-1)$的值。28.若$a>0$，$b>0$，且$a^2+b^2=1$，求$(a+b)^4$的最小值。29.已知向量$\overrightarrow{a}=(3,4)$，$\overrightarrow=(-2,1)$，求$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的坐標(biāo)。30.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，求第$n$項(xiàng)$a_n$的通項(xiàng)公式。四、解答題要求：請將解答過程和答案寫在本試卷的背面。31.解下列方程組：\[\begin{cases}2x-3y=5\\x+4y=1\end{cases}\]32.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，求函數(shù)$f(x)$的零點(diǎn)。33.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+2$，求數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。五、解答題要求：請將解答過程和答案寫在本試卷的背面。34.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$，求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,3]$上的最大值和最小值。35.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_2=4$，求公比$q$和數(shù)列$\{a_n\}$的第$n$項(xiàng)$a_n$。六、解答題要求：請將解答過程和答案寫在本試卷的背面。36.已知向量$\overrightarrow{a}=(2,-3)$，$\overrightarrow=(4,6)$，求向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的長度。37.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=3$，$a_n=2a_{n-1}-1$，求數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式。38.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$，求函數(shù)$f(x)$的定義域。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：將$x=2$代入函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$中，得$f(2)=2^3-3\cdot2^2+4\cdot2-1=8-12+8-1=3$。2.B解析：由均值不等式知，$a^2+b^2\geq2ab$，所以$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\geq2ab+2ab=4ab$。因?yàn)?a+b=1$，所以$ab\leq\frac{1}{4}$，所以$(a+b)^2\leq1$。當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{2}$時取等號。3.A解析：向量$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\cdot2+2\cdot3=2+6=8$。4.A解析：等差數(shù)列的第$n$項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$。5.B解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，其圖像為從左上到右下傾斜的曲線。6.A解析：等比數(shù)列的第$n$項(xiàng)公式為$a_n=a_1\cdotq^{n-1}$。7.B解析：將$x=-1$代入函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$中，得$f(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)+1=1-2+1=0$。8.B解析：由均值不等式知，$a^2+b^2\geq2ab$，所以$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\geq2ab+2ab=4ab$。因?yàn)?a^2+b^2=1$，所以$ab\leq\frac{1}{2}$，所以$(a+b)^2\leq1$。當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$時取等號。9.A解析：向量$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=3\cdot(-2)+4\cdot1=-6+4=-2$。10.A解析：等差數(shù)列的第$n$項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$。二、填空題11.3解析：將$x=3$代入函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$中，得$f(3)=3^2-2\cdot3+1=9-6+1=4$。12.1解析：由均值不等式知，$a^2+b^2\geq2ab$，所以$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\geq3ab(a+b)=3ab$。因?yàn)?a+b=1$，所以$ab\leq\frac{1}{4}$，所以$(a+b)^3\leq1$。當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{2}$時取等號。13.(5,5)解析：向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(1+2,2+3)=(3,5)$。14.$a_n=a_1+(n-1)d$解析：等差數(shù)列的第$n$項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$。15.B解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，其圖像為從左上到右下傾斜的曲線。16.$a_n=a_1\cdotq^{n-1}$解析：等比數(shù)列的第$n$項(xiàng)公式為$a_n=a_1\cdotq^{n-1}$。17.0解析：將$x=-1$代入函數(shù)$f(x)=x^2+2x+1$中，得$f(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)+1=1-2+1=0$。18.1解析：由均值不等式知，$a^2+b^2\geq2ab$，所以$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\geq4a^2b^2+6a^2b^2=10a^2b^2$。因?yàn)?a^2+b^2=1$，所以$ab\leq\frac{1}{2}$，所以$(a+b)^4\leq1$。當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$時取等號。19.(5,-4)解析：向量$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(1-2,2-3)=(-1,-1)$。20.$a_n=a_1+(n-1)d$解析：等差數(shù)列的第$n$項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$。三、解答題21.解下列方程組：\[\begin{cases}2x-3y=5\\x+4y=1\end{cases}\]解析：將第二個方程乘以2，得$2x+8y=2$。將第一個方程與上述方程相加，得$10y=7$，解得$y=\frac{7}{10}$。將$y=\frac{7}{10}$代入第二個方程，得$x+4\cdot\frac{7}{10}=1$，解得$x=\frac{3}{10}$。所以方程組的解為$\left(\frac{3}{10},\frac{7}{10}\right)$。22.已知函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$，求函數(shù)$f(x)$的零點(diǎn)。解析：由因式分解，得$f(x)=(x-1)(x-3)$。所以函數(shù)$f(x)$的零點(diǎn)為$x=1$和$x=3$。23.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+2$，求數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。解析：由遞推關(guān)系，得$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d=2$。所以數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=1+2(n-1)$。前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(1+1+2(n-1))=n^2$。24.已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x-1$，求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[0,3]$上的最大值和最小值。解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$，得$x=1$或$x=3$。將$x=1$和$x=3$代入$f(x)$，得$f(1)=1^3-6\cdot1^2+9\cdot1-1=3$，$f(3)=3^3-6\cdot3^2+9\cdot3-1=1$。因?yàn)?f(x)$在區(qū)間$[0,1]$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$[1,3]$上單調(diào)遞減，所以$f(x)$在$x=1$時取得最大值$f(1)=3$，在$x=3$時取得最小值$f(3)=1$。25.已知數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_2=4$，求公比$q$和數(shù)列$\{a_n\}$的第$n$項(xiàng)$a_n$。解析：公比$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{4}{2}=2$。所以數(shù)列$\{a_n\}$的第$n$項(xiàng)$a_n=a_1\cdotq^{n-1}=2\cdot2^{n-1}=2^n$。26.已知向量$\overrightarrow{a}=(2,-3)$，$\overrightarrow=(4,6)$，求向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$的長度。解析：向量$\overrightarrow{a}$的長度為$\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$。向量$\overrightarrow$的長度為$\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$。27.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=3$，$a_n=2a_{n-1}-1$，求數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式。解析：由遞推關(guān)系，得