幻燈片1：封面標(biāo)題：15.1.2線段的垂直平分線副標(biāo)題：探索線段的“對稱生命線”背景圖：左側(cè)展示一條線段AB，右側(cè)展示AB的垂直平分線l（標(biāo)注“垂直”和“平分”符號），在l上取一點P，連接PA、PB，標(biāo)注PA=PB，直觀呈現(xiàn)線段垂直平分線的核心特征。幻燈片2：學(xué)習(xí)目標(biāo)理解線段垂直平分線的定義，能準(zhǔn)確識別線段的垂直平分線，掌握其“垂直”且“平分”的雙重屬性。通過實驗探究與邏輯證明，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理（線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等）和判定定理（到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上）。會用尺規(guī)作線段的垂直平分線，能運用線段垂直平分線的性質(zhì)與判定解決幾何證明、線段計算及實際定位問題。經(jīng)歷“定義—性質(zhì)—判定—應(yīng)用”的過程，體會軸對稱與線段垂直平分線的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)幾何推理與作圖能力。幻燈片3：導(dǎo)入——從“軸對稱”關(guān)聯(lián)線段垂直平分線復(fù)習(xí)回顧：回顧軸對稱的性質(zhì)（對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分），展示線段AB及其關(guān)于直線l的對稱線段A'B'，提問：若A'與A重合、B'與B重合（即線段AB是軸對稱圖形），則對稱軸l與線段AB有什么關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：l垂直于AB且平分AB）。生活實例：展示工人師傅用繩子找線段中點并畫垂線的場景（如確定長方形木板對角線的中點，再畫垂直于對角線的直線），提問：這條直線有什么特點？引出本節(jié)課核心——線段的垂直平分線?；脽羝?：線段垂直平分線的定義定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（也叫線段的中垂線）。關(guān)鍵詞解析：“垂直”：直線與線段的夾角為90°；“平分”：直線經(jīng)過線段的中點，將線段分成兩條長度相等的線段；雙重屬性：線段的垂直平分線需同時滿足“垂直”和“平分”兩個條件，缺一不可（反例：僅垂直不平分的直線、僅平分不垂直的直線，均不是線段的垂直平分線）。圖形標(biāo)注：展示線段AB，直線l經(jīng)過AB的中點O，且l⊥AB，標(biāo)注“AO=OB”“l(fā)⊥AB”，明確直線l是線段AB的垂直平分線。符號表示：若直線l是線段AB的垂直平分線，O是AB的中點，則l⊥AB且AO=OB?；脽羝?：線段垂直平分線的性質(zhì)定理（探究與證明）實驗探究：實驗材料：畫有線段AB及其中垂線l的硬紙板、直尺、圓規(guī)。實驗步驟：在直線l上任意取一點P（如P1、P2、P3）；用圓規(guī)分別測量PA與PB、P1A與P1B、P2A與P2B的長度；記錄測量結(jié)果，觀察規(guī)律。實驗現(xiàn)象：無論點P在l上的哪個位置，PA=PB、P1A=P1B、P2A=P2B，即“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”。定理證明：已知：如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，O是AB的中點，l⊥AB，點P在l上。求證：PA=PB。證明過程：∵l是AB的垂直平分線，∴AO=OB，∠AOP=∠BOP=90°（垂直定義）。在△AOP和△BOP中：\(\begin{cases}AO=OB（已證）,\\∠AOP=∠BOP（已證）,\\OP=OP（公共邊）,\end{cases}\)∴△AOP≌△BOP（SAS）。∴PA=PB（全等三角形對應(yīng)邊相等）。定理內(nèi)容：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。符號語言：若直線l是AB的垂直平分線，點P在l上，則PA=PB?；脽羝?：線段垂直平分線的性質(zhì)定理應(yīng)用例題1：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC的垂直平分線，已知BD=3cm，求BC的長度；若點E在AD上，BE=5cm，求EC的長度。分析：AD是BC的垂直平分線，故AD平分BC（BD=DC），且E在AD上，故EB=EC（性質(zhì)定理）。解答：∵AD是BC的垂直平分線，∴BD=DC（垂直平分線定義），EB=EC（垂直平分線性質(zhì)定理）。又∵BD=3cm，BE=5cm，∴BC=BD+DC=3+3=6cm，EC=BE=5cm。例題2：如圖，直線l是線段AB的垂直平分線，P、Q是l上的兩點，已知PA=4cm，∠PAB=30°，求PB的長度及∠PBA的度數(shù)。解答：∵P在AB的垂直平分線上，∴PB=PA=4cm（性質(zhì)定理）?！唷鱌AB是等腰三角形，∠PBA=∠PAB=30°（等腰三角形兩底角相等）。幻燈片7：線段垂直平分線的判定定理（推導(dǎo)與證明）逆向思考：若點P到線段AB兩端的距離相等（PA=PB），則點P是否在線段AB的垂直平分線上？定理證明：已知：如圖，點P滿足PA=PB，過P作PO⊥AB于O。求證：PO是線段AB的垂直平分線（即AO=OB，PO⊥AB）。證明過程：∵PO⊥AB，∴∠AOP=∠BOP=90°（垂直定義），△AOP和△BOP是直角三角形。在Rt△AOP和Rt△BOP中：\(\begin{cases}PA=PB（已知）,\\PO=PO（公共邊）,\end{cases}\)∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）?！郃O=OB（全等三角形對應(yīng)邊相等）。又∵PO⊥AB，∴PO是AB的垂直平分線，即點P在AB的垂直平分線上。定理內(nèi)容：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。符號語言：若PA=PB，則點P在線段AB的垂直平分線上。幻燈片8：線段垂直平分線的判定定理應(yīng)用例題3：如圖，在△ABC中，AB=AC，DB=DC，求證：AD是BC的垂直平分線。分析：由AB=AC得A在BC的垂直平分線上（判定定理），由DB=DC得D在BC的垂直平分線上，兩點確定一條直線，故AD是BC的垂直平分線。證明過程：∵AB=AC（已知），∴點A在BC的垂直平分線上（垂直平分線判定定理）?！逥B=DC（已知），∴點D在BC的垂直平分線上（垂直平分線判定定理）?！邇牲c確定一條直線，∴直線AD是BC的垂直平分線。例題4：如圖，已知PA=PB，QA=QB，求證：PQ垂直平分AB。證明：∵PA=PB，∴P在AB的垂直平分線上；∵QA=QB，∴Q在AB的垂直平分線上；∴PQ是AB的垂直平分線（兩點確定一條直線）?；脽羝?：尺規(guī)作線段的垂直平分線作圖工具：直尺、圓規(guī)。作圖步驟（以作線段AB的垂直平分線為例）：以A為圓心，大于\(\frac{1}{2}\)AB的長為半徑畫?。捍_保兩弧能相交于AB兩側(cè)，弧長需大于\(\frac{1}{2}\)AB（若等于或小于，兩弧無交點或僅交于一點）。以B為圓心，相同半徑畫?。号c第一步所畫的弧分別交于AB上方的點C和下方的點D。作直線CD：用直尺連接C、D，直線CD即為線段AB的垂直平分線。作圖依據(jù)：由作圖可知AC=BC=AD=BD（同圓半徑相等），故點C、D均在AB的垂直平分線上（判定定理），因此直線CD是AB的垂直平分線。動畫演示：分步演示作圖過程，標(biāo)注弧的交點、直線CD，驗證CD垂直平分AB（測量AO=OB，∠AOC=90°）。幻燈片10：易錯點辨析易錯點1：混淆“線段的垂直平分線”與“直線的垂直平分線”：誤區(qū)：認(rèn)為“線段的垂直平分線”是線段，實際是“直線”（可無限延伸），線段的垂直平分線是直線，而非線段或射線。強調(diào)：定義中明確是“直線”，需注意與“線段的垂線”（可是線段、射線或直線）區(qū)分。易錯點2：應(yīng)用性質(zhì)時忽略“點在線上”：示例：誤將“任意點P到A、B距離相等”歸因于“P在AB的垂直平分線上”，未驗證P是否滿足“到兩端距離相等”。提醒：性質(zhì)定理需“點在線段垂直平分線上”，判定定理需“點到兩端距離相等”，條件缺一不可。易錯點3：尺規(guī)作圖時半徑過?。鹤鲌D時若半徑≤\(\frac{1}{2}\)AB，兩弧無交點或僅交于AB中點，無法畫出垂直平分線，需確保半徑大于\(\frac{1}{2}\)AB?；脽羝?1：課堂練習(xí)——鞏固線段垂直平分線知識練習(xí)1：如圖，在△ABC中，DE是AB的垂直平分線，若AE=3cm，∠ABD=50°，求AB的長度及∠A的度數(shù)（答案：AB=6cm，∠A=∠ABD=50°，等腰三角形）。練習(xí)2：下列說法正確的是（

）A.線段的垂直平分線是線段（錯，是直線）B.到線段兩端距離相等的點一定在線段的垂直平分線上（對）C.線段的垂直平分線僅有1個點到線段兩端距離相等（錯，無數(shù)個）D.過線段中點的直線是線段的垂直平分線（錯，需垂直）（答案：B）練習(xí)3：用尺規(guī)作線段MN的垂直平分線，并在其上取一點P，測量PM與PN的長度，驗證性質(zhì)定理（操作題，強調(diào)作圖規(guī)范）?；脽羝?2：課堂小結(jié)核心知識：定義：線段的垂直平分線是“垂直于線段且平分線段的直線”，具雙重屬性。性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等（“線→距離”）。判定定理：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上（“距離→線”）。尺規(guī)作圖：以線段兩端為圓心，大于\(\frac{1}{2}\)線段長為半徑畫弧，連接交點得垂直平分線。解題邏輯：證明線段相等用性質(zhì)定理，證明直線是垂直平分線用判定定理（找兩點到線段兩端距離相等）。幻燈片13：課后作業(yè)如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，求證：AD是BC的垂直平分線（提示：證△ABD≌△ACD，得BD=DC，∠ADB=∠ADC=90°）。已知線段AB=8cm，用尺規(guī)作AB的垂直平分線l，在l上取一點P，使PA=5cm，求PB的長度及點P到AB的距離（提示：用勾股定理計算距離）。如圖，某小區(qū)要建一個超市，使超市到A、B、C三棟樓的距離相等，試確定超市的位置（保留作圖痕跡，提示：找AB、BC的垂直平分線交點）。證明：三角形三邊的垂直平分線交于一點（提示：設(shè)兩邊垂直平分線交于P，證P在第三邊垂直平分線上）。2024人教版數(shù)學(xué)八年級上冊授課教師：

.班級：

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時間：

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15.1.2線段的垂直平分線第十五章

軸對稱aiTujmiaNg1.通過學(xué)生自主探究，理解并掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，會用線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定解決簡單的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.2.學(xué)生經(jīng)歷動手實踐、合作交流、演繹推理的過程，培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力和邏輯推理能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)線段的垂直平分線的定義：

經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。新課導(dǎo)入

如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3……是l上的點，請猜想點P1，P2，P3……到點A與點B的距離之間的數(shù)量關(guān)系.相等．

ABlP1P2P3線段的垂直平分線的性質(zhì)定理知識點1猜想：“線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．”

已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上．

求證：PA=PB．ABPCl猜想與證明用符號語言表示為：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．ABPCl線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等．歸納總結(jié)反過來，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點P在線段AB的垂直平分線上．PABC線段的垂直平分線的判定定理知識點2已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．PABC證明：過點P作線段AB的垂線PC，垂足為C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．PABC用數(shù)學(xué)符號表示為：∵

PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上．到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．PABC這些點能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB兩端點距離相等的點？

在線段AB的垂直平分線l上的點與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點A，B的距離相等的所有點的集合．PABCl試一試：例

如圖，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC內(nèi)一點，且OB＝OC，求證：AO⊥BC.線段垂直平分線的判定定理的應(yīng)用證明：∵OB＝OC，

∴點O在BC的垂直平分線上.又AB＝AC，

∴點A在BC的垂直平分線上，即A，O均在BC的垂直平分線上，

∴AO⊥BC.如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點作已知直線的垂線？CB過直線外一點作已知直線的垂線知識點3ACABDKFE作法：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁.（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E.（3）分別以點D和點E為圓心，大于

的長

為半徑作弧，兩弧相交于點F.（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.（