微專題01平面向量秒殺總結(jié)結(jié)論1極化恒等式．1．平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：（1）（2）（2）兩式相加得：2．極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式（1）平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的。（2）三角形模式：（M為BD的中點）AABCM結(jié)論2矩形大法：矩形所在平面內(nèi)任一點到其對角線端點距離的平方和相等。已知點O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點，證明：。【證明】（坐標法）設(shè)，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標系xoy，則，設(shè)，則結(jié)論3三點共線的充要條件設(shè)、、是三個不共線向量，則A、B、P共線存在使．特別地，當(dāng)P為線段AB的中點時，。結(jié)論4等和線【基本定理】平面向量共線定理已知，若，則三點共線；反之亦然。等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線。（1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線時，；（2）當(dāng)?shù)群途€在點和直線之間時，；（3）當(dāng)直線在點和等和線之間時，；（4）當(dāng)?shù)群途€過點時，；（5）若兩等和線關(guān)于點對稱，則定值互為相反數(shù)；結(jié)論5奔馳定理【奔馳定理】若O為內(nèi)任一點，且，則例1.在中，是的中點，，則____.例2.正三角形內(nèi)接于半徑為2的圓O，點P是圓O上的一個動點，則的取值范圍是。例3.已知圓與，定點，A、B分別在圓和圓上，滿足，則線段AB的取值范圍是。例4.在平面內(nèi)，已知，，，若，則的取值范圍是（）A.B.C.D.例5.在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若，則（）A.B.C.D.例6、給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示，點在以為圓心的圓弧上變動。若，其中，則的最大值是__________。過關(guān)測試一、單選題1．（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第三次驗收考試數(shù)學(xué)（理科）試題）已知點是所在平面內(nèi)的動點，且滿足，射線與邊交于點，若，，則的最小值為（）A． B．2 C． D．2．（重慶市九龍坡區(qū)2022屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知，，，，則的取值范圍（）A． B．C． D．3．（廣東省肇慶市2022屆高三上學(xué)期第一次統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，在平行四邊形中，，，與交于點.設(shè)，，若，則（）A． B． C． D．4．（云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三高考適應(yīng)性月考卷（四）數(shù)學(xué)（理）試題）已知，，是平面向量，與是單位向量，且，向量滿足，則的最大值與最小值之和是（）A． B． C． D．5．（中學(xué)生標準學(xué)術(shù)能力診斷性測試2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期10月測試文科數(shù)學(xué)試題）已知是矩形，且滿足.其所在平面內(nèi)點滿足：，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．（2021·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））已知平面向量，，，滿足，且，則的最小值為（）A． B． C． D．7．（2021·湖南·永州市第一中學(xué)高一期中）已知平面向量滿足，，則的最小值為（）A． B． C． D．8．（2021·全國·高二專題練習(xí)）P為雙曲線左支上任意一點，為圓的任意一條直徑，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．9二、多選題9．（廣東省深圳市普通中學(xué)2022屆高三上學(xué)期質(zhì)量評估（新高考I卷）數(shù)學(xué)試題）在中，角所對的邊分別為，，，為的外接圓，，給出下列四個結(jié)論正確的是（）A．若，則；B．若P在上，則的最大值為2；C．若P在上，則；D．若，則點P的軌跡所對應(yīng)圖形的面積為.10．（2021·廣東·仲元中學(xué)高一期中）已知?是兩個單位向量，時，的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（）A．?的夾角是 B．?的夾角是C． D．11．（2021·江蘇·鹽城中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，，，下述四個結(jié)論中正確的是（）A．若為的重心，則B．若為邊上的一個動點，則為定值2C．若，為邊上的兩個動點，且，則的最小值為D．已知為內(nèi)一點，若，且，則的最大值為212．（2021·廣東·高三階段練習(xí)）已知，點滿足，則下列說法中正確的是（）A．當(dāng)時，的最小值為1 B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，的面積為定值 D．當(dāng)時，13．（2021·河北邯鄲·高一期中）如圖，在中，，，，點，為邊上兩個動點，且滿足，則下列選項正確的是（）

A．的最小值為B．的最小值為C．的最大值為D．當(dāng)取得最大值時，點與點重合14．（2021·江蘇常州·高一期末）如圖，在等腰直角三角形中，，，，分別為，上的動點，設(shè)，，其中，則下列說法正確的是（）A．若，則B．若，則與不共線C．若，記三角形的面積為，則的最大值為D．若，且，分別是，邊的中點，則的最小值為15．（2021·云南·昆明一中高一期中）如圖，在矩形ABCD內(nèi)(不包含邊界)有一動點Q，滿足，，，若，其中，，則下列命題中正確的選項為（）A．為定值 B．且C．的最小值為 D．的最大值為三、填空題16．（浙江省91高中聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知平面向量滿足：，當(dāng)與所成角最大時，則______17．（遼寧省實驗中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在銳角中，，若點為的外心，且，則的最大值為___________.18．（專題5.2解析幾何與平面向量相結(jié)合問題-玩轉(zhuǎn)壓軸題，進軍滿分之2021高考數(shù)學(xué)選擇題填空題）正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，動點P滿足，若，其中，則的最大值是________19．（2021·湖南·嘉禾縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在正方形中，為的中點，為以為圓心，為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)向量，則的最小值為___________．20．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三階段練習(xí)（理））如圖，在中，是線段上的一點，且，過點的直線分別交直線，于點，.若，，則的最小值是______.21．（2021·浙江省三門中學(xué)高三期中）已知平面向量，，滿足，，則的最小值是___________.22．（2021·重慶八中高三階段練習(xí)）已知向量，，滿足，，，則的最大值是______________.23．（2021·浙江·紹興一中高三期中）已知平面向量滿足：，向量與向量的夾角為，，向量與向量的夾