高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期9月四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共40分）1.在正方體中，與向量相等的向量有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，在正方體中，由正方體性質(zhì)可知與相等的向量有.故選：A.2.已知空間向量，，若，則的值為（）A. B. C.4 D.6【答案】C【解析】若，則．因為，，所以，解得．故選：C．3.點到直線的距離為（）A. B.2 C. D.1【答案】D【解析】由題點到直線的距離為.故選：D.4.如圖，在長方體中，是的中點.則向量在平面上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為平面，平面，所以向量在平面上的投影向量為，故選：A.5.過點且與直線斜率相等直線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】直線斜率為2且過點，由點斜式方程得．故選：A．6.如圖，三棱錐中，，，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖所示：.故選：B.7.已知空間向量，，，若向量共面，則實數(shù)的值為（）.A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】因為向量共面，所以存在實數(shù)使得，即所以，解得，.故選：C．8.如圖，已知三棱錐的每條棱長都為2，則（）A. B. C.2 D.0【答案】D【解析】故選：D.二、多選題（共18分）9.已知向量，則下列運算結(jié)果正確是（）A.B.C.D.的單位向量是【答案】ABC【解析】由可得，，故AB正確，，故C正確，的單位向量是，故D錯誤；故選：ABC.10.給出下列結(jié)論，其中說法正確的是（）A.若是直線的一個方向向量，則是該直線的斜率B.若直線的斜率是，則是該直線的一個方向向量C.任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D.任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角【答案】ABC【解析】對于A，因是直線的一個方向向量，則直線斜率為，即A正確；對于B，因直線的斜率是，若設(shè)直線的方向向量為，則有，不妨取，則得，即是該直線的一個方向向量，故B正確；對于C，根據(jù)直線的傾斜角定義可知，任一條直線都有傾斜角，而當(dāng)傾斜角為時，直線的斜率不存在，故C正確；對于D，因直線的傾斜角的正切值為直線的斜率，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)傾斜角為時，直線的斜率不存在，故D錯誤.故選：ABC.11.已知直線l的一個方向向量為，平面α的一個法向量為，則下列說法正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【解析】若，則，故，即，化簡得.故選項正確，選項錯誤.若，則，故存在實數(shù)使得，即，化簡得.故選項錯誤，選項正確.故選：.三、填空題（共15分）12.已知，則______.【答案】【解析】由空間向量模長計算公式得：.故答案為：13.已知直線過兩點，且，則直線的斜率為__________．【答案】；【解析】因為直線過，所以，因為，所以，故答案為：.14.平面α的一個法向量，點在內(nèi)，則平面外點到平面的距離為_____．【答案】【解析】因為，，，所以點到平面的距離.故答案為：.四、解答題（共77分）15.如圖，在棱長為2的正方體中，O為坐標(biāo)原點，分別為x軸、y軸、z軸正方向.（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點B、C1、O的坐標(biāo)；（2）求向量的坐標(biāo)；（3）求向量與的夾角.解：（1）因為正方體的棱長為，為坐標(biāo)原點，則的坐標(biāo)為，點在軸上，則，點的坐標(biāo)為.（2）由（1）可知，，，則.（3）因為，，則，且，則，，，則，且，所以，即向量與的夾角為.16.根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．（1）斜率是3，且經(jīng)過點；（2）斜率為4，在軸上的截距為；（3）經(jīng)過兩點；（4）在x軸、y軸上的截距分別是，．解：（1）直線斜率是3，且經(jīng)過點，則直線方程為，化為一般式方程為；（2）直線斜率為4，在軸上的截距為，則直線方程為，化為一般式方程為；（3）直線經(jīng)過兩點，則直線方程為，化為一般式方程是為；（4）直線在x軸、y軸上的截距分別是，，則直線方程為，化為一般式方程為.17.如圖，在棱長為的正方體中，為的中點.，分別在棱，上，，.（1）求線段的長；（2）求異面直線與所成角的余弦值.解：（1）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，即線段的長為.（2），，，，所以，，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為．18.如圖，在直三棱柱中，，，．以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．（1）求平面的一個法向量；（2）求直線與平面所成的線面角的正弦值.解：（1）如圖可得，，，.，，設(shè)面的法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個法向量為.（2），，設(shè)面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)直線與平面所成的線面角為，又則，所以直線與平面所成的線面角的正弦值為.19.已知是正四棱柱.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：由題意