高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省“美美與共”民族中學(xué)聯(lián)盟2025-2026學(xué)年高二上學(xué)期聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因?yàn)?，則，故，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.故選：A.2.已知集合，，則集合為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，又，則.故選：B.3.已知向量，滿(mǎn)足，，，若，則為（）A. B. C.6 D.2【答案】C【解析】因?yàn)?，則，即，又，，，所以，解得.故選：C.4.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義，，由二倍角公式.故選：D.5.為了深入調(diào)研學(xué)生會(huì)考模擬考試成績(jī)，掌握學(xué)生數(shù)學(xué)會(huì)考成績(jī)情況，現(xiàn)從該年級(jí)同學(xué)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，對(duì)其測(cè)試成績(jī)（滿(mǎn)分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本頻率分布直方圖，如圖，下列說(shuō)法不正確的是（）A. B.眾數(shù)為85C.第70百分位數(shù)為80 D.該樣本平均成績(jī)?yōu)?6【答案】C【解析】對(duì)A，依題意，得（頻率之和為1），解得，正確；對(duì)B，眾數(shù)為最高矩形對(duì)應(yīng)中點(diǎn)橫坐標(biāo)為85，正確；對(duì)C，因?yàn)?，，所以?0百分位數(shù)，由解得為，錯(cuò)誤；對(duì)D，由頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)為：，正確.故選：C.6.在中，a，b，c三邊對(duì)應(yīng)的角分別為A，B，C，若，，則的值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】在中，，則，因?yàn)?，則，，又，解得，，又，在中，，所以，所以，所以.故選：A.7.已知a，b為空間中兩條直線(xiàn)，，為空間中兩個(gè)不同平面，下列命題為假命題的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，且，則D.若，，則【答案】D【解析】對(duì)于A(yíng)，因?yàn)?，，由面面平行的性質(zhì)可知，故A正確；對(duì)于B，因，，所以,故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，且，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，則或，故D錯(cuò)誤.故選：D.8.是定義在上的偶函數(shù)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故的一個(gè)周期為2，故，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又，.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知事件，若，，且，則B.已知事件，若，且與相互獨(dú)立，則C.已知事件，若，，且，則與相互獨(dú)立D.某班對(duì)學(xué)生體重進(jìn)行抽樣調(diào)查，抽取男生30人，平均數(shù)和方差分別為55，15；女生20人，平均數(shù)和方差分別為45，20，則總體樣本的方差為【答案】ACD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，則，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，，則，又，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，又，則，所以與相互獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，樣本總體平均數(shù)，總體樣本的方差為，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.10.已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為πB.的單調(diào)遞增區(qū)間為，C.的圖象向左平移個(gè)單位后的函數(shù)是偶函數(shù)D.在上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【解析】由圖象可知，因?yàn)?，根?jù)正弦函數(shù)周期公式，由可得，又，解得，所以；把代入得，即，因?yàn)?，所以，解得，則；由前面計(jì)算已經(jīng)得出，所以的最小正周期為，選項(xiàng)A正確；令，先解不等式，移項(xiàng)可得，即，解得，再解不等式，移項(xiàng)可得，即，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，選項(xiàng)B正確；的圖象向左平移個(gè)單位，根據(jù)“左加右減”原則，得到，對(duì)于函數(shù)，，所以是偶函數(shù)，選項(xiàng)C正確；令，則，解得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在上有個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.如圖，為圓錐底面圓的直徑，點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.該圓錐的體積為B.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖圓心角的弧度為C.異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為D.二面角的正切值為【答案】ACD【解析】由已知底面圓的半徑為，故，選項(xiàng)A正確；側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，弧度為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；取另一段弧的中點(diǎn)為，連接，則為異面直線(xiàn)與所成角，又，，故，選項(xiàng)C正確；取的中點(diǎn)為，因?yàn)?，為，的中點(diǎn)，，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以為二面角的平面角，所以，選項(xiàng)D正確，故選:ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)_____.【答案】.【解析】因?yàn)檎襟w的頂點(diǎn)都在同一球面上，所以球的直徑為正方體的對(duì)角線(xiàn)，所以，所以，故球的表面積：.故答案為：.13.如圖，在棱長(zhǎng)均為1的平行六面體中，，則______.【答案】【解析】如下圖所示：，平行六面體棱長(zhǎng)均為1，，又，，，．故答案為：．14.解三角形的應(yīng)用主要體現(xiàn)在利用三角形的邊角關(guān)系（如正弦定理、余弦定理）解決實(shí)際生活中的測(cè)量、距離、高度、角度、面積等問(wèn)題.如圖，A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，在B同側(cè)的河岸邊選取點(diǎn)C，測(cè)得，，，則由A，B，C三點(diǎn)圍成的區(qū)域面積為_(kāi)_____.【答案】40【解析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，由，，且,得，，則，故，所以，.故答案為：40.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.在中，角A，B，C所對(duì)邊分別a，b，c，且.（1）求角A；（2）求的取值范圍.解：（1）∵，∴，則，又∵，故.（2）∵，又∵，∴，∴，∴的取值范圍為.16.某人進(jìn)行投籃球訓(xùn)練檢測(cè)，規(guī)定在M，N處各投籃球1次，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，在M處投中的概率為0.6，獲得3分，在N處投中的概率為0.8，獲得2分.假設(shè)各處投籃相互獨(dú)立，互不影響.（1）在M，N處均投中的概率為多少?（2）兩次投籃后，至少得兩分的概率為多少?解：（1）由相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式，設(shè)在M處投中為事件M，在N處投中為事件N，兩處均投中為事件A，即，，.則在M，N處均投中概率為0.48.（2）記兩次投籃后至少獲得兩分為事件B，則.則兩次投籃后，至少得兩分的概率為0.92.17.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面，，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積及到平面的距離.（1）證明：如圖1，連接交于，連接，∵四邊形為菱形，則的中點(diǎn)為，且為的中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn).∴且不在平面內(nèi)，平面，∴平面.（2）解：∵平面，∴是三棱錐的高，又底面為菱形且，∴三角形為等邊三角形，∴，，∴.由等體積法，，設(shè)到平面的距離為，又平面且底面為菱形，∴，∴，∴，∴.18.如圖，四面體中，三角形為等腰直角三角形，且，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)滿(mǎn)足，求銳二面角的余弦值.（1）證明：如圖，連接.因?yàn)榍覟榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)闉橹苯侨切?，，所以，所?因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?，故因?yàn)榕c交于點(diǎn)，且平面，所以平面.（2）解：由（1）知，平面且.以為原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為y軸，所在直線(xiàn)為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.因此，，，，.所以，.因?yàn)?，所以，因?設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，∴，取，可得平面的一個(gè)法向量為.平面的一個(gè)法向量為設(shè)銳二面角為，則.19.已知為上的奇函數(shù).（1）求的值；（2）試判斷的單調(diào)性（不用證明），若恒成立，求的取值范圍；（3）若在上有兩個(gè)根，求的取值范圍.解：（1）因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，則，即，.此時(shí)，則，則為奇函數(shù).（2）