第四章整式的加減全章復(fù)習(xí)第1部分全章知識(shí)點(diǎn)、重難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)一、核心知識(shí)點(diǎn)梳理（一）整式的相關(guān)概念1.單項(xiàng)式 定義：由數(shù)或字母的積組成的式子，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式（如5、a）。 系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)（包含前面的符號(hào)，如?3xy2的系數(shù)是5；πr2的系數(shù)是 次數(shù)：單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和（如4x2y3的次數(shù)是2.多項(xiàng)式 定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和（如2x 項(xiàng)：組成多項(xiàng)式的每個(gè)單項(xiàng)式（包含前面的符號(hào)，如x2?5x+3的項(xiàng)是x2、?5x 常數(shù)項(xiàng)：多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)（如2a+b?7的常數(shù)項(xiàng)是?7）。 次數(shù)：多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)（如3x2y?xy33.整式 定義：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式（分母中含字母的式子不是整式，如1x、a+b（二）同類項(xiàng)與合并同類項(xiàng)1.同類項(xiàng) 定義：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)（常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)，如5和?8）。 特征：“兩相同，兩無關(guān)”——字母相同、相同字母指數(shù)相同；與系數(shù)無關(guān)、與字母排列順序無關(guān)（如2ab2和2.合并同類項(xiàng) 定義：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)。 法則：系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)保持不變（如3x（三）去括號(hào)與添括號(hào)1.去括號(hào)法則 括號(hào)前是“+”：去掉括號(hào)和“+”，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)不變（如a+(b?c)=a+b?c）。 括號(hào)前是“?”：去掉括號(hào)和“?”，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)都變（如a?(b?c)=a?b+c）。2.添括號(hào)法則 括號(hào)前加“+”：括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)不變（如a+b?c=a+(b?c)）。 括號(hào)前加“?”：括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)都變（如a?b+c=a?(b?c)）。（四）整式的加減運(yùn)算1.核心實(shí)質(zhì)：去括號(hào)和合并同類項(xiàng)的綜合運(yùn)用。2.步驟： ①用括號(hào)括起每個(gè)整式，用“+”“?”連接； ②去括號(hào)（按去括號(hào)法則）； ③合并同類項(xiàng)（直到無同類項(xiàng)）。（五）整式的化簡求值1.步驟：先化簡（去括號(hào)、合并同類項(xiàng)），再代入求值（代入數(shù)值時(shí)注意符號(hào)）。2.整體思想：將含字母的式子視為一個(gè)整體代入（如已知x?2y=3，求2(x?2y)+5，直接代入2×3+5=11）。（六）整式加減的實(shí)際應(yīng)用與規(guī)律探究1.實(shí)際應(yīng)用：用整式表示幾何圖形的邊長、面積、周長，或經(jīng)濟(jì)問題中的費(fèi)用、利潤等，再通過整式加減計(jì)算。2.規(guī)律探究： 數(shù)字類：分析單項(xiàng)式系數(shù)、指數(shù)的變化規(guī)律（如?2x、4x2、?8x3…系數(shù)為 圖形類：統(tǒng)計(jì)圖形中元素（如小正方形、圓）的數(shù)量變化，用含n的整式表示第n個(gè)圖形的數(shù)量。二、重難點(diǎn)突破（一）重點(diǎn)突破1.同類項(xiàng)的判斷與合并 判斷關(guān)鍵：嚴(yán)格核對(duì)“字母相同”和“相同字母指數(shù)相同”，避免忽略指數(shù)（如3x2y 合并技巧：先標(biāo)記同類項(xiàng)，再按“系數(shù)相加，字母不變”計(jì)算，常數(shù)項(xiàng)單獨(dú)合并。2.去括號(hào)法則的應(yīng)用 多重括號(hào)：從內(nèi)到外或從外到內(nèi)去括號(hào)，每步只處理一層括號(hào)，避免漏變號(hào)（如a?[b?(c?d)]=a?b+c?d）。 括號(hào)前有系數(shù)：先將系數(shù)乘括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)，再去括號(hào)（如2(a?3b)=2a?6b）。3.整式的化簡求值 化簡優(yōu)先：必須先去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，再代入數(shù)值，避免直接代入導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜（如化簡3(x2?2xy)?2(xy?x2(二)難點(diǎn)突破1.多項(xiàng)式系數(shù)與指數(shù)中字母的求值 關(guān)鍵：根據(jù)“多項(xiàng)式的次數(shù)”“項(xiàng)數(shù)”列方程，注意“最高次項(xiàng)系數(shù)不為0”(如多項(xiàng)式(m?2)x3+x22.整式加減中“不含某項(xiàng)”“與某項(xiàng)無關(guān)”問題 核心：合并同類項(xiàng)后，令“不含的項(xiàng)”或“無關(guān)字母的項(xiàng)”的系數(shù)為0(如2x2+(a?1)x+3不含x項(xiàng)，則a?1=03.規(guī)律探究題 方法：列出前3-5項(xiàng)的具體形式，分析系數(shù)(符號(hào)、絕對(duì)值)、字母指數(shù)、圖形數(shù)量的變化規(guī)律，用含n的整式表示，再驗(yàn)證規(guī)律是否成立。三、高頻易錯(cuò)點(diǎn)警示1.單項(xiàng)式系數(shù)與次數(shù)判斷錯(cuò)誤 易錯(cuò)點(diǎn)：忽略系數(shù)符號(hào)(如?5x2的系數(shù)是?5不是5)；混淆π的屬性(π是常數(shù)，不是字母，如πr2的次數(shù)是2)；漏算字母指數(shù)(如x2 避免方法：系數(shù)包含符號(hào)，π視為常數(shù)，次數(shù)是所有字母指數(shù)和。2.多項(xiàng)式次數(shù)與項(xiàng)的判斷錯(cuò)誤 易錯(cuò)點(diǎn)：誤將所有項(xiàng)的次數(shù)相加(如x2y+xy2的次數(shù)是3不是2+2=4)；忽略項(xiàng)的符號(hào)(如x2?3x+2的項(xiàng)是x2、?3x、2 避免方法：多項(xiàng)式次數(shù)是“最高次項(xiàng)的次數(shù)”，項(xiàng)包含前面的符號(hào)。3.去括號(hào)時(shí)符號(hào)處理錯(cuò)誤 易錯(cuò)點(diǎn)：括號(hào)前是“?”，只變第一項(xiàng)符號(hào)(如?(a?b+c)=?a+b?c，不是?a?b+c)；漏乘系數(shù)(如2(x?3y)=2x?6y，不是2x?3y)。 避免方法：括號(hào)前是“?”，括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都變號(hào)；系數(shù)乘括號(hào)內(nèi)所有項(xiàng)。4.同類項(xiàng)判斷錯(cuò)誤 易錯(cuò)點(diǎn)：只看字母不看指數(shù)(如2x2和3x3不是同類項(xiàng))；看字母排列順序(如 避免方法：嚴(yán)格按“字母相同、相同字母指數(shù)相同”判斷，與順序、系數(shù)無關(guān)。5.化簡求值時(shí)未先化簡 易錯(cuò)點(diǎn)：直接代入數(shù)值計(jì)算，導(dǎo)致步驟繁瑣且易出錯(cuò)(如求2(x2?xy)?3(xy?x2)在 避免方法：必須先去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，再代入求值。第2部分?？碱}型分析及題型舉一反三【題型1】單項(xiàng)式的識(shí)別與系數(shù)、次數(shù)計(jì)算1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 單項(xiàng)式定義：數(shù)或字母的積，單獨(dú)的數(shù)/字母也是單項(xiàng)式； 系數(shù)：數(shù)字因數(shù)(含符號(hào)，π是常數(shù))； 次數(shù)：所有字母指數(shù)的和(非零常數(shù)次數(shù)為0)。2.高頻考點(diǎn)梳理 識(shí)別單項(xiàng)式(區(qū)分整式與非整式，如1x 計(jì)算單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)(如求?23.易錯(cuò)點(diǎn)警示 忽略系數(shù)符號(hào)(如?4a3的系數(shù)是?4不是 誤將π視為字母(如πr2的次數(shù)是2不是4.解題技巧拆解 識(shí)別：看式子是否含加減運(yùn)算、分母是否含字母，不含則可能是單項(xiàng)式； 計(jì)算：系數(shù)直接找數(shù)字部分(含符號(hào))，次數(shù)相加所有字母指數(shù)?！纠}1】．（2024-2025?青浦區(qū)二模）代數(shù)式4ab2的次數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式次數(shù)的定義來求解．單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．【解答】解：根據(jù)單項(xiàng)式定義得：4ab2的次數(shù)為：1+2＝3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式次數(shù)的定義．確定單項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，找準(zhǔn)單項(xiàng)式中每一個(gè)字母的指數(shù)，是確定單項(xiàng)式的次數(shù)的關(guān)鍵．注意指數(shù)是1時(shí)，不要忽略．【變式題1-1】．（2024-2025?宜興市期末）下列關(guān)于單項(xiàng)式?5xA．系數(shù)是?52，次數(shù)是4 B．系數(shù)是?C．系數(shù)是﹣5，次數(shù)是4 D．系數(shù)是﹣5，次數(shù)是3【答案】A【分析】根據(jù)單項(xiàng)式相關(guān)概念判斷即可．【解答】解：單項(xiàng)式?5xy3故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式有關(guān)的概念：數(shù)與字母的積叫做單項(xiàng)式，其中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)．【變式題1-2】．（2024-2025?蓬溪縣校級(jí)期末）體育課上我們經(jīng)常練習(xí)墊排球，只要測量出排球的半徑r，就可以根據(jù)公式4πr33A．43，4 B．4π3，4 C．4π【答案】D【分析】本題考查單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握：只含有數(shù)與字母的積的式子叫做單項(xiàng)式，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)；一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．據(jù)此解答即可．【解答】解：整式4πr33故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握單項(xiàng)式的相關(guān)定義．【變式題1-3】．（2024-2025?淮濱縣期末）寫出一個(gè)含有字母a、b，系數(shù)為﹣1，次數(shù)為4的單項(xiàng)式﹣ab3（答案不唯一）．【答案】﹣ab3（答案不唯一）．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式、單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的概念解答即可．【解答】解：單項(xiàng)式﹣ab3，是一個(gè)含有字母a、b，系數(shù)為﹣1，次數(shù)為4的單項(xiàng)式，故答案為：﹣ab3（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是單項(xiàng)式的概念，掌握單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)是解題的關(guān)鍵．【題型2】多項(xiàng)式的識(shí)別與項(xiàng)、次數(shù)計(jì)算1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 多項(xiàng)式定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和； 項(xiàng)：含符號(hào)的單項(xiàng)式(常數(shù)項(xiàng)是不含字母的項(xiàng))； 次數(shù)：最高次項(xiàng)的次數(shù)(多項(xiàng)式按“次數(shù)+項(xiàng)數(shù)”命名，如三次二項(xiàng)式)。2.高頻考點(diǎn)梳理 識(shí)別多項(xiàng)式(區(qū)分單項(xiàng)式與多項(xiàng)式，如x2 確定多項(xiàng)式的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、次數(shù)(如求3x3.易錯(cuò)點(diǎn)警示 漏寫項(xiàng)的符號(hào)(如x2?5x+3的項(xiàng)是x2、?5x、3，不是x2、 誤算多項(xiàng)式次數(shù)(如2x3y+xy24.解題技巧拆解 識(shí)別：式子含加減運(yùn)算，且分母不含字母，則是多項(xiàng)式； 計(jì)算：先列出所有項(xiàng)(含符號(hào))，再找次數(shù)最高的項(xiàng)，確定多項(xiàng)式次數(shù)。【例題2】．（2024-2025?瀏陽市期末）下列說法中，正確的是（）A．?3πxy5的系數(shù)是B．mn2+2mn﹣1是二次三項(xiàng)式 C．﹣2ab2的次數(shù)是2 D．多項(xiàng)式mn2+2mn﹣1的項(xiàng)分別是：mn2、2mn、﹣1【答案】D【分析】根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)、次數(shù)的定義和多項(xiàng)式的項(xiàng)、次數(shù)的定義即可求解．【解答】解：A．單項(xiàng)式的系數(shù)是?35，B．多項(xiàng)式是三次三項(xiàng)式，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．單項(xiàng)式的次數(shù)是3，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．多項(xiàng)式mn2+2mn﹣1的項(xiàng)分別是mn2、2mn、﹣1，D選項(xiàng)正確，所以D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查單項(xiàng)式系數(shù)、次數(shù)的定義和多項(xiàng)式的項(xiàng)、次數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)定義．【變式題2-1】．（2024-2025?河口區(qū)期末）下列說法中，正確的是（）A．單項(xiàng)式﹣3a2bc的次數(shù)是2 B．代數(shù)式2ab﹣ab2+3c﹣1是三次四項(xiàng)式 C．單項(xiàng)式?12abc的系數(shù)是?D．﹣2不是單項(xiàng)式【答案】B【分析】根據(jù)單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的定義即可求解．【解答】解：A．單項(xiàng)式﹣3a2bc的次數(shù)4，選項(xiàng)A不符合題意；B．代數(shù)式2ab﹣ab2+3c﹣1是三次四項(xiàng)式，選項(xiàng)B符合題意；C．單項(xiàng)式?12abc的系數(shù)是?1D．﹣2是單項(xiàng)式，選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，掌握單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式題2-2】．（2025秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）若代數(shù)式(a+2)xa2?1y【答案】2．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的次數(shù)定義得出a2﹣1+2＝5且a+2≠0，即可求得a的值．【解答】解：由題意可得：a2﹣1+2＝5且a+2≠0，∴a＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式的次數(shù)與項(xiàng)數(shù)的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．【變式題2-3】．（2024-2025?新野縣期末）若多項(xiàng)式3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是關(guān)于x、y的四次三項(xiàng)式，則nm的值為9．【答案】9．【分析】根據(jù)題意可得：m+2＝4，n+3＝0，從而可得：m＝2，n＝﹣3，然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵3xmy2+（n+3）x2y+2x+1是關(guān)于x、y的四次三項(xiàng)式，∴m+2＝4，n+3＝0，解得：m＝2，n＝﹣3，∴nm＝（﹣3）2＝9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式的意義是解題的關(guān)鍵．【題型3】整式的判斷1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 整式定義：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的統(tǒng)稱； 非整式：分母中含字母的式子(如2x、a+b2.高頻考點(diǎn)梳理 區(qū)分整式與非整式(如判斷5、x2+1、 分類整式為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式(如將3a、2x?y、0分類)。3.易錯(cuò)點(diǎn)警示 誤將分母含字母的式子歸為整式(如x2是整式，2 忽略單獨(dú)的數(shù)是單項(xiàng)式(也是整式，如0、?7)。4.解題技巧拆解 第一步：判斷分母是否含字母，含則非整式； 第二步：不含字母時(shí)，看是否含加減運(yùn)算，含則是多項(xiàng)式，不含則是單項(xiàng)式?！纠}3】．（2024-2025?博興縣期末）在代數(shù)式1xA．3 B．4 C．5 D．6【答案】C．【分析】根據(jù)整式的定義求解．【解答】解：式子3x﹣2y，13a2b，式子1x故整式有5個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的概念．要能準(zhǔn)確的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，減，乘，除四種運(yùn)算，但在整式中除式不能含有字母．單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．判斷整式時(shí)，式子中含有等號(hào)和分母中含有字母的式子一定不是整式．【變式題3-1】．（2024-2025?雁塔區(qū)校級(jí)期末）下列各式不是整式的是（）A．2m B．?2m C．2﹣m D．【答案】B．【分析】根據(jù)整式的定義求解．【解答】解：A.2m，是整式；B.?2C.2﹣m，是整式；D．m2，是整式．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的概念．要能準(zhǔn)確的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，減，乘，除四種運(yùn)算，但在整式中除式不能含有字母．單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．判斷整式時(shí)，式子中含有等號(hào)和分母中含有字母的式子一定不是整式．【變式題3-2】．（2024-2025?忻州期末）在代數(shù)式①x+yx；②x5+y32；③0.25m2n4；④2021；⑤A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D．【分析】根據(jù)整式的定義求解．【解答】解：式子x5+y32，0.25m2式子x+yx，1+故整式有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的概念．要能準(zhǔn)確的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，減，乘，除四種運(yùn)算，但在整式中除式不能含有字母．單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．判斷整式時(shí)，式子中含有等號(hào)和分母中含有字母的式子一定不是整式．【變式題3-3】．（2024-2025?賽罕區(qū)校級(jí)期中）在代數(shù)式2x2y，﹣5b2，23x，0.5x2?16y2，18（m+n）2，x+33，y2+6y+9中，其中是整式的是2x2y，﹣5b2，0.5x2?16y2，18【答案】2x2y，﹣5b2，0.5x2?16y2，18（m+n）2，x+3【分析】根據(jù)整式的定義求解．【解答】解：在代數(shù)式2x2y，﹣5b2，23x，0.5x2?16y2，18（m+n）2，x+33，y2+6y+9中，其中是整式的是2x2y，﹣5b2，0.5x2?16y2，1故答案為：2x2y，﹣5b2，0.5x2?16y2，18（m+n）2，x+3【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的概念．要能準(zhǔn)確的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，減，乘，除四種運(yùn)算，但在整式中除式不能含有字母．單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．判斷整式時(shí)，式子中含有等號(hào)和分母中含有字母的式子一定不是整式．【題型4】同類項(xiàng)的判斷1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 同類項(xiàng)“兩相同”：所含字母相同、相同字母的指數(shù)相同； “兩無關(guān)”：與系數(shù)無關(guān)、與字母排列順序無關(guān)； 常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)。2.高頻考點(diǎn)梳理 直接判斷同類項(xiàng)(如判斷2ab2與?5b2a 結(jié)合同類項(xiàng)定義補(bǔ)充條件(如ax2y與33.易錯(cuò)點(diǎn)警示 只看字母不看指數(shù)(如x2y與 受字母排列順序影響(如ab與ba是同類項(xiàng))。4.解題技巧拆解 第一步：核對(duì)兩個(gè)式子的字母是否完全相同； 第二步：核對(duì)相同字母的指數(shù)是否完全相同，兩者都滿足則是同類項(xiàng)?！纠}4】．（2024-2025?平城區(qū)期末）下列單項(xiàng)式中，與ab3是同類項(xiàng)的是（）A．﹣ab3c B．2a2b3 C．3ab3 D．a(chǎn)3b【答案】C．【分析】所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)．【解答】解：A、所含字母不相同，不是同類項(xiàng)；B、相同字母的指數(shù)不相同，不是同類項(xiàng)；C、符合同類項(xiàng)的定義，是同類項(xiàng)；D、相同字母的指數(shù)不相同，不是同類項(xiàng)；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同類項(xiàng)的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解同類項(xiàng)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式題4-1】．（2024-2025?東區(qū)期末）下列各組是同類項(xiàng)的是（）A．a(chǎn)3與a2 B．12a2與2C．2xy與2y D．3與a【答案】B【分析】根據(jù)同類項(xiàng)定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、a3與a2不是同類項(xiàng)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、12a2與2a2C、2xy與2y不是同類項(xiàng)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、3與a不是同類項(xiàng)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同類項(xiàng)，關(guān)鍵是掌握同類項(xiàng)定義：一是所含字母相同，二是相同字母的指數(shù)也相同，兩者缺一不可．【變式題4-2】．（2024-2025?婁底校級(jí)期末）寫出代數(shù)式3xy2的一個(gè)同類項(xiàng)：12xy2（答案不唯一）．【答案】12xy2（答案不唯一）．【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義解答即可．【解答】解：答案不唯一，如12xy2．故答案為：12xy2（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類項(xiàng)的定義，熟知所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．【變式題4-3】．（2024-2025?古藺縣期末）下列各組中的兩項(xiàng)不屬于同類項(xiàng)的是（）A．3m2n3和﹣m2n3 B．a(chǎn)3和x3 C．﹣1和π D．xy5和25【答案】B【分析】所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)．同類項(xiàng)與字母的順序無關(guān)，與系數(shù)無關(guān)．依此即可求解．【解答】解：A、符合同類項(xiàng)的定義，是同類項(xiàng)；B、所含字母不相同，不是同類項(xiàng)；C、符合同類項(xiàng)的定義，是同類項(xiàng)；D、符合同類項(xiàng)的定義，是同類項(xiàng)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同類項(xiàng)的定義，同類項(xiàng)定義中的兩個(gè)“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指數(shù)相同，是易混點(diǎn)，還有注意同類項(xiàng)定義中隱含的兩個(gè)“無關(guān)”：①與字母的順序無關(guān)；②與系數(shù)無關(guān)．【題型5】合并同類項(xiàng)1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 合并法則：系數(shù)相加，字母及字母的指數(shù)不變； 步驟：標(biāo)記同類項(xiàng)→移同類項(xiàng)→合并系數(shù)→整理結(jié)果。2.高頻考點(diǎn)梳理 直接合并同類項(xiàng)(如合并3x 合并含多項(xiàng)的同類項(xiàng)(如合并2xy3.易錯(cuò)點(diǎn)警示 合并時(shí)改變字母或指數(shù)(如2x+3x=5x，不是5x 漏合并同類項(xiàng)(如x2+2xy+y2+4.解題技巧拆解 標(biāo)記：用不同符號(hào)標(biāo)記不同類的同類項(xiàng)(如波浪線標(biāo)x2項(xiàng)，橫線標(biāo)xy 合并：系數(shù)相加(注意符號(hào))，字母和指數(shù)照抄，無同類項(xiàng)的項(xiàng)直接保留?！纠}5】．（2024-2025?安溪縣期末）下列合并同類項(xiàng)的結(jié)果正確的是（）A．2a2+3a2＝6a2 B．2a2+3a2＝5a2 C．2xy﹣xy＝1 D．2x2+3x2＝5x4【答案】B．【分析】根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2≠6a2，故A錯(cuò)誤；B、2a2+3a2＝5a2，故B正確；C、2xy﹣xy＝xy≠1，故C錯(cuò)誤；D、2x2+3x2＝5x2≠5x4，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式題5-1】．（2024-2025?梅河口市校級(jí)期中）把2x2﹣5x+x2+4x+3x2合并同類項(xiàng)后，所得的多項(xiàng)式是（）A．二次二項(xiàng)式 B．二次三項(xiàng)式 C．一次二項(xiàng)式 D．三次二項(xiàng)式【答案】A【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：2x2﹣5x+x2+4x+3x2＝6x2﹣x，6x2﹣x是二次二項(xiàng)式，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)，熟練掌握合并同類項(xiàng)的法則是解題的關(guān)鍵．【變式題5-2】．（2024-2025?皮山縣月考）合并同類項(xiàng)：（1）2ab﹣3ab+5ab；（2）﹣3a2+2ab﹣4ab+2a2．【答案】（1）4ab；（2）﹣a2﹣2ab．【分析】（1）把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．（2）把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．【解答】解：（1）2ab﹣3ab+5ab＝（2﹣3+5）ab＝4ab；（2）﹣3a2+2ab﹣4ab+2a2＝（﹣3+2）a2+（2﹣4）ab＝﹣a2﹣2ab．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)，解決本題的關(guān)鍵是按照合并同類項(xiàng)的計(jì)算法則計(jì)算．【變式題5-3】．（2024-2025?江陽區(qū)校級(jí)月考）合并下列同類項(xiàng)：（1）4a2﹣3b2+2ab﹣4a2﹣3b2+5ba；（2）5xy+3y2﹣3x2﹣xy+4xy+2x2﹣x2+3y2．【答案】（1）﹣6b2+7ab；（2）8xy+6y2﹣2x2．【分析】合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變，據(jù)此計(jì)算即可．【解答】解：（1）4a2﹣3b2+2ab﹣4a2﹣3b2+5ba＝（4a2﹣4a2）+（﹣3b2﹣3b2）+（2ab+5ba）＝﹣6b2+7ab；（2）5xy+3y2﹣3x2﹣xy+4xy+2x2﹣x2+3y2＝（5﹣1+4）xy+（3+3）y2+（﹣3+2﹣1）x2＝8xy+6y2﹣2x2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了合并同類項(xiàng)，掌握合并同類項(xiàng)法則是解答本題的關(guān)鍵．【題型6】去（添）括號(hào)運(yùn)算1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 括號(hào)前是“+”：去括號(hào)后各項(xiàng)符號(hào)不變； 括號(hào)前是“?”：去括號(hào)后各項(xiàng)符號(hào)都變； 括號(hào)前有系數(shù)：先乘括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)，再去括號(hào)。2.高頻考點(diǎn)梳理 直接去括號(hào)(如去括號(hào)a+(b?c)、a?(b?c))； 去多重括號(hào)(如去括號(hào)2x?[3y?(x?z)])； 括號(hào)前有系數(shù)的去括號(hào)(如去括號(hào)3(x?2y)?2(2x?y))。3.易錯(cuò)點(diǎn)警示 括號(hào)前是“?”，只變部分項(xiàng)符號(hào)(如?(x?y+z)=?x+y?z，不是?x?y+z)； 漏乘系數(shù)(如2(x+3y)=2x+6y，不是2x+3y)。4.解題技巧拆解 單層括號(hào)：按“正不變負(fù)變”直接去括號(hào)； 多重括號(hào)：從內(nèi)到外去，每步只處理一層； 有系數(shù)：系數(shù)乘括號(hào)內(nèi)所有項(xiàng)，再按符號(hào)規(guī)則去括號(hào)?！纠}6】．（2024-2025?云夢縣期末）將（5x+2）﹣2（2x﹣1）去括號(hào)正確的是（）A．5x+2﹣2x+1 B．5x+2﹣4x+1 C．5x+2﹣4x+2 D．5x+2﹣4x﹣2【答案】C．【分析】根據(jù)去括號(hào)的法則直接求解即可．【解答】解：（5x+2）﹣2（2x﹣1）＝5x+2﹣2×2x+2×1＝5x+2﹣4x+2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查去括號(hào)的方法：去括號(hào)時(shí)，運(yùn)用乘法的分配律，先把括號(hào)前的數(shù)字與括號(hào)里各項(xiàng)相乘，再運(yùn)用括號(hào)前是“+”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào)前是“﹣”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．運(yùn)用這一法則去掉括號(hào)．【變式題6-1】．（2024-2025?濰坊期末）添括號(hào)：﹣3x2+6x+2＝﹣3（x2﹣2x）+2．【答案】x2﹣2x．【分析】根據(jù)添括號(hào)法則解答即可．【解答】解：﹣3x2+6x+2＝﹣3（x2﹣2x）+2，故答案為：x2﹣2x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了去括號(hào)與添括號(hào)，熟練掌握添括號(hào)法則是解題的關(guān)鍵．【變式題6-2】．（2024-2025?雨城區(qū)校級(jí)期中）去括號(hào)，并合并同類項(xiàng)：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）先去掉括號(hào)，再找出同類項(xiàng)進(jìn)行合并即可；（2）先把4與括號(hào)中的每一項(xiàng)分別進(jìn)行相乘，再去掉括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可；【解答】解：（1）（3a+1.5b）﹣（7a﹣2b）＝3a+1.5b﹣7a+2b＝﹣4a+3.5b；（2）（8xy﹣x2+y2）﹣4（x2﹣y2+2xy﹣3）＝8xy﹣x2+y2﹣4x2+4y2﹣8xy+12＝﹣5x2+5y2+12；【點(diǎn)評(píng)】此題考查了去括號(hào)和合并同類項(xiàng)，根據(jù)去括號(hào)法則若括號(hào)前是“+”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)；若括號(hào)前是“﹣”，去括號(hào)后，括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)和合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．【變式題6-3】．（2024-2025?錫林郭勒盟開學(xué)）在多項(xiàng)式﹣a﹣b﹣c+d+e（其中a＞b＞0＞c＞d＞e）中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間添加絕對(duì)值符號(hào)，對(duì)相鄰的兩個(gè)或者三個(gè)字母間添加括號(hào)，每一次操作必須同時(shí)添加一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)和一個(gè)括號(hào)，且添加絕對(duì)值符號(hào)和添加括號(hào)時(shí)不能有相同字母，然后進(jìn)行去絕對(duì)值和去括號(hào)運(yùn)算，稱此為“雙添操作”．例如：﹣|a﹣b|﹣（c+d）+e＝﹣a+b﹣c﹣d+e，﹣（a﹣b﹣c）+|d+e|＝﹣a+b+c﹣d﹣e，???．下列說法：①不存在“雙添操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；②存在“雙添操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；③所有的“雙添操作”共有6種不同運(yùn)算結(jié)果．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)新定義，舉出符合條件的代數(shù)式進(jìn)行情況討論；需要注意去絕對(duì)值時(shí)的符號(hào)，和所有結(jié)果可能的比較，主要考查去括號(hào)法則、絕對(duì)值計(jì)算，整式的加減和分類討論思想的應(yīng)用；列舉出所有可能，然后化簡計(jì)算并判斷即可．【解答】解：∵a＞b＞0＞c＞d＞e，∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，c+d＜0，d+e＜0，c+d+e＜0，∴所有“雙添操作”如下：﹣|a﹣b|﹣（c+d）+e＝﹣a+b﹣c﹣d+e，﹣|a﹣b|﹣（c+d+e）＝﹣a+b﹣c﹣d﹣e，﹣a﹣|b﹣c|+（d+e）＝﹣a﹣b+c+d+e，﹣（a﹣b）﹣|c+d|+e＝﹣a+b+c+d+e，﹣（a﹣b）﹣c+|d+e|＝﹣a+b﹣c﹣d﹣e，﹣a﹣（b﹣c）+|d+e|＝﹣a﹣b+c﹣d﹣e，﹣（a﹣b﹣c）+|d+e|＝﹣a+b+c﹣d﹣e，﹣|a﹣b|﹣c+（d+e）＝﹣a+b﹣c+d+e，∴不存在“雙添操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等，故①正確；∵每一種結(jié)果中a的符號(hào)與原式中a的符號(hào)相同，∴不存在“雙添操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0，故②錯(cuò)誤；觀察上面所有運(yùn)算結(jié)果可知，第二個(gè)和第五個(gè)結(jié)果相等，其余都不相等，∴所有的“雙添操作”共有6種不同運(yùn)算結(jié)果，故③正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【題型7】整式的加減運(yùn)算1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 整式加減實(shí)質(zhì)：去括號(hào)+合并同類項(xiàng)； 步驟：括整式→去括號(hào)→合并同類項(xiàng)→整理最簡結(jié)果。2.高頻考點(diǎn)梳理 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的加減(如計(jì)算3x 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的加減(如計(jì)算2a?(a 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的加減(如計(jì)算(x3.易錯(cuò)點(diǎn)警示 去括號(hào)時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤(如(x2?2x)?( 合并同類項(xiàng)不徹底(如2x2+3x?4.解題技巧拆解 第一步：用括號(hào)括起每個(gè)整式(如A?B寫成A+(?B))； 第二步：按去括號(hào)法則去括號(hào)； 第三步：合并同類項(xiàng)，直到無同類項(xiàng)，按某字母降冪/升冪排列(可選)?！纠}7】．（2024-2025?商南縣期末）計(jì)算：（1）﹣22+|4﹣8|+24÷（﹣3）；（2）5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]．【答案】（1）﹣8；（2）a2﹣4a．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可求解；（2）根據(jù)整式的加減混合運(yùn)算法則進(jìn)行去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)即可得解．【解答】解：（1）原式＝﹣4+4﹣8＝﹣8；（2）原式＝5a2﹣（a2+5a2﹣2a﹣2a2+6a）＝5a2﹣a2﹣5a2+2a+2a2﹣6a＝a2﹣4a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算以及整式的加減運(yùn)算；熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算、整式加減的運(yùn)算法則，去括號(hào)法則等方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式題7-1】．（2025秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）（1）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：|a|+|a+b|﹣|c﹣b|；（2）已知|x﹣3|+|y+5|＝0，求|x+y|的值．【答案】（1）2b﹣c；（2）2．【分析】（1）先觀察數(shù)軸得﹣1＜a＜0＜1＜b＜c，再化簡原式＝﹣a+a+b﹣（c﹣b），然后去括號(hào)合并同類項(xiàng)，即可作答．（2）先根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性得x＝3，y＝﹣5，然后代入|x+y|進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【解答】解：（1）∵﹣1＜a＜0＜1＜b＜c，∴a+b＞0，c﹣b＞0，原式＝﹣a+a+b﹣（c﹣b）＝﹣a+a+b﹣c+b＝2b﹣c；（2）|x﹣3|+|y+5|＝0，∴x﹣3＝0且y+5＝0，∴x＝3，y＝﹣5，∴|x+y|＝|3﹣5|＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在數(shù)軸上表示有理數(shù)，化簡絕對(duì)值，整式的加減運(yùn)算，已知字母的值求代數(shù)式的值，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【變式題7-2】．（2024-2025?南鄭區(qū)期末）在整式的加減練習(xí)課中，已知A＝3a2b﹣2ab2，嘉淇錯(cuò)將“2A﹣B”看成“2A+B”，得到的結(jié)果是4a2b﹣3ab2．（1）求整式B；（2）求2A﹣B的正確結(jié)果．【答案】（1）B＝﹣2a2b+ab2；（2）8a2b﹣5ab2．【分析】（1）由題意得，2A+B＝4a2b﹣3ab2，則B＝4a2b﹣3ab2﹣2（3a2b﹣2ab2），據(jù)此根據(jù)整式的加減計(jì)算法則求解即可．（2）根據(jù)（1）所求計(jì)算出2（3a2b﹣2ab2）﹣（﹣2a2b+ab2）的結(jié)果即可得到答案．【解答】解：（1）由題意得，2A+B＝4a2b﹣3ab2，∴B＝4a2b﹣3ab2﹣2A＝4a2b﹣3ab2﹣2（3a2b﹣2ab2）＝4a2b﹣3ab2﹣6a2b+4ab2＝﹣2a2b+ab2；（2）2A﹣B＝2（3a2b﹣2ab2）﹣（﹣2a2b+ab2）＝6a2b﹣4ab2+2a2b﹣ab2＝8a2b﹣5ab2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的加減計(jì)算，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．【變式題7-3】．（2024-2025?克州期末）閱讀下列材料，我們知道，5x+3x﹣4x＝（5+3﹣4）x＝4x，類似的，我們把（a+b）看成一個(gè)整體，則5（a+b）+3（a+b）﹣4（a+b）＝（5+3﹣4）（a+b）＝4（a+b），“整體思想“是中學(xué)教學(xué)解題中的一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛，嘗試應(yīng)用；（1）把（a﹣b）2看成一個(gè)整體，合并2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2的結(jié)果5（a﹣b）2．（2）已知m+n＝15，3a﹣2b＝11，求2m+6a﹣（4b﹣2n）的值．（3）拓展探索：已知a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，求（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c）的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用整體思想，把（a﹣b）2看成一個(gè)整體，合并2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2即可得到結(jié)果；（2）原式可化為2m+6a﹣（4b﹣2n）＝2（m+n）+2（3a﹣2b），整體代入即可；（3）由（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c），依據(jù)a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，整體代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）2（a﹣b）2+6（a﹣b）2﹣3（a﹣b）2＝（2+6﹣3）（a﹣b）2＝5（a﹣b）2．故答案為：5（a﹣b）2．（2）2m+6a﹣（4b﹣2n）＝2（m+n）+2（3a﹣2b），∵m+n＝15，3a﹣2b＝11，∴2（m+n）+2（3a﹣2b）＝2×15+2×11，＝52．（3）∵a﹣3b＝4，3b﹣c＝﹣3，c﹣d＝11，∴（a﹣c）+（3b﹣d）﹣（3b﹣c），＝a﹣c+3b﹣d﹣3b+c，＝a﹣d，＝4+3b﹣（c﹣11），＝4+3b﹣c+11，＝4+（3b﹣c）+11，＝4﹣3+11，＝12．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的化簡求值，關(guān)鍵是注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的變化．【題型8】利用單項(xiàng)式/多項(xiàng)式的次數(shù)與系數(shù)求值(提升)1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 單項(xiàng)式次數(shù)：所有字母指數(shù)和，系數(shù)不為0(除非是0單項(xiàng)式)； 多項(xiàng)式次數(shù)：最高次項(xiàng)的次數(shù)，最高次項(xiàng)系數(shù)不為0； 列方程求解：根據(jù)“次數(shù)”“項(xiàng)數(shù)”條件列方程，求字母的值。2.高頻考點(diǎn)梳理 單項(xiàng)式：已知?2xmy 多項(xiàng)式：已知(k?1)x3+ 綜合：已知多項(xiàng)式x|m|+(m?2)x+1是二次三項(xiàng)式，求3.易錯(cuò)點(diǎn)警示 忽略“最高次項(xiàng)系數(shù)不為0”(如多項(xiàng)式是二次三項(xiàng)式，三次項(xiàng)系數(shù)必須為0)； 漏算字母指數(shù)(如xmy2是三次單項(xiàng)式，m+2=3，m=14.解題技巧拆解 單項(xiàng)式：根據(jù)“次數(shù)=字母指數(shù)和”列方程，系數(shù)若含字母，需注意系數(shù)不為0(除非題目允許0單項(xiàng)式)； 多項(xiàng)式：先確定最高次項(xiàng)，令“最高次項(xiàng)次數(shù)=指定次數(shù)”，且“最高次項(xiàng)系數(shù)≠0”，列方程求解。【例題8】．（2024-2025?汕頭期末）已知多項(xiàng)式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三項(xiàng)式，m為常數(shù)，則m的值為（）A．±2 B．﹣2 C．±3 D．3【答案】B【分析】由該多項(xiàng)式為二次三項(xiàng)式即得出|m|＝2且m﹣2≠0，求解即可．【解答】解：根據(jù)題意可知，多項(xiàng)式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三項(xiàng)式，所以|m|＝2，即m＝±2，又因?yàn)閙﹣2≠0，所以m＝﹣2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式，絕對(duì)值，掌握多項(xiàng)式，絕對(duì)值的定義是解題關(guān)鍵．【變式題8-1】．（2024-2025?興平市期末）若單項(xiàng)式xmy3與﹣4xyn+5的和仍是單項(xiàng)式，則m+n的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣2【答案】C．【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義列出方程，再求解即可．【解答】解：由同類項(xiàng)的定義可知m＝1，n+5＝3，解得m＝1，n＝﹣2，∴m+n＝1+（﹣2）＝﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類項(xiàng)的定義，掌握同類項(xiàng)的定義：所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫同類項(xiàng)．【變式題8-2】．（2024-2025?高唐縣期末）若代數(shù)式5x|m|+4x2﹣2xy是三次多項(xiàng)式，單項(xiàng)式3x4+myn與該多項(xiàng)式的次數(shù)相同，則m+n的值為（）A．﹣1 B．1 C．2【答案】A【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的次數(shù)和單項(xiàng)式的次數(shù)的定義即可得出m，n，相加可得答案．【解答】解：∵5x|m|+4x2﹣2xy是三次多項(xiàng)式，∴|m|＝3，解得m＝±3，又∵3x4+myn與5x|m|+4x2﹣2xy的次數(shù)相同，即單項(xiàng)式3x4+myn的次數(shù)為3，故4+m+n＝3，當(dāng)m＝3時(shí)，n＝﹣4，不符合題意，舍去，當(dāng)m＝﹣3時(shí)，n＝2，符合題意，∴m＝﹣3，n＝2，故m+n＝﹣1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式的次數(shù)和單項(xiàng)式的次數(shù)的定義，掌握多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)是多項(xiàng)式的次數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式題8-3】．（2024-2025?武城縣期末）若5xn﹣（m﹣1）x+3為關(guān)于x的三次二項(xiàng)式，則m﹣n的值為﹣2．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)多項(xiàng)式的概念可知求出該多項(xiàng)式最高次數(shù)項(xiàng)為3，項(xiàng)數(shù)為2，從而求出m與n的值．【解答】解：由題意可知：n＝3，m﹣1＝0，∴m＝1，n＝3，∴m﹣n＝1﹣3＝﹣2，故答案為：﹣2【點(diǎn)評(píng)】本題考查多項(xiàng)式的概念，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三次二項(xiàng)式確定m與n的值，本題屬于基礎(chǔ)題型．【題型9】整式加減中“不含某項(xiàng)”問題(提升)1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) “不含某項(xiàng)”含義：合并同類項(xiàng)后，該項(xiàng)的系數(shù)為0； 步驟：去括號(hào)→合并同類項(xiàng)→令不含項(xiàng)的系數(shù)=0→求字母的值。2.高頻考點(diǎn)梳理 不含一次項(xiàng)：如多項(xiàng)式2x2+(a?3)x+5不含x 不含二次項(xiàng)：如計(jì)算A?2B(A=x2+bx，B=ax2 不含多項(xiàng)：如多項(xiàng)式x3+(m?1)x3.易錯(cuò)點(diǎn)警示 合并同類項(xiàng)不徹底，誤將非同類項(xiàng)當(dāng)作同類項(xiàng)合并； 令系數(shù)為0時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤(如?(a+2)=0，解得a=?2，不是a=2)。4.解題技巧拆解 第一步：徹底去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，整理成“按某字母降冪排列”的形式； 第二步：找到“不含的項(xiàng)”，令其系數(shù)等于0，列方程求解； 第三步：驗(yàn)證結(jié)果(代入字母值，檢查該項(xiàng)是否確實(shí)為0)?！纠}9】．（2024-2025?成都期末）已知關(guān)于x的整式A，B，其中A＝3x2+（a﹣1）x+1，B＝bx2+3x+2a﹣1．（1）當(dāng)2B﹣A中不含x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)時(shí)，求a﹣b的值；（2）當(dāng)b＝3，a為正整數(shù)時(shí)，A＝B﹣2a+8，求此時(shí)使x為正整數(shù)的a的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）將A、B代入2B﹣A中化簡，根據(jù)2B﹣A中不含x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，求出a、b的值，然后求出a﹣b即可；（2）將A、B代入A＝B﹣2a+8中化簡，由b＝3，a為正整數(shù)，且x為正整數(shù)，確定出a的值即可．【解答】解：（1）2B﹣A＝2（bx2+3x+2a﹣1）﹣[3x2+（a﹣1）x+1]＝2bx2+6x+4a﹣2﹣3x2﹣（a﹣1）x﹣1＝（2b﹣3）x2+（6﹣a+1）x+4a﹣3＝（2b﹣3）x2+（7﹣a）x+4a﹣3；因?yàn)?B﹣A中不含x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，所以2b﹣3＝0，7﹣a＝0，得b=32，a?b=7?3（2）因?yàn)锳＝B﹣2a+8，所以A＝bx2+3x+2a﹣1﹣2a+8，因?yàn)锳＝3x2+（a﹣1）x+1，b＝3，所以3x2+（a﹣1）x+1＝bx2+3x+2a﹣1﹣2a+8，即（3﹣b）x2+（a﹣4）x﹣6＝0，因?yàn)閎＝3，所以（a﹣4）x﹣6＝0，得x=6因?yàn)閍為正整數(shù)，x為正整數(shù)，所以a﹣4＝1，2，3，6，得a＝5，6，7，10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減、有理數(shù)的減法，解決本題的關(guān)鍵是按照整式的計(jì)算法則計(jì)算．【變式題9-1】．（2024-2025?荊州區(qū)期末）小明在準(zhǔn)備化簡代數(shù)式3（4x2+6xy）﹣■（x2+3xy﹣2）時(shí)一不小心將墨水滴在了作業(yè)本上，使得（x2+3xy﹣2）前面的系數(shù)看不清了，于是小明就打電話詢問李老師，李老師為了測試小明對(duì)知識(shí)的掌握程度，于是對(duì)小明說：“該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果不含有y．”請(qǐng)你通過李老師的話語，幫小明解決如下問題：（1）■的值為6；（2）求出該題的標(biāo)準(zhǔn)答案．【答案】（1）6．（2）6x2+12．【分析】（1）先假設(shè)看不清的系數(shù)為a，再對(duì)代數(shù)式進(jìn)行運(yùn)算，最后根據(jù)結(jié)果不含有y求出答案．（2）將完整的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）設(shè)看不清的系數(shù)為a．∴3（4x2+6xy）﹣a（x2+3xy﹣2），＝12x2+18xy﹣ax2﹣3axy+2a，＝（12﹣a）x2+（18﹣3a）xy+2a，∵該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果不含有y，∴18﹣3a＝0，∴a＝6．故答案為：6．（2）3（4x2+6xy）﹣6（x2+3xy﹣2），＝12x2+18xy﹣6x2﹣18xy+12，＝6x2+12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用合并同類項(xiàng)的方法解答．【變式題9-2】．（2024-2025?涼州區(qū)期末）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式A，B，其中A＝mx2+2x﹣1，B＝x2﹣nx+2（m，n為有理數(shù)）．（1）化簡2B﹣A，當(dāng)m＝1，n＝2，x＝1時(shí)，并求值；（2）若2B﹣A的結(jié)果不含x項(xiàng)和x2項(xiàng)，求m、n的值．【答案】（1）（2﹣m）x2﹣2（n+1）x+5，0；（2）m＝2，n＝﹣1．【分析】（1）把A，B的代數(shù)式代入2B﹣A，化簡后，代入m，n，x的值，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，x2，x的系數(shù)為0，從而得到m，n的值．【解答】解：（1）∵A＝mx2+2x﹣1，B＝x2﹣nx+2∴2B﹣A＝2（x2﹣nx+2）﹣（mx2+2x﹣1），＝2x2﹣2nx+4﹣mx2﹣2x+1＝（2﹣m）x2﹣2（n+1）x+5，當(dāng)m＝1，n＝2，x＝1時(shí)，原式＝1×12﹣2×3×1+5＝0；（2）∵2B﹣A的結(jié)果不含x項(xiàng)和x2項(xiàng)，∴2﹣m＝0，﹣2（n+1）＝0，∴m＝2，n＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減運(yùn)算，化簡求值，熟練掌握整式的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式題9-3】．（2024-2025?惠城區(qū)校級(jí)開學(xué)）（1）已知A＝﹣x+2y﹣4xy，B＝﹣3x﹣y+xy．當(dāng)x+y=67，xy＝﹣1時(shí)，求2A﹣3（2）是否存在數(shù)m，使化簡關(guān)于x，y的多項(xiàng)式（mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）的結(jié)果中不含x2項(xiàng)？若不存在，說明理由；若存在，求出m的值．【答案】（1）17；（2）6．【分析】（1）先利用整式加減運(yùn)算法則化簡，再把x+y，xy看作一個(gè)整體，代入求值可得；（2）直接利用整式的加減運(yùn)算法則合并同類項(xiàng)，進(jìn)而得出m﹣6＝0，即可得出答案．【解答】解：（1）2A﹣3B＝2（﹣x+2y﹣4xy）﹣3（﹣3x﹣y+xy）＝﹣2x+4y﹣8xy+9x+3y﹣3xy＝7x+7y﹣11xy，當(dāng)x+y=67，2A﹣3B＝7x+7y﹣11xy＝7（x+y）﹣11xy＝7×6＝6+11＝17；（2）（mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）＝mx2﹣x2+3x+1﹣5x2+4y2﹣3x＝（m﹣6）x2+4y2+1，∵關(guān)于x，y的多項(xiàng)式（mx2﹣x2+3x+1）﹣（5x2﹣4y2+3x）化簡后結(jié)果中不含x2項(xiàng)，∴m﹣6＝0，解得：m＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減—化簡求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【題型11】整式的化簡求值(含整體思想)(提升)1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 化簡求值步驟：先化簡(去括號(hào)、合并同類項(xiàng))，再代入求值； 整體思想：將含字母的式子(如x+y、x22.高頻考點(diǎn)梳理 直接代入：如化簡3(x2?xy)?2(xy?x2 整體代入：如已知a?b=5，求2(a?b)+3b?3a+1(整理為?(a?b)+1，代入5)； 條件隱含：如已知(x+1)2+|y?2|=0，求x2+2xy+3.易錯(cuò)點(diǎn)警示 未化簡直接代入，計(jì)算繁瑣且易出錯(cuò)； 整體代入時(shí)符號(hào)錯(cuò)誤(如a?b=3，則b?a=?3，不是3)； 代入負(fù)數(shù)時(shí)未加括號(hào)(如x=?1，x2=(?1)4.解題技巧拆解 化簡：徹底去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，確保式子最簡； 代入： ①直接代入：將字母值代入最簡式，注意負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)加括號(hào)； ②整體代入：先將所求式子整理為含已知整體的形式，再代入整體值； 驗(yàn)證：計(jì)算后反向檢查(如代入x=1、y=?2，先算原式，再算化簡式，對(duì)比結(jié)果)?！纠}11】．（2024-2025?沅江市期末）先化簡，再求值：2a2b﹣[2ab2+2（a2b﹣2ab2）]，其中a=12，【答案】2ab2，1．【分析】先去括號(hào)，合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡，再將a，b的值代入計(jì)算可求解．【解答】解：原式＝2a2b﹣（2ab2+2a2b﹣4ab2）＝2a2b﹣2ab2﹣2a2b+4ab2＝2ab2，∵a=12，∴原式=2×1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的加減﹣化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵．【變式題11-1】．（2024-2025?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）先化簡，再求值：2（a2﹣3ab）﹣4（﹣a2+ab+b2），其中a＝2，b＝1．【答案】6a2﹣10ab﹣4b2，0．【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)即可完成化簡，最后代入a、b的值即可求解．【解答】解：原式＝2a2﹣6ab+4a2﹣4ab﹣4b2，＝6a2﹣10ab﹣4b2，∴a＝2，b＝1時(shí)，原式＝6×22﹣10×2×1﹣4×12＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是去括號(hào)、合并同類項(xiàng)、整式的加減中的化簡求值，掌握整式的加減運(yùn)算法則是關(guān)鍵．【變式題11-2】．（2024-2025?臨邑縣期末）閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，老師展示了一位同學(xué)的作業(yè)如下：已知多項(xiàng)式A＝4ab﹣5+b2，B＝b2﹣ab，化簡：A﹣2B．下面是這位同學(xué)的解題過程：解：A﹣2B＝（4ab﹣5+b2）﹣2（b2﹣ab）…第一步＝4ab﹣5+b2﹣2b2﹣2ab…第二步＝﹣b2+2ab﹣5．…第三步請(qǐng)回答下列問題：（1）這位同學(xué)從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是去括號(hào)時(shí)括號(hào)前是負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)沒有變號(hào)；（2）請(qǐng)正確化簡A﹣2B，并求當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，A﹣2B的值．【答案】（1）二，去括號(hào)時(shí)括號(hào)前是負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)沒有變號(hào)；（2）﹣b2+6ab﹣5，27．【分析】（1）根據(jù)去括號(hào)法則可知第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因是去括號(hào)時(shí)未變號(hào)；（2）根據(jù)整式的減法計(jì)算法則計(jì)算，再將a＝3，b＝2代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）這位同學(xué)第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤原因是去括號(hào)時(shí)括號(hào)前是負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)沒有變號(hào)；故答案為：二，去括號(hào)時(shí)括號(hào)前是負(fù)號(hào)，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)沒有變號(hào)；（2）A﹣2B＝（4ab﹣5+b2）﹣2（b2﹣ab）＝4ab﹣5+b2﹣2b2+2ab＝﹣b2+6ab﹣5；當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，原式＝﹣22+6×3×2﹣5＝27．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減﹣化簡求值，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式題11-3】．（2024-2025?內(nèi)黃縣期末）“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡與求值中應(yīng)用極為廣泛．【教材呈現(xiàn)】如圖是人教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材的部分內(nèi)容．把（a+b）和（x+y）各看成一個(gè)整體，對(duì)下列各式進(jìn)行化簡：（1）4（a+b）+2（a+b）﹣（a+b）；（2）3（x+y）2﹣7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）．（1）【問題解決】對(duì)上面方框中（2）的式子進(jìn)行化簡，寫出化簡過程：（2）【簡單應(yīng)用】①已知m2+2m＝5，則2m2+4m﹣9＝1；②已知m+n＝7，求9（m+n）﹣6m﹣6n+3的值；（3）【拓展提高】已知m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，求整式2m【答案】（1）11（x+y）2﹣（x+y）；（2）①1；②24；（3）43【分析】（1）先分別將（x+y）2和（x+y）看成一個(gè)整體化簡即可；（2）①將m2+2m＝5整體代入計(jì)算；②將（m+n）看成一個(gè)整體后化簡，并將m+n＝7代入計(jì)算；（3）將原式寫成13[6(m2+3mn)?8(mn+3n2)]形式，將m2【解答】解：（1）原式＝3（x+y）2+8（x+y）2﹣7（x+y）+6（x+y）＝11（x+y）2﹣（x+y）；（2）①∵m2+2m＝5，∴原式＝2（m2+2m）﹣9＝2×5﹣9＝1，故答案為：1；②∵m+n＝7，∴9（m+n）﹣6m﹣6n+3＝9（m+n）﹣6（m+n）+3＝3（m+n）+3＝3×7+3＝24；（3）2=1=1∵m2+3mn＝2，mn+3n2＝1，∴原式=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查化簡求值，靈活運(yùn)用各種化簡的方法是本題的關(guān)鍵．【題型10】整式加減中“與某項(xiàng)無關(guān)”問題(提升)1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) “與某項(xiàng)無關(guān)”含義：合并同類項(xiàng)后，該字母所有項(xiàng)的系數(shù)和為0； 本質(zhì)：與“不含某項(xiàng)”一致，針對(duì)“某字母的所有項(xiàng)”(如與x無關(guān)，即所有含x的項(xiàng)系數(shù)為0)。2.高頻考點(diǎn)梳理 與字母x無關(guān)：如代數(shù)式(2?a)x2+3x+5與x 與字母x、y無關(guān)：如A?B(A=3x2+ay，B=bx2?2y)與x、3.易錯(cuò)點(diǎn)警示 漏合并某類含該字母的項(xiàng)(如與x無關(guān)，需令所有含x的一次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)均為0)； 混淆“與某項(xiàng)無關(guān)”和“不含某項(xiàng)”(前者是某字母的所有項(xiàng)，后者是單一某一項(xiàng))。4.解題技巧拆解 第一步：去括號(hào)、合并同類項(xiàng)，將式子整理為“含目標(biāo)字母的項(xiàng)+不含目標(biāo)字母的項(xiàng)”； 第二步：令“含目標(biāo)字母的所有項(xiàng)的系數(shù)和=0”，列方程求解； 第三步：代入驗(yàn)證(代入字母值，檢查式子是否確實(shí)與目標(biāo)字母無關(guān))。【例題10】．（2024-2025?興化市期中）小明同學(xué)在整理錯(cuò)題本時(shí)發(fā)現(xiàn)一道題：“試說明代數(shù)式4（a+3）2﹣7（a+3）（a﹣3）+3（）2的取值與a無關(guān)”．由于時(shí)間久遠(yuǎn)題干部分內(nèi)容及答案已經(jīng)缺失，請(qǐng)你從3個(gè)選項(xiàng)：①a﹣1；②a﹣2；③a﹣4中選擇一項(xiàng)填入缺失部分，使得代數(shù)式的取值與a無關(guān)，并幫助他完成作答．（1）缺失部分為③（填序號(hào)）；（2）試說明上述代數(shù)式的值與a無關(guān)．【答案】（1）③；（2）說明理由見解析．【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式解答即可；（2）利用完全平方公式，平方差公式和合并同類項(xiàng)的仿照解答即可．【解答】解：（1）選擇③使得代數(shù)式的取值與a無關(guān)．故答案為：③；（2）∵4（a+3）2﹣7（a+3）（a﹣3）+3（a﹣4）2＝4a2+24a+36﹣7a2+63+3a2﹣24a+48＝（4﹣7+3）a2+（24﹣24）a+（36+63+48）＝147，∴代數(shù)式4（a+3）2﹣7（a+3）（a﹣3）+3（a﹣4）2與a無關(guān)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求代數(shù)式的值，合并同類項(xiàng)的法則，完全平方公式，平方差公式，熟練掌握上述公式與法則是解題的關(guān)鍵．【變式題10-1】．（2024-2025?七星關(guān)區(qū)期末）根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，解決下列問題：（1）求a+b+c的值；（2）若|m﹣a|+（n+b）2＝0，比較mn與c的大小關(guān)系；（3）關(guān)于x，y的多項(xiàng)式A＝a2xy﹣by2+cx2，B＝axy﹣by2+c，請(qǐng)判斷A﹣B的結(jié)果是否與y的值無關(guān)，并說明理由．【答案】（1）﹣5；（2）mn＞c；（3）A﹣B的結(jié)果與y的值無關(guān)，理由：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴A＝xy+2y2﹣4x2，B＝xy+2y2﹣4，∴A﹣B＝xy+2y2﹣4x2﹣（xy+2y2﹣4）＝xy+2y2﹣4x2﹣xy﹣2y2+4＝﹣4x2+4，∴A﹣B的結(jié)果與y的值無關(guān)．【分析】（1）根據(jù)正整數(shù)、相反數(shù)、倒數(shù)的定義求出a、b、c的值，再代入計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m、n的值，進(jìn)而求出mn的值即可判斷求解；（3）求出A﹣B的結(jié)果即可判斷求解．【解答】解：（1）由題意得a+b+c＝1﹣2﹣4＝﹣5；（2）由條件可知m﹣a＝0，n+b＝0，∴m＝a＝1，n＝﹣b＝2，∴mn＝1×2＝2，∵c＝﹣4，∴mn＞c；（3）A﹣B的結(jié)果與y的值無關(guān)，理由如下：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴A＝xy+2y2﹣4x2，B＝xy+2y2﹣4，∴A﹣B＝xy+2y2﹣4x2﹣（xy+2y2﹣4）＝xy+2y2﹣4x2﹣xy﹣2y2+4＝﹣4x2+4，∴A﹣B的結(jié)果與y的值無關(guān)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的加減，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式題10-2】．（2024-2025?莒縣期末）【閱讀理解】已知A＝（a﹣4）x﹣1；若A值與字母x的取值無關(guān)，則a﹣4＝0，解得a＝4．所以當(dāng)a＝4時(shí)，A值與字母x的取值無關(guān)．【知識(shí)應(yīng)用】已知A＝mx﹣x，B＝mx﹣3x+5m．（1）用含m，x的式子表示4A﹣B；（2）若4A﹣B的值與字母m的取值無關(guān)，則x的值為53【知識(shí)拓展】（3）春節(jié)快到了，某超市計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種羽絨服共30件進(jìn)行銷售，甲種羽絨服每件進(jìn)價(jià)700元，每件售價(jià)1020元；乙種羽絨服每件進(jìn)價(jià)500元，每件售價(jià)800元，購進(jìn)羽絨服后，該超市決定：每售出一件甲種羽絨服，返還顧客現(xiàn)金a元，乙種羽絨服售價(jià)不變．設(shè)購進(jìn)甲種羽絨服x件，當(dāng)銷售完這30件羽絨服的利潤與x的取值無關(guān)時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)的利潤．【答案】（1）（3m﹣1）x﹣5m；（2）53【分析】（1）把A與B代入4A﹣B中，去括號(hào)、合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果；（2）把（1）的化簡結(jié)果變形后，根據(jù)4A﹣B的值與字母m的取值無關(guān)，確定出此的值即可；（3）根據(jù)題意列出代數(shù)式并求解，結(jié)合獲得的利潤與x的取值無關(guān)，即可獲得答案．【解答】解：（1）∵A＝mx﹣x，B＝mx﹣3x+5m，∴4A﹣B＝4（mx﹣x）﹣（mx﹣3x+5m）＝4mx﹣4x﹣mx+3x﹣5m＝（4﹣1）mx+（﹣4+3）x﹣5m＝3mx﹣x﹣5m＝（3m﹣1）x﹣5m；（2）根據(jù)（1）可知，4A﹣B＝（3mx﹣5m）﹣1＝m（3x﹣5）﹣1，∵4A﹣B的值與字母m的取值無關(guān)，∴3x﹣5＝0，解得：x=5故答案為：53（3）這30件羽絨服的利潤為：（1020﹣700）x﹣ax+（800﹣500）（30﹣x）＝320x﹣ax+9000﹣300x＝20x﹣ax+9000＝（20﹣a）x+9000，∵銷售完這30件羽絨服的利潤與x的取值無關(guān)，∴20﹣a＝0，解得：a＝20，當(dāng)a＝20時(shí)，利潤為9000元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列代數(shù)式、整式的加減—化簡求值，掌握整式的加減—化簡求值的方法是關(guān)鍵．【變式題10-3】．（2024-2025?牡丹江期末）A、B為數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)記為a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)記為b，且8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是關(guān)于x、y的三次二項(xiàng)式．解答下列問題：（1）a＝﹣8，b＝12；（2）若數(shù)軸上有一點(diǎn)C，且3AC＝BC，求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）若點(diǎn)M、N分別從O、B出發(fā)，同時(shí)向左勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M的速度為m個(gè)單位長度每秒，點(diǎn)N的速度是3個(gè)單位長度每秒，點(diǎn)P、Q分別為線段AM、線段BN的中點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在點(diǎn)M，N的運(yùn)動(dòng)過程中，若PQ+MN的長度與t的取值無關(guān)，求m的值及PQ+MN的長度．【答案】（1）﹣8，12；（2）﹣3或﹣18；（3）m＝3，PQ+MN＝28．【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式為關(guān)于x、y的三次二項(xiàng)式，得出1+b﹣10＝3，a+8＝0，從而求出a、b的值；（2）設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，且3AC＝BC，判斷出點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊，于是有3|﹣8﹣x|＝12﹣x，即可求出x的值；（3）t秒后，M對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣mt，N對(duì)應(yīng)的數(shù)為12﹣3t，根據(jù)數(shù)軸上中點(diǎn)的定義即可表示出中點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算MN、PQ的長，根據(jù)PQ+MN的長度與t的取值無關(guān)，即t的系數(shù)為0，從而得解．【解答】解：（1）若8xyb﹣10+（a+8）xy﹣1是關(guān)于x、y的三次二項(xiàng)式，則1+b﹣10＝3，a+8＝0，解得a＝﹣8，b＝12，故答案為：﹣8，12；（2）設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，∵3AC＝BC，∴點(diǎn)C在點(diǎn)B的左邊，∴3|﹣8﹣x|＝12﹣x，解得x＝﹣18或x＝﹣3，即點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣3或﹣18；（3）t秒后，M對(duì)應(yīng)的數(shù)為：﹣mt，N對(duì)應(yīng)的數(shù)為：12﹣3t，∵P、Q為AM、BN的中點(diǎn)，∴P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：?8?mt2，Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：24?3t∴MN＝|﹣mt﹣12+3t|＝|（3﹣m）t﹣12|∴PQ=|=|?32?mt+3t=|(3?m)t?32∵PQ+MN的長度與t無關(guān)，∴m＝3，∴PQ+MN＝16+12＝28．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，中點(diǎn)坐標(biāo)的求法，熟練掌握多項(xiàng)式的項(xiàng)、次數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【題型12】整式加減的實(shí)際應(yīng)用(幾何、經(jīng)濟(jì))(培優(yōu))1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 幾何應(yīng)用：用整式表示邊長、周長、面積(如長方形周長2(長+寬)，圓面積πr 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用：用整式表示單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)(如總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量)，再計(jì)算費(fèi)用、利潤、優(yōu)惠后的價(jià)格。2.高頻考點(diǎn)梳理 幾何類：如長方形長為(2x+1)，寬為(x?2)，求周長；兩個(gè)長方形面積分別為3x2y 經(jīng)濟(jì)類：如某商品單價(jià)為a元，買n件打8折，求總價(jià)；甲、乙兩種收費(fèi)方案，用整式表示費(fèi)用，比較優(yōu)劣。3.易錯(cuò)點(diǎn)警示 幾何公式記憶錯(cuò)誤(如長方形周長是2(長+寬)，不是長+寬；圓周長是2πr，不是πr 經(jīng)濟(jì)問題中優(yōu)惠規(guī)則理解錯(cuò)誤(如“滿500減100”，不是所有金額都減100)； 單位不統(tǒng)一(如長度單位是米，面積單位是平方米，避免混淆)。4.解題技巧拆解 幾何應(yīng)用：明確圖形類型，回憶對(duì)應(yīng)公式(如正方形面積=邊長^2，梯形面積=12 ②用整式表示未知邊長/半徑，代入公式得面積/周長的整式； ③按題意進(jìn)行整式加減(如求面積和、周長差)； 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用： ①分析題目中的“單價(jià)、數(shù)量、優(yōu)惠規(guī)則”，用整式表示總費(fèi)用； ②按題意計(jì)算(如比較兩種方案的費(fèi)用，求差值)； 驗(yàn)證：結(jié)果需符合實(shí)際意義(如長度、面積為正數(shù)，費(fèi)用為正數(shù))?！纠}12】．（2024-2025?城陽區(qū)期末）某中學(xué)要建一長方形勞動(dòng)基地，其中一面靠墻（足夠長），其它三面用籬笆圍起，已知長方形基地的長為（3a+4b）米，寬比長少（2a+b）米．（1）用a，b表示長方形勞動(dòng)基地的寬．（2）求籬笆的總長度．（3）若a＝40，b＝20，籬笆單價(jià)為每米2元，求買籬笆所需的費(fèi)用．【答案】（1）（a+3b）米；（2）（5a+10b）米；（3）800元．【分析】（1）根據(jù)長方形基地的長為（3a+4b）米，寬比長少（2a+b）米，可以計(jì)算出寬的長度；（2）根據(jù)圖形可知：籬笆的總長度為一個(gè)長+兩個(gè)寬，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；（3）將a＝40和b＝20代入（2）中的結(jié)果求出籬笆總長度，再根據(jù)籬笆單價(jià)為每米2元，即可計(jì)算出買籬笆所需的費(fèi)用．【解答】解：（1）∵長方形基地的長為（3a+4b）米，寬比長少（2a+b）米，∴寬為：（3a+4b）﹣（2a+b）＝3a+4b﹣2a﹣b＝（a+3b）米；（2）由（1）可知：長為（3a+4b）米，寬為（a+3b）米，∴籬笆的總長度為：（3a+4b）+2（a+3b）＝3a+4b+2a+6b＝（5a+10b）米；（3）當(dāng)a＝40，b＝20時(shí)，籬笆的總長度為：5a+10b＝5×40+10×20＝200+200＝400（米），∵籬笆單價(jià)為每米2元，∴買籬笆所需的費(fèi)用為：400×2＝800（元），答：買籬笆所需的費(fèi)用為800元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減、列代數(shù)式、代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式題12-1】．（2024-2025?武漢校級(jí)期末）如圖，公園有一塊長為（2a﹣1）米，寬為a米的長方形土地（一邊靠著墻），現(xiàn)將三面留出寬都是b米的小路，余下部分設(shè)計(jì)成花圃ABCD，并用籬笆把花圃不靠墻的三邊圍起來．（1）花圃的寬AB為（a﹣b）米，花圃的長BC為（2a﹣2b﹣1）米；（用含a，b的式子表示）（2）求籬笆的總長度；（用含a，b的式子表示）（3）若a＝30，b＝5，籬笆的單價(jià)為60元/米，請(qǐng)計(jì)算籬笆的總價(jià)．【答案】（1）（a﹣b）；（2a﹣2b﹣1）；（2）所用籬笆的總長度為（4a﹣4b﹣1）米；（3）全部籬笆的造價(jià)為5940元．【分析】（1）利用圖中尺寸計(jì)算即可；（2）先根據(jù)所給的圖形，得出花圃的長和寬，然后根據(jù)長方形周長公式即可求出籬笆總長度；（3）將a和b的值代入第（2）問所求的式子中求出籬笆的總長度，再乘以籬笆的單價(jià)即可求出總價(jià)．【解答】解：（1）由題意得，AB＝（a﹣b）米，BC＝（2a﹣1）﹣2b＝（2a﹣2b﹣1）米，故答案為：（a﹣b），（2a﹣2b﹣1）；（2）由圖可得，花圃的長為（2a﹣1﹣2b）米，寬為（a﹣b）米，∴籬笆的總長度為（2a﹣1﹣2b）+2（a﹣b）＝2a﹣1﹣2b+2a﹣2b＝（4a﹣4b﹣1）米；（3）當(dāng)a＝30，b＝5時(shí)，籬笆的造價(jià)為（4a﹣4b﹣1）×60＝（4×30﹣4×5﹣1）×60＝5940元，答：全部籬笆的造價(jià)為5940元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減的實(shí)際應(yīng)用，列代數(shù)式，代數(shù)式求值，根據(jù)題意，正確列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．【變式題12-2】．（2024-2025?惠來縣期末）現(xiàn)有一種新型網(wǎng)約車是一種全無人自動(dòng)駕駛的網(wǎng)約車，已經(jīng)在全國多個(gè)城市開放運(yùn)營．某城市的新型網(wǎng)約車的計(jì)價(jià)規(guī)則如表：計(jì)費(fèi)項(xiàng)目里程費(fèi)時(shí)長費(fèi)遠(yuǎn)途費(fèi)單價(jià)2元/公里0.5元/分鐘1元/公里（注：車費(fèi)由里程費(fèi)、時(shí)長費(fèi)、遠(yuǎn)途費(fèi)三部分構(gòu)成，其中里程費(fèi)按行車的實(shí)際里程計(jì)算，時(shí)長費(fèi)按行車的實(shí)際時(shí)間計(jì)算，遠(yuǎn)途費(fèi)的收取方式為：行車?yán)锍?5公里以內(nèi)（含15公里）不收遠(yuǎn)途費(fèi)，超過15公里的，超出部分每公里加收1元．）（1）若小東乘坐新型網(wǎng)約車，行車?yán)锍虨?0公里，行車時(shí)間為20分鐘，則需付車費(fèi)多少元？（2）若小明乘坐新型網(wǎng)約車，行車?yán)锍虨閍公里，行車時(shí)間為b分鐘（a，b為整數(shù)），請(qǐng)分別計(jì)算當(dāng)0＜a≤15和當(dāng)a＞15時(shí)，小明應(yīng)付車費(fèi)多少元？（用含a，b的式子表示，并化簡）（3）小王和小張各自乘坐新型網(wǎng)約車，小王比小張的行車?yán)锍躺?公里，行程結(jié)束后反而多付了6元，兩人計(jì)費(fèi)項(xiàng)目也相同（遠(yuǎn)途費(fèi)為0時(shí)視為沒有這個(gè)計(jì)費(fèi)項(xiàng)目），那么這兩輛新型網(wǎng)約車的行車時(shí)長相差多少分鐘？【答案】（1）55元；（2）當(dāng)0＜a≤15時(shí)，小明付費(fèi)（2a+0.5b）元；當(dāng)a＞15時(shí)，小明付費(fèi)（3a+0.5b﹣15）元；（3）24分鐘或30分鐘．【分析】（1）根據(jù)表中新型網(wǎng)約車的計(jì)價(jià)規(guī)則計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)0＜a≤15或a＞15分情況討論，分別用代數(shù)式表示出小明應(yīng)付車費(fèi)即可；（3）先根據(jù)行車?yán)锍虜?shù)分情況討論，再根據(jù)題意在每種情況下分別表示出小王和小張的行車時(shí)長，并算出相差的時(shí)長即可．【解答】解：（1）依題意：20×2+20×0.5+（20﹣15）×1＝55（元），答：需付車費(fèi)55元；（2）根據(jù)計(jì)費(fèi)規(guī)則，當(dāng)0＜a≤15時(shí)，小明應(yīng)付車費(fèi)：2a+0.5b（元）；當(dāng)a＞15時(shí)，小明應(yīng)付車費(fèi)：2a+0.5b+（a﹣15）×1＝3a+0.5b﹣15（元）；綜上，當(dāng)0＜a≤15時(shí)，小明付費(fèi)（2a+0.5b）元；當(dāng)a＞15時(shí)，小明付費(fèi)（3a+0.5b﹣15）元．（3）設(shè)小張的行車?yán)锍虨閤公里，則小王的行車?yán)锍虨椋▁﹣3）公里；小張付費(fèi)y元，則小王付費(fèi)（y+6）元，分兩種情況討論：當(dāng)行車?yán)锍?5公里以內(nèi)時(shí)：小張行車時(shí)長：（y﹣2x）÷0.5＝2y﹣4x（分鐘），小王行車時(shí)長：[y+6﹣2（x﹣3）]÷0.5＝2y﹣4x+24（分鐘），∴（2y﹣4x+24）﹣（2y﹣4x）＝24（分鐘），∴行車時(shí)長差為24分鐘；當(dāng)里程超過15公里時(shí)：小張行車時(shí)長：[y﹣2x﹣（x﹣15）]÷0.5＝2x﹣6x+30（分鐘），小王行車時(shí)長：[y+6﹣2（x﹣3）﹣（x﹣3﹣15）]÷0.5＝2y﹣6x+60（分鐘），∴（2y﹣6x+60）﹣（2y+6x+30）＝30（分鐘），∴行車時(shí)長差為30分鐘，答：這兩輛新型網(wǎng)約車的行車時(shí)長相差為24分鐘或30分鐘．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的加減，列代數(shù)式，代數(shù)式求值，理解題意、列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．【變式題12-3】．（2024-2025?羅莊區(qū)期末）隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)購已經(jīng)成為人們的一種生活方式，快遞業(yè)也隨之發(fā)展壯大．某快遞公司每件普通物品的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表：寄往市內(nèi)寄往市外首重續(xù)重首重續(xù)重10元/千克3元/千克12元/千克8元/千克說明：①每件快遞按送達(dá)地（市內(nèi)，市外）分別計(jì)算運(yùn)費(fèi)．②運(yùn)費(fèi)計(jì)算方式：首重價(jià)格+續(xù)重×續(xù)重運(yùn)費(fèi)．首重均為1千克，超過1千克即要續(xù)重，續(xù)重以0.5千克為計(jì)重單位（不足0.5千克按0.5千克計(jì)算）例如：寄往市內(nèi)一件1.8千克的物品，運(yùn)費(fèi)總額為：10+3×（0.5+0.5）＝13元．寄往市外一件3.4千克的物品，運(yùn)費(fèi)總額為：12+8×（2+0.5）＝32元．（1）小華同時(shí)寄往市內(nèi)一件3千克的物品和市外一件3.9千克的物品，各需付運(yùn)費(fèi)多少元？（2）小彤同時(shí)寄往市內(nèi)和市外同一件b千克的物品，已知b超過2，且b的整數(shù)部分是m，小數(shù)部分小于0.5，請(qǐng)用含字母的代數(shù)式表示市外與市內(nèi)這兩筆運(yùn)費(fèi)的差．【答案】（1）各需付運(yùn)費(fèi)16元，36元；（2）（5m﹣0.5）元．【分析】（1）根據(jù)題意列出算式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先用m分別表示出兩種情況下需要的費(fèi)用，然后再求差即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意列出算式進(jìn)行計(jì)算可得寄往市內(nèi)一件3千克的物品需付運(yùn)費(fèi)：10+3×2＝16（元）；寄往市外一件3.9千克的物品需付運(yùn)費(fèi)：12+8×（2+0.5+0.5）＝36（元）；答：各需付運(yùn)費(fèi)16元，36元；（2）根據(jù)題意列出算式進(jìn)行計(jì)算可得寄往市內(nèi)需付運(yùn)費(fèi)10+3（m﹣1+0.5）＝（3m+8.5）元，寄往市外需付運(yùn)費(fèi)12+8（m﹣1+0.5）＝（8m+8）元，∴8m+8﹣（3m+8.5）＝（5m﹣0.5）元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了列代數(shù)式，整式加減的應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意熟練掌握運(yùn)算法則．【題型13】數(shù)字類規(guī)律探究(培優(yōu))1.核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 規(guī)律分析：從系數(shù)(符號(hào)、絕對(duì)值)、字母指數(shù)兩方面找變化規(guī)律； 表達(dá)形式：用含n(正整數(shù))的整式表示第n項(xiàng)，驗(yàn)證規(guī)律是否成立(n=1,2,3時(shí)是否符合)。2.高頻考點(diǎn)梳理 系數(shù)符號(hào)交替：如?x、2x2、?3x3、4x 系數(shù)絕對(duì)值成倍數(shù)：如2x、4x2、8x3、16x 常數(shù)項(xiàng)規(guī)律：如1、?3、5、?7…第n項(xiàng)為(?1)3.易錯(cuò)點(diǎn)警示 忽略系數(shù)符號(hào)的變化規(guī)律(如正負(fù)交替未用(?1)n或 指數(shù)規(guī)律與項(xiàng)數(shù)不匹配(如第n項(xiàng)的指數(shù)不是n，而是n+1，未驗(yàn)證前幾項(xiàng))； 系數(shù)絕對(duì)值規(guī)律錯(cuò)誤(如3、6、9、12…系數(shù)是3n，不是n+2)。4.解題技巧拆解 第一步：列出前3-5項(xiàng)，分別寫出“系數(shù)(符號(hào)+絕對(duì)值)”和“字母指數(shù)”； 第二步：分析系數(shù)符號(hào)(如正負(fù)交替用(?1)n)、絕對(duì)值(如成倍數(shù)用2n 第三步：分析字母指數(shù)(如第n項(xiàng)指數(shù)為n或n+1)； 第四步：組合系數(shù)和字母，寫出第n項(xiàng)的整式，代入n=1,2,3驗(yàn)證。【例題13】．（2024-2025?睢縣期末）觀察下列板式：22﹣12＝2+1＝3；32﹣22＝3+2＝5；42﹣32＝4+3＝7；52﹣42＝5+4＝9；62﹣52＝6+5＝11；…若字母n表示自然數(shù)，請(qǐng)把你觀察到的規(guī)律用含n的式子表示出來：（n+1）2﹣n2＝2n+1．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】觀察各式，發(fā)現(xiàn)：運(yùn)用了平方差公式，其中由于兩個(gè)數(shù)相差是1，差等于1，所以最后結(jié)果等于兩個(gè)數(shù)的和．【解答】解：第n個(gè)式子：（n+1）2﹣n2＝2n+1．故答案為：（n+1）2﹣n2＝2n+1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，熟練掌握平方差公式是解決問題的關(guān)鍵．【變式題13-1】．（2024-2025?昭陽區(qū)月考）觀察這一系列單項(xiàng)式的特點(diǎn)：12A．?(12)C．?(12【答案】A【分析】由12x2y，?14x2y【解答】解：由12x2y，?14x2y∴第8個(gè)單項(xiàng)式為?(故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律．【變式題13-2】．（2024-2025?昆明模擬）觀察下列單項(xiàng)式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，?，則第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．（﹣1）nna2 B．2nan C．nan D．（﹣1）n2nan【答案】D【分析】根據(jù)已知單項(xiàng)式找到規(guī)律即可，認(rèn)真觀察單項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．【解答】解：下列單項(xiàng)式：﹣2a，4a2，﹣6a3，8a4，﹣10a5，?，∵﹣2a＝（﹣1）×2×1×a，4a2＝（﹣1）2×2×2×a2，﹣6a3＝（﹣1）3×2×3×a3，8a4＝（﹣1）4×2×4×a4，﹣10a5＝（﹣1）5×2×5×a5，?，∴第n個(gè)單項(xiàng)式是（﹣1）n2nan，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單項(xiàng)式的變化規(guī)律，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式題13-3】．（2024-2025?明水縣期末）下面是按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：a2，3a4，5a6，7a8，…則第8個(gè)代數(shù)式是15a16．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接利用已知單項(xiàng)式的次數(shù)與系數(shù)特點(diǎn)得出答案．【解答】解：∵a2，3a4，5a6，7a8，…∴單項(xiàng)式的次數(shù)是連續(xù)的偶數(shù)，系數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，∴第8個(gè)代數(shù)式是：（2×8﹣1）a2×8＝15a16．故答案為：15a16．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了單項(xiàng)式，正確得出單項(xiàng)式次數(shù)與系數(shù)的