北京市對外經(jīng)貿大學附屬中學2026屆高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．德國數(shù)學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數(shù)的幾何意義．設是函數(shù)f（x）的導函數(shù)，若，對，且．總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.2．如圖是拋物線形拱橋，當水面在n時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于，，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．在正方體中，與直線和都垂直，則直線與的關系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交5．若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.6．已知函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．下列命題正確的是（）A.經(jīng)過三點確定一個平面B.經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面8．若曲線表示圓，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知是雙曲線的左、右焦點，點P在C上，，則等于（）A.2 B.4C.6 D.810．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點A是橢圓短軸的一個頂點，且，則橢圓的離心率（）A. B.C. D.11．某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是（）A.4 B.5C.6 D.712．若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（）A.或11 B.或10C.或12 D.或11二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，將中的所有元素按從大到小的順序排列構成一個數(shù)列，則數(shù)列的前n項和的最大值為___________.14．已知點和，圓，當圓C與線段沒有公共點時，則實數(shù)m的取值范圍為___________15．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______.16．已知、均為正實數(shù)，且，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.（1）求點P的坐標；（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值.18．（12分）某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示：其中一個數(shù)字被污損.（1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率.（2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對成語知識的學習積累的熱情，從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了4位觀眾的周均學習成語知識的時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），并制作了對照表（如下表所示）年齡（歲）20304050周均學習成語知識時間（小時）2.5344.5由表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程，并預測年齡為55歲觀眾周均學習成語知識時間.參考公式：，.19．（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求的解析式及單調遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)無零點，求的取值范圍20．（12分）△的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知（1）求角B的大??；（2）若△不為鈍角三角形，且，，求△的面積21．（12分）已知橢圓，離心率為，短半軸長為1（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線，問：在橢圓C上是否存在點T，使得點T到直線l的距離最大？若存在，請求出這個最大距離；若不存在，請說明理由22．（10分）已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由，得在上單調遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C2、D【解析】由題建立平面直角坐標系，設拋物線方程為，結合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標系：設拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.3、D【解析】直線的斜率為，計算，，利用余弦定理得到，化簡知，得到答案【詳解】由題意知直線的斜率為，，又，由雙曲線定義知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故雙曲線漸近線的方程為.故答案選D【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線，與圓的關系，意在考查學生的綜合應用能力和計算能力.4、B【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，根據(jù)向量垂直的坐標表示求出，再利用向量的坐標運算可得，根據(jù)共線定理即可判斷.【詳解】設正方體的棱長為1.以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則.設，則，取.，.故選：B【點睛】本題考查了空間向量垂直的坐標表示、空間向量的坐標表示、空間向量共線定理，屬于基礎題.5、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D6、A【解析】由題意，在上恒成立，只需滿足即可求解.【詳解】解：因為，所以，因為函數(shù)在上單調遞減，所以在上恒成立，只需滿足，即，解得故選：A.7、D【解析】由平面的基本性質結合公理即可判斷.【詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經(jīng)過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D8、C【解析】按照圓的一般方程滿足的條件求解即可.【詳解】或.故選：C.9、D【解析】根據(jù)雙曲線定義寫出，兩邊平方代入焦點三角形的余弦定理中即可求解【詳解】雙曲線，，所以，根據(jù)雙曲線的對稱性，可假設在第一象限，設，則，所以，，在中，根據(jù)余弦定理：，即，解得：，所以故選：D10、D【解析】依題意，不妨設點A的坐標為，在中，由余弦定理得，再根據(jù)離心率公式計算即可.【詳解】設橢圓的焦距為，則橢圓的左焦點的坐標為，右焦點的坐標為，依題意，不妨設點A的坐標為，在中，由余弦定理得：，，，，解得.故選：D.【點睛】本題考查橢圓幾何性質，在中，利用余弦定理求得是關鍵，屬于中檔題.11、C【解析】按照分層抽樣的定義進行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類：植物油類：動物性食品類：果蔬類=4:1:3:2，抽20個出來，則糧食類8個，植物油類2個，動物性食品類6個，果蔬類4個，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是6個.故選：C.12、A【解析】利用平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】因為兩條平行線與之間的距離是2，所以，或，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意設，，根據(jù)可得，從而，即可得出答案.【詳解】設，由，得，由，得中的元素滿足，即，可得所以，由,所以所以，要使得數(shù)列的前n項和的最大值，即求出數(shù)列中所以滿足的項的和即可.即，得，則所以數(shù)列的前n項和的最大值為故答案為：147214、【解析】當點和都在圓的內部時，結合點與圓的位置關系得出實數(shù)m的取值范圍，再由圓心到直線的距離大于半徑得出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】當點和都在圓的內部時，，解得或直線的方程為，即圓心到直線的距離為，當圓心到直線的距離大于半徑時，，且.綜上，實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：15、【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，由此計算出幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為如圖所示三棱錐，所以該幾何體的體積為.故答案為：16、【解析】由基本不等式可得出關于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】因、均為正實數(shù)，由基本不等式可得，整理可得，，，則，解得，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）(,).（2）【解析】（1）根據(jù)條件列關于P點坐標得方程組，解得結果，（2）先根據(jù)點到直線距離公式結合條件解得點M坐標，再建立的函數(shù)解析式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質求最小值.【詳解】解:（1）由已知可得點A(－6,0),F(4,0)設點P(,),則={+6,},={－4,},由已知可得則2+9－18=0,解得=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴點P的坐標是(,).（2）直線AP的方程是－+6=0.設點M(,0),則M到直線AP的距離是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.橢圓上的點(,)到點M的距離為,則,由于－6≤≤6,∴當=時,取得最小值.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18、（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）先根據(jù)兩個平均值的大小得到的取值范圍，再利用古典概型的概率公式進行求解；（2）先利用最小二乘法求出線性回歸方程，再利用方程進行預測.試題解析：（1）設被污損的數(shù)字為，則的所有可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10種等可能結果，令，解得，則滿足“東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8個，所以其概率為.（2）由表中數(shù)據(jù)得，，∴，線性回歸方程.可預測年齡為55觀眾周均學習成語知識時間為4.9小時.19、（1）單調減區(qū)間為和；（2）的取值范圍為：或【解析】（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得，求得的解析式，可得導數(shù)，令導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（2）先求得，要使函數(shù)無零點，即要在內無解，亦即要在內無解.構造函數(shù)，對其求導，然后對進行分類討論，運用單調性和函數(shù)零點存在性定理，即可得到的取值范圍.【詳解】(1)，又由題意有：，故.此時，，由或，所以函數(shù)的單調減區(qū)間為和.(2)，且定義域為，要函數(shù)無零點，即要在內無解，亦即要在內無解.構造函數(shù).①當時，在內恒成立，所以函數(shù)在內單調遞減，在內也單調遞減.又，所以在內無零點，在內也無零點，故滿足條件；②當時，⑴若，則函數(shù)在內單調遞減，在內也單調遞減，在內單調遞增.又，所以在內無零點；易知，而，故在內有一個零點，所以不滿足條件；⑵若，則函數(shù)在內單調遞減，在內單調遞增.又，所以時，恒成立，故無零點，滿足條件；⑶若，則函數(shù)在內單調遞減，在內單調遞增，在內也單調遞增.又，所以在及內均無零點.又易知，而，又易證當時，，所以函數(shù)在內有一零點，故不滿足條件.綜上可得：的取值范圍為：或.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義、應用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題、其中分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題，解答本題，準確求導數(shù)是基礎，恰當分類討論是關鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯漏百出．本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等20、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)正弦定理邊角關系可得，再由三角形內角的性質求其大小即可.（2）由（1）及題設有，應用余弦定理求得、，最后利用三角形面積公式求△的面積【小問1詳解】由正弦定理得：，又，所以，又B為△的一個內角，則，所以或；【小問2詳解】由△不為鈍角三角形，即，又，，由余弦定理，，得（舍去負值），則∴21、（1）；（2）存在，最大距離為.，理由見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及短軸長求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程.（2）根據(jù)直線與橢圓的位置關系，將問題轉為平行于直線且與橢圓相切的切線與直線最大距離，設直線方程聯(lián)立橢圓方程根據(jù)求參數(shù)，進而判斷點T的存在性，即可求最大距離.【小問1詳解】由題設知：且，又，∴，故橢圓C的方程為.小問2詳解】聯(lián)立直線與橢圓，可得：，∴，即直線與橢圓相離，∴只需求平行于直線且與橢圓相切的切線與直線最大距離即為所求，令平行于直線且與橢圓相切的直線為，聯(lián)立橢圓，整理可得：，∴，可得，當，切線為，其與直線距離為；當，切線為，其與直線距離為；綜上，時，與橢圓切點與直線距離最大為.22、（1）證明見解析；（2）在線段上存在一點，且P是靠近C的四等分點.【解析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內過C作，再以C為原點，射線CA，CB，Cz分別為x，y