2025年高三數(shù)學(xué)高考隨機(jī)變量及其分布模擬試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X1234P1/61/31/6p則p的值為（）A.1/6B.1/3C.2/3D.1/2隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ-101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|ξ|=1)等于（）A.1/3B.1/4C.1/2D.2/3已知X是離散型隨機(jī)變量，P(X=1)=1/4，P(X=a)=3/4，E(X)=7/4，則D(2X-1)等于（）A.2/5B.3/4C.3/5D.5/6設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k/5)=ak(k=1,2,3,4,5)，則P(1/10<ξ<7/10)等于（）A.3/5B.4/5C.2/5D.1/5設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=m(2/3)^k，k=1,2,3，則m的值是（）A.17/36B.27/38C.17/19D.27/19一個(gè)袋中有形狀大小完全相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球，從中任意摸出兩個(gè)球，用X表示兩個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，則X的分布列為（）A.|X|0|1|2||----|----|----|----||P|2/7|4/7|1/7|B.|X|0|1|2||----|----|----|----||P|1/7|4/7|2/7|C.|X|0|1|2||----|----|----|----||P|6/21|12/21|3/21|D.|X|0|1|2||----|----|----|----||P|3/7|3/7|1/7|已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=2a^i(i=1,2,3)，則P(X=2)等于（）A.1/9B.1/6C.1/3D.1/4某學(xué)校有A、B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐。如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.4。則王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為（）A.0.24B.0.36C.0.5D.0.52兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占70%，次品率為6%；第二批占30%，次品率為5%。將這兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件，則這件產(chǎn)品是次品的概率為（）A.5.5%B.5.6%C.5.7%D.5.8%已知隨機(jī)事件A、B滿足P(A)=1/3，P(B)=1/2，P(A∪B)=2/3，則P(A|B)等于（）A.2/9B.2/3C.1/4D.1/6已知某精密儀器測量金屬薄片的誤差X服從正態(tài)分布N(2,σ2)，隨機(jī)抽取10個(gè)測量數(shù)據(jù)，設(shè)Y為這10個(gè)數(shù)據(jù)誤差在(2-3σ,2+3σ)之外的個(gè)數(shù)，則下列說法正確的是（已知若隨機(jī)變量Z~N(μ,σ2)，則P(|Z-μ|<3σ)=0.9974）（）A.E(Y)=0.026B.D(Y)=0.0253C.P(Y=0)=0.974^10D.P(Y=1)=C(10,1)0.974^90.026甲、乙兩人進(jìn)行拋硬幣比賽。兩人分別拋擲一枚均勻硬幣，如果拋出"正面朝上"，則得1分，如果拋出"反面朝上"，則得0分。甲和乙分別拋擲3次后，如果兩人得分相差大于1分，比賽終止；如果兩人分?jǐn)?shù)相差不大于1分，則由乙再進(jìn)行一次拋擲后比賽終止，該次拋擲若為"正面朝上"，則乙得分不變，若為"反面朝上"，則乙得分減1分。按照規(guī)定，比賽終止時(shí)甲得分高于乙的概率為（）A.5/16B.7/16C.9/32D.11/32二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）在信息理論中，X和Y是兩個(gè)取值相同的離散型隨機(jī)變量，分布列分別為：P(X=k)=p_k，P(Y=k)=q_k，k=1,2,...,n。定義隨機(jī)變量X的信息量I(X)=-logp_X，X和Y的"距離"D(X,Y)=1/2Σ|p_k-q_k|。若X的分布列為P(X=1)=1/2，P(X=2)=1/2，則I(X)的分布列為________，D(X,X)=________。某汽車公司擬對"東方紅"款高端汽車發(fā)動機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：x234567y232425262728當(dāng)2≤x≤7時(shí)，建立了y與x的線性回歸模型：y=bx+a，經(jīng)計(jì)算得b=1，則a=________，當(dāng)x=16億元時(shí)，預(yù)測直接收益為________億元?？萍几脑旌?，"東方紅"款汽車發(fā)動機(jī)的熱效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布N(50%,3%)。公司對科技改造團(tuán)隊(duì)的獎勵方案如下：若發(fā)動機(jī)的熱效率不超過50%，不予鼓勵；若發(fā)動機(jī)的熱效率超過50%但不超過53%，每臺發(fā)動機(jī)獎勵2萬元；若發(fā)動機(jī)的熱效率超過53%，每臺發(fā)動機(jī)獎勵4萬元。則每臺發(fā)動機(jī)獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望為________萬元。（附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544）某工廠車間有6臺相同型號的機(jī)器，各臺機(jī)器工作相互獨(dú)立，工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是1/4，且一臺機(jī)器的故障能由一個(gè)維修工處理。已知此廠共有甲、乙、丙3名維修工，采用方案一：由甲、乙、丙三人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)2臺機(jī)器。則甲維護(hù)的2臺機(jī)器中至少有1臺發(fā)生故障的概率為________；采用方案二：由甲、乙兩人共同維護(hù)6臺機(jī)器。則機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為________。（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）某"套圈"攤位規(guī)定：成功套中商品1次或套5次后游戲結(jié)束，每套一次圈需花費(fèi)5元，每次套中商品的概率為1/3，用隨機(jī)變量X表示某位小朋友的"套圈"次數(shù)。(1)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若"套圈"攤位中，每件商品的平均價(jià)格為10元，一個(gè)套圈攤位每天約有40名小朋友玩"套圈"，估計(jì)該攤主每天的利潤（保留整數(shù)）。（12分）英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)了高爾頓釘板來研究隨機(jī)現(xiàn)象。小明設(shè)計(jì)了一個(gè)"高爾頓釘板"，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時(shí)，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍。當(dāng)有大量的小球依次滾下時(shí)，最終都落入釘板下面的5個(gè)不同位置。(1)若一個(gè)小球從正上方落下，經(jīng)過5層釘板最終落到4號位置的概率是多少？(2)記小球最終落入的位置編號為ξ（最左邊為0號位置，向右依次遞增），求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望。（12分）甲、乙兩人比賽，比賽規(guī)則為：共進(jìn)行奇數(shù)局比賽，全部比完后，所贏局?jǐn)?shù)多者獲勝。假設(shè)每局比賽甲贏的概率都是p(0<p<1)，各局比賽之間的結(jié)果互不影響，且沒有平局。(1)當(dāng)p=1/2，兩人共進(jìn)行5局比賽，設(shè)兩人所贏局?jǐn)?shù)之差的絕對值為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)p=1/2時(shí)，兩人共進(jìn)行n(n=2k+1,k∈N*)局比賽，記事件A表示"在前n-1局比賽中甲贏了k局"，事件B表示"甲最終獲勝"，求P(B|A)的值。（12分）某公司為活躍氣氛提升士氣，年終以通過抓鬮兌獎的方式對所有員工進(jìn)行獎勵。規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的鬮的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)鬮，鬮上所標(biāo)的面值之和為該員工獲得的獎勵金額。(1)若袋中所裝的4個(gè)鬮中有1個(gè)所標(biāo)的面值為800元，其余3個(gè)均為200元，求：①員工所獲得的獎勵額為1000元的概率；②員工所獲得的獎勵額的分布列及均值；(2)公司對獎勵額的預(yù)算是人均1000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)鬮只能由標(biāo)有面值200元和800元的兩種鬮或標(biāo)有面值400元和600元的兩種鬮組成。為了使員工得到的獎勵總額盡可能符合公司的預(yù)算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個(gè)鬮的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說明理由。（12分）發(fā)報(bào)臺發(fā)出信號為0和1，接收臺收到信號只有0和1。現(xiàn)發(fā)報(bào)臺發(fā)出信號為0的概率為2/3，由于通信信號受到干擾，發(fā)出信號0接收臺收到信號為0的概率為3/4，發(fā)出信號1接收臺收到信號為1的概率為3/4。(1)求接收臺收到信號為1的概率；(2)求接收臺收到信號為1的條件下，發(fā)報(bào)臺發(fā)出信號為1的概率；(3)記隨機(jī)變量X和Y分別為發(fā)出信號和收到信號，證明：D(X)≥D(Y)。（12分）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品、二等品和次品三個(gè)等級，其中一等品率為70%，二等品率為20%，次品率為10%。為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，工廠決定對生產(chǎn)工藝進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，得到如下數(shù)據(jù)：等級一等品二等品次品數(shù)量75205(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為工藝改進(jìn)對產(chǎn)品質(zhì)量有顯著影響？(2)改進(jìn)工藝后，每件一等品可