三角函數(shù)聯(lián)考及答案一、引言三角函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在數(shù)學(xué)知識體系中占據(jù)著關(guān)鍵地位。它不僅與代數(shù)、幾何等知識有著緊密的聯(lián)系，而且在物理學(xué)、工程學(xué)等眾多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。為了全面考查學(xué)生對三角函數(shù)知識的掌握程度，一場三角函數(shù)聯(lián)考應(yīng)運而生。本次聯(lián)考涵蓋了三角函數(shù)的基本概念、圖像與性質(zhì)、恒等變換以及解三角形等多個方面的內(nèi)容，旨在檢驗學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中存在的問題，為后續(xù)的教學(xué)和學(xué)習(xí)提供參考。二、三角函數(shù)聯(lián)考題目（一）選擇題（每題5分，共60分）1.已知角\(\alpha\)的終邊經(jīng)過點\(P(-3,4)\)，則\(\sin\alpha\)的值為（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(-\frac{3}{5}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.\(-\frac{4}{5}\)2.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)3.若\(\sin\theta=\frac{3}{5}\)，且\(\theta\)是第二象限角，則\(\tan\theta\)的值為（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)4.函數(shù)\(y=\cosx\)的圖像向左平移\(\frac{\pi}{2}\)個單位長度后得到的函數(shù)圖像的解析式為（）A.\(y=\sinx\)B.\(y=-\sinx\)C.\(y=\cos(x+\frac{\pi}{2})\)D.\(y=\cos(x-\frac{\pi}{2})\)5.在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，則\(c\)的值為（）A.\(\sqrt{13}\)B.\(\sqrt{37}\)C.\(\sqrt{13}\)或\(\sqrt{37}\)D.\(5\)6.函數(shù)\(y=2\sinx\cosx\)是（）A.周期為\(\pi\)的奇函數(shù)B.周期為\(\pi\)的偶函數(shù)C.周期為\(2\pi\)的奇函數(shù)D.周期為\(2\pi\)的偶函數(shù)7.已知\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\frac{1}{3}\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(-\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)D.\(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)8.函數(shù)\(y=\sinx\)在區(qū)間\([0,\pi]\)上的最大值是（）A.\(0\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(-1\)9.在\(\triangleABC\)中，若\(\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5\)，則\(\triangleABC\)是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定10.函數(shù)\(y=\tan(x-\frac{\pi}{4})\)的定義域是（）A.\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{4},k\inZ\}\)B.\(\{x|x\neqk\pi-\frac{\pi}{4},k\inZ\}\)C.\(\{x|x\neq2k\pi+\frac{\pi}{4},k\inZ\}\)D.\(\{x|x\neq2k\pi-\frac{\pi}{4},k\inZ\}\)11.已知\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)，且\(\alpha\)是第三象限角，則\(\sin2\alpha\)的值為（）A.\(\frac{24}{25}\)B.\(-\frac{24}{25}\)C.\(\frac{12}{25}\)D.\(-\frac{12}{25}\)12.函數(shù)\(y=3\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的圖像的一條對稱軸方程是（）A.\(x=\frac{\pi}{12}\)B.\(x=\frac{\pi}{3}\)C.\(x=\frac{\pi}{6}\)D.\(x=\frac{5\pi}{12}\)（二）填空題（每題5分，共20分）13.已知\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值為______。14.函數(shù)\(y=\sinx+\sqrt{3}\cosx\)的最大值是______。15.在\(\triangleABC\)中，\(A=30^{\circ}\)，\(B=45^{\circ}\)，\(a=2\)，則\(b\)的值為______。16.函數(shù)\(y=\cos(2x-\frac{\pi}{3})\)的單調(diào)遞減區(qū)間是______。（三）解答題（共70分）17.（10分）已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。18.（12分）求函數(shù)\(y=2\sin(3x-\frac{\pi}{4})\)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間。19.（12分）在\(\triangleABC\)中，\(a=7\)，\(b=8\)，\(\cosC=\frac{13}{14}\)，求\(c\)的值以及\(\triangleABC\)的面積。20.（12分）已知函數(shù)\(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)，求\(f(x)\)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間。21.（12分）在\(\triangleABC\)中，\(\angleA\)，\(\angleB\)，\(\angleC\)所對的邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(a=2\)，\(b=2\sqrt{3}\)，\(\angleA=30^{\circ}\)，求\(\angleB\)，\(\angleC\)和\(c\)的值。22.（12分）已知函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})\)的圖像經(jīng)過點\(P(\frac{\pi}{12},0)\)，圖像上與點\(P\)最近的一個最高點是\(Q(\frac{\pi}{3},5)\)。（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。三、三角函數(shù)聯(lián)考答案（一）選擇題1.答案：C-解析：根據(jù)三角函數(shù)的定義，\(\sin\alpha=\frac{y}{r}\)，其中\(zhòng)(y=4\)，\(r=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\)，所以\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)。2.答案：B-解析：對于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，這里\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。3.答案：B-解析：因為\(\theta\)是第二象限角，所以\(\cos\theta=-\sqrt{1-\sin^2\theta}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)，則\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。4.答案：B-解析：根據(jù)函數(shù)圖像平移的規(guī)律“左加右減”，\(y=\cosx\)的圖像向左平移\(\frac{\pi}{2}\)個單位長度后得到\(y=\cos(x+\frac{\pi}{2})=-\sinx\)。5.答案：A-解析：根據(jù)余弦定理\(c^2=a^2+b^2-2ab\cosC\)，代入\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，可得\(c^2=3^2+4^2-2\times3\times4\times\frac{1}{2}=9+16-12=13\)，所以\(c=\sqrt{13}\)。6.答案：A-解析：\(y=2\sinx\cosx=\sin2x\)，其周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，且\(\sin(-2x)=-\sin2x\)，所以函數(shù)是周期為\(\pi\)的奇函數(shù)。7.答案：A-解析：根據(jù)誘導(dǎo)公式\(\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\)，所以\(\cos\alpha=\frac{1}{3}\)。8.答案：C-解析：函數(shù)\(y=\sinx\)在區(qū)間\([0,\pi]\)上，當(dāng)\(x=\frac{\pi}{2}\)時取得最大值\(1\)。9.答案：B-解析：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)，可得\(a:b:c=\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5\)，設(shè)\(a=3k\)，\(b=4k\)，\(c=5k(k>0)\)，則\(a^2+b^2=(3k)^2+(4k)^2=25k^2=c^2\)，所以\(\triangleABC\)是直角三角形。10.答案：A-解析：對于函數(shù)\(y=\tanx\)，其定義域為\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)，所以\(y=\tan(x-\frac{\pi}{4})\)的定義域為\(x-\frac{\pi}{4}\neqk\pi+\frac{\pi}{2}\)，即\(x\neqk\pi+\frac{3\pi}{4}=k\pi+\frac{\pi}{4}\)，\(k\inZ\)。11.答案：B-解析：因為\(\alpha\)是第三象限角，所以\(\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-(-\frac{4}{5})^2}=-\frac{3}{5}\)，則\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\times(-\frac{3}{5})\times(-\frac{4}{5})=-\frac{24}{25}\)。12.答案：D-解析：對于函數(shù)\(y=\sinx\)，其對稱軸方程為\(x=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，所以\(y=3\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的對稱軸方程為\(2x-\frac{\pi}{6}=k\pi+\frac{\pi}{2}\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\)，當(dāng)\(k=0\)時，\(x=\frac{\pi}{3}\)；當(dāng)\(k=1\)時，\(x=\frac{5\pi}{12}\)。（二）填空題13.答案：3-解析：\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3\)。14.答案：2-解析：\(y=\sinx+\sqrt{3}\cosx=2(\frac{1}{2}\sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}\cosx)=2\sin(x+\frac{\pi}{3})\)，因為\(\sin(x+\frac{\pi}{3})\)的最大值為\(1\)，所以\(y\)的最大值為\(2\)。15.答案：\(2\sqrt{2}\)-解析：根據(jù)正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，可得\(b=\frac{a\sinB}{\sinA}=\frac{2\times\sin45^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{2\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}\)。16.答案：\([k\pi+\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{2\pi}{3}](k\inZ)\)-解析：令\(2k\pi\leq2x-\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\pi(k\inZ)\)，解得\(k\pi+\frac{\pi}{6}\leqx\leqk\pi+\frac{2\pi}{3}(k\inZ)\)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是\([k\pi+\frac{\pi}{6},k\pi+\