《高中數(shù)學(xué)必修數(shù)列分層練習(xí)50題集錦_輕松攻克數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)全解析》引言數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考中占據(jù)著相當(dāng)重要的地位。它不僅是對函數(shù)知識的深化和拓展，更是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識能力的關(guān)鍵內(nèi)容。然而，許多同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)列時，常常會感到困惑，面對各種題型不知從何下手。為了幫助同學(xué)們更好地掌握數(shù)列這一核心知識點(diǎn)，本文精心整理了50道分層練習(xí)題，并對每道題進(jìn)行詳細(xì)解析，希望能助力大家輕松攻克數(shù)列難關(guān)。基礎(chǔ)夯實(shí)篇（1-20題）第1題-題目：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=2n+1\)，求\(a_5\)的值。-解析：本題直接考查對通項(xiàng)公式的應(yīng)用。將\(n=5\)代入通項(xiàng)公式\(a_n=2n+1\)中，可得\(a_5=2×5+1=11\)。第2題-題目：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+2\)，求\(a_{10}\)。-解析：由\(a_{n+1}=a_n+2\)可知，該數(shù)列的后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大\(2\)，所以這是一個公差\(d=2\)的等差數(shù)列，且首項(xiàng)\(a_1=1\)。根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，可得\(a_{10}=1+(10-1)×2=1+18=19\)。第3題-題目：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_{11}\)。-解析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：若\(m\)，\(n\)，\(p\)，\(q\inN^+\)，且\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。因?yàn)閈(3+11=7+7\)，所以\(a_3+a_{11}=2a_7\)，即\(a_{11}=2a_7-a_3=2×13-5=21\)。第4題-題目：已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_4=8\)，求公比\(q\)。-解析：根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，可得\(a_4=a_2q^{4-2}\)，即\(8=2q^2\)，化簡得\(q^2=4\)，解得\(q=±2\)。第5題-題目：在等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(q=2\)，求\(S_5\)（\(S_n\)為前\(n\)項(xiàng)和）。-解析：等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式為\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q≠1\)）。將\(a_1=3\)，\(q=2\)，\(n=5\)代入公式，可得\(S_5=\frac{3×(1-2^5)}{1-2}=\frac{3×(1-32)}{-1}=93\)。第6題-題目：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2+2n\)，求\(a_3\)。-解析：\(a_3=S_3-S_2\)。先求\(S_3=3^2+2×3=15\)，\(S_2=2^2+2×2=8\)，所以\(a_3=15-8=7\)。第7題-題目：等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_2+a_3=9\)，\(a_4+a_5+a_6=27\)，求\(a_7+a_8+a_9\)。-解析：設(shè)\(b_1=a_1+a_2+a_3=9\)，\(b_2=a_4+a_5+a_6=27\)，\(b_3=a_7+a_8+a_9\)。因?yàn)閈(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，所以\(\{b_n\}\)也成等差數(shù)列，且公差\(d=b_2-b_1=27-9=18\)，則\(b_3=b_2+d=27+18=45\)，即\(a_7+a_8+a_9=45\)。第8題-題目：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_2=3\)，\(a_3+a_4=12\)，求\(a_5+a_6\)。-解析：設(shè)\(b_1=a_1+a_2=3\)，\(b_2=a_3+a_4=12\)，\(b_3=a_5+a_6\)。因?yàn)閈(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，所以\(\{b_n\}\)也成等比數(shù)列，公比\(q'=\frac{b_2}{b_1}=\frac{12}{3}=4\)，則\(b_3=b_2×q'=12×4=48\)，即\(a_5+a_6=48\)。第9題-題目：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(S_9=45\)，求\(a_5\)。-解析：根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)，可得\(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}\)。又因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中\(zhòng)(a_1+a_9=2a_5\)，所以\(S_9=\frac{9×2a_5}{2}=9a_5\)，已知\(S_9=45\)，則\(9a_5=45\)，解得\(a_5=5\)。第10題-題目：在等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_5=16\)，求\(a_3\)。-解析：根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)：\(a_3^2=a_1a_5\)，可得\(a_3^2=1×16=16\)，解得\(a_3=±4\)。又因?yàn)榈缺葦?shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號相同，\(a_1=1\gt0\)，所以\(a_3=4\)。第11題-題目：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=3a_n\)，\(a_1=2\)，求\(a_n\)的通項(xiàng)公式。-解析：由\(a_{n+1}=3a_n\)可知\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=3\)，所以數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是以\(a_1=2\)為首項(xiàng)，\(q=3\)為公比的等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，可得\(a_n=2×3^{n-1}\)。第12題-題目：等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_5=10\)，\(a_{12}=31\)，求通項(xiàng)公式\(a_n\)。-解析：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項(xiàng)為\(a_1\)，公差為\(d\)。則\(\begin{cases}a_1+4d=10\\a_1+11d=31\end{cases}\)，用第二個方程減去第一個方程消去\(a_1\)可得：\(7d=21\)，解得\(d=3\)。將\(d=3\)代入\(a_1+4d=10\)，可得\(a_1=10-4×3=-2\)。所以通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5\)。第13題-題目：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=4\)，\(a_6=32\)，求\(a_n\)。-解析：設(shè)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項(xiàng)為\(a_1\)，公比為\(q\)。根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得\(\begin{cases}a_1q^2=4\\a_1q^5=32\end{cases}\)，用第二個方程除以第一個方程可得：\(q^3=8\)，解得\(q=2\)。將\(q=2\)代入\(a_1q^2=4\)，可得\(a_1=1\)。所以\(a_n=a_1q^{n-1}=2^{n-1}\)。第14題-題目：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=2n^2+n\)，求\(a_n\)。-解析：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=S_1=2×1^2+1=3\)。當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+n-[2(n-1)^2+(n-1)]=2n^2+n-(2n^2-4n+2+n-1)=4n-1\)。當(dāng)\(n=1\)時，\(4×1-1=3=a_1\)，所以\(a_n=4n-1\)。第15題-題目：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(S_3=7\)，\(S_6=63\)，求\(q\)和\(a_1\)。-解析：當(dāng)\(q=1\)時，\(S_n=na_1\)，則\(S_3=3a_1\)，\(S_6=6a_1\)，\(\frac{S_6}{S_3}=2\)，而\(\frac{63}{7}=9\neq2\)，所以\(q≠1\)。根據(jù)等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，可得\(\begin{cases}\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=7\\\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=63\end{cases}\)，用第二個方程除以第一個方程可得：\(\frac{1-q^6}{1-q^3}=9\)，即\(1+q^3=9\)，解得\(q=2\)。將\(q=2\)代入\(\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=7\)，可得\(\frac{a_1(1-2^3)}{1-2}=7\)，解得\(a_1=1\)。第16題-題目：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=3^n-1\)，判斷\(\{a_n\}\)是否為等比數(shù)列。-解析：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=S_1=3^1-1=2\)。當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}\)。當(dāng)\(n=1\)時，\(2×3^{1-1}=2=a_1\)，所以\(a_n=2×3^{n-1}\)（\(n\inN^+\)）。\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2×3^n}{2×3^{n-1}}=3\)（常數(shù)），所以\(\{a_n\}\)是以\(2\)為首項(xiàng)，\(3\)為公比的等比數(shù)列。第17題-題目：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=-2\)，\(d=3\)，求\(S_{20}\)。-解析：根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，將\(a_1=-2\)，\(d=3\)，\(n=20\)代入可得：\(S_{20}=20×(-2)+\frac{20×19}{2}×3=-40+570=530\)。第18題-題目：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=\frac{1}{2}\)，\(q=2\)，求\(S_5\)。-解析：根據(jù)等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q≠1\)），將\(a_1=\frac{1}{2}\)，\(q=2\)，\(n=5\)代入可得：\(S_5=\frac{