陜西省八年級數(shù)學(xué)上冊第5章解析_掌握二元一次方程組，輕松駕馭一次函數(shù)問題一、引言在陜西省八年級數(shù)學(xué)上冊的知識體系中，第5章所涉及的二元一次方程組與一次函數(shù)內(nèi)容占據(jù)著至關(guān)重要的地位。這部分知識不僅是初中數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的核心內(nèi)容之一，更是后續(xù)深入學(xué)習(xí)函數(shù)、方程等知識的重要基礎(chǔ)。二元一次方程組和一次函數(shù)看似是兩個不同的概念，但實際上它們之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系。理解并掌握好這部分內(nèi)容，不僅能幫助學(xué)生在當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中取得優(yōu)異的成績，更能培養(yǎng)他們的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。二、二元一次方程組的核心要點（一）二元一次方程組的定義與形式二元一次方程組是由兩個含有兩個未知數(shù)（通常用\(x\)和\(y\)表示）的一次方程組成的方程組。其一般形式為\(\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)，其中\(zhòng)(a_1\)、\(a_2\)、\(b_1\)、\(b_2\)不同時為\(0\)，\(c_1\)、\(c_2\)為常數(shù)。例如\(\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=1\end{cases}\)就是一個典型的二元一次方程組。這種形式的方程組在實際問題中有著廣泛的應(yīng)用，通過設(shè)定未知數(shù)，可以將許多實際問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組來求解。（二）二元一次方程組的解法1.代入消元法代入消元法的核心思想是通過將一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，然后代入另一個方程，從而消去一個未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。例如，對于方程組\(\begin{cases}x-y=1\\2x+3y=8\end{cases}\)，我們可以由第一個方程\(x-y=1\)得到\(x=y+1\)，然后將\(x=y+1\)代入第二個方程\(2x+3y=8\)中，得到\(2(y+1)+3y=8\)。接著展開括號得\(2y+2+3y=8\)，合并同類項得\(5y+2=8\)，移項得\(5y=6\)，解得\(y=\frac{6}{5}\)。再將\(y=\frac{6}{5}\)代入\(x=y+1\)，可得\(x=\frac{6}{5}+1=\frac{11}{5}\)。2.加減消元法加減消元法是通過將方程組中的兩個方程相加或相減，消去一個未知數(shù)，從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。例如，對于方程組\(\begin{cases}2x+3y=8\\3x-3y=3\end{cases}\)，我們可以將兩個方程相加，即\((2x+3y)+(3x-3y)=8+3\)，化簡得\(5x=11\)，解得\(x=\frac{11}{5}\)。然后將\(x=\frac{11}{5}\)代入第一個方程\(2x+3y=8\)，可得\(2\times\frac{11}{5}+3y=8\)，進(jìn)一步求解可得\(y\)的值。（三）二元一次方程組在實際問題中的應(yīng)用二元一次方程組在實際生活中有很多應(yīng)用，如行程問題、工程問題、利潤問題等。以行程問題為例，甲、乙兩人相距\(36\)千米，相向而行，如果甲比乙先走\(2\)小時，那么他們在乙出發(fā)\(2.5\)小時后相遇；如果乙比甲先走\(2\)小時，那么他們在甲出發(fā)\(3\)小時后相遇。設(shè)甲、乙兩人每小時分別走\(x\)千米和\(y\)千米。根據(jù)路程=速度×?xí)r間，可得到方程組\(\begin{cases}(2+2.5)x+2.5y=36\\3x+(2+3)y=36\end{cases}\)，然后通過前面所學(xué)的解法求解出\(x\)和\(y\)的值，從而得到甲、乙兩人的速度。三、一次函數(shù)的關(guān)鍵內(nèi)容（一）一次函數(shù)的定義與表達(dá)式一次函數(shù)的一般形式為\(y=kx+b\)（\(k\)，\(b\)為常數(shù)，\(k≠0\)），當(dāng)\(b=0\)時，一次函數(shù)\(y=kx\)（\(k≠0\)）也叫做正比例函數(shù)。例如\(y=2x+1\)是一次函數(shù)，\(y=3x\)是正比例函數(shù)。一次函數(shù)的圖像是一條直線，其中\(zhòng)(k\)決定了直線的傾斜程度，當(dāng)\(k>0\)時，直線從左到右上升，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(k<0\)時，直線從左到右下降，函數(shù)單調(diào)遞減。\(b\)是直線與\(y\)軸的交點縱坐標(biāo)，即直線與\(y\)軸交于點\((0,b)\)。（二）一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.圖像的繪制繪制一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像通常采用兩點法。一般選取直線與\(x\)軸和\(y\)軸的交點。對于\(y=kx+b\)，令\(y=0\)，可得\(x=-\frac{k}\)，得到與\(x\)軸的交點\((-\frac{k},0)\)；令\(x=0\)，可得\(y=b\)，得到與\(y\)軸的交點\((0,b)\)。然后在平面直角坐標(biāo)系中描出這兩個點，再用直線連接起來即可。例如，對于一次函數(shù)\(y=2x-4\)，令\(y=0\)，則\(2x-4=0\)，解得\(x=2\)，與\(x\)軸交點為\((2,0)\)；令\(x=0\)，則\(y=-4\)，與\(y\)軸交點為\((0,-4)\)。2.性質(zhì)的應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)在解決實際問題中有著重要的應(yīng)用。例如，某電信公司推出兩種手機(jī)收費方式：A種方式是月租\(20\)元，B種方式是月租\(0\)元。一個月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時間\(t\)（分鐘）與電話費\(S\)（元）的函數(shù)關(guān)系如圖所示（這里假設(shè)可以根據(jù)收費標(biāo)準(zhǔn)列出函數(shù)表達(dá)式）。A種方式的函數(shù)表達(dá)式為\(S_A=0.1t+20\)，B種方式的函數(shù)表達(dá)式為\(S_B=0.2t\)。通過比較兩個函數(shù)的大小，我們可以知道當(dāng)通話時間為多少時，選擇哪種收費方式更合算。當(dāng)\(S_A=S_B\)時，\(0.1t+20=0.2t\)，解得\(t=200\)。當(dāng)\(t<200\)時，\(S_A>S_B\)，選擇B種方式合算；當(dāng)\(t>200\)時，\(S_A<S_B\)，選擇A種方式合算。四、二元一次方程組與一次函數(shù)的緊密聯(lián)系（一）從代數(shù)角度看聯(lián)系二元一次方程組\(\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)的解與兩個一次函數(shù)\(y=-\frac{a_1}{b_1}x+\frac{c_1}{b_1}\)和\(y=-\frac{a_2}{b_2}x+\frac{c_2}{b_2}\)（\(b_1≠0\)，\(b_2≠0\)）的交點坐標(biāo)是一致的。例如，對于方程組\(\begin{cases}x+y=3\\x-y=1\end{cases}\)，可變形為一次函數(shù)\(y=-x+3\)和\(y=x-1\)。求解方程組\(\begin{cases}x+y=3\\x-y=1\end{cases}\)，用加減消元法，兩式相加得\(2x=4\)，解得\(x=2\)，代入\(x+y=3\)得\(y=1\)。而一次函數(shù)\(y=-x+3\)和\(y=x-1\)的交點坐標(biāo)就是通過聯(lián)立兩個函數(shù)表達(dá)式求解得到的，其交點坐標(biāo)也是\((2,1)\)。（二）從幾何角度看聯(lián)系在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次方程組的解就是兩個一次函數(shù)圖像的交點坐標(biāo)。一次函數(shù)\(y=k_1x+b_1\)和\(y=k_2x+b_2\)的圖像的位置關(guān)系與方程組\(\begin{cases}y=k_1x+b_1\\y=k_2x+b_2\end{cases}\)的解的情況相對應(yīng)。當(dāng)\(k_1≠k_2\)時，兩條直線相交，方程組有唯一解；當(dāng)\(k_1=k_2\)且\(b_1≠b_2\)時，兩條直線平行，方程組無解；當(dāng)\(k_1=k_2\)且\(b_1=b_2\)時，兩條直線重合，方程組有無數(shù)個解。五、如何利用二元一次方程組解決一次函數(shù)問題（一）求一次函數(shù)的表達(dá)式已知一次函數(shù)圖像上的兩個點的坐標(biāo)，我們可以設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為\(y=kx+b\)，然后將這兩個點的坐標(biāo)代入表達(dá)式中，得到一個二元一次方程組，通過解方程組求出\(k\)和\(b\)的值，從而確定一次函數(shù)的表達(dá)式。例如，已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像經(jīng)過點\((1,3)\)和\((2,5)\)，將這兩個點的坐標(biāo)代入\(y=kx+b\)中，得到方程組\(\begin{cases}k+b=3\\2k+b=5\end{cases}\)。用第二個方程減去第一個方程消去\(b\)，可得\((2k+b)-(k+b)=5-3\)，即\(k=2\)。將\(k=2\)代入\(k+b=3\)，可得\(2+b=3\)，解得\(b=1\)。所以一次函數(shù)的表達(dá)式為\(y=2x+1\)。（二）解決一次函數(shù)中的交點問題在一次函數(shù)中，求兩條直線的交點坐標(biāo)，我們可以將兩條直線對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立成一個二元一次方程組，然后解這個方程組，得到的解就是兩條直線的交點坐標(biāo)。例如，求直線\(y=3x-2\)和直線\(y=-x+6\)的交點坐標(biāo)，聯(lián)立方程組\(\begin{cases}y=3x-2\\y=-x+6\end{cases}\)。將兩個方程相等得\(3x-2=-x+6\)，移項得\(3x+x=6+2\)，合并同類項得\(4x=8\)，解得\(x=2\)。將\(x=2\)代入\(y=-x+6\)，可得\(y=-2+6=4\)。所以兩條直線的交點坐標(biāo)為\((2,4)\)。（三）解決一次函數(shù)中的最值問題在一些實際問題中，我們可以通過建立一次函數(shù)模型，然后結(jié)合二元一次方程組來解決最值問題。例如，某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)A產(chǎn)品每件需\(3\)個工時，生產(chǎn)B產(chǎn)品每件需\(2\)個工時；A產(chǎn)品每件利潤為\(50\)元，B產(chǎn)品每件利潤為\(40\)元。工廠有\(zhòng)(300\)個工時，設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品\(x\)件，生產(chǎn)B產(chǎn)品\(y\)件，總利潤為\(W\)元，則\(W=50x+40y\)，且\(3x+2y=300\)，變形得\(y=150-\frac{3}{2}x\)。將\(y=150-\frac{3}{2}x\)代入\(W=50x+40y\)中，得到\(W=50x+40(150-\frac{3}{2}x)=50x+6000-60x=-10x+6000\)。因為\(x\)，\(y\)均為非負(fù)整數(shù)，由\(y=150-\frac{3}{2}x\geqslant0\)，得\(x\leqslant100\)。又因為\(W=-10x+6000\)中\(zhòng)(k=-10<0\)，\(W\)隨\(x\)的增大而減小，所以當(dāng)\(x=0\)時，\(W\)有最大值\(6000\)，此時\(y=150\)。六、學(xué)習(xí)建議與總結(jié)（一）學(xué)習(xí)建議1.理解概念：對于二元一次方程組和一次函數(shù)的定義、性質(zhì)等基本概念要深入理解，只有理解了概念，才能更好地運用它們解決問題。2.多做練習(xí)：通過做大量的練習(xí)題，熟練掌握二元一次方程組的解法和一次函數(shù)的圖像繪制、性質(zhì)應(yīng)用等，同時加深對兩者之間聯(lián)系的理解。3.總結(jié)歸納：學(xué)習(xí)過程中要善于總結(jié)歸納，將所學(xué)的知識系統(tǒng)化，形成知識網(wǎng)