平面向量與坐標(biāo)運算的精髓_高考數(shù)學(xué)第35講要點解析與技巧探討一、引言在高考數(shù)學(xué)的知識體系中，平面向量與坐標(biāo)運算是一塊重要的內(nèi)容。它不僅是連接代數(shù)與幾何的橋梁，也是解決許多數(shù)學(xué)問題和實際問題的有力工具。在高考中，平面向量與坐標(biāo)運算相關(guān)的題目頻繁出現(xiàn)，題型涵蓋選擇、填空和解答題等多種形式，分值占比可觀。深入理解平面向量與坐標(biāo)運算的精髓，掌握其要點和解題技巧，對于考生在高考中取得優(yōu)異成績至關(guān)重要。本文將圍繞高考數(shù)學(xué)第35講的內(nèi)容，對平面向量與坐標(biāo)運算進(jìn)行全面而深入的解析，并探討相關(guān)的解題技巧。二、平面向量的基本概念回顧（一）向量的定義向量是既有大小又有方向的量。我們可以用有向線段來直觀地表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。例如，在物理學(xué)中，力、速度等都是向量的實際例子。（二）向量的模向量的模是指向量的大小，記作\(\vert\vec{a}\vert\)。對于平面向量\(\vec{a}=(x,y)\)，其模的計算公式為\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。比如，向量\(\vec{a}=(3,4)\)，則\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)。（三）零向量和單位向量零向量是模為\(0\)的向量，記作\(\vec{0}\)，其方向是任意的。單位向量是模為\(1\)的向量。對于任意非零向量\(\vec{a}\)，與它同向的單位向量為\(\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)。例如，已知向量\(\vec{a}=(2,0)\)，\(\vert\vec{a}\vert=2\)，則與\(\vec{a}\)同向的單位向量為\((1,0)\)。（四）平行向量和相等向量平行向量也叫共線向量，是指方向相同或相反的非零向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。相等向量是指長度相等且方向相同的向量。三、平面向量的坐標(biāo)表示及其運算（一）平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與\(x\)軸、\(y\)軸方向相同的兩個單位向量\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)作為基底。對于平面內(nèi)的任一向量\(\vec{a}\)，有且只有一對實數(shù)\(x\)，\(y\)，使得\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)，我們把有序數(shù)對\((x,y)\)叫做向量\(\vec{a}\)的坐標(biāo)，記作\(\vec{a}=(x,y)\)。（二）向量的坐標(biāo)運算1.加法運算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。例如，\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，那么\(\vec{a}+\vec=(1+3,2+4)=(4,6)\)。從幾何意義上看，向量加法滿足平行四邊形法則或三角形法則。2.減法運算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。例如，\(\vec{a}=(5,3)\)，\(\vec=(2,1)\)，則\(\vec{a}-\vec=(5-2,3-1)=(3,2)\)。3.數(shù)乘運算若\(\vec{a}=(x,y)\)，\(\lambda\)是實數(shù)，則\(\lambda\vec{a}=(\lambdax,\lambday)\)。當(dāng)\(\lambda>0\)時，\(\lambda\vec{a}\)與\(\vec{a}\)方向相同；當(dāng)\(\lambda<0\)時，\(\lambda\vec{a}\)與\(\vec{a}\)方向相反；當(dāng)\(\lambda=0\)時，\(\lambda\vec{a}=\vec{0}\)。例如，若\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\lambda=3\)，則\(3\vec{a}=(6,-3)\)。4.向量的數(shù)量積運算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2\)。向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量。例如，\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,-1)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec=1\times3+2\times(-1)=3-2=1\)。（三）向量坐標(biāo)運算的重要性質(zhì)1.向量平行的坐標(biāo)表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，且\(\vec\neq\vec{0}\)，則\(\vec{a}\parallel\vec\)的充要條件是\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。例如，已知\(\vec{a}=(2,m)\)，\(\vec=(4,-2)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(2\times(-2)-4m=0\)，解得\(m=-1\)。2.向量垂直的坐標(biāo)表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2)\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)的充要條件是\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，即\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。例如，若\(\vec{a}=(3,4)\)，\(\vec=(-4,k)\)，且\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(3\times(-4)+4k=0\)，解得\(k=3\)。四、平面向量與坐標(biāo)運算在高考中的常見題型及解題技巧（一）向量的線性運算問題這類題目主要考查向量的加法、減法和數(shù)乘運算。解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量坐標(biāo)運算的法則。例1：已知\(\vec{a}=(-1,2)\)，\(\vec=(1,-1)\)，\(\vec{c}=(3,-2)\)，且\(\vec{c}=p\vec{a}+q\vec\)，求\(p\)，\(q\)的值。解析：因為\(\vec{c}=p\vec{a}+q\vec\)，\(\vec{a}=(-1,2)\)，\(\vec=(1,-1)\)，所以\(\vec{c}=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q)\)。又因為\(\vec{c}=(3,-2)\)，則可得方程組\(\begin{cases}-p+q=3\\2p-q=-2\end{cases}\)，將兩式相加消去\(q\)可得\(p=1\)，把\(p=1\)代入\(-p+q=3\)得\(q=4\)。（二）向量的數(shù)量積問題向量的數(shù)量積問題常常與向量的模、夾角等知識結(jié)合考查。解題時要靈活運用數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運算公式。例2：已知向量\(\vec{a}=(1,\sqrt{3})\)，\(\vec=(\sqrt{3},1)\)，求\(\vec{a}\)與\(\vec\)的夾角\(\theta\)。解析：首先計算\(\vec{a}\cdot\vec=1\times\sqrt{3}+\sqrt{3}\times1=2\sqrt{3}\)，\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2\)，\(\vert\vec\vert=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=2\)。根據(jù)向量的夾角公式\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec\vert}\)，可得\(\cos\theta=\frac{2\sqrt{3}}{2\times2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。因為\(0\leqslant\theta\leqslant\pi\)，所以\(\theta=\frac{\pi}{6}\)。（三）向量與幾何圖形的結(jié)合問題這類題目需要將幾何圖形中的線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，再利用向量的坐標(biāo)運算求解。例3：在平行四邊形\(ABCD\)中，\(A(0,0)\)，\(B(4,-3)\)，\(C(5,2)\)，求點\(D\)的坐標(biāo)。解析：設(shè)\(D(x,y)\)，因為四邊形\(ABCD\)是平行四邊形，所以\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)。\(\overrightarrow{AB}=(4,-3)-(0,0)=(4,-3)\)，\(\overrightarrow{DC}=(5,2)-(x,y)=(5-x,2-y)\)。則可得\(\begin{cases}5-x=4\\2-y=-3\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}\)，所以點\(D\)的坐標(biāo)為\((1,5)\)。（四）向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用問題向量與三角函數(shù)的結(jié)合是高考的熱點之一。通常利用向量的數(shù)量積公式得到三角函數(shù)的表達(dá)式，再進(jìn)行化簡和求解。例4：已知向量\(\vec{m}=(\sinA,\cosA)\)，\(\vec{n}=(\sqrt{3},-1)\)，\(\vec{m}\cdot\vec{n}=1\)，且\(A\)為銳角，求角\(A\)的大小。解析：因為\(\vec{m}\cdot\vec{n}=\sqrt{3}\sinA-\cosA=1\)，根據(jù)輔助角公式\(a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\alpha+\varphi)\)（其中\(zhòng)(\tan\varphi=\frac{a}\)），則\(\sqrt{3}\sinA-\cosA=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sinA-\frac{1}{2}\cosA)=2\sin(A-\frac{\pi}{6})=1\)，即\(\sin(A-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\)。因為\(A\)為銳角，所以\(A-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\)，解得\(A=\frac{\pi}{3}\)。五、總結(jié)平面向量與坐標(biāo)運算作為高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其精髓在于通過坐標(biāo)的方式將向量的幾何性質(zhì)與代數(shù)運算緊密結(jié)合起來。在復(fù)習(xí)備考過程中，考生要深入理解向量的基本概念和坐標(biāo)