平面向量與坐標(biāo)運(yùn)算高考數(shù)學(xué)核心攻略_輕松掌握技巧，決勝數(shù)學(xué)戰(zhàn)場(chǎng)引言在高考數(shù)學(xué)的廣袤戰(zhàn)場(chǎng)上，平面向量與坐標(biāo)運(yùn)算猶如一顆璀璨卻又頗具挑戰(zhàn)的明珠。它不僅是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的重要組成部分，更是連接代數(shù)與幾何的橋梁。這部分內(nèi)容在高考中占據(jù)著不容忽視的地位，常常以選擇題、填空題的形式直接考查，也會(huì)融入解答題中，與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，綜合考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解題能力。因此，掌握平面向量與坐標(biāo)運(yùn)算的核心技巧，對(duì)于決勝高考數(shù)學(xué)戰(zhàn)場(chǎng)至關(guān)重要。平面向量與坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)知識(shí)梳理平面向量的基本概念平面向量是既有大小又有方向的量。向量的大小稱為向量的模，記作$|\vec{a}|$。零向量是模為$0$的向量，記作$\vec{0}$，其方向是任意的。單位向量是模等于$1$的向量。相等向量是大小相等且方向相同的向量，相反向量是大小相等但方向相反的向量。向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算包括加法、減法和數(shù)乘。向量加法滿足三角形法則和平行四邊形法則。三角形法則是將兩個(gè)向量首尾相連，和向量是從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)；平行四邊形法則是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合，以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，和向量是從公共起點(diǎn)指向平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)。向量減法是加法的逆運(yùn)算，$\vec{a}-\vec=\vec{a}+(-\vec)$。數(shù)乘向量是指實(shí)數(shù)$\lambda$與向量$\vec{a}$的乘積，記作$\lambda\vec{a}$，其模為$|\lambda\vec{a}|=|\lambda|\cdot|\vec{a}|$，當(dāng)$\lambda\gt0$時(shí)，$\lambda\vec{a}$與$\vec{a}$方向相同；當(dāng)$\lambda\lt0$時(shí)，$\lambda\vec{a}$與$\vec{a}$方向相反；當(dāng)$\lambda=0$時(shí)，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$。平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與$x$軸、$y$軸方向相同的兩個(gè)單位向量$\vec{i}$，$\vec{j}$作為基底。對(duì)于平面內(nèi)的任意向量$\vec{a}$，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)$x$，$y$，使得$\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$，我們把有序數(shù)對(duì)$(x,y)$叫做向量$\vec{a}$的坐標(biāo)，記作$\vec{a}=(x,y)$。向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量的線性運(yùn)算相對(duì)應(yīng)。若$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$，則$\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2)$，$\vec{a}-\vec=(x_1-x_2,y_1-y_2)$，$\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)$。向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$\theta$，則$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}|\cdot|\vec|\cos\theta$。其坐標(biāo)表示為：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$，則$\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2$。向量的數(shù)量積滿足交換律、分配律等運(yùn)算律。高考中平面向量與坐標(biāo)運(yùn)算的常見題型及解題技巧向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合題型這類題型通常會(huì)給出向量的坐標(biāo)或相關(guān)條件，要求進(jìn)行向量的線性運(yùn)算并求出結(jié)果。解題的關(guān)鍵在于熟練掌握向量坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)則。例1：已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(-1,2)$，求$2\vec{a}-\vec$的坐標(biāo)。解析：根據(jù)向量數(shù)乘和減法的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則，$2\vec{a}=2(2,3)=(4,6)$，則$2\vec{a}-\vec=(4,6)-(-1,2)=(4-(-1),6-2)=(5,4)$。向量的共線與垂直問(wèn)題向量共線的充要條件是：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$，則$\vec{a}\parallel\vec$的充要條件是$x_1y_2-x_2y_1=0$。向量垂直的充要條件是：$\vec{a}\perp\vec$的充要條件是$\vec{a}\cdot\vec=0$，即$x_1x_2+y_1y_2=0$。例2：已知向量$\vec{a}=(m,2)$，$\vec=(3,-1)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，求$m$的值。解析：由向量共線的充要條件可得$m\times(-1)-3\times2=0$，即$-m-6=0$，解得$m=-6$。向量的模與夾角問(wèn)題向量的模$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$（其中$\vec{a}=(x,y)$）。向量的夾角公式為$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}|\cdot|\vec|}$。例3：已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,-2)$，求$\vec{a}$與$\vec$的夾角$\theta$。解析：首先計(jì)算$\vec{a}\cdot\vec=1\times2+2\times(-2)=2-4=-2$，$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$|\vec|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。則$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}|\cdot|\vec|}=\frac{-2}{\sqrt{5}\times2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$。因?yàn)?0\leq\theta\leq\pi$，所以$\theta=\arccos(-\frac{\sqrt{10}}{10})$。向量與三角函數(shù)、解析幾何的綜合問(wèn)題這類問(wèn)題是高考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，需要綜合運(yùn)用向量知識(shí)和其他相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解。例4：在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對(duì)的邊分別為$a$，$b$，$c$，已知向量$\vec{m}=(\sinA,\sinB)$，$\vec{n}=(\cosB,\cosA)$，且$\vec{m}\cdot\vec{n}=\sin2C$。（1）求角$C$的大??；（2）若$\sinA$，$\sinC$，$\sinB$成等差數(shù)列，且$\overrightarrow{CA}\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=18$，求$c$的值。解析：（1）因?yàn)?\vec{m}\cdot\vec{n}=\sinA\cosB+\sinB\cosA=\sin(A+B)$，在$\triangleABC$中，$A+B+C=\pi$，所以$A+B=\pi-C$，則$\sin(A+B)=\sin(\pi-C)=\sinC$。又因?yàn)?\vec{m}\cdot\vec{n}=\sin2C$，所以$\sinC=\sin2C=2\sinC\cosC$。因?yàn)?0\ltC\lt\pi$，所以$\sinC\neq0$，則$2\cosC=1$，解得$\cosC=\frac{1}{2}$，所以$C=\frac{\pi}{3}$。（2）因?yàn)?\sinA$，$\sinC$，$\sinB$成等差數(shù)列，所以$2\sinC=\sinA+\sinB$。由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$（$R$為$\triangleABC$外接圓半徑），可得$2c=a+b$。又因?yàn)?\overrightarrow{CA}\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=ab\cosC=18$，且$\cosC=\frac{1}{2}$，所以$ab=36$。由余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC=(a+b)^2-3ab$，將$2c=a+b$和$ab=36$代入可得$c^2=(2c)^2-3\times36$，即$3c^2=108$，解得$c=6$。學(xué)習(xí)平面向量與坐標(biāo)運(yùn)算的方法和策略理解概念，夯實(shí)基礎(chǔ)平面向量的概念和基本運(yùn)算規(guī)則是解題的基礎(chǔ)，要深入理解向量的各種概念，如向量的大小、方向、相等、共線、垂直等，熟練掌握向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)則。通過(guò)做一些基礎(chǔ)練習(xí)題，加深對(duì)概念和運(yùn)算規(guī)則的理解和記憶。總結(jié)題型，歸納方法對(duì)高考中常見的平面向量與坐標(biāo)運(yùn)算題型進(jìn)行總結(jié)，歸納出每種題型的解題方法和技巧。例如，對(duì)于向量共線問(wèn)題，就使用共線的充要條件來(lái)求解；對(duì)于向量垂直問(wèn)題，使用垂直的充要條件來(lái)求解。通過(guò)總結(jié)歸納，形成自己的解題思路和方法體系。多做練習(xí)，提高能力數(shù)學(xué)是一門需要通過(guò)大量練習(xí)來(lái)提高能力的學(xué)科。選擇一些有針對(duì)性的練習(xí)題，包括歷年高考真題和模擬題，進(jìn)行系統(tǒng)的訓(xùn)練。在練習(xí)過(guò)程中，要注重解題思路的分析和方法的總結(jié)，提高解題的速度和準(zhǔn)確性。同時(shí)，要注意解題的規(guī)范性，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。注重知識(shí)的綜合運(yùn)用平面向量與坐標(biāo)運(yùn)算常常與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要注重知識(shí)的綜合運(yùn)用。學(xué)會(huì)將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題或幾何問(wèn)題，利用其他知識(shí)來(lái)解決向量問(wèn)題。例如，在解決向量與三角函數(shù)的綜合問(wèn)題時(shí)，要善于利用三角函數(shù)的性質(zhì)和公式來(lái)求解。建立錯(cuò)題本，查漏補(bǔ)缺建立錯(cuò)題本，將自己做錯(cuò)的題目整理到錯(cuò)題本上，分析錯(cuò)誤的原因，總結(jié)解題的方法和技巧。定期復(fù)習(xí)錯(cuò)題本