專題04直線方程全題型培優(yōu)歸類函數(shù)型傾斜角最值函數(shù)型傾斜角最值數(shù)形結(jié)合1:斜率的幾何意義應(yīng)用+含參直線與定點(diǎn)④含參雙直線交點(diǎn)型三角函數(shù)型旋轉(zhuǎn)直線數(shù)形結(jié)合2:根號(hào)與距離數(shù)形結(jié)合4:光學(xué)與對(duì)稱性質(zhì)數(shù)形結(jié)合3:絕對(duì)值與最值二元方程直線系理論截距式與最值型題型1函數(shù)型傾斜角最值②當(dāng)時(shí)，斜率不存在，但直線存在；③當(dāng)1.(23-24高三河北階段練習(xí))曲線與過(guò)原點(diǎn)的直線1沒(méi)有交點(diǎn)，則1的傾斜角α的取值范圍是A.【答案】【答案】A【分析】作出曲線的圖形，得出各射線所在直線的傾斜角，觀察直線1在繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線1與曲線·沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，直線l的傾斜角α的變化，由此得出α的取值范圍.當(dāng)x≤0,y≥0當(dāng)x≤0,y≤0當(dāng)x≥0,y≤0得得得得時(shí)，由時(shí)，由的圖象如下圖所示：該射線所在直線的傾斜角為則直線l的傾斜角α的取值范圍是故選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵就是作思想進(jìn)行求解，屬于中等題.滿足則直線AB斜率的取值范圍是()【分析】將原條件等價(jià)轉(zhuǎn)換為過(guò)點(diǎn)P(0,-1)的直線與半圓弧有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可判斷直線與圓的位置關(guān)系即可得.【詳解】由y=√-(x-2)2+1得(x-2)2+y2=1(y≥0),所以曲線為以(2,0)為圓心，1為半徑的上半圓弧.不同的兩點(diǎn)A(x,y),B(x?,y?)滿足則過(guò)點(diǎn)P(0,-1)的直線與半圓弧有兩個(gè)不同的交點(diǎn).如圖，當(dāng)直線AB位于直線PE的位置時(shí)，E(1,0),直線PE的斜率是TP點(diǎn)，使得∠AOB=45,則a的取值范圍為()A.B.[2e,+∞]C.D.[3e,+oo]所以,取kon=2,,解得AD平行于x軸，則點(diǎn)D到直線AB和直線AC的距離相等，即d?=d?.題型2數(shù)形結(jié)合1:斜率的幾何意義應(yīng)用若P(x?,y1),P?(x?,y2)在直線l上，且x?≠x?,則I的斜率則可以構(gòu)造兩點(diǎn)(x?,f(x?)),(x?,g(x?))切線均經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則()型兩點(diǎn)連線斜率，通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解A.即可判斷AB;畫出函數(shù)y=tanx與y=x圖象，由kaD<kec可得化簡(jiǎn)計(jì)算即可判斷CD.【詳解】由題意知，f'(x)=cosx,則f'(x)=cosx,f'(x?)=cosx?,f'(x)=cosx?,所以曲線f(x)在點(diǎn)(x,sinx),(xz?,sinx?),(x,sinx?)處的切線方程分別為y-sinx?=cosx(x-x),y-sinx?=cosx?(x-x?),y-sinx?=cosx?(即x?=tanx,x?=tanx?,x?=tanx?,得,故AB錯(cuò)誤；由,得tanx;=x(i=1,2,3),畫出函數(shù)y=tanx與y=x圖象，如圖，又x?-π-x?>0,x?-x?-π>0,所以(x?-x)(x?-π-x?)<(x?-x?)(x?-即xπ+x;π<2πx?,解得x?+x?<2x?,故C正確，D錯(cuò)誤.和數(shù)形結(jié)合思想分析是解題的關(guān)鍵.∠APB的最大值為()【分析】先討論x=1和x=3兩種情況，解出∠APB;進(jìn)而討論x≠1且x≠3時(shí)，利用直線的到角公式結(jié)合基本不等式即可求得.【詳解】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)P(x,y)(y>0),若x≠1且x≠3,此時(shí)y≠2且y≠2√3,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,綜上：∠APB的最大值為故選：B.的處理，上下同除以的處理，上下同除以y(一次);其次在用基本不等式時(shí)，這一步的拆分，三個(gè)式子一定要相同,否則不能取得“=”.3(25-26高二上全國(guó)·課后作業(yè))函數(shù)的最大值為,最小值為 【分析】方法一，利用輔助角公式：asinx+bcosx=√a2+b2sin(x+φ)(4為輔助角);方法二，利用幾何意義求解. 顯然直線的斜率存在，令直線方程為v-1=k(u-2),故函數(shù)的最大值為最小值為0.即ku-v-2k+1=0,4.(2023全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x-1)2+(y-2)2=2,的最小值.的取值范圍，進(jìn)而可求則直線kx-y+(k-2)=0與圓(x-1)2+(y+2)2=2有公共點(diǎn)，整理得k2-8k+7≤0,故的最小值為1,所以的最小值為故答案為：值，是求解本題的關(guān)鍵.即將所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小題型3含參直線與定點(diǎn)直線系：(1)含有1個(gè)未知參數(shù)，(2)含有2個(gè)未知參數(shù)(3)含有3個(gè)未知參數(shù)已知A+B+C=0,則直線Ax+By+C=0必過(guò)定集合記為A(k,b),則下列結(jié)論正確的是()①C關(guān)于y軸對(duì)稱；②A(k,-1)={1,2};③A(k,-2k)={1,2};④“A(k,2)={3}”的充要條件是“√3<1kk√5”【分析】分y≥0和y<0兩種情況討論，可以得到曲線C的圖象，根據(jù)點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)是(-x,y)判斷曲線C的對(duì)稱性，得到①,利用雙曲線的漸近線判斷②,結(jié)合與圓相切和雙曲線的漸近線，判斷③,當(dāng)b=2時(shí)，直線y=kx+2恒過(guò)定點(diǎn)(0,2),根據(jù)直線和圓相切，直線和雙曲線相切，數(shù)形結(jié)合判斷④.【詳解】當(dāng)y≥0時(shí)，x2+y2=1,是以(0,0)為圓心，以1為半徑的上半圓；y個(gè)設(shè)點(diǎn)(x,y)在曲線C上，則x2+y||=1,點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)是(-x,y),因?yàn)?-x)2+y|y|=x2+y|y|=1,所以曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，①正確；當(dāng)b=-1時(shí)，直線y=kx-1恒過(guò)定點(diǎn)(0,-1),因?yàn)殡p曲線的漸近線是y=±x,y個(gè)O交O當(dāng)b=-2k時(shí)，直線y=kx-2k=k(x-2),恒過(guò)定點(diǎn)(當(dāng)直線y=kx-2k與x2+y2=1(y≥0)相切時(shí)，由得舍去),結(jié)合雙曲線的漸近線是y=±x,當(dāng)時(shí)，直線與曲線C有2個(gè)交點(diǎn)，如l?,l?,I?九②交當(dāng)b=2時(shí)，直線y=kx+2恒過(guò)定點(diǎn)(0,2),聯(lián)立得(1-k2)x2-4kx-5=0,2ox(m+1)x+y-(m+2)=0恒過(guò)定點(diǎn)P,若以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P,則CD)最小值，即可求出答案.【詳解】依題意，設(shè)以CD為直徑的圓的圓心為Q,半徑為r,將直線(m+1)x+y-(m+2)=0【詳解】∵拋物線C的方程為y2=4x,∴F(1,0),拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-1,∴(a-1)x+y-2a+1=0過(guò)定點(diǎn)B(2,1設(shè)P(x,y),設(shè)F,B的中點(diǎn)為則因?yàn)镕P⊥BP,P為垂足，即點(diǎn)P即點(diǎn)P的軌跡為以A為圓心，半徑為的圓，個(gè)M?MPBA?A0F過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線x=-1的垂線，垂足為A?,則,當(dāng)且僅當(dāng)A,M,A三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成4.(24-25高三·河北階段練習(xí))實(shí)數(shù)a,b,c成等差，點(diǎn)P(-1,1)在動(dòng)直線l:ax+2by+c=0上的射影為M,點(diǎn)N(2,2)則線段MN長(zhǎng)度的取值范圍為()【分析】先根據(jù)條件確定動(dòng)直線1:ax+2by+c=0過(guò)定點(diǎn)，再確定M點(diǎn)軌跡，最后根據(jù)最值.【詳解】因?yàn)閍,b,c成等差，所以2b=a+c,因此l:ax+2by+c=0過(guò)定點(diǎn)A(1,-1),因?yàn)辄c(diǎn)P(-1,1)在動(dòng)直線1:ax+2by+c=0上的射影為M,所以M點(diǎn)軌跡為以AP為直徑的圓，即故選故選B2.兩條動(dòng)直線如果所含參數(shù)字母是一致的，則可以分別求出各自斜率，通過(guò)斜率之積是否是-1,確定兩交于點(diǎn)P,若點(diǎn)C(3,7),則PB·AC的最大值是()【分析】根據(jù)直線的方程求出定點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，判斷兩直線垂直，確定P點(diǎn)所在圓的方程，由此可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，即可根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出PB·AC的表達(dá)式，結(jié)合三角恒等變換即可求得答案.令x=1,則y=1,故A(1,1);令x=-1,則y=3,故B(-1,3);則PB·AC=(-1-√2cosa,1-√2sina)·(2,6)2.(24-25高三·黑龍江階段練習(xí))設(shè)m∈A.30√3B.2√30C.20√3mx-y-2m+1=0→m(x-2)-y+1=0→l?過(guò)定點(diǎn)E(2,1),且l⊥l?,BMG≤2√2(10-a2+5+a2)=2√30,當(dāng)且僅當(dāng)10-a2=5+d2即時(shí)取等號(hào).的交點(diǎn)為P,點(diǎn)Q是圓C:(x+2)2+(y-2)2=4上的一點(diǎn)，若PQ與C相切，則|PQ|的取值范圍是()個(gè)Co直線nx+my-n=0即直線n(x-1)+my=0,過(guò)定點(diǎn)M(1,0),所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓C?上任意一點(diǎn)P作直線與圓C相切，求切線|PQ的范圍.設(shè)設(shè)圓C的半徑為R=2,【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合已知直線過(guò)定點(diǎn)，求出交點(diǎn)P的軌跡方程是關(guān)鍵.4.(2024全國(guó)·二模)已知直線l:y=tx+5(t∈R)與直線l?:x+ty-t+4=0(t∈R)相交于點(diǎn)P,且點(diǎn)P到點(diǎn)Q(a,3)的距離等于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()因此點(diǎn)P(x,y)的軌跡是以線段AB為直徑的圓(除點(diǎn)(0,1)外),圓心C(-2,3),半徑r=2√2,圓C的方程為(x+2)2+(y-3)2=8(x≠0且y≠1),又Q(a,3),|PQl=1,顯然點(diǎn)(0,1)與Q的距離大于1,則點(diǎn)P在圓Q:(x-a)2+(y-3)2=1上，依題意，圓C與圓Q有公共點(diǎn)，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：①幾何法：具體過(guò)程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理.②待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量.題型5三角函數(shù)型旋轉(zhuǎn)直線解題解題圓的動(dòng)切線：(a,b)到直線系M:(x-a)cosθ+(y-b)sinθ=R(0≤θ≤2π)距離，每條直線的距離直線系M:(x-a)cosθ+(y-b)sinθ=R(O≤θ(1)當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，θ=0或π;(2)當(dāng)時(shí)，直線傾斜角為120°;(4)存在定點(diǎn)P不在M中任意一條直線上.其中正確的是()A.①②B.③④C.②③【分析】由直線斜率不存在可判斷(1),由直線斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷(2),化簡(jiǎn)消參可知直線系M表示圓x2+(y-2)2=1的切線的集合，故不經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，由點(diǎn)(0,2)不在直線上可知(4)正確.【詳解】M:xcosθ+(y-2)sin(1)當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，則sinθ=0,解得θ=0或π或2π,故(1)錯(cuò)誤；(2)當(dāng)時(shí)，直線方程為：√3x+y-4=0,斜率k=-√3,即tana=-√3,傾斜角α=120°,故(2)正確；(3)由直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(O≤θ≤2π)故直線系M表示圓x2+(y-2)2=1的切線的集合，故(3)不正確.(4)因?yàn)閷?duì)任意θ,存在定點(diǎn)(0,2)不在直線系M中的任意一條上，故(4)正確；故選：D.2.(20-21高二上·上海浦東新階段練習(xí))設(shè)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1,0≤θ≤2π,對(duì)于下列四個(gè)命題：(2)存在定點(diǎn)P不在M中的任意一條直線上；(3)對(duì)于任意整數(shù)n,n≥3,存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；(4)M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是()切線的性質(zhì)判斷(1)(3)(4),以及觀察得到點(diǎn)(0,2)不在任何一條直線上，判斷選項(xiàng)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圓x2(1)由于直線系表示圓x2+(y-2)2=1的所有切線，其中存在兩條切線平行，所有M中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)不可能，故(1)不正確；(2)存在定點(diǎn)P不在M中的任意一條直線上，觀察知點(diǎn)M(0,2)符合條件，故(2)正確；(3)由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對(duì)于任意整數(shù)n(n≥3),存在正n變形，其所有邊均在M的直線上，故(3)正確；(4)如下圖，M中的直線所能圍成的正三角形有兩類，一類如△ABE,一類是△BCD,顯然這兩類三角形的面積不相等，故(4)不正確.【點(diǎn)睛】本題考查含參直線方程，距離公式，軌跡問(wèn)題的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)力，屬于偏難習(xí)題，本題的關(guān)鍵是觀察點(diǎn)(0,2)到直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ的距離直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圓x2+(y-2)2=1的切線3.(21-22高三全國(guó)專題練習(xí))設(shè)直線系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),則下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)是()①存在一個(gè)圓與所有直線相交；②存在一個(gè)圓與所有直線不相交；③存在一個(gè)圓與所有直線相切；④M中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；⑤不存在定點(diǎn)P不在M中的任一條直線上；⑥對(duì)于任意整數(shù)n(n≥3),存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；⑦M(jìn)中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.【分析】根據(jù)已知可知，直線系M都為以(0,2)為圓心，以1為半徑的圓的切線，即可根據(jù)相關(guān)知識(shí)，逐個(gè)判斷各命題的真假.所有直線都為圓心為(0,2),半徑為1的圓的切線.對(duì)于①,可取圓心為(0,2),半徑為2的圓，該圓與所有直線相交，所以①正確；對(duì)于2,可取圓心為(0,2),半徑為的圓，該圓與所有直線不相交，所以②正確；對(duì)于③,可取圓心為(0,2),半徑為1的圓，該圓與所有直線相切，所以③正確；對(duì)于④,所有的直線與一個(gè)圓相切，沒(méi)有過(guò)定點(diǎn)，所以④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤,存在(0,2)不在M中的任一條直線上，所以⑤錯(cuò)誤；對(duì)于⑥,可取圓的外接正三角形，其所有邊均在M中的直線上，所以⑥正確；對(duì)于⑦,可以在圓的三等分點(diǎn)做圓的三條切線，把其中一條切線平移到過(guò)另外兩個(gè)點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)，也為正三角形，但是它與圓的外接正三角形的面積不相等，所以⑦錯(cuò)誤；故①②③⑥正確，④⑤⑦錯(cuò)，所以真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè).考查學(xué)生運(yùn)用直線與圓的知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于較難題.4.(22-23山西·階段練習(xí))在直,已知集合A的補(bǔ)集A所對(duì)應(yīng)區(qū)域的對(duì)稱中心為M,點(diǎn)P是線段x+y=8(x>0,y>0)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則△MPQ周長(zhǎng)的最小值為()【分析】根據(jù)集合可判斷出集合CuA表示圓x2+(y-4)2=1,再【詳解】∵點(diǎn)(0,4)到直線xcosθ+(y-4)sinθ=1的距離∴集合C?A表示圓x2+(y-4)2=1,其對(duì)稱中心M(0,4)如圖所示：設(shè)M’是點(diǎn)M(0,4)關(guān)于M故選：B題型6數(shù)形結(jié)合2:根號(hào)與距離解(1)先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和問(wèn)題；(2)畫出圖示，必要時(shí)借助點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行分析；(3)根據(jù)距離之和的最小值得到原式的最小值.(3)根據(jù)距離之和的最小值得到原式的最小值.立.則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.的幾何意義，構(gòu)造距離差的最大值，再根據(jù)存在問(wèn)題即可求解.B所以即故答案為：別記E,F為雙曲線C:的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，若D(F,A)=|EF|,則點(diǎn)A的軌跡與雙曲線C的公共【分析】根據(jù)題意分析可知點(diǎn)A的軌跡是以F為中心且其一條對(duì)角線在x軸上的正方形，根據(jù)圖形結(jié)合雙【詳解】設(shè)的焦距為2c(c>0),A(x,y),則E(a,0),F(c,0),|EF|=c-a,可得D(F,A)=|x-c+|y|=c-a.當(dāng)x≥c,y≥0時(shí)，可得x-c+y=c-a,即x+y=2c-a;當(dāng)x≥c,y<0時(shí)，可得x-c-y=c-a,即x-y=2c-a;當(dāng)x<c,y≥0時(shí)，可得c一x+y=c-a,即x-y=a;當(dāng)x<c,y<0時(shí)，可得c-x-y=c-a,即x+y=可知點(diǎn)A的軌跡是以F為中心且其一條對(duì)角線在x軸上的正方形.4F所以點(diǎn)A的軌跡與雙曲線C僅有1個(gè)公共點(diǎn)E.故答案為：1.兩點(diǎn)間距離公式構(gòu)造幾何意義，求距離差的最大值，再根據(jù)存在問(wèn)題求m的取值范圍.PB則PQ|-|PB|≤|QB|,又故f(a)的最大值為故答案為：故答案為：【分析】化簡(jiǎn)后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)之間距離，利用軸對(duì)稱實(shí)現(xiàn)折化直，轉(zhuǎn)化到兩點(diǎn)之間線段最短問(wèn)題.【詳解】f(x,y)=√(2y-3)2+12+√(3x-2)2+(3x-1)2+√(3x-2y+設(shè)點(diǎn)A(3x,3x),B(2y-1,0),C(2,1).則f(x,y)=|AB|+|BC|+|CA|,這是經(jīng)典的將軍飲馬問(wèn)題如圖.故答案為：802C工o題型7數(shù)形結(jié)合3:絕對(duì)值與最值到直線ax+by+c=0的距離公式值余關(guān)的最值型題，構(gòu)造轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離1.(22-23高三上·四川成都階段練習(xí))對(duì)圓(x-1)2+(y-1)2=1上任意一點(diǎn)P(x,y),A.[6,+00]B.[-4,6]C.(-4,6)D.[-∞,-4]所以的取值與x,y無(wú)關(guān)，即圓上的點(diǎn)到直線l;3x-4y-9=0的距離與到直線l:3x-4y+a=0的距離之和所以,且(3-4-9)(3-4+a)≤0,所以a≥6或a≤-4且a≥1,所以a≥6.則Ix+y?-1|+|x?+y?-1|的最大值為【分析】設(shè)點(diǎn)A(x,y?),C(x?,y?)在圓x2+y2=1上，且∠AOC=90,原問(wèn)題等價(jià)于求解點(diǎn)A和點(diǎn)C到直線【詳解】設(shè)點(diǎn)A(x,y),C(x?,y?)在圓x2+y2=1上，且∠AOC=90,如圖所示，易知取得最大值時(shí)點(diǎn)A,C均位于直線x+y作AD⊥直線x+y-1=0于點(diǎn)D,CF⊥直線x+y-1=0于點(diǎn)F,取AC的中點(diǎn)B,作BE⊥直線x+y-1=0于點(diǎn)E,當(dāng)AC直線x+y-1=0時(shí)，直線AC方程為x+y+1=0,由圓的性質(zhì)BE≤√2,本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查距離公式的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.點(diǎn)P恰有2個(gè)，則實(shí)數(shù)t的取值可能是()【分析】作出圖形，利用代數(shù)式的幾何意義可求答案.【詳解】由曲線y=√-4x-x2,得y≥0,則(x+2)2+y2=4(y≥0所以曲線y=√-4x-x2表示以C(-2,0)為圓心，半徑r=2的半圓(x軸及以上部分).個(gè)0x所以|x+y-t|=2表示點(diǎn)P(x,y)到直線1的距離為√2,即只有2個(gè)點(diǎn)P到直線1的距離為√2,所以圓心C到直線l的距離解得結(jié)合選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)只有B選項(xiàng)符合題意.4.(24-25高二上·浙江金華階段練習(xí))空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，定義經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x,y,z)且法向量為m=(A,B,C)的平面π方程為Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,A2+B2+C2+D2≠0),平面外的一點(diǎn)Q(x?,%,z)到平面π的距離.閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已為x-2y-2z-2=0,在y軸上求一點(diǎn)M使它到平面α的距離為6,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(0,8,0)B.(0,-10,0)【分析】根據(jù)平面外一點(diǎn)到平面的距離公式代入計(jì)算解方程即由題意可知即解得t=8或t=-10;直線的截距和直線方程的截距式，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：1.要注意截距為零的情況，2.在截距不為零時(shí)，轉(zhuǎn)化求解。1.(2022·上海閔行·二模)已知直線l:與圓x2+y2=100有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為【分析】通過(guò)分析得出圓x2+y2=100上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，由直線為截距式，先排除掉關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線，關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線(不含x=0),利用幾何關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線(不含y=0),再結(jié)合4√5a2+5b2≥|ab|變形為利用幾何意義得到原點(diǎn)到直線的距離小于等于4√5,利用垂徑定理，弦長(zhǎng)越小，原點(diǎn)到直線的距離越大，故先求解最小弦長(zhǎng)，進(jìn)而求出原點(diǎn)到此類直線的距離，與4√5比較后發(fā)現(xiàn)不合要求，進(jìn)而繼續(xù)求解第二小弦長(zhǎng)，第三小弦長(zhǎng)，求出原點(diǎn)到每類直線的距離，與4√5比較得到結(jié)論，利用組合知識(shí)求出答案.【詳解】圓x2+y2=100上的整數(shù)點(diǎn)共有12個(gè)，分別為母a物由題意可知：直線的橫、縱截距都不為0,即與坐標(biāo)軸不垂直，不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線不合題意，有6條，舍去，關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線(不含x=0)不合題意，有4條，舍去，關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)所連直線(不含y=0)不合題意，有4條，舍去幾何意義為原點(diǎn)到直線的距離小于等于4√5,這12個(gè)點(diǎn)所連的直線中.除去以上不合要求的直線外.根據(jù)弦長(zhǎng)從小到大分為類.以下為具體情況：①√(8-6)2+(6-8)2=2√2弦長(zhǎng)為2√2的直線有4條， 此時(shí)原點(diǎn)到此類直線的距離為不合要求，舍去 √√此時(shí)原點(diǎn)到此直線的距離為不合要求，舍去④其他情況弦長(zhǎng)均大于4√5,故均滿足要求，由組合知識(shí)可知：滿足要求的直線條數(shù)為：C2?-6-4-4-4-8=40【點(diǎn)睛】對(duì)于比較復(fù)雜一些的排列組合知識(shí)，直接求解比較困難的時(shí)候，可以先求解出總的個(gè)數(shù)，再減去不合要求的個(gè)數(shù)，得到答案.2.(19-20高一云南普洱階段練習(xí))過(guò)點(diǎn)P(3,4)在兩坐標(biāo)軸上的截距都是非負(fù)整數(shù)的直線有多少條【分析】截距為零時(shí)單獨(dú)考察，在截距不為零時(shí)，設(shè)截距分別為a,b,利用截距式寫出直線方程點(diǎn)P,得到a,b的關(guān)系，判定a,b的范圍，然后求得后分離常數(shù)得到進(jìn)而得出a-3應(yīng)當(dāng)為12正因數(shù)，從而解決問(wèn)題.【詳解】當(dāng)截距為0時(shí)，是直線OP,只有一條，當(dāng)截距大于0時(shí)，設(shè)截距分別為a,b,則直線方程為∵直線過(guò)點(diǎn)P(3,4),由①解得,a-3為12的因數(shù)，對(duì)應(yīng)的直線又有6條，綜上所述，滿足題意的直線共有7條，【點(diǎn)睛】本題考查直線的截距和直線方程的截距式，涉及整除問(wèn)題，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是要注意截距為零的情況，而是在截距不為零時(shí)，得到后分離常數(shù)得到進(jìn)而得出a-3應(yīng)當(dāng)為12正因數(shù)，本題屬中檔題.3.(22-23高三·湖南長(zhǎng)沙階段練習(xí))一直線過(guò)點(diǎn)A(2,2)且與x軸、y軸的正半軸分別相交于B、C兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn).則|OB|+loC|-|BC|的最大值為.【分析】設(shè)點(diǎn)B(b,0)、C(0,c),可得出可得bc=2(b+c),利用基本不等式得出bc≥16,進(jìn)而可得出,利用不等式的基本性質(zhì)即可求得|OB|+|oC|-|BC|的最大值.【詳解】設(shè)點(diǎn)B(b,0)、C(0,c),其中b>0,c>0,則直線BC的截距式方程為故答案為：8-4√2.【點(diǎn)睛】本題考查三角形邊長(zhǎng)和差的最值的求解，考查了直線的截距式方程以及基本計(jì)算能力，屬于難題.4.(24-25高三山西太原階段練習(xí))已知過(guò)點(diǎn)p(1,4)的直線L在兩坐標(biāo)軸上的截距均為正值，當(dāng)兩截距之和最小時(shí)，求直線L的方程為.當(dāng)且僅當(dāng)即b=2a時(shí)等號(hào)成立，取得最小值，此時(shí)a=3,b=6,所以方程為考點(diǎn)：1.直線方程；2.均值不等式求最值題型9二元方程直線系理論(3)交點(diǎn)線系：過(guò)A?x+Biy+C?=0與A?x+B?y+C?=0的交點(diǎn)的直線可設(shè)：A?x+Biy+Ci+2(A2x+B?y+C?)=0.直線l?:a?x+b?y-m=0的交點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線的方程是()A.3x-2y=0B.3x-2y-12=0C.2x-3y-13=0【分析】首先根據(jù)條件求m,再根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，求直線AB方程，根據(jù)垂直關(guān)系，即可求中垂線方程.即2×4+3×6-13-m=0,得m=13,點(diǎn)P是直線l和l?的交點(diǎn)，所以所以點(diǎn)A(a,b?),B(a?,b?)滿足直線2x+3y-13=0,即直線AB方程為2x+3y-13=0,與直線AB垂直的直線方程的斜率為2.(24-25高三·上海階段練習(xí))設(shè)M(x,y?),N(x?,y?)為不同的兩點(diǎn)，直線下列命題正確的有().①不論δ為何值，點(diǎn)N都不在直線1上；②若δ=1,則過(guò)點(diǎn)M,N的直線與直線1平行；③若δ=-1,則直線1經(jīng)過(guò)MN的中點(diǎn)；④若δ>1,則點(diǎn)M,N在直線1的同側(cè)且直線1與線段MN的延長(zhǎng)線相交.【分析】由ax?+by?+c≠0可得①正確，分b≠0和b=0兩種情況討論可得直線MN與直線1平行，可得②4正確，當(dāng)δ=-1時(shí)，可得到從而得到③正確，當(dāng)δ>1時(shí)可得4(ax?+by?+c)(ax?+by?+c)>0和lax+by?+c>|lax?+by?+c,然后可得④正確.當(dāng)b≠0時(shí)，根據(jù)δ=1得到化簡(jiǎn)得即直線MN的斜率為又直線1的斜率為由①可知點(diǎn)N不在直線1上，得到直線MN與直線1平行當(dāng)δ=-1時(shí)，得到而線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)δ>1時(shí)，得到所以直線1經(jīng)過(guò)MN的中點(diǎn)，故③正確所以所以點(diǎn)M,N在直線1的同側(cè)可得點(diǎn)M與點(diǎn)N到直線l的距離不等，所以延長(zhǎng)線與直線1相交，故④正確綜上：命題正確的有4個(gè)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是直線的方程、兩直線平行的判定以及一元二次不等式表示的區(qū)域，考查了學(xué)生的分析能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于x,y的方程組的解的情況，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.當(dāng)φ>0時(shí)，對(duì)任意的a,a?∈R*,方程組總是有解B.當(dāng)φ<0時(shí)，對(duì)任意的a,a?∈R,方程組總是有解C.當(dāng)φ>0時(shí)，存在a,a?∈R",使方程組有唯一解D.當(dāng)φ<0時(shí)，存在a,a?∈R*,使方程組有唯一解【解析】對(duì)的解的情況，即考慮兩條直線的斜率之(x-φ)·Inx=kx的根的個(gè)數(shù)，也就是兩函數(shù)與的圖象之間交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，分類討論驗(yàn)證即可.即考慮兩條直線的斜率之間的關(guān)系，即考慮方程(x-φ)·Inx=kx的根的個(gè)數(shù)，也就是兩函數(shù)y=lnx與的圖象之間的個(gè)數(shù).當(dāng)φ>0時(shí)，存在k>0使得圖象y=lnx,有兩個(gè)交點(diǎn)，即k?=k?,兩條直線平行，即方程無(wú)使得兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即k?=k?無(wú)解，即兩直線相交，方程組有唯一解，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；也存在使得兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)，即k?=k?無(wú)解，即兩直線相交，方程組有唯一當(dāng)φ<0時(shí)，圖象【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜率、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算求解能力、推理論證能力.屬于難題.a?x+by-10=0與l:a?x+b?y-10=0的交點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線的方程是.【答案】【答案】x-3y=0從而可求出線段AB的垂直平分線的方程把點(diǎn)P(3,1)代入可得3(a-a?)+(b-b?)=0,所以所以線段AB的垂直平分線的方程是即x-3y=0,故答案為：x-3y=0題型10兩條平行線應(yīng)用兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線I?、l?:(i)若其斜率分別為k?、k?,則有l(wèi)?//l??k?=k?.過(guò)B(5,-1)作直線1垂直于L:x-y+1=0,如圖，則可設(shè)直線1的方程為x+y+c=0,代入B(5,-1),得5-1+c=0,則c=-4,所以直線l的方程x+y-4=0,yA?PoXoB將B(5,-1)沿著直線1往上平移√2個(gè)單位到B'點(diǎn)，設(shè)B'(a,-a+4),連接AB'交直線l于點(diǎn)P,過(guò)P作PQ⊥l?于Q,連接BQ,有BB'//PQ,|BB'HPQI,即四邊形BB'PQ為平行四邊形，因?yàn)锳(-8,5),B'(4,0),所以|故答案為：13+√2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將|AP|+|QB|等價(jià)轉(zhuǎn)化為|AP|+|PB',從而得解.(1)當(dāng)|a-b|=2√2r時(shí)，點(diǎn)(t,s)(2)當(dāng)|a-b|=2√2時(shí)，有r的最大值為1;【答案】(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式、兩平行直線間的距離公式、直線與圓的位置關(guān)而確定正確答案.1與l,l?平行，且1與l和l?的距離相等，所以(1)正確.所以圓C的直徑2r≤2,r≤1,所以有r的最大值為1,所以(2)正確.解得a≤-2或a≥6,所以(3)錯(cuò)誤.故答案為：(1)(2)3.(2022-遼寧沈陽(yáng)模擬預(yù)測(cè))已知實(shí)數(shù)x?,x?,y?,Y?滿足：x2+y2=3,x2+y2=3,則|3x+4y-10|+|3x?+4y?-10的最大值為3x+4y-10=0的距離d,點(diǎn)B到直線3x+所以,所以∠AOB=60°,所以VAOB為等邊三角形，|AB|=√3.要使5(d?+d?)最大，只需點(diǎn)A,B在第三象限，DGEB下設(shè)直線3x+4y-10=0為直線1,過(guò)A作AD⊥1于D,過(guò)B作BE⊥1于E,取AB中點(diǎn)F,過(guò)F作FG⊥1于G.只需F到直線1距離最大，所以直線AB與直線3x+4y-10=0平行.此時(shí)，設(shè)AB:3x+4y+t=0,(t>0),由圓心到直線AB的距離為可得：即解得：故答案為：35.(1)幾何法：利用幾何圖形求最值；(2)代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.【分析】求出P關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)Q(3,6)作平行于y=x的直線為y=x+3,將PM|+|MN|+|NQ|的值轉(zhuǎn)化為|PM|+|MQ|的最小值，利用數(shù)形結(jié)合以及根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，求解出N的坐標(biāo).【詳解】P關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為P(1,0),則有|PM|+|MN|+|NQ|=|PM|+|MN|+|NQ|.過(guò)Q(3,6)作平行于y=x的直線為y=x+b,由6=3+b得b=3,即此時(shí)直線設(shè)N(b,b),舍去.),即Q(2,5).設(shè)則,解得.設(shè)N(b,b),或故答案為：P個(gè)MOP'Nx【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，考查對(duì)稱性，考查化歸與轉(zhuǎn)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.題型11數(shù)形結(jié)合4:光學(xué)與對(duì)稱性質(zhì)關(guān)于軸對(duì)稱問(wèn)題：(1)點(diǎn)A(a,b)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)A'(m,n),則有(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.任意實(shí)數(shù)m,mb-2a+|3a-mb|的最小值為令mb=OP,2a=OA,3a=OB,所以A(2,0),B(3,0),|mb-2a=|oP-OA|=|AP,3a-mb|=|oB-OP=|PB|,mb-2a+3a-mb|=|AP+|PB|=|PB切線，右焦點(diǎn)F?關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P(x,y?),S=|3x?+4y?-24|,則S的取值范圍為.【分析】本題的關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得：對(duì)稱點(diǎn)P,切點(diǎn)A,左焦點(diǎn)F?三點(diǎn)共線，根據(jù)斜率相等得到方程，結(jié)合點(diǎn)F?P中點(diǎn)B在切線方程上得到的方程，求出點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程，然后根據(jù)S的特點(diǎn)，從點(diǎn)到直線距離入手，求出S的取值范圍.【詳解】因?yàn)閏2=4-3=1,所以c=1,故F?(1,0),因?yàn)橛医裹c(diǎn)F?關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P(x,y?),設(shè)切點(diǎn)為A(x?,y%),由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得：P,A,F?三點(diǎn)共線，直線1方程為,則點(diǎn)F?P中點(diǎn)B在切線方程上，其中代入切線方程中，得：,由P,A,F?三點(diǎn)共線可得：kAr?=kpr,即②,聯(lián)立①②可得：,因?yàn)锳(x,y。)在橢圓方程上，可得：代入③中，解得：(x+1)2+y2=16,即點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程是以(-1,0)為圓心，半徑為4的圓，圓心(-1,0)到直線3x+4y-24=0的距離為則圓上的點(diǎn)到直線3x+4y-24=0的距最大值為則即S∈[7,47]【點(diǎn)睛】本題是圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)的運(yùn)用，即從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線一定經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，這在焦點(diǎn)關(guān)于切線對(duì)稱的問(wèn)題上，屬于一個(gè)隱含條件，只有用到這個(gè)性質(zhì)，才能順利的解決問(wèn)題；當(dāng)然雙曲線和拋物線都有類似的性質(zhì)，雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上；拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸.時(shí)會(huì)發(fā)生鏡面反射.設(shè)光線在發(fā)生反射前所在直線的斜率為k,若光線始終與半圓C沒(méi)有交點(diǎn)，則k的取值【分析】求出光線與(x-4)2+y2=1(y≥0)、(x+4)2+y2=1(y≥0)、x2+結(jié)合即可得解.【詳解】將半圓依次沿著y=x,x=0,y=-x作對(duì)稱，如圖所示：y?因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為光線如何與鏡子內(nèi)外的圓沒(méi)有交點(diǎn)，光線變化的當(dāng)光線與(x-4)2+y2=1(y≥0)相切時(shí)，光線所在直線斜率為由對(duì)稱性可知當(dāng)光線遇射線l時(shí)反射光線若與(x-4)2+y2=1(y≥0)相切，則入射光線所在直線為x=1與42當(dāng)光線與(x+4)2+y2=1(y≥0)相切時(shí)，光線斜率為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)化問(wèn)題的難度.x、y建立平面直角坐標(biāo)系，AB=AC=4,點(diǎn)P是邊AB上異于A、B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P(如圖