專題4.3全等三角形

考點1：全等形和全等三角形性質(zhì)

/考點2:全等三角形的判定及應用

專題4.3全等三角形J考點3:角平分線性質(zhì)定理和逆定理

考點4:線段垂直平分線性質(zhì)定理和逆定理

考點5：全等三角形的綜合問題

考點1：全等形和全等三角形性質(zhì)

例1.（1）（2023秋?江蘇連云港?八年級校考階段練習）下列圖標中，不是由全等圖形組合成的是（）

A.B.??

（2）（2023秋?浙江臺州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC=ADEF,JLz/1=55°,=75°,則4F=1

（3）（2023秋?湖南岳陽-八年級校考期中）如圖，△ABC三△DEC,點、B、C、。在同一直線上，且3。=12,

AC=7f則CE長為.

知識點訓練

1.（2023秋?河北邢臺?八年級統(tǒng)考期末）與下圖全等的圖形是（）

2.（2023秋?江蘇常州?八年級常州市清潭中學校考期中）找出下列各組圖中的全等圖形（）

3.（2023秋?福建龍巖?八年級統(tǒng)考期末）如圖，△DBC三AECB,且BE與CD相交于點4下列結論錯誤

的是（）

A.BE=CDB.AB=AC

0.Z.D—Z.ED.BD—AE

4.（2023秋?四川自貢?八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，△48C=^AEF,乙B=乙E,有以下結論：①4C=AE\

②EF=BC：③NEAB=NR4C;?￡.EFA=/,AFC.其中正確的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

5.（河北省唐山市2023-2024學年八年級上學期期末考試數(shù)學試題）如圖，△ABC三△DEC,點、B,C,。在

同一條直線上,且CE=1.CD=3.則80的長是（）

A

6.（2023秋?四川南充?八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A,E,C在同一直線上，△力BC三△DEC,AE=3,G）=8,

BC

A.3B.5C.8D.11

7.（2023秋?天津?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△力8C三△!）￡1",CD平分48GtDF與BC交于點G.若

=26。，Z.CGF=83°,則/E的度數(shù)是（）

A.34°B.36°C.38°D.40°

8.<2023秋?河南許昌-八年級統(tǒng)考期中）如圖所示的圖案是由全等的圖形拼成的，其中4。=0.8,BC=1.6,

則"=（）

ADF

BCE

A.10.8B.9.6C.7.2D.4.8

9.（2023秋?山東薄澤?八年級統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（）

A.形狀相同的兩個三角形全等B.三個角都分別相等的兩個三角形全等

C.完全重合的兩個三角形全等D.所有的等邊三南形全等

10.（2023秋?山東煙臺?七年級統(tǒng)考期中）下列說法：①角是軸對稱圖形；②等腰三角形有三條對稱軸;

③關于某直線成軸對稱的兩個三角形全等：④兩個全等三角形一定關于某條直線成軸對稱.其中正確的個

數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

11.（2023秋?江蘇宿迂?八年級統(tǒng)考期中）如圖所示的網(wǎng)格是由9個相同的小正方形拼成的，圖形的各個

頂點均為格點，則乙1一/2—乙3的度數(shù)為（）.

A.30°B.45°C.55°D.60°

12.（2023?福建南平?統(tǒng)考一模）如圖，在△58c中=135°,將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△DEC,

點,4,8的對應點分別為。E.當點4、0、E在同一條直線上時，下列結論不乎施的是（）

A.△ABC=△DECB.AE=AB+CD

0.AD=\[2ACD.ABLAE

13.（2023秋?陜西商洛?八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系內(nèi)，點。為坐標原點，4（一4,0）,8（0,3）.若

在該坐標平面內(nèi)有一點夕（不與點/、B、0重合）為一個頂點的直角三角形與Rt△力80全等，且這個以點。

為頂點的直角三角形與RtA48。有一條公共邊，則所有符合條件的三角形個數(shù)為（）

廿

A.3個B.4個C.6個D.7個

14.（2023秋?云南曲靖?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點力的坐標為（3,0）,點8的坐標

為（0,6）,點C在x軸上運動（不與點力重合），點，在y軸上運動（不與點8重合），當以點C、0、。為頂

點的三角形與a/lOB全等時，則點。的坐標為.

15.（2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?八年級統(tǒng)考期末）如圖，△4。0訃BOC,Z,A=30°,乙C=50°,Z.AOC=150°,

16.（2023秋?四川南充?八年級統(tǒng)考期末）如圖，AABC繞點C旋轉得到△DEC,點E在邊彳8上，若=75°,

則以CD的度數(shù)是

考點2:全等三角形的判定及應用

例2.（1）（2023秋?山東威海?七年級統(tǒng)考期末）為了測量湖的寬度力B,小明同學先從A點走到點0處，

再繼續(xù)向前走相同的距離到達點C（即OC=OA）,然后從點C沿與A8平行的方向，走到與點。，8共線的點

D處，測量C,。間的距離就是湖的寬度.下列可以判斷△OC。三△04B的是（）

A.SSSB.SSAC.SASD.ASA

（2）（2023秋?黑龍江齊齊哈爾?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知上C4E=zJX4B,AC=AD,請你再添加一

個條件：,使△力8c三△AED.

E,

C

--------V---------^A

D

（3）（2023秋?江蘇徐州-八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)下列條件，能確定△28c（存在且唯一）的是（）

A.AB=2,BC=3,AC=6B.AC=4,BC=3,Z.A=60°

C.AB=5,BC=3,LB=30°D.LA=45°,LB=45°,ZC=90°

（4）（2023秋?廣東汕頭?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△力8c中，Z.ACB=65°,Z-BAC=70°,ADLBCt

點0,于點KAD與BM攵千點、P,則乙BPC=.

例3（2023秋?浙江寧波?八年級?？计谀┤鐖D，在RtaABC中，AB=BC,^ABC=90°,801力（?于

點0,。是。C的中點，。是延長線上一點，滿足PB=PO.

（2）探究C。與4P之間的數(shù)量關系，并給出證明.

例4.（2023秋?黑龍江齊齊哈爾?八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐

【閔讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖（1）,△ABC中，AB=8,4C=6,求8c邊上的中線力。的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流.小明得到了

如下的解決方法：延長力。到點￡使。E=4。請根據(jù)小明的方法思考：

AA

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得力。的取值范圍是.

【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構造全等三南形，把分散的

已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中.

【問題解決】

(3)如圖(2),力。是△4BC的中線，BE交AC于E,交AD于尸，且AE=E尸.求證：AC=BF.

知識點訓練

1.(2023秋?浙江溫州?八年級?？计谥?如圖，在中，乙4c8=90°,乙48c=25°,。為斜邊中

點，將線段。4繞點。逆時針旋轉a(0°VaV90°)至OP,若CB=C戶，則a的值為()

A.80°B.65°C.50°D.40°

2.(2023秋?山東威海?七年級施考期末)如圖，和都是等邊三角形，點九。，￡■在同一條

直線上，BE=2,CE=4,則4E=()

A

D

BC

E

A.6B.5C.8D.7

海南省?？谑校ú糠中W年八年級上學期期末檜測數(shù)學試題））如圖，直線，

3.1）2023-2024（A1||l2IIZ3,

且，［與，2的距離為1乂2與b的距離為3,等腰直角△ABC的三個頂點4、8、C分別在直線，2、/I、，3上，44C8=90。,

則AA8C的面積為（）

A.10B.12C.-D.25

2

4.（2023秋?黑龍江雙鴨山?八年級統(tǒng)考期末）如圖所示的網(wǎng)格是由9個相同的小正方形拼成的，圖形的各

個頂點均為格點，則/2+43的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.55°D.60°

5.（2023秋?安徽黃山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，巳知等邊△力和等邊△9PK,點P在SC的延長線,上，EC

的延長線交力P于點M,連接BM,有下列結論：

?AP=CE\②NPME=60。；③MB平分

④力M+MC=BM,其中正確的結論是（）

E

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

6.（2023秋?山西呂梁?八年級統(tǒng)考期末）如圖，點E,F在線段AC上，AE=CF,AD1DF,CB1BE,

要根據(jù)“HL”證明Rt△力D/三RtACBE,則還需添加的一個條件是（)

Z-A=LCC.AD=CBD.AD||BC

7.：2023?全國?九年級專題練習）如圖，點。為△ABC的內(nèi)心，乙B=60°,BMHBN,點、M,N分別為AB,

BC上的點、,且OM=ON.甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：^MON=120°：乙：四邊形0M8N的面積為定

值：丙：當MN_L8C時,AMON的周長有最小值.則下列說法正確的是（）

A.只有甲正確B.只有乙錯誤

C.乙、丙都正確D.只有丙錯誤

8.（2023秋?浙江臺州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，48與CD相交于點0,且04=OB,添加下列選項中的一

個條件，不能判定A/OC和△BOD全等的是)

A.0C=0D

B.乙4=乙B

0.AC=BD

D.ACWBD

9.（2023秋?浙江臺州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，射線OC為4工OB的平分線，點M〃分別是邊。4OB上

的兩個定點，且OMVON,點"在OC上，滿足PM=PN的點。的個數(shù)有（）

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個

10.（2023秋?河南新鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期末）在△力8C和△￡）￡>?中，已知4B=0E,乙1=/。，下列條件：

①71c=DF;②4B=乙E;③NC=乙F;@BC=EF.其中一定能判定△48c三△DEF的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

11.（2023秋?四川廣安?八年級統(tǒng)考期末）如圖，=DC,若要用“SSS”證明△48。三ADCB,需要補

充一個條件，這個條件是.

12.（2023秋?福建莆田?八年級統(tǒng)考期末）教學社團活動課上，甲乙兩位同學玩數(shù)學游戲.游戲規(guī)則是:

兩人輪流對△48C及△AB'C’的對應邊或對應能添加一組等量條件（點4,夕，。'分別是點4B,C的對應

點），某輪添加條件后，若能判定△4BC與△48'C'全等，則當輪添加條件者失敗，另一人獲勝.

輪次行動者添加條件

1甲AB=A'B'=2cm

2乙Z.A=Z.A1=35°

3甲???

上表記錄了兩人游戲的部分過程，則下列說法正確的是.（填寫所有正確結論的序號）

①若第3輪甲添加NC=NC'=45°,則甲獲勝；

②若第3輪甲添加BC=B'C'=3cm,則甲必勝：

③若第2輪乙添加條件修改為乙4=乙4=90。，則乙必勝；

④若第2輪乙添加條件修改為BC=8'C'=3cm,則此游戲最多4輪必分勝負.

13.（2023秋?山東淄博?七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C,￡8,尸在同一條直線上，48=OE,AC=DF,BF=

CE.3兌明力

14.（2023秋?江蘇南京?八年級統(tǒng)考期末）如圖48=AD,CB=CD,AC,8。相交于點E.

（1）求證△48C=LADCX

（2）求證BE=DE.

15.（2023秋?山西呂梁?八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是等邊三■角形，點。E分別在8C,&4的延長線

上，且CO=AE.求證：乙。=乙￡

16.（2023秋?廣東汕頭?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點0在等邊△ABC的內(nèi)部，々1OB=105°/BOC=a,

以OC為邊作等邊△COD,連接力D.

⑴求證:AD=B0;

⑵當a=150°時，試判斷△4。。的形狀，并說明理由；

17.(2023秋?江蘇南京?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在四邊形ABCD中，連接8。ABWCD,且,48=CD.

(1)求證：△月80三△C08:

(2)若AB=8。，Z.ABD=48°,求乙。的度數(shù).

18.(2023秋?浙江寧波?八年級校考期末)如圖，在四邊形力BCO中，戶為邊上的一點，BC||AD.AP.

8P分另4是48710、乙4BC的角平分線.

(1)若N8/W=70。，則41BP的度數(shù)為,N4PB的度數(shù)為：

(2)求證：AB=BC+AD;

(3)設3P=3a,AP=4a,過點P作一條直線，分別與AD,8C所在直線交于點￡F,若=EF,直接寫

出4E的長(用含g的代數(shù)式表示)

考點3:角平分線性質(zhì)定理和逆定理

例5.(2023秋?廣東汕頭-八年級統(tǒng)考期末)如圖，DE1AB于點￡,DF14c于點尸，若8。=CD,BE=CF.

(1)求證:力D平分48力C;

(2)請猜想48+AC與之間的數(shù)量關系，并紿予證明.

例6.(2023秋?湖北武漢?八年級?？计谀?如圖，在△4BC中，￡是8c中垂線上一點，EMJ.48于K

EN1AC于N,BM=CN.求t正：4E平分乙

A

C

E

知識點訓練

1.（2023秋?貴州銅仁?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點8的坐標為（6,0）,OC

平分交于點C,反比例函數(shù)y=：（%>0）的圖象經(jīng)過點4C.若S10C：SA80C=2:3,則〃的值為

2.：2023秋-山東濟寧?八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，LC=90°,乙48c=60°,以頂點8為圓心、

適當長為半徑作弧，在邊8C、BA上截,取BE、BD：然后分別以點。、E為圓心、以大于DE的長為半徑作孤，

兩孤在，。艮4內(nèi)交于點尸;作射線BF交/C于點G.若/C=6,0為邊上一動點，則CP的最小值為（）

3.（2023秋?山東淄悻?七年級統(tǒng)考期木）如圖，已知/W=AC,=36",A8的垂直平分域M0文AC于

點。，力B于點M以下結論：①△8C0是等腰三角形；②80是的角平分線；③△8C0的周長〃8c0=

AC+BC;?^ADMBCD.正確的有（）

A.①③B.①②C.①②③D.③④

4.（2023秋?黑龍江牡丹江?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△A8c和△/￡）￡都是等腰直角三角形，乙BAC=

Z.EAD=90°,BD,CE交于點F,圭接下列結工侖：?BD=CE;②乙4占/?'=Z.ADF：?BD1CE;④AN平

分，&4D;⑤乙4FE=45。，其中結論正確的序號是（）

A.①②③④B.①②④⑤C.①③④⑤D.①②③⑤

5.（2023秋?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末）小明同學在學習了會等三角形的相關知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完

全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線.如圖：一把直尺壓住射線。8,另一把直尺壓住射線OA并

且與第一把直尺交于點只小明說：“射線OP就是N804的角平分線.”他這樣做的依據(jù)是（）

OB

A.角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.

B.角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

0.三角形三個內(nèi)角的平分線交于同一個點.

D.三角形三個內(nèi)角的平分線的交點到三條邊的距離相等.

6.：2023秋?河北邢臺-八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△4BC中，^BAC=60°,角平分線BE,CO相交于點P,

若？IP=4,AC=6,則SMPC=（）.

.1

7.（2023秋?江蘇泰州?八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖，△ABC中，^ABC=48°,NAC8=84。，點D、E分

別在8A、8c延長線上，BP平分乙48C,CP平分4ACE,連接AP,則匕PAC的度數(shù)為（）

A.45°B.48°C.60°D.66°

8.（2023秋?河北滄州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△AOB和ZiCO。中，0A=08,0C=0。,。4<

OC/AO8=zCOD=108°,連接力C,BD文干點、M,連接0M.甲、乙、丙三人的說法如下，下列判斷正確

甲：AC=8。；乙：乙CMD>乙C0D;丙：M。平分45MC

A.乙錯，丙對B.甲和乙都對C.甲對，丙錯D.甲錯，丙對

9.（2023秋?重慶大足?八年級統(tǒng)考期末）如圖，AABC的三邊4C、BC、彳8的長分別是8、12、16,點0

是A/18C三條角平分線的交點，則SAO〃J：5AO8C：SA。"的值為（）

A.4:3:2B.5:3:2C.2:3:4D.3:4:5

10.（2023秋?甘肅慶陽?八年級統(tǒng)考期中）慶陽市是傳統(tǒng)的中藥材生產(chǎn)區(qū)，優(yōu)越的地理氣候茶件形成了較

獨特的資源禁賦，孕育了豐富的中藥植物資源和優(yōu)良品種，素有“天然藥庫”“中藥之鄉(xiāng)”的美稱.如圖，

三條公路把4、8、C三個盛產(chǎn)中藥材的村莊連成一個三角形區(qū)域，此地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一

個中藥材批發(fā)市場，要使批發(fā)市場到三條公路的距離相等，則這個批發(fā)市場應建在（）

A.三甭形的三條中線的交點處B.三角形的三條角平分線的交點處

C.三角形的三條高的交點處D.以上位置都不對

11.（2023秋?海南?？?八年級校聯(lián)考期末）如圖，在AABC中，Z.A=90°,BD平分zABC,BC=12,

AD=4,則△DBC的面積為.

12.（2023?湖南衡陽?校考一模）如圖所示，點0在一塊直前三角板ABC上（其中41BC=30°）,OMLAB

于點KON1BC于點乂若OM=ON,則4ABO=度.

13.（2023秋?湖北省直轄縣級單位?八年級統(tǒng)考期末）如圖，AA8C與aBOfi1都為等邊三角形，連接AE與

CD,延長力E交CD于點尸，連接F8.給出下面四個結論：①AE=CD;②4力以？=60。；③平分乙￡8。；

④FB平分其中所有正確結論的序號是.

14.（2023春?浙江金華?八年級浙江省義烏市后宅中學校考階段練習）已知：0P平分4MON,點力，B分

別在邊OM.ON上,SLZ-OAP+Z.9BP=180°.

N.M

OMCAM

圖1圖2

⑴如圖1,當乙。月。=900時，求證：04=08;

(2)如圖2,當乙。力p<90°時，作PCJL0M于點C.求證：

①P4=PB;

②請直接寫出。4,OB,4c之間的數(shù)量關系.

15.(2023春-廣東茂名?八年級統(tǒng)考期中)如圖，在中，=90°,zfi=30°,CM平分匕ACB交

AB于點、M,過點M作MN||8C交AC于點N,若AN=1,求BC的長.

考點4：線段垂直平分線性質(zhì)定理和逆定理

例7.(1)(2023秋?浙江寧波?八年級寧波市第七中學校考期未)如圖，△A8C.中，AB<AC<BCt如

果要使用尺規(guī)作圖的方法在8c上確定一點P,使P4+PB=8C,那么符合要求的作圖痕跡是()

(2)(2023秋?云南曲靖?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在△ABC中，NB4C=110。，EF是邊的垂直平分線,

垂足為E交BC于￡MN是邊4C的垂直平分線，垂足為M交BC于M連接力/、力N則N凡4N的度數(shù)是（)

A.70B.55C.40D.30

（3）（2023秋?新整烏魯木齊-八年級校考期末）電信部門要再S區(qū)修建一座手機信號發(fā)射塔，按照設計要

求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A,8的距離必須相等，到兩條高速公路。C,。。的距離也必須相等，則發(fā)射塔應建

在（）

A.4。。0的平分線上任意某點處B.線段AB的垂直平分線上任意某點處

C.乙。?！钡钠椒志€和線段48的交點處D.ZCOD的平分線和線段AB垂直平分線的交點處

例8.（2023春-重慶沙坪壩-八年級重慶南開中學?？奸_學考試）如圖，在△4BC中，EF是的垂直平

分線，于點。且。為CE的中點、.

（1）求證:BE=AC;

⑵若乙。=70。，求勺度數(shù).

知識點訓練

1.（2023秋?海南海口?八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△48C中，DE垂直平分8C,若=6,AC=8,

則4/18。的周長等于（）

A.11B.13C.14D.16

2.（2023秋?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰AABC的底邊BC長為6,面積是24,E為腰力B的垂

直平分線MN上一動點.點。為8c的中點，則△BDE的周長的最小值為（）

A.6B.8C.10D.11

3.（2023秋?福建泉州?八年級校聯(lián)考期末）如圖，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計笄乙a的度數(shù)為（）

4.（2023秋?山東東營?八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形4BCO的對角線AC、80交于點。，DE平分4/0C

交AB于點、E/BCD=60°,/D=：4氏連接OE.下列結論：①如.BCD=4D?BC;②DB平分NCDE;③4。=DE\

④OE垂直平分8D.其中正確的個數(shù)有（）

5.（2023秋?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=ACr尺規(guī)作圖：（1）分別以民C

為圓心，BC長為半徑作弧，兩弧文于點。：（2）連接力0,BD,CD,4。與以？文于點￡則下列結論中錯誤

的是（）

E

A

A.△ABDACDB.△DBE=△DCE

C.△BCD是等邊三角形D.8c垂直平分力。

6.（2023秋?黑龍江牡丹江?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△力8c中，^ACB=90°,LA=75°,OE垂直平

分48,交AB于點、D,交8c于點邑若8E=8cm,則4c為cm.

4、

7.（2023秋?重慶萬州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△力8c中，邊AC的垂直平分線交BC于點夕交AC于點

E,連接力0,若力。是434c的角平分線，且48=4。時，則匕8=

B/DC

8.（2023秋?山東淄博?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知48是線段CD的垂直平分線，垂足為點尸.E是48上

的一點，Z,CEF=30°,CF=2.試求ACED的周長.

AEFB

9.（2023秋?山西呂梁?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，=8C,E/是力8的垂直平分線，交AB于

點E,交8c于點￡

（1）按要求作圖：作心力8。的平分線80,交AC于點0,交E戶于點。，連接。力，OC（尺規(guī)作圖，保留痕跡,

不寫作法）；

（2）求證：點0在的垂直平分線上；

⑶若NCBO=20。，求NC。尸的度數(shù).

10.（2023秋?黑龍江齊齊哈爾?八年級統(tǒng)考期末）如圖，LAOB=30°,M,/!/分別是射線。4OB上的動點,

0P平分乙AOB,0P=9,則ZiPM/V的周長的最小值為（

A

11.（2023秋?山東臨沂?八年級校考期末）.如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔.按照設

計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A8距離必須相等，到兩條高速公路m和〃的距離也必須相等.發(fā)射塔應修建

在什么位置？在圖上標出它的位置.（保留作圖痕跡）

12.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，N從48=30°,點B與點C關于射線4"對稱，連接4C.D點為射

線｛”上任意一點，連接CD.將線段CD繞點C順時針旋轉60。，得到線段CE,連接BE.

（1）求證：直線E8是線段AC的垂互平分線：

⑵點。是射線上一動點，請你直接寫出乙ADC與4EC4之間的數(shù)量關系.

13.（2023秋?山西運城?九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐

問題情境：課堂上老師展示了一張直角三角形紙片.請同學們進行折紙活動，已知在Rt/k/lBC中.4AC8=90°,

點。、尸分別是8C、4B上的一點.連接。尸.

圖1圖2圖3

（1）如圖1.小紅將沿直線。尸折疊，點、8恰好落在BC上點、E處,若」52￡_=工，則竺的值

S四邊形ACEF7DC

⑵如圖2,小明將△BDF沿直線"7折疊，點8落在47上點￡處，若FE1AC,求證：四邊形放外是菱形；

⑶如圖3.小亮將48DF沿直線爐折疊，點8落在4C延長線上點￡處，且h平分乙力E。，若力C=3,8C=4,

求宏的長.

14.（2023秋?江蘇南京?八斗級統(tǒng),考期末）（1）如圖1,在△?1，「「，△/!=30°,4c=90。.求證Z?C=-AB.

2

（圖1）（圖2）

①補全證明過程.

證明：如圖2,取4B中點伉連接CD.

：,BD=AD=-AB.

2

在△ABC中，ZC=90°,

：.CD=BD.

又=30°,

?LB=90°-乙4=60°.

:.公BCD為三角形.

：,BC=BD=-AB.

2

②謂用文字概括①所證明的命題：

（2）如圖3,某市三個城鎮(zhèn)中心。，E,尸恰好分別位于一個等邊三角形的三個頂點處，在三人城鎮(zhèn)中心之

間鋪設通信光纜，以城鎮(zhèn)。為出發(fā)點設計了三種連接方案:

方案1:DE+EF:

方案2：DG+EF（G為的中點）;

方案3:OD+OE+OF（0為三邊的垂直平分線的交點）.

D

EG

方案1方案2方案3

(S3)

①設0E=6,通過計算，比較三種連接方案中鋪設的光纜長度的長短:

②不計算，比較三種連接方案中鋪設的光纜長度的長短，并說明理由.

15.（2023秋?河南洛陽?八年級統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的

對稱軸，如圖1,直線MN是線段48的垂直平分線，戶是MN上任一點，連接PA、PB,將線段AB沿直線MN對

稱，我們發(fā)現(xiàn)P4與PB完全重合，由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩

端的距離相等.

圖2

（1）請你結合圖形把已知和求證補充完整，并寫出證明過程.

已知：如圖1,MN1AB,垂足為點C,，點P是直線MN上的任意一點.求證:

（2）證明：如圖2,。。是線段48垂直平分線，則N&4Z）與ZTBD有何關系？請說明理由.

考點5:全等三角形的綜合問題

例9.（2023秋?河南南陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△/18C中，乙4cB=90。，CE1于點=AC,

4F平分NC4B交CE于點尸，D尸的延長線交4c于點G.

⑴求證：DFWBC;

(2)若AE=6,CE=8,求線段GF的長.

例10.(2023秋?湖北黃岡?八年級統(tǒng)考期末)已知OM是乙408的平分線，點戶是射線OM上一定點，點

圖①圖②

(1)如圖①，當PCJLO力，PDJ.08時，則PC與PD的數(shù)量關系是:

⑵如圖②，點C、。在射線。力、。3上滑動，且乙4。8=90°,當PCJ.PD時，PC與P。在(1)中的數(shù)量關

系還成立嗎？請說明理由.

(3)在問題(2)中，若。。+。0=6,則四邊形。DPC的面積S是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，

請說明理由.

知識點訓練

1.(2023秋-河南商丘?八年級統(tǒng)考期中)如圖，在△力5c中，LABC=90°,。，土分別為邊工&8c上一點,

連接已知48=

A

BEC

(1)求宙E:8。平分乙4BC;

(2)若乙4=55°,求證：Z-CDE=-/,ADB.

2.（2023秋?湖北荊州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=2AB,。是4C上一點，Z-ABD=20°,

E是BD上一點、,EALAB,EB=EC.

（1）求證：8D平分乙48C;

⑵求ZDEC的度數(shù).

3.（2023秋-重慶長壽-九年級統(tǒng)考期末）在圖（1）至圖（2）中，直線MN與線段相交于點。/1=Z2=45°.

圖⑴圖⑵

（1）如圖（1）,若?1O=OB,請寫出力。與BZ）的數(shù)量關系和位置關系；

⑵將圖（1）中的MN繞點。順時針旋轉得到圖（2）,其中力0=08.求證：AC=BD,AC18D.

4.（2023秋?重慶萬州?八年級統(tǒng)考期末）小明在物理課上學習了發(fā)聲物體的振動實膾后，對其作了進一

步的探究：在一個支架的橫桿點0處用一根細繩懸掛一個小球4,小球力可以自由擺動，如圖，。4表示小

球靜止時的位置.當小明用發(fā)聲物體靠進小球時，小球從。力擺到。8位置，此時過點8作BD_1。4于點。

當小球擺到。C位置時，08與。。恰好垂直（圖中的4B、0、。在同一平面上），過點C作CE1。4于點￡,

測得CE=15cm,4D=2cm.

（1）試說明OE=BD：

（2）求DE的長.

5.（2023秋?海南?？?八年級校聯(lián)考期末）如圖1,在△/1BC中，Z.BAC=90°.AB=AC,AD1BC^

點。，乙MDN=90。，將2MDN繞點。順時針旋轉，它的兩邊分別交AB、4c于點旦F.

(1)求證：bBDE*ADF.,

⑵如圖2,若DM=DN,連接BM、N4,求證：BM=AN.

6.(2023秋?江蘇宿遷?八年級統(tǒng)考期末)如圖，已知4c平分N84凡CE_L4B于點E,。/_1力產(chǎn)于點尸，且

BC=DC.

⑴求證：BE=DF;

⑵若AB=21,4。=9,求。尸的長.

7.(2023秋?廣西南寧?九年級統(tǒng)考期末)如圖，將矩形為8CD繞點8旋轉得到龍形BEFG,點￡1在上,

延長ZM交GF于點H.

(1)求證：△ABEMZkFEH:

(2)連接BH,若乙E8C=30。，求NABH的度數(shù).

8.(2023秋?山東威海?七年級統(tǒng)考期末)在四邊形力BOE中，點C是8。邊的中點.

圖①圖②

(1)如圖①，4c平分匕BAE,/-ACE=90°,寫出線段｛E,AB,DE間的數(shù)量關系及理由；

(2)如圖②，4c平分4BAE,EC平分N4ED,^ACE=120°,寫出線段48,BD,DE,4E間的數(shù)量關系及理

由.

9.(2023秋?廣西柳州?八年級統(tǒng)考期末)在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，A(a,0),B(0,b),且

a,b滿足(a-3)z+g-3|=0,連接A8.

(1)求點48點的坐標；

⑵如圖1,動點C從點。出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿v軸正半軸運動，運動時間為七秒(0<￡<3),連

接,46過點C作CDJ.AC,且CD=CA,點。在第一象限，請用含有1的式子表示點。的坐標：

⑶在(2)的條件下，如圖2,連接并延長08交x軸于點￡連接49和4氏過點8作線段8F交x軸于點廠，

使得乙0BF=CDCB,已知此時點尸的坐標為(一1,0),求△AOE的面積.

10.(2023秋?福建福州?八年級統(tǒng)考期末)在平面直角坐標系x%中，點4(0,a),8(》,0),C(c,0),點。

在第四象限，其中a>0,b<0,c>0,Z-BAC+Z-BDC=180°,AC1CD.

⑴如圖1,求證：4BA0=4C8D：

(2)若|。一。|+爐+66+9=0,且=

①如圖1,求四邊形力COB的面積：(用含a的式子表示)

②如圖2,80交y軸于點￡連接40,當￡■關于/。的對稱點K落在x軸上時，求CK的長.

專題4.3全等三角形

考點1：全等形和全等三角形性質(zhì)

考點2:全等三角形的判定及應用

專題4.3全等三角形一考點3:角平分線性質(zhì)定理和逆定理

考點4:線段垂直平分線性質(zhì)定理和逆定理

考點5:全等三角形的綜合問題

考點1：全等形和全等三角形性質(zhì)

例1.（1）（2023秋?江蘇連云港?八年級校考階段練習）下列圖標中，不是由全等圖形組

合成的是（）

A.B.??

答案：C

分析：根據(jù)全等圖形的概念分析即可.

【詳解】解：A、該圖像是由三個全等的圖形構成，故該選項不符合題意；

B、該圖像是由五個全等的圖形構成，故該選項不符合題意；

C、該圖像不是由全等圖形構成，故該選項符合題意；

D、該圖像是由兩個全等的圖形構成，故該選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了全等圖形，熟練掌握能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形是解題的關鍵.

（2）（2023秋-浙江臺州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，△A8C三△/）￡1￡且心力=55°,，B=75°,

則乙尸二°,

D

答案：50

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理計算出乙。的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：在△力BC中，ZC=180°-/.A-Z.B=180°-55°-75°=50°,

??'△ABC=ADFF,

:,（F=zC=50°,

故答案為：50.

【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和，全等三角形的性質(zhì)的綜合，理解并掌握三角形的內(nèi)

角和等于180。，全等二角形中對應角的度數(shù)相等是解題的關鍵.

（3）（2023秋?沏南岳陽?八年級校考期中）如圖，AABC三ADEC,點8、C、0在同一直

線上，且8