專題16.3軸對(duì)稱十六大必考點(diǎn)

【人教版】

【考點(diǎn)?軸對(duì)稱中坐標(biāo)與圖形變化】.............................................................1

【考點(diǎn)2格點(diǎn)中的軸對(duì)稱】......................................................................3

【考點(diǎn)3設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】......................................................................7

【考點(diǎn)4鏡面對(duì)稱】...........................................................................10

【考點(diǎn)5利用軸對(duì)稱求最值】...................................................................12

【考點(diǎn)6尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】......................................................16

【考點(diǎn)7利用三線合一求值】...................................................................18

【考點(diǎn)8利用三線合一證明】..................................................................22

【考點(diǎn)9利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】........................................................26

【考點(diǎn)10利用等角對(duì)等邊證明】................................................................31

【考點(diǎn)11作等腰三角形】.......................................................................37

【考點(diǎn)12等邊三角形的判定與性質(zhì)】............................................................41

【考點(diǎn)13含30度的直角三角形】...............................................................51

【考點(diǎn)14尺規(guī)作垂直平分線或垂線】............................................................59

【考點(diǎn)15垂直平分線的判定與性質(zhì)】............................................................63

【考點(diǎn)16等腰三角形中的新定義問題】..........................................................72

蓊力浮一及三

【考點(diǎn)1軸對(duì)稱中坐標(biāo)與圖形變化】

[例I]（2022?貴州省遵義市第一初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)匕（2。一萬(wàn),2）和22（—7,4。+2》）關(guān)于工軸

對(duì)稱，則蘇=_.

【答案】-8

【分析】根據(jù)題意，列關(guān)于〃、b的二元一次方程組，求解并計(jì)算即可；

【詳解】團(tuán)點(diǎn)P1（2a-42）和P2（-7,4a+2b）關(guān)于％軸對(duì)稱,

（2a—b=-7

0（2+（4a+2b）=0

解得仁了

:.ab=（-2下=-8.

故答案為：一8

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解二元一次方程組，掌握相關(guān)知識(shí)并熟練使用，同時(shí)注意解

題中需注意的事項(xiàng)是本題的解題關(guān)鍵.

【變式1-1]（2022?內(nèi)蒙古?霍林郭勒市第五中學(xué)七年級(jí)期中）將點(diǎn)A光向下平移3個(gè)單位，再向右平移2

個(gè)單位后得8（-2,5）,則A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】（4,8）

【分析】設(shè)A（x,），），根據(jù)向下平移縱坐標(biāo)減，向右平移橫坐標(biāo)加列方程求解，再根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的

點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)〃解答.

【洋解】解：設(shè)A（x，#，

（3點(diǎn)4向下平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后得B（-2,5）,

盟+2=-2,），-3=5,

解得x=-4,y=8,

回點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4,8）,

0A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（4,8）.

故答案為：（4,8）.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)的平移規(guī)律，以及關(guān)于4軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱

點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于,，軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫

坐標(biāo)互為相反數(shù).

【變式1-2]（2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)尸C2a+b,-3a）與點(diǎn)式（8,b+2）.

⑴若點(diǎn)p與點(diǎn)”關(guān)于x軸對(duì)稱，求。、b的值.

⑵芳點(diǎn)〃與點(diǎn)“關(guān)于y軸對(duì)稱，求〃、的值.

【答案】⑴。=2,b=4

⑵”=6,b=-20

【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可；

（2）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)方程組求解即可.

（1）

解：用點(diǎn)P與點(diǎn)P'關(guān)于x軸對(duì)稱，

團(tuán)2>〃=8,3〃=力+2,解得。=2,b=A.

（2）

解：回點(diǎn)〃與點(diǎn)P'關(guān)于》軸對(duì)稱,

團(tuán)2a+〃=-8,-3d=b+2

解得。=6,b=-20.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)特征，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反

數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

【變式1-3](2022?吉林白山?八年級(jí)期末)在坐標(biāo)平面上有一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其中A(3,和8(3,

-是圖形上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，若此圖形上另有一點(diǎn)C(-2,-9),則C點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(-2,1)B.(-2,.|)C.(-|,-9)D.(-2,-1)

【答案】A

【分析】先利用點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)特征可判斷圖形的對(duì)稱軸為直線y=-4,然后寫出點(diǎn)C關(guān)于直線y=-4的對(duì)

稱點(diǎn)即可.

【詳解】解：VA(3,-泰和3(3,-藍(lán))是圖形上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，

:,點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線y=-4對(duì)稱，

???點(diǎn)C(-2,-9)關(guān)于直線y=-4的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1).

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化，需要注意關(guān)于直線對(duì)稱：關(guān)于直線x=m對(duì)稱，則兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相

同，橫坐標(biāo)和為2m：關(guān)于直線y=n對(duì)稱，則兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)和為2n.

【考點(diǎn)2格點(diǎn)中的軸對(duì)稱】

【例2】(2022?湖北?武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)開學(xué)考試)如圖，是一個(gè)8x10正方形格紙，“A8C中A點(diǎn)

坐標(biāo)為(?2,1),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2).

⑴請(qǐng)?jiān)趫D中建立平面直角坐標(biāo)系，指出AABC和△AB'C'關(guān)于哪條直線對(duì)稱？(直接寫答案)

(2)作出AABC關(guān)于x軸對(duì)稱圖形△4&G；請(qǐng)直接寫出4、夕、C'三點(diǎn)坐標(biāo).

⑶在x軸上求作一點(diǎn)M,使的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】⑴見解析，△A8C與△48。關(guān)于)，軸對(duì)稱

(2)見解析，A(2,1),夕(1,2H(3,3)

(3)見解析，MT，0)

【分析】(1)根據(jù)A,3兩點(diǎn)坐標(biāo)，確定平面直角坐標(biāo)系即可;

(2)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Ci即可;

(3)作點(diǎn)*關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)8",連接力8"交x軸于點(diǎn)M,連接點(diǎn)M即為所求.

(1)

解：(1)如圖，平面直角坐標(biāo)系如圖所示：AABC與△小9。關(guān)于)，軸對(duì)稱；

(2)

如圖，△&B1G即為所求，4(2,1),夕(1,2),。'(3,3)；

(3)

如圖，點(diǎn)M即為所求.A/(-1,0).

此時(shí)：CUB*=/夕+AM+B'M=AB'+AM+B"M=ABr+AB",

此時(shí)滿足周長(zhǎng)最短.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-軸對(duì)稱交換，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決

最短問題，屬于中考?？碱}型.

【變式2-1](2022?山東濟(jì)南?八生級(jí)期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A(-2,1),B(-3,4),C(-

1,3),過點(diǎn)(1,0)作x軸的垂線/.

⑴作出0ABC關(guān)于直線/的軸對(duì)稱圖形△A]B]G；

⑵直接寫出4(,),比(,_),Ci(,—)；

⑶在財(cái)灰?內(nèi)有一點(diǎn)P(/〃，〃)，則點(diǎn)尸關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)居的坐標(biāo)為(,)(結(jié)果用含加，〃

的式子表示).

【答案】(1)見解析

(2)4,1；5,4；3,3

(3)2—m,n

【分析】(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出財(cái)3c關(guān)于直線/的軸對(duì)稱圖形△&B1G；

(2)根據(jù)坐標(biāo)系寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)與△4&C1關(guān)于直線/的軸對(duì)稱，則P與Pi關(guān)于％=1對(duì)稱，據(jù)此即可求解?.

(1)

解：如圖,△Ai/Ci為所作;

(2)

由圖形可知：A,(4,1),B,(5.4),Ci(3,3)；

故答案為：4,1；5,4；3,3；

(3)

點(diǎn)P關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2-in,n).

故答案為:2?〃?，〃.

【點(diǎn)睛】本題考查/畫軸對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)4B,C,M,N都在格點(diǎn)上.

⑴作zMBC關(guān)于直線MN對(duì)稱的圖形zMiBC；

⑵若網(wǎng)格中最小正方形邊長(zhǎng)為1，求的面積；

⑶在直線MN上找一點(diǎn)P,使得PC-/M1的值最大，并畫出點(diǎn)P的位置.

【答案】(1)詳見解析

⑶詳見解析

【分析】(1)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，Bi，Q即可.

(2)根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

(3)連接4G交直線MN于點(diǎn)P：此時(shí)PC-P4的值最大.

(1)

如圖，△4&G即為所求.

(2)

△48c的面積為3x3-^xlx3-ix3x2-ixlx2=^.

(3)

點(diǎn)P即為所求

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換，軸對(duì)稱-最短路徑問題，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸

對(duì)稱的性質(zhì)準(zhǔn)確作出點(diǎn)P.

【變式2-3](2022?天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心八年級(jí)期中)如圖，已知三點(diǎn)A(-2,3),B(3,-3),C

(-3,1),A/WC與△A//G關(guān)于x軸對(duì)稱，其中4,Bi，G分別是點(diǎn)A,3,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

⑴畫出△A/3/G，并寫出三個(gè)頂點(diǎn)4，Bi，G的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)M(m+2,九一1)是△ABC上一點(diǎn)，其關(guān)于文軸的對(duì)稱點(diǎn)為-4,n-3),求m,”的值.

【答案】(1)圖見解析，A,(-2,-3),Bi(3,3),Ci(-3,-1)

(2)陽(yáng)=-3,〃=2

【分析】(1)首先確定A、B、C三點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)位置，再連接即可，然后再利用坐標(biāo)系寫出4,Bt,。的

坐標(biāo)；

(2)利用關(guān)于x軸的對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)可得山+2=?。4〃?1+/1?3=0,再解方程即可.

(1)

如圖所示,AX/bG即為所求,

Ai(-2,-3),Bi(3,3),Ci(-3,-1)；

(2)

回點(diǎn)M(m+2,?-1)是AABC上一點(diǎn)，其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M'(加-4,m3),

0/w+2=-w-4?/?-1+/?-3=0,

解得：〃?=-3,n-Z.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖-軸對(duì)稱變換，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)位置.

【考點(diǎn)3設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】

【例3】(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖所示的“鉆石〃型網(wǎng)格(由邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形

組成)，其中已經(jīng)涂黑了3個(gè)小三角形(陰影部分表示)，請(qǐng)你再只涂黑一個(gè)小三角形，使它與陰影部分

合起來(lái)所構(gòu)成的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，一共有()種涂法.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】將一個(gè)圖形沿著某條直線翻折，直線兩側(cè)的部分能夠完全重合的圖形是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形

的概念進(jìn)行設(shè)計(jì)即可.

【詳解】解：如圖所示：

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的概念，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握軸對(duì)稱圖形的概念.

【變式3-1](2022?河北?九年級(jí)專題練習(xí))如圖為5x5的方格，其中有A、B、。三點(diǎn)，現(xiàn)有一點(diǎn)?在其它

格點(diǎn)上，且4、B、C、P為軸對(duì)稱圖形，問共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)尸()

C

AB

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出符合題意的點(diǎn)即可.

【詳解】解：如圖所示：A、B、GP為軸對(duì)稱圖形，共有4個(gè)這樣的點(diǎn)P.

答案:B.

￡

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案,正確把握軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）在3x3的正方形網(wǎng)格中，有三個(gè)小方格涂上陰影，請(qǐng)?jiān)僭谟嘞?/p>

的6個(gè)空白的小方格中，選兩個(gè)小方格并涂成陰影，使得圖中的陰影部分組成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，共有（）種

不同的填涂方法.

A.3種B.4種C.5種D.6種

【答案】D

【分析】如圖，將圖中的空白正方形標(biāo)號(hào)，然后根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義對(duì)其不同的組合進(jìn)行判斷即可.

【洋解】解：如圖所示：

當(dāng)將①②、①⑤、②③、②⑥、④⑤、④⑥分別組合，都可以得到軸對(duì)稱圖形，共有6種方法.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的設(shè)計(jì)，熟知概念、明確方法是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2022?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）現(xiàn)有如圖1所示的兩種瓷磚，請(qǐng)你從兩種瓷磚中各選兩塊，拼

成一個(gè)新的正方形，使拼成的圖窠為軸對(duì)稱圖形，如圖2,要求：在圖3,圖4中各設(shè)計(jì)一種與示例拼法不

同的軸對(duì)稱圖形.

□□

圖1圖2圖3圖4

【答案】見解析

【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及軸對(duì)稱的作圖方法來(lái)作圖,通過變換對(duì)稱軸來(lái)得到不同的圖案即可.

【詳解】解：依照軸對(duì)稱圖形的定義，設(shè)計(jì)出圖形，如圖所示.

圖3圖4

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，利用軸對(duì)稱定義得出是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4鏡面對(duì)稱】

【例4】（2022?江蘇?宜興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）小明在鏡中看到身后墻上的時(shí)鐘如下，你認(rèn)為實(shí)際

時(shí)間最接近9：00（）

A.

【答案】B

【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的鐘面上的時(shí)針、分針的位置和實(shí)物應(yīng)關(guān)于過12時(shí)、6時(shí)的直

線成軸對(duì)稱.

【詳解】9點(diǎn)的時(shí)鐘，在鏡子里看起來(lái)應(yīng)該是3點(diǎn)，所以最接近9點(diǎn)的時(shí)間在鏡子里看起來(lái)就更接近3點(diǎn),

所以應(yīng)該是圖B所示，最接近9點(diǎn)時(shí)間.

故選:B.

【點(diǎn)睛】主要考查鏡面對(duì)稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上卜.順序顛倒，且關(guān)于鏡

面對(duì)稱.

【變式4-1］（2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面圓形大鏡子，從鏡子中看到汽車車

牌的部分號(hào)碼如圖所示，則該車牌照的部分號(hào)碼為—.

【答案】E6395

【分析】利用鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解.鏡面對(duì)稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且

關(guān)于鏡面對(duì)稱.

【詳解】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，題中所顯示的圖片中的數(shù)字與“E6395”成鏡面對(duì)稱，則該車牌照的部分

號(hào)碼為E6395.

故答案為：E6395.

【點(diǎn)睛】本題考查了鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，掌握鏡面對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2022?黑龍江?哈爾濱順邁學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）從鏡子中看到背后墻上電子鐘的示意數(shù)為10：

05,這時(shí)的實(shí)際時(shí)間為.

【答案】20：01

【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱.

【詳解】解：由圖分析可得題中所給的"10：05〃與“20：01"成軸對(duì)稱，這時(shí)的時(shí)間應(yīng)是20：01.

故答案為：20：01.

【點(diǎn)睛】本題考查了鏡面反射的原理與性質(zhì).解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧.

【變式4-3］（2022?甘肅平?jīng)?八年級(jí)期中）小明從平面鏡子中看到鏡中電子鐘示數(shù)的像如圖所示，這時(shí)的

時(shí)刻應(yīng)是.

【答案】16:25:08

【分析】關(guān)于鏡子的像，實(shí)際數(shù)字與原來(lái)的數(shù)字關(guān)于豎直的線對(duì)稱，根據(jù)相應(yīng)數(shù)字的對(duì)稱性可得實(shí)際數(shù)字.

【詳解】解：團(tuán)是從鏡子中看，

（3對(duì)稱軸為豎直方向的直線，

團(tuán)5的對(duì)稱數(shù)字為2,2的對(duì)稱數(shù)字是5,鏡子中數(shù)字的順序與實(shí)際數(shù)字順序相反，

團(tuán)這時(shí)的時(shí)刻應(yīng)是16:25:08.

故答案為16:25:08.

【點(diǎn)睛】本題考查鏡面對(duì)稱，得到相應(yīng)的對(duì)稱軸是解決本題的關(guān)鍵；若是豎直方向的對(duì)稱軸，數(shù)的順序正

好相反，注意2的對(duì)稱數(shù)字為5,5的對(duì)稱數(shù)字是2.

【考點(diǎn)5利用軸對(duì)稱求最值】

【例5】（2022?湖南?李達(dá)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在RUL4BC中，乙4cB=90。,AC=6,BC=8,AB

=10,A。是484c的平分線，若P,。分別是4。何AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+尸。的最小值是（）

A.2.4B.4C.4.8D.5

【答案】C

【分析】由題意可以把。反射到AB的。點(diǎn)，如此尸C+PQ的最小值問題即變?yōu)镃與線段AB上某一點(diǎn)。的

最短距離問題，最后根據(jù)“垂線段最短”的原理得解.

【詳解】解：如圖，作Q關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)O,貝iJPQ=P。，所以。、尸、C三點(diǎn)共線時(shí)，CO=PC+PO=PC+PQ,

此時(shí)PC+PQ有可能取得最小值，

團(tuán)當(dāng)。。垂直于即CO移到CM位置時(shí)，CO的長(zhǎng)度最小，

團(tuán)PC+PQ的最小值即為CM的長(zhǎng)度，

0S△.8c=-ABxCM=^ACxCB,

22

團(tuán)CM=鬻=4.8,即PC+PQ的最小值為4.8,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路徑問題，垂線段最短，通過軸反射把線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為線段外一

點(diǎn)到線段某點(diǎn)連線段最短問題是解題關(guān)鍵.

【變式5-1］（2022?河南駐馬店?七年級(jí)期末）如圖，四邊形48CD中，LBAD=a,=90。，在8C、

CD上分別找一點(diǎn)“、M當(dāng)△4MN周長(zhǎng)最小時(shí)，則乙M4N的度數(shù)為（）

AD

A.-aB.2a-180°C.180°-aD.a-90°

2

【答案】B

【分析】根據(jù)要使AAMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于8。和

CO的對(duì)稱點(diǎn)4,A”,即可得出胡4川+的〃=07744。進(jìn)而得出財(cái)MN+MNM=2(a4dM+EL4")即可得出答案.

【詳解】解：作A關(guān)于8c和CO的對(duì)稱點(diǎn)H,A",連接44",交BC于M,交CO于M則/夕〃即為aAMN

的周長(zhǎng)最小值.作04延長(zhǎng)線A”，

團(tuán)團(tuán)ZMB=a,

(3團(tuán)〃/力'=180。一。，

0EW/1'M+^A"=WAAf=180°-a,

^\MA'A=^MAA\0/VAD=a4r,,

且也刈為(3M4Q+比T=[MNM,

回aAMN+a4MW=0A/4"EA///r+mNAQ+ar'=2(0J/TA/+0/T)=2(180°-a)=360°-2a,

:.ZMAN=180°-(乙AMN+4力NM)=180°-(360°-2a)=2a-180°.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱?最段路線問題，熟練掌握平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)

和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出N的位置是解題關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形A4C。中，AD=BC=3,AB=CD=4,AC=5,

動(dòng)點(diǎn)M在線段AC上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)M關(guān)于邊A。，0c的對(duì)稱點(diǎn)分別為M/,M2,連接M/Mz，點(diǎn)

。在M/M2上，則在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，線段M/M2長(zhǎng)度的最小值是.

【分析】過。作DWMC十時(shí)，連接。M,根據(jù)已知，由面枳法先求出。由M關(guān)于邊AD,。。的

對(duì)稱點(diǎn)分別為也，M2,可得。M/=OM=OM2,M,M2=2DM,故線段MM2長(zhǎng)度最小即是。M長(zhǎng)度最小，此時(shí)

0MMC,M與M重合，即可得M/%最小值為2OM'號(hào).

【詳解】解：過。作。MEL4c于W,連接DM,如圖：

.4^---------------------------------

長(zhǎng)方形A8CZ）中，4ABe=3,48=8=4,AC=5,

^ADC^D.CD^CDM',

團(tuán)DW=S=W,

AC55

（3M關(guān)于邊人。，。。的對(duì)稱點(diǎn)分另!為M2,

回。必=QM=O河2，

團(tuán)%/%=2。例，

線段M/M2長(zhǎng)度最小即是長(zhǎng)度最小，此時(shí)OAMAC,即M與M,重合，也〃2最小值為2DAf=*.

5

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)稱變換，涉及三角形面積、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將求MM2長(zhǎng)度的最

小值轉(zhuǎn)化為求QM長(zhǎng)度的最小值.

【變式5-3］（2022?福建龍巖?八色級(jí)期中）如圖，在用A48C中，04=90°,AB=8,AC=6,BC=10,M、

N、尸分別是邊48、AC、8c上的動(dòng)點(diǎn)，連接尸M、PN和MN,則PM+PN+MN的最小值是.

【答案】

【分析】如圖，作點(diǎn)。關(guān)于A8,AC的對(duì)稱點(diǎn)E,F,連接PE,PF,PA,EM,FN,AE,AF.首先證明E,

A,尸共線，則PM+MN+PN=EM+MN+N年EF,推出石廠的值最小時(shí)，PM+MN+PN的值最小，求出心的最

小值，可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)尸關(guān)于A8,AC的對(duì)稱點(diǎn)E,F,連接尸E,PF,PA,EM,FN,AE,AF.

由*j稱的性質(zhì)口J知，AE=AP=AF,WAP=^BAE,0CAP=SCAF,

回勖48+團(tuán)以CW8AC=90°,

回回E4F=180°,

0E,A,尸共線，

(WE=MP,NF=NP,

OPM+MN+PN=EM+MN+NF,

⑦EM+MN+NF^EF,

團(tuán)第7的值最小時(shí)，PM+MN+PN的值最小,

^EF=2PA,

（3當(dāng)外團(tuán)時(shí)，外的值最小，此時(shí)辦=”■*,

AVO

團(tuán)PM+MN+PN2竺，

5

⑦PM+MN+PN的最小值為竺.

5

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)添加輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為兩

點(diǎn)之間線段最短.

【考點(diǎn)6尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】

【例6】（2022?廣東?豐順縣潘田中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,4,8兩點(diǎn)都在

小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)頂點(diǎn)C,使△山九'為等腰二角形，則這樣的頂點(diǎn)?？矗ǎ?/p>

A.8個(gè)B.7個(gè)C.6個(gè)D.5個(gè)

【答案】A

【分析】當(dāng)為底時(shí)，作4B的垂直平分線，當(dāng)48為腰時(shí)，分另!以4、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以力B為半徑作弧，分別

找到格點(diǎn)即可求解.

【詳解】解：當(dāng)力8為底時(shí)，作48的垂直平分線，可找出格點(diǎn)。的個(gè)數(shù)有5個(gè)，

當(dāng)為腰時(shí)，分別以4、8點(diǎn)為頂點(diǎn)，以為半徑作弧，可找出格點(diǎn)。的個(gè)數(shù)有3個(gè)；

???這樣的頂點(diǎn)C有8個(gè).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1］（2022?安徽?合肥市第四十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）RMA8C中，助C8=90。，蜘=60。，在直

線BC上取一點(diǎn)P使得△出8是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有一個(gè).

【答案】4

【分析】分別以A、8為圓心，以A8為半徑作圓，再作的垂直平分線，即可得出答案.

【詳解】解：以A為圓心，以為半徑作圓，與直線3c有一個(gè)交點(diǎn)；

同理以8為圓心，以A8為半徑作圓，與直線8c有兩個(gè)交點(diǎn)；

作AB的垂直平分線與8。有一個(gè)交點(diǎn)，

即有1+2+1=4個(gè)，

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動(dòng)手操

作能力.

【變式6-2](2022?安徽?利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校八年級(jí)期末)如圖，△力的點(diǎn)4、C在直線Lt,LB=

120。，乙4c8=40。，若點(diǎn)P在直線1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ZkABP成為等腰三角形時(shí)，則乙48P度數(shù)是.

【答案】10?；?0?；?0?；?40°

【分析】分三種情形：AB=AP,PA=PB,84=8P分別求解即可解決問題.

【詳解】解：如圖，

在/ABC中，???LBAC=180°-^ABC-Z-ACB=180°-120°-40°=20°,

①當(dāng)時(shí)，

AB=AP=Z.APXB=10°,LABP3=LAP3B=\(180°-20°)=80°,

②當(dāng)時(shí)，

PA=PBAABP2=^AP2B=20°,

③當(dāng)BA=8尸時(shí)，(ABP?=180°-20°-20°=140°,

綜上所述，滿足條件的N/I8P的值為10?；?0?；?0?；?40。.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),

屬于常考題型.

【變式6-3](2022?天津市武清區(qū)楊村第五中學(xué)八年級(jí)期中)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別是

A(3,0),B(0,4),若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，且0見8是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有個(gè).

【答案】8

【分析】分三種情況①以8為圓心，以A8為半徑作圓與兩軸的交點(diǎn)，②以A為圓心，以為半徑作圓

與兩軸的交點(diǎn)，，③以A4為底，43的垂直平分線與兩軸的交點(diǎn)即可

【詳解】解：如圖所示：

①以8為圓心，以48為半徑作圓，交），軸有2點(diǎn)，交x軸有1點(diǎn)（點(diǎn)A除外），此時(shí)共3個(gè)點(diǎn)；

②以A為圓心，以AB為半徑作圓，交），軸有1點(diǎn)（點(diǎn)8除外），交x軸有2點(diǎn)，此時(shí)共3個(gè)點(diǎn)，

③以AB為底的三角形有2個(gè)，點(diǎn)尸在4B的垂直平分線上，分別交x軸、.V軸各1個(gè)點(diǎn)，此時(shí)共2個(gè)點(diǎn)；

3+3+2=8,

因此，滿足條件的點(diǎn)尸有8個(gè)，

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、熟練掌握等腰三角形的判定，分三種情況討論

圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)以及線段垂直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)7利用三線合一求值】

【例7】（2022?河北保定?八年級(jí)期末）如圖，一位同學(xué)拿了兩塊同樣的含45。的三角尺，即等腰直角△例NK,

等腰直角aACB做了一個(gè)探究活動(dòng)：將△MNK的直角頂點(diǎn)M放在AABC的斜邊A3的中點(diǎn)處，設(shè)AC=8C=

〃，猜想此時(shí)重疊部分四邊形CEM/7的面積為（）

【答案】C

【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得0ACM二M,0GWF=(3^WE,從而證明國(guó)CM麗BME,

根據(jù)四邊形CEA/F的面積=SMMF+S&CEM=S48CM求I出答案.

【詳解】解：連接MC,

(3A4C8是等腰直角三角形，M是4B的中點(diǎn)，

(3MC1M8,(MCM=[3BCM=[aB=45°,

團(tuán)MC=MB,0BA/C=9O°,

(3團(tuán)EM產(chǎn)=90°=團(tuán)BMC,

^EMF-KME=^BMC-^CME,BP0CMF=0^WE,

在liCM廠和團(tuán)6ME中，

"CM=乙EBM=45°

MC=MB,

"MF=乙BME

00CMfl33Z?ME(ASA),

團(tuán)SACMF=S&BME?

(21四邊形CEMF的面積=SMMF+SKEM=S4BME+^ACEM=S&BCM=5sW。？，

Z4

故選:c.

【點(diǎn)睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明13CMR33BME.

【變式7-1](2022?廣東?深圳市布心中學(xué)七年級(jí)期末)如圖，MCB和mDCE均為等腰直角三角形，且

CMC?=raDCE=90\點(diǎn)A、。、石中向一條直線上，CM平分皿兀?石，連接BE,以下結(jié)論：①八O=DC;②CMME；

③AE?BE=2CM：@^BCM=XBE,正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】由"SAS"可證團(tuán)4CQ0團(tuán)3CE,可得AD=3E,財(cái)。CW8EC,可判斷①，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得

回CDE/CEQ=45。，CM^AE,可判斷②，由全等三角形的性質(zhì)可求刖￡8=團(tuán)。0￡=90。，可得CM||8E,可證

^BCM^CBE,可判斷④，由線段和差關(guān)系可判斷③，即可求解.

【洋解】解：國(guó)ACB和團(tuán)OCE均為等腰直角三角形，

(3CA=CB,CD=CE,aACB=0DCE=9O°,

0tMCD=0BCE,

AC=BC

在(L4C。和團(tuán)BCE中，｛Z.ACD=乙BCE,

CD=CE

^ACD^BCE(SAS),

[?L4D=Z?￡,(MOO回BEC,故①錯(cuò)誤，

釀。CK為等腰直角二角形，CM平分團(tuán)。。&

團(tuán)團(tuán)CDE=I3CED=45°,CMiBAE,故②正確，

團(tuán)點(diǎn)A,D,E在同一直線上，

團(tuán)財(cái)。0135°.

00^EC=135°.

(a0ZE?=afi￡C-0CED=9O°,

配L4E4=0CM七=90°,

團(tuán)CMII8E,

酶8cMWC8E,故④正確，

團(tuán)CD=CE,CM^DE,

^DM=ME.

00DC￡=9O°,

(3OM=ME=CM.

^AE=AD+DE=BE+2CM.

^AE-BE=2CM,故③正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明財(cái)CD甑BC￡是本題的關(guān)鍵.

【變式7-2](2022?浙江?平陽(yáng)蘇步青學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))如圖，CO是等腰三角形△48C底邊上的中線，

8E平分0A8C,交CD于點(diǎn)E,AC=6,DE=2,則△BCE的面積是（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】作以近8c于P，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到七六QE=2,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】解：作"?6c于P,

MC=BC=6,C。是等腰三角形A4BC底邊上的中線，

回C/M4B,

財(cái)￡平分0/WC,EDMB,E/WC，

⑦EF=DE=2,

^BCE的面積/x/3Cx￡7三6,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3］（2022?江蘇?八年級(jí)國(guó)元測(cè)試）如圖，在A4BC中，AB=AC,4O3BC于點(diǎn)D,DS3AC于點(diǎn)E,

。用38于點(diǎn)F,若OE=4,則CF的長(zhǎng)為.

【答案】8

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得到助BC是MCO的面積的兩倍，然后用等面積法求得。E和CF的關(guān)系，進(jìn)

而得到CT的長(zhǎng).

【詳解】0a48c中，AB=AC,

勖W是△ABC的中線，

9

團(tuán)S&48C=2ShACD=2^^DEAC=DE?AC,

團(tuán)S“BC=：AB?CF,

南8?。r=Q￡>AC,

（MC=48,

^CF=DE,

回QE=4,

0CF=8；

故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等面積法求高.

【考點(diǎn)8利用三線合一證明】

【例8】（2022?江蘇?泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級(jí)）已知：如圖財(cái)BC中，AB=AC,人。和BE是高，它們

交于點(diǎn)，，且求證：

⑴MH￡1313BCE；

（2）AH=2BD.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）由財(cái)4c是等腰三角形，從。和3E是高，可知回￡8C+團(tuán)C/C4Q+團(tuán)C=90。，通過4sA即可證明

^AEH^BEC,

（2）由（1）可知以物BCE,則4H=8C,1M8C是等腰三角形，A。是底邊上的高，可知8c=280,即可

進(jìn)行證明.

(1)

證明：血。是高，是高

00EBC+3C=0C/4D+0C=9O°

^EBC=^CAD

又IME=BE,^AEH^BEC

(3財(cái)石加團(tuán)BEC(ASA)；

(2)

^AEH^BEC

^AH=BC

MB=AC,AO是高

^DC=2BD

M/7=2BD.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、及三角形全等的判定方法.解決本題的關(guān)鍵是證明朋E?他BEC.

【變式8-1](2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，EABC中，4。是的平分線，DEJMB,DFJMC,E、

戶為垂足，連接EF交八。于G,試判斷”)與灰垂直嗎？并說(shuō)明理由.

【答案】4龍￡/，，理由見解析

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得?！?。凡然后再證/?頒瓊利?也”?？傻肁E=AP,即蜘即是等腰三

角形，最后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可.

【詳解】解：AD0EF,理由如下：

EL4D是(38AC的平分線，DE^AB,DF^AC,

^DE=DF,

在Rt^AED和Rf^AFD中，

(AD=AD

九mE=DFf

即由AED^R煙AFD(HL),

^AE=AF,即助E”是等腰三角形

MD平分回EAR

0AD0EF(等腰三角形三線合一).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)，說(shuō)明財(cái)“是等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵.

【變式8-2］（2022?北京?垂楊柳中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在財(cái)8c中，AB=AC,其中AO,都是園WC的

高.求證：^BAD=XAD=^EBC.

【答案】證明見解析.

【分析】先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出魴AQ=E）CA。，再由三角形的高的定義得出財(cái)EC=（MQC

=90°,根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到回￡4C+團(tuán)C=90。，團(tuán)CAO短C=90。，根據(jù)同角的余角相等得出國(guó)￡BC=

□CAD,等量代換得至岫34。=囹。4。=團(tuán)￡力。.

【詳解】證明：IM8=AC,ACX2BC,

WAD=^CAD.

團(tuán)B￡0CE,AD^BC,

00^EC=04/9C=9O°,

團(tuán)［3EBC+aC=90°,0C/4D+0C=9O°,

釀￡8C=團(tuán)CAO,

WAD=^CAD=^EBC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

【變式8-3］（2022?山東青島?七年級(jí)期末）已知,在A48C中，4C=BC,24cB=90。，2。平分UCB交AB于

點(diǎn)D,點(diǎn)、E是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)力、B重合），連接CE.

(1)如圖①，若E運(yùn)動(dòng)到80上，過點(diǎn)4作CE的垂線交C0于點(diǎn)G,CE于點(diǎn)、F,CB于點(diǎn)H,求證：CG=BE；

⑵如圖②，若E運(yùn)動(dòng)到/。上，過點(diǎn)力作CE的垂線與CE延長(zhǎng)線交于點(diǎn)兒延長(zhǎng)力F交CO延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,試猜想

CG.8E的數(shù)量關(guān)系并證明.

【答案】(1)證明見解析

(2)CG=BE,證明見解析

【分析】(1)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得乙8=^ACG=45。,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得“AG=乙BCE,

然后根據(jù)三角形全等的判定證出△CAG=△BCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；

(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CO=BD=AD.CD148,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得NG=(DEC，

然后根據(jù)三角形全等的判定證出4406三^。。￡\根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得。6=0￡,最后根據(jù)線段和差

即可得證.

(1)

證明：?.?在△ABC中，AC=BC,LACB=90°,CD平分，4c8,

ZB=Z.ACG=45°,Z.CAG+Z.AHC=90°,

?:AH1CE,

:.Z.BCE+^AHC=90。,

.0?Z.CAG=乙BCE，

AACG=Z-B

在AG4G和ABCE中，AC=CB

/.CAG=乙BCE

:心CAG會(huì)△BCE(ASA),

???CG=BE.

(2)

解：CG=BE,證明如下：

?.?在△A3C中，AC=BC,LACB=90°,CO平分匕AC8,

???CD=BD=AD,CD1AB.

???乙DCE+乙DEC=90°,

-AG1CF,

???乙DCE+=90°,

???Z.G=/-DEC,

^LADG=LCDE=90°

在小。G和△COE中，z.G=Z-DEC,

AD=CD

??.△ADG=ACDE（AAS）,

DG=DE,

又；CD=BD,

???DG+CD=DE+BD,

即CG=BE.

【點(diǎn)睛】本題考杳了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確找出全等三角形是解題

關(guān)鍵.

【考點(diǎn)9利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】

【例9】（2022?江蘇?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，己知△A4C中，A8=6,AC=8,財(cái)8c和財(cái)C6的平分線相交

于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作8。的平行線，分別交A8,AC于￡,F,則r的周長(zhǎng)是.

【答案】14

【分析】根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的等角對(duì)等邊得出E8=EZZFD=FC,即可

得出答案.

【詳解】解：團(tuán)8。平分（MBC,C。平分血4C8,

^EBD=WBC,0FCD=0DCB,

^EDB=BDBC,BFDC=^DCB,

^EBD=^EDB,0FCD=0FDC,

^EB=ED,FD=FC,

團(tuán)48=6,AC=8,

回財(cái)歷的周長(zhǎng)=AE+EF+AF=4￡+EO+FQ+A/=4E+E8+FC+Ar=A3+4C=：14,

故答案為：14.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)以及等腰三角形等角對(duì)等邊，熟練掌握相關(guān)圖形的性

質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式9-1］（2022?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)期中）如圖，財(cái)8。的平分線8尸與MBC中MC8的相鄰?fù)饨荅L4CG的

平分線C/相交于點(diǎn)F,過產(chǎn)作OF〃BC,交人B于。，交AC于￡若BO=9cm,DE=4cm,求CE的長(zhǎng)為

_cm.

【答案】5.

【分析】根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)可證BO=FO,EF=CE,再根據(jù)線段和差可求C￡的長(zhǎng).

【詳解】解：13BF、C/分別平分MBC、（MCG,

00DBF=0C?F,0FCE=（3FCG,

（3OE〃8C,

團(tuán)團(tuán)4=團(tuán)。4k，^EFC=^FCG,

團(tuán)團(tuán)。團(tuán)。m，0FCE=0EFC,

^BD=FD,EF=CE,

回8。=9cm,DE=4cm,,

^EF=DF-DE=BD-DE=9-4=5Cem'）,

^EC=5cm,

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是理解已知條件，根

據(jù)角平分線和平行線得出等腰三角形.

【變式9-2］（2022?浙江?樂清市婦臨寄宿學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在財(cái)4c中，團(tuán)84c的平分線4。交/3C于

點(diǎn)。，E為AC上一點(diǎn)，AE=AB,連接

A

⑴求證：^ABD^AED；

(2)已知MBC=2團(tuán)C且8D=5,AB=9,求AC長(zhǎng).

【答案】⑴見解析；

(2)4C=14.

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得用84。=團(tuán)。4。，然后利用“邊角邊〃證明即可；

(2)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=43,DE=BD,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得斯￡。=回8,

再根據(jù)二角形的一個(gè)外向等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)知的和可得明。=囹。1囪。從而求出團(tuán)C=OCOK,根

據(jù)等角對(duì)等邊可得CE=DE,然后根據(jù)AC=AE+CE計(jì)算即可得解.

(1)

證明：血4￡)是(3B4C的平分線，

WAD=^CAD,

AB=AE

在么48。和AAE。中，/.BAD=LEAD,

AD=AD

^ABD^AED(SAS)；

(2)

解：西48D02L4EQ,

(ME=4B=9,DE=BD=5,(3A￡D=(3B,

(3l?L4/?D=0C+0CDE,mB=2團(tuán)C,

團(tuán)團(tuán)C=^CDE,

^CE=DE=5,

^AC=AE+CE=9+5=14.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等角對(duì)等邊等知識(shí)，熟練掌握全等三

角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式9-3](2022?福建?廈門雙十中學(xué)八年級(jí)期末)如圖，4。為AABC的角平分線.

A

（1）如圖1,若BE上AD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)"，AB=4,AC=7.則b=；

⑵如圖2,。6_1_人。于點(diǎn)6,連接4G,若AABG的面積是6,求AA4C的面積；

⑶如圖3,若NB=2NC,AB=mfAC=n,則的長(zhǎng)為.（用含以〃的式子表示）

【答案】（1）3；

(2)12：

in

【分析】(1)依題意可證AAAEgAA正，從而4F=AE=4,可由R>4C-A/求得問題的解；

(2)延長(zhǎng)CG,48交于點(diǎn)兒可證MGH^AAGC,從而AH=AC,HG=GC,又SMltG=SMCC,8G=S3GH-,

=

S湫G=Sg8G+S^GC—Sgsc,由S&HRiiSAHCG問題可解：

SDC

(3)在人C上取一點(diǎn)N,使得4V=八'從而A4瓦汪AAM),所以BD=DN=NC=n-m,從而由皆工二言求

得DC的長(zhǎng).

(1)

解：.BELAD,

.\ZAEB=ZAEF=90°,

團(tuán)AD為△ABC的角平分線，

/.NBAD=NCAD,

AD=AD,

:.AABEgMFE(ASA),

,-.AF=AB=4,

..FC=AC-AF'=7-4=3,

故答案為：3；

(2)

解；延長(zhǎng)CG,AB交于點(diǎn)H,

H

D

H

由(1)知4空A4CG(ASA),

?a?SMHG=SMCG，A"=AC,HG=GC,

*^MHG~^&ACG?^AWfiG=^SBCG?

S,\HRG=SMGH-S\ABG?SABCG=SMBG+S,MGC-^MRC

?',^AAHG-S.MBf；=^MBG+^AACG一MBC?

^BC=25^8G=2