專題2.4直角三角形斜邊上的中線（舉一反三講義）【浙教版2024】TOC\o"13"\h\u【題型1利用直角三角形斜邊的中線求線段長度】 1【題型2利用直角三角形斜邊的中線求角度】 2【題型3利用直角三角形斜邊的中線求周長】 3【題型4利用直角三角形斜邊的中線求面積】 4【題型5利用直角三角形斜邊的中線證明】 5【題型6直角三角形斜邊的中線與尺規(guī)作圖的綜合】 6【題型7利用直角三角形斜邊的中線解決折疊問題】 7知識點直角三角形斜邊上的中線1.性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．2.拓展：一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形就是以這條邊為斜邊的直角三角形．使用該定理可以確定直角三角形．【題型1利用直角三角形斜邊的中線求線段長度】【例1】（2025·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,CD⊥AB于點D，E是AB的中點．若AB=8，則DE的長為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【變式11】（2425八年級下·云南昆明·期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，點O是對角線AC的中點，若OB=3，則OD的長為．【變式12】（2025·江西新余·三模）如圖，△ABC的頂點C與AB的中點D均在數(shù)軸上，且C，D兩點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為?3，1，當(dāng)∠BCA=90°時，AB的長為．【變式13】（2425八年級下·北京·期中）Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的中線，且CD+AB=15，則CD的長為【題型2利用直角三角形斜邊的中線求角度】【例2】（2025·陜西·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD為AB邊上的中線，DE⊥AC，則圖中與∠A互余的角共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式21】（2425八年級下·河北唐山·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，D為AB邊的中點，連接CD，過點B作CD的平行線EF，則∠CBF的度數(shù)為（

）A．60° B．45° C．30° D．15°【變式22】（2025·天津河西·一模）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=62°，分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩?。ㄋ趫A的半徑相等）相交于E，F(xiàn)兩點，連接EF，EF與AC交于點O，則∠ABO的大小為（A．28° B．30° C．31° D．36°【變式23】（2425八年級下·河北秦皇島·期中）如圖，一根木桿AB斜靠在豎直的墻AC上，∠BAC=32°，木桿的頂端A沿墻面下滑至A′位置，此時∠A′B′C=32°，CD，CD′分別是斜邊

【題型3利用直角三角形斜邊的中線求周長】【例3】（2025八年級下·湖南·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于點F，BE⊥AC于點E，M為BC的中點，若EF=4，BC=10，求△EFM的周長．【變式31】（2425九年級上·遼寧錦州·期中）如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=6，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長是（

）A．20 B．12 C．16 D．13【變式32】（2223八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E是對角線AC的中點，連接BE、DE．若AC=10，BD=8，求△BDE的周長．【變式33】（2223八年級下·浙江寧波·期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，D為斜邊BC的中點，點E在AC邊上，將△DCE沿DE折疊至△DFE，AB與FE，F(xiàn)D分別交于G，H兩點．若已知AB的長，則可求出下列哪個圖形的周長（

）

A．△AGE B．△FHG C．四邊形DHGE D．四邊形BDEG【題型4利用直角三角形斜邊的中線求面積】【例4】（2223八年級上·浙江紹興·期末）在△ABC中，∠A,∠B,∠C的度數(shù)之比為1:5:6，AB邊上的中線長是2，則△ABC的面積是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式41】（2425八年級下·山東臨沂·期中）如圖，在Rt△ABC中，D是斜邊BC的中點，以AD為邊作正方形ADEF．若BC=10，則正方形ADEF的面積為（

A．5 B．100 C．25 D．15【變式42】（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知在銳角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E是AD上一點，連結(jié)EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，則△EBC的面積是（

）A．12 B．9 C．6 D．3【變式43】（2223八年級上·黑龍江大慶·期末）如圖，在一個等邊三角形紙片中取三邊中點，以虛線為折痕折疊紙片，若三角形紙片的面積是8cm2，則圖中陰影部分的面積是（A．2cm2 B．3cm2 C．4cm【題型5利用直角三角形斜邊的中線證明】【例5】（2425八年級上·廣東廣州·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點D是AB的中點，點E為邊AC上一點，連接CD，DE，以DE為邊在DE的左側(cè)作等邊三角形DEF，連接BF(1)求證：△BCD為等邊三角形；(2)求證：∠DBF=∠DCE．【變式51】（2425八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于點D，E為AC的中點，連接DE．求證：DE∥【變式52】（2425八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點，證明：(1)MD=MB；(2)MN⊥BD．【變式53】（2425八年級上·湖北武漢·期末）如圖，點B在線段AC上，點E在線段BD上，∠ABD=∠DBC=90°，AB=DB，EB=CB，M，N分別是AE，CD的中點．(1)求證：△ABE≌△DBC；(2)試探索BM和BN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【題型6直角三角形斜邊的中線與尺規(guī)作圖的綜合】【例6】（2025·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠C=90°，請用尺規(guī)作圖法在邊AB上求作一點P，連接CP，使CP分△ABC為兩個等腰三角形．（保留作圖痕跡，不寫作法）【變式61】如圖，點E為Rt△ABC斜邊AB的中點，連接CE，以點A為圓心，AC為半徑的圓弧交AB于點D，則BDCE．（填“＜”，“＞”或“＝”）【變式62】（2425八年級下·四川達(dá)州·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分別以點C，B為圓心，以大于12BC為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN分別交AB,CB于點D，E，連接CD,AE相交于點P．若∠B=23°，則∠APC【變式63】（2425八年級下·福建福州·期中）如圖，AD∥BC，點E在AD上，且滿足∠ABE=2∠EBC．(1)尺規(guī)作圖：在BC上求作點G，使得∠ABC+∠BAG=90°；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若AG交BF于點H，F(xiàn)是EH的中點，連接AF，求證：AB=AF．【題型7利用直角三角形斜邊的中線解決折疊問題】【例7】（2324八年級上·江蘇揚州·期中）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，M為AB中點．將△ACM沿CM翻折，得到△DCM（如圖2），P為CD上一點，再將△DMP沿MP翻折，使得D與B重合（如圖3），給出下列四個命題：①BP∥AC；②△PBC≌△PMC；③∠BPC=∠BMC；④PC⊥BM．其中正確的是（A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④【變式71】（2223八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=54°，AD是斜邊BC上的中線，將△ABD沿AD翻折，使點B落在點F處，線段AF與BC相交于點E，則∠AED的度數(shù)為（

A．120° B．108° C．72° D．36°【變式72】如圖，在ΔABC中，∠AC