集合和常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)歸納與題型突破思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖知識(shí)速記知識(shí)速記考點(diǎn)一集合的概念一、集合的概念1．元素與集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合(簡(jiǎn)稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合是相等的．2．元素的特性(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．簡(jiǎn)記為“確定性”．(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的．也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡(jiǎn)記為“互異性”．(3)無(wú)序性：給定集合中的元素是不分先后，沒(méi)有順序的．簡(jiǎn)記為“無(wú)序性”．【注】：集合的判斷從元素的三要素入手，考察確定性的問(wèn)題一般出現(xiàn)在自然語(yǔ)言表示的集合，要注意題目中不明確的詞語(yǔ)，例如：“很大”、“著名”等；考察互異性的問(wèn)題一般是針對(duì)數(shù)字類的題目，注意同一個(gè)數(shù)字不同的表示方法.二、元素和集合的關(guān)系1．元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A，記作a∈A．(2)不屬于：如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于集合A，記作a?A．【注】符號(hào)“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個(gè)符號(hào)的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換.2．常用的數(shù)集及其記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N＋)ZQR三、集合的表示法1．列舉法把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．【注】：(1)元素與元素之間必須用“，”隔開(kāi)．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．2．描述法(1)定義：一般地，設(shè)A表示一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．有時(shí)也用冒號(hào)或分號(hào)代替豎線．(2)具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征．3．圖示法圖示法，又稱韋恩圖法、韋氏圖法，是一種利用二維平面上的點(diǎn)集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圓形表示一個(gè)集合，是集合的一種直觀的圖形表示法.考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系一、集合的子集1．子集的概念定義一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A,B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集記法與讀法圖示或結(jié)論2．真子集的概念定義記法圖示結(jié)論【注】(1)“A是B的子集”的含義：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(3)特殊情形：如果集合A中存在著不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(6)若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n1個(gè)，非空子集有2n1個(gè)，非空真子集有2n2個(gè).二、集合相等、空集1．集合相等的概念如果集合A的任何一個(gè)元素是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說(shuō)，若A?B且B?A，則A＝B.2．空集的概念(1)定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.(2)規(guī)定：空集是任何集合的子集.【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3．Venn圖的優(yōu)點(diǎn)及其表示(1)優(yōu)點(diǎn)：形象直觀.(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部表示集合.三、集合間的性質(zhì)1．集合間關(guān)系的性質(zhì)(1)任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即AA.(2)對(duì)于集合A，B，C，①若AB，且BC，則AC；②若AB，B=C，則AC.(3)若AB，A≠B，則AB.考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算交集、并集和補(bǔ)集1．并集的概念及表示自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}2．交集的概念及表示自然語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言圖形語(yǔ)言由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)A∩B={x|x∈A,且x∈B}【注】(1)兩個(gè)集合的并集、交集還是一個(gè)集合．(2)對(duì)于A∪B，不能認(rèn)為是由A的所有元素和B的所有元素所組成的集合．因?yàn)锳與B可能有公共元素，每一個(gè)公共元素只能算一個(gè)元素．(3)A∩B是由A與B的所有公共元素組成，而非部分元素組成．3．全集(1)定義：如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集．(2)符號(hào)表示：全集通常記作U.4．補(bǔ)集定義文字語(yǔ)言對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)全集U的補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作?UA符號(hào)語(yǔ)言?UA={x|x∈U,且x?A}圖形語(yǔ)言性質(zhì)【注】?UA的三層含義：(1)?UA表示一個(gè)集合；(2)A是U的子集，即A?U；(3)?UA是U中不屬于A的所有元素組成的集合．5．集合關(guān)系的轉(zhuǎn)化A∩B=A等價(jià)于A是B的子集；A∪B=A等價(jià)于B是A的子集.6．集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A.(2)A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A.Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系和運(yùn)算1．Venn圖表達(dá)集合的運(yùn)算如圖所示的陰影部分是常用到的含有兩個(gè)集合運(yùn)算結(jié)果的Venn圖表示.2．Venn圖的應(yīng)用在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到元素個(gè)數(shù)的問(wèn)題，常用Venn圖表示兩個(gè)集合的交、并、補(bǔ)集，借助于Venn圖解決集合問(wèn)題，直觀簡(jiǎn)捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的個(gè)數(shù)，即Card(A)表示有限集A的元素個(gè)數(shù).考點(diǎn)四充分條件與必要條件命題1．命題及相關(guān)概念(1)定義：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句，叫做命題.(2)命題的分類①真命題：判斷為真的語(yǔ)句；②假命題：判斷為假的語(yǔ)句.(3)命題的形式：“若p，則q”.其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.【注】數(shù)學(xué)中的定義、公理、公式、定理都是命題，但命題不一定都是定理，因?yàn)槊}有真假之分，而定理是真命題.二、充分、必要與充要條件1．充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題“若p,則q”是假命題推出關(guān)系及符號(hào)表示由p通過(guò)推理可得出q，記作：p?q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．2．充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有p?q，又有q?p，記作p?q.此時(shí)p既是q的充分條件，也是q的必要條件．我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱為充要條件．如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件．【注】“?”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即p?q，q?s，則有p?s，即p是s的充要條件．3．充分、必要與充要條件的判定(1)如果既有p?q，又有q?p，則p是q的充要條件，記為p?q.(2)如果p?且q?，則p是q的既不充分也不必要條件.(3)如果p?q且q?，則稱p是q的充分不必要條件.(4)如p?且q?p，則稱p是q的必要不充分條件.(5)設(shè)與命題p對(duì)應(yīng)的集合為A={x|p(x)}，與命題q對(duì)應(yīng)的集合為B={x|q(x)}，若AB，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若A=B，則p是q的充要條件.4．充分條件、必要條件的兩種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問(wèn)題.(2)集合法：根據(jù)p，q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問(wèn)題.5．充分條件、必要條件的應(yīng)用充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上，解題時(shí)需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).考點(diǎn)五全稱量詞與存在量詞全稱量詞與存在量詞1．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個(gè)、一切、每一個(gè)、任給符號(hào)?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”2．存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、有些、有的符號(hào)表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“?x∈M，p(x)”3．全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x證明其成立；要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x0，使得其不成立即可，這就是通常所說(shuō)的舉一個(gè)反例.(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個(gè)x0使之成立即可，否則這個(gè)存在量詞命題就是假命題.【注】常用的全稱量詞有：“所有”、“每一個(gè)”、“任何”、“任意”、“一切”、“任給”、“全部”，表示整體或全部的含義.常用的存在量詞有：“有些”、“有一個(gè)”、“存在”、“某個(gè)”、“有的”,表示個(gè)別或一部分的含義.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定1．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題．(2)存在量詞命題p：?x∈M，p(x)的否定：?x∈M，?p(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題．2．對(duì)全稱量詞命題否定的兩個(gè)步驟：①改變量詞：把全稱量詞換為恰當(dāng)?shù)拇嬖诹吭~．即：全稱量詞(?)eq\o(→,\s\up7(改為))存在量詞(?)．②否定結(jié)論：原命題中的“是”“成立”等改為“不是”“不成立”等．3．對(duì)存在量詞命題否定的兩個(gè)步驟：①改變量詞：把存在量詞換為恰當(dāng)?shù)娜Q量詞．即：存在量詞(?)eq\o(→,\s\up7(改為))全稱量詞(?)．②否定結(jié)論：原命題中的“有”“存在”等更改為“沒(méi)有”“不存在”等．【注】含有一個(gè)量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結(jié)論”.命題的否定與原命題的真假1．命題的否定與原命題的真假一個(gè)命題的否定，仍是一個(gè)命題，它和原命題只能是一真一假．2．命題否定的真假判斷(1)弄清命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，是正確寫出命題的否定的前提；(2)當(dāng)命題的否定的真假不易判斷時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為判斷原命題的真假，當(dāng)原命題為真時(shí)，命題的否定為假，當(dāng)原命題為假時(shí)，命題的否定為真.【注】命題p與p的否定的真假性相反.題型精研題型精研命題點(diǎn)一集合的概念題型01判斷元素能否構(gòu)成集合【例1】下列說(shuō)法正確的是（

）A．我校很喜歡足球的同學(xué)能組成一個(gè)集合；B．2025年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷I中的選擇題構(gòu)成一個(gè)集合；C．高科技產(chǎn)品構(gòu)成一個(gè)集合；D．本校學(xué)習(xí)好的學(xué)生構(gòu)成一個(gè)集合.題型02判斷是否為同一集合【例2】下列四個(gè)命題中不正確的是（

）題型03判斷元素與集合的關(guān)系A(chǔ)．1 B．2 C．3 D．4題型04根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)A． B．或 C． D．題型05利用集合元素的互異性求參數(shù)A． B．1 C．1或 D．1題型06自然語(yǔ)言表示集合【例6】用自然語(yǔ)言描述下列集合：題型07描述法表示集合【例7】用描述法表示下列集合：(1)被5除余3的正整數(shù)組成的集合；(2)正偶數(shù)組成的集合；題型08列舉法表示集合題型09根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)題型10集合元素互異性的應(yīng)用A．5 B．3 C．2 D．0題型11利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個(gè)數(shù)A．T可能為雙元素集合 B．T中元素不可能都大于0C．T中所有元素之積為 D．T中所有元素之和可能為題型12列舉法求集合中元素的個(gè)數(shù)A．9 B．8 C．6 D．5題型13常用數(shù)集或數(shù)集關(guān)系應(yīng)用【例13】下列關(guān)系中，正確的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6題型14集合的分類題型15根據(jù)集合相等關(guān)系進(jìn)行計(jì)算A．或 B． C． D．或命題點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系題型16判斷集合的子集（真子集）的個(gè)數(shù)題型17求集合的子集（真子集）(1)求集合；(2)寫出集合的所有子集：題型18判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系C． D．無(wú)法確定集合、的關(guān)系題型19根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)題型20判斷兩個(gè)集合是否相等題型21根據(jù)兩個(gè)集合相等求參數(shù)題型22空集的概念以及判斷【例22】已知是一個(gè)集合，則（

）題型23空集的性質(zhì)及應(yīng)用【例23】下列說(shuō)法正確的是（

）B．所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)命題點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算題型24交集的概念及運(yùn)算題型25根據(jù)交集結(jié)果求集合或參數(shù)題型26并集的概念及運(yùn)算題型27根據(jù)并集結(jié)果求概念或參數(shù)題型28補(bǔ)集的概念及運(yùn)算題型29根據(jù)補(bǔ)集運(yùn)算確定集合或參數(shù)題型30交并補(bǔ)混合運(yùn)算題型31根據(jù)交并補(bǔ)混合運(yùn)算確定集合或參數(shù)題型32容斥定理的應(yīng)用【例32】某校高一（9）班共有49名同學(xué)，在學(xué)校舉辦的書法競(jìng)賽中有24名同學(xué)參加，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有25名參加，已知這兩項(xiàng)都參賽的有12名同學(xué)，在這兩項(xiàng)比賽中，該班沒(méi)有參加過(guò)比賽的同學(xué)的人數(shù)為（

）A．10 B．1 C．12 D．13【變式321】湘鋼一中舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一某班共有28名學(xué)生參加比賽，有15人參加田賽，有8人參加徑賽，有14人參加球賽，同時(shí)參加田賽和徑賽的有3人，同時(shí)參加田賽和球賽的有3人，沒(méi)有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，同時(shí)參加徑賽與球賽的人數(shù)為（

）A．3 B．9 C．19 D．14題型33根據(jù)并集結(jié)果求集合元素個(gè)數(shù)【例33】二十大報(bào)告中提出加強(qiáng)青少年體育工作，促進(jìn)群眾體育和競(jìng)技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強(qiáng)國(guó)的要求．某校體育課開(kāi)設(shè)“足球”、“籃球”兩門選修課程，假設(shè)某班每位學(xué)生最少選修一門課程，其中有33位學(xué)生選修了“足球”課程，有26位學(xué)生選修了“籃球”課程，有10位學(xué)生同時(shí)選修了這兩門課程，則該班學(xué)生的人數(shù)為（）A．29 B．39 C．49 D．59【變式331】學(xué)校統(tǒng)計(jì)某班45名學(xué)生參加合唱、編程、漫畫3個(gè)社團(tuán)的情況，每名學(xué)生最多只能參加2個(gè)社團(tuán).統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：有16名學(xué)生參加了合唱社團(tuán)，有17名學(xué)生參加了編程社團(tuán)，有18名學(xué)生參加了漫畫社團(tuán)，其中有10名學(xué)生同時(shí)參加了兩個(gè)社團(tuán)，則三個(gè)社團(tuán)都不參加的學(xué)生人數(shù)是（

）A．6 B．5 C．4 D．3題型34集合新定義題型35利用Venn圖求集合【例35】《南京照相館》、《浪浪山小妖怪》、《長(zhǎng)安的荔枝》位列2025年我國(guó)暑期檔票房前三名．某社區(qū)調(diào)查了該社區(qū)的部分市民的觀影情況，調(diào)查結(jié)果顯示：觀看了《南京照相館》的有63人、觀看了《浪浪山小妖怪》的有89人，觀看了《長(zhǎng)安的荔枝》的有47人，三部電影都觀看了的有24人，觀看了其中兩部電影的有46人，這三部電影都未觀看的有15人．則接受調(diào)查的市民共有人命題點(diǎn)四充分條件與必要條件題型36充分條件【變式361】已知是的充分條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，則（

）A．是的充分條件 B．是的充要條件C．是的充分條件 D．是的必要條件題型37必要條件【例37】下列“若，則”形式的命題中，是的必要條件的有（

）B．若兩個(gè)三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形相似題型38判斷命題的充分不必要條件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型39根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)題型40判斷命題的必要不充分條件A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型41根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)【例41】給出下列命題：其中所有正確命題的序號(hào)是.題型42根據(jù)充要條件求參數(shù)A．2 B．1 C．0 D．題型43既不充分也不必要條件A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件題型44充要條件的證明【例44】下列命題中，是真命題的有（

）題型45探求命題為真的充要條件命題點(diǎn)五全稱量詞與存在量詞題型46判斷命題是否為全稱命題【例46】下列命題既是全稱量詞命題又是真命題有（）A．所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)B．正方形的四條邊相等題型47用全稱量詞改寫命題題型48判斷全稱命題的真假A．和 B．和 C．和