第29頁（共29頁）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示一．選擇題（共8小題）1．若O、A、B、C為空間四點(diǎn)，且向量OA→，OB→，A．OA→，OB→，OC→共線 B．OA→C．OB→，OC→共線 D．O，A，B，2．已知a→=（﹣3，2，5），b→=（1，5，﹣1），則a→?A．（0，34，10） B．（﹣3，19，7） C．44 D．233．設(shè)OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若OG→=xOA→+yOB→+zOC→A．（14，14，14） B．（34，3C．（13，13，13） D．（23，4．在空間直角坐標(biāo)系O﹣xzy中，已知點(diǎn)A（3，﹣1，0），向量AB→=(4，A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3）5．若點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（4，﹣1，0），且AC→=2CBA．（3，0，1） B．（2，1，2） C．(32，-6．已知a→=(λ+1，0，2)，b→A．2，12 B．-13，12 C．﹣37．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若CA→=a→，CB→A．a(chǎn)→+b→-c→ B．a(chǎn)→8．已知空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→A．12a→-2C．12a→+二．多選題（共4小題）（多選）9．設(shè)a→A．若a→⊥b→，B．則a→，b→C．對空間任一向量p→，總存在有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使pD．則a→+b→，（多選）10．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（）A．若空間向量a→，b→，滿足|aB．若非零向量a→，b→，c→滿足a→⊥C．若OA→，OB→，OC→是空間的一組基底，且OD→=13OA→+D．若向量a→+b→，b→+c→，（多選）11．以下四個(gè)命題中正確的是（）A．空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示 B．若{a→，b→，c→}為空間向量的一組基底，則{a→+b→C．對空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，若OP→=2OA→-2OB→+OC→，則PD．向量a→，b→，（多選）12．設(shè){a→，b→，c→}是空間的一個(gè)基底，若x→=A．{a→，b→，x→} B．{x→，y→，z→} C．{b→，c→，z→} 三．填空題（共4小題）13．H：x﹣y+z＝2為坐標(biāo)空間中一平面，L為平面H上的一直線．已知點(diǎn)P（2，1，1）為L上距離原點(diǎn)O最近的點(diǎn)，則為L的方向向量．14．如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)x，y，z，使向量BM→=xAB→+yAD→+zAA1→，則x+215．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1，若AC1→=（2，2，1），則B1D→16．（理）設(shè)a→=(1，3，-2)，b→=(2，m+1，n四．解答題（共4小題）17．已知空間直角坐標(biāo)系中，A（1，1，1），B（﹣1，3，2），C（0，2，1）．（1）若AP→=2PB（2）求三角形ABC的面積．18．已知空間向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2，b3），定義兩個(gè)空間向量a→與b→之間的距離為d（a→，b→）=（1）若a→=（1，2，3），b→=（4，1，1），c→=（112，12，0），證明：d（a→，b→）+d（（2）已知c→=（c1，c2，c①證明：若?λ＞0，使b→-a→=λ（c→-b→），則d（a→，b→）+d②若d（a→，b→）+d（b→，c→）＝d（a→，c→），是否一定?λ＞019．平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°．（1）求線段AC1的長；（2）若AB→=a→，AD→=b20．如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，DC上的點(diǎn)，且AE＝BE，CF＝2DF，設(shè)DA→=a→（1）以{a→，（2）若∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°，且|DA→|=4，|DB→

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示（2025年10月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DCACAADD二．多選題（共4小題）題號9101112答案BCDCDBCBCD一．選擇題（共8小題）1．若O、A、B、C為空間四點(diǎn)，且向量OA→，OB→，A．OA→，OB→，OC→共線 B．OA→C．OB→，OC→共線 D．O，A，B，【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】轉(zhuǎn)化思想；空間向量及應(yīng)用．【答案】D【分析】向量OA→，OB→，OC→不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，可得：向量OA→，【解答】解：∵向量OA→，OB→，∴向量OA→，OB→，因此O，A，B，C四點(diǎn)共面，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量基底、向量共線與共面定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．已知a→=（﹣3，2，5），b→=（1，5，﹣1），則a→?A．（0，34，10） B．（﹣3，19，7） C．44 D．23【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的數(shù)量積公式，即可求解．【解答】解：∵a→=（﹣3，2，5），b→=（1，∴a→+3b→=(-3，2∴a→故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查空間向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．3．設(shè)OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若OG→=xOA→+yOB→+zOC→A．（14，14，14） B．（34，3C．（13，13，13） D．（23，【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】計(jì)算題；待定系數(shù)法．【答案】A【分析】由題意推出OG→，使得它用OA→，OB→，OC→，來表示，從而求出x，【解答】解：∵OG→=3=34OA→+34?23[12（AB→+AC=1而OG→=xOA→+yOB→+zOC→，∴x=故選：A．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的加減法，考查待定系數(shù)法，是基礎(chǔ)題．4．在空間直角坐標(biāo)系O﹣xzy中，已知點(diǎn)A（3，﹣1，0），向量AB→=(4，A．（1，﹣6，3） B．（﹣1，6，﹣3） C．（5，4，﹣3） D．（2，5，﹣3）【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示；空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：空間直角坐標(biāo)系O﹣xzy中，點(diǎn)A（3，﹣1，0），所以O(shè)A→=（3，﹣1，又向量AB→=(4，所以O(shè)B→=OA→+AB→=（7，9，﹣6），即點(diǎn)所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3+72，-1+92，0-62），即（5，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，是基礎(chǔ)題．5．若點(diǎn)A（1，2，3），點(diǎn)B（4，﹣1，0），且AC→=2CBA．（3，0，1） B．（2，1，2） C．(32，-【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)C（x，y，z），由空間向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得關(guān)于x、y、z的方程組，解可得x、y、z的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)C（x，y，z），則AC→=（x﹣1，y﹣2，z﹣3），CB→=（4﹣x，﹣1﹣又由AC→=2CB→，則x-1=2(4-x)y-2=2(-1-故選：A．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的坐標(biāo)計(jì)算，注意空間向量的坐標(biāo)計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．6．已知a→=(λ+1，0，2)，b→A．2，12 B．-13，12 C．﹣3【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題．【答案】A【分析】直接利用向量平行，推出向量坐標(biāo)關(guān)系，求出λ與μ的值即可．【解答】解：因?yàn)閍→=(λ+1，0，所以2μ﹣1＝0，解得μ=12，λ+16=22λ，解得所以λ與μ的值可以是：2，12或﹣3故選：A．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的平行的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若CA→=a→，CB→A．a(chǎn)→+b→-c→ B．a(chǎn)→【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】計(jì)算題．【答案】D【分析】將向量A1B→分解成A1A→+AB→，然后將利用相等向量和向量的三角形法則將A【解答】解：A=-CC=-c故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量的加減法，解題的關(guān)鍵是利用向量的三角形法則，屬于基礎(chǔ)題．8．已知空間四邊形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→A．12a→-2C．12a→+【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】數(shù)形結(jié)合；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用空間向量的線性運(yùn)算法則，用OA→，OB→，OC→【解答】解：如圖空間四邊形OABC中OA→∵點(diǎn)M在OA上，且OM＝3MA，∴OM→=34OA∴ON→=1∴MN=1=-3故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量的線性表示與運(yùn)算問題，屬基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．設(shè)a→A．若a→⊥b→，B．則a→，b→C．對空間任一向量p→，總存在有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使pD．則a→+b→，【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】BCD【分析】根據(jù)空間向量的基底的概念，對選項(xiàng)逐一分析，能求出結(jié)果．【解答】解：a→對于A，若a→⊥b→，b→⊥c→，則a對于B，由基底的定義和性質(zhì)得a→，b→，對于C，根據(jù)空間向量基本定理得：對空間任一向量p→，總存在有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使p→=對于D，假設(shè)a→+b→，b→+有b→+c→則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得a→+b→=λ（b→∴（1﹣μ）a→+（1﹣λ）b→-（λ+a→，b∴假設(shè)錯(cuò)誤，∴a→+b→，b∴a→+b→，b→故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，考查空間向量的基底的概念、空間向量基本定理等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題．（多選）10．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（）A．若空間向量a→，b→，滿足|aB．若非零向量a→，b→，c→滿足a→⊥C．若OA→，OB→，OC→是空間的一組基底，且OD→=13OA→+D．若向量a→+b→，b→+c→，【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底；平面向量的概念與平面向量的模．【專題】對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．【答案】CD【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念和運(yùn)算直接分析求解即可．【解答】解：對于A，模長相等，但方向不一定相同，則a→=b對于B，因?yàn)榭臻g中垂直于同一直線的兩直線不一定平行，所以B錯(cuò)誤；對于C，由平面的向量可知OA→，OB→，OC→是空間的一組基底，則A，B，C三點(diǎn)不共線．由空間中平面的向量表示可得A，B，C，D對于D，若向量a→+b→，b→+c→，c→+a→是空間一組基底，則對空間中的任何一個(gè)向量d→，存在唯一的實(shí)數(shù)組（x，y，z故選：CD．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的概念和相關(guān)運(yùn)算，屬于中檔題．（多選）11．以下四個(gè)命題中正確的是（）A．空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示 B．若{a→，b→，c→}為空間向量的一組基底，則{a→+b→C．對空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，若OP→=2OA→-2OB→+OC→，則PD．向量a→，b→，【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底；空間向量的共線與共面．【專題】對應(yīng)思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】BC【分析】根據(jù)空間向量的定義，對選項(xiàng)中的命題真假性判斷即可．【解答】解：對于A，空間的任何一個(gè)向量都可用不共面的三個(gè)向量表示，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，假設(shè){a→+b→，b→+c→，c→+a→}不構(gòu)成空間向量的一組基底，則a→+b→=x（b→+c→）+y所以1-x=01-y=0-x-y=0，方程組無解，即x、y、z不存在，所以假設(shè)不成立，即對于C，因?yàn)镺P→=2OA→-2OB→+OC→，所以O(shè)P→-OC→=2（OA→-OB→），即CP對于D，因?yàn)橄蛄渴强梢云叫幸苿拥模韵蛄縜→，b→，c→故選：BC．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量的定義與應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題．（多選）12．設(shè){a→，b→，c→}是空間的一個(gè)基底，若x→=A．{a→，b→，x→} B．{x→，y→，z→} C．{b→，c→，z→} 【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】分別判斷各組向量是否共面，即可得出結(jié)論．【解答】解：因?yàn)閤→=a→+b→，所以向量a→，b→，x假設(shè)x→，y→，z→共面，則存在λ，μ∈R，使得z→=即c→+a→=λ（a→+b→）+μ（b→+c所以λ=1所以假設(shè)不成立，即x→，y→，z所以{x→，y→，z同理可得{b→，c→，z→}，{x→，y故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查了空間向量共面的判定問題，是基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．H：x﹣y+z＝2為坐標(biāo)空間中一平面，L為平面H上的一直線．已知點(diǎn)P（2，1，1）為L上距離原點(diǎn)O最近的點(diǎn)，則（2，﹣1，﹣3）為L的方向向量．【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)所給的平面的方程，寫出平面的一個(gè)法向量，設(shè)出直線的一個(gè)方向向量，根據(jù)兩個(gè)向量之間的關(guān)系得到兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0，求出未知數(shù)，得到要求的直線的方向向量．【解答】解：∵x﹣y+z＝2為坐標(biāo)空間中一平面∴平面的一個(gè)法向量是n設(shè)直線L的方向向量為d∵L在H上，∴d→與平面H的法向量n故d∵P（2，1，1）為直線L上距離原點(diǎn)O最近的點(diǎn)，∴OP故OP解得b＝﹣1，c＝﹣3故答案為：（2，﹣1，﹣3）【點(diǎn)評】本題考查空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，本題解題的關(guān)鍵是寫出平面的法向量，然后根據(jù)兩個(gè)向量之間的關(guān)系得到結(jié)論．14．如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)x，y，z，使向量BM→=xAB→+yAD→+zAA1→，則x+2【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)向量加法、數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，以及相等向量和相反向量的定義即可得出BM→=-12AB→+12AD→+A【解答】解：BM=A=-1又BM→∴x=-∴x+2故答案為：72【點(diǎn)評】本題考查了向量加法和數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，相等向量和相反向量的定義，空間向量基本定理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1，若AC1→=（2，2，1），則B1D→的坐標(biāo)為（﹣2【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示；空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象；運(yùn)算求解．【答案】（﹣2，2，﹣1）．【分析】利用長方體的特征，結(jié)合已知向量，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：長方體ABCD﹣A1B1C1D1，若AC1→=（2，2，1），可知AB＝AD＝2，AA則B1D→=-AB→故答案為：（﹣2，2，﹣1）．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的應(yīng)用，向量坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題．16．（理）設(shè)a→=(1，3，-2)，b→=(2，m+1，n【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】a→∥b→，由存在實(shí)數(shù)k使得b→【解答】解：∵a→∥b→，∴存在實(shí)數(shù)k使得b→則2=km+1=3kn-1=-2k，解得則實(shí)數(shù)m﹣n＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查了向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．已知空間直角坐標(biāo)系中，A（1，1，1），B（﹣1，3，2），C（0，2，1）．（1）若AP→=2PB（2）求三角形ABC的面積．【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示；空間向量的共線與共面．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；解三角形；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）p（-13，73【分析】（1）直接利用向量的共線求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）利用向量的夾角公式和向量的模及三角形的面積公式求出結(jié)果．【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y，z），由于AP→=2PB→，所以（x﹣1，y﹣1，z﹣1）＝2（﹣1﹣x．3﹣y，整理得：p（-1（2）由于A（1，1，1），B（﹣1，3，2），C（0，2，1）．所以|AB→|=3故cosA=AB→?AC→|AB→故S△【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)的求法，向量的模，向量的夾角，三角形的面積公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．18．已知空間向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2，b3），定義兩個(gè)空間向量a→與b→之間的距離為d（a→，b→）=（1）若a→=（1，2，3），b→=（4，1，1），c→=（112，12，0），證明：d（a→，b→）+d（（2）已知c→=（c1，c2，c①證明：若?λ＞0，使b→-a→=λ（c→-b→），則d（a→，b→）+d②若d（a→，b→）+d（b→，c→）＝d（a→，c→），是否一定?λ＞0【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】空間向量及應(yīng)用．【答案】（1）∵a→=(1，2，∴d(a→，b∴d(（2）①∵?λ＞0，使b→∴?λ＞0，使得（b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3）＝λ（c1﹣b1，c2﹣b2，c3﹣b3），即?λ＞0，使得bi﹣ai＝λ（ci﹣bi），其中i＝1，2，3，∴bi﹣ai與ci﹣bi（i＝1，2，3）同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)．∴d(即d(②不存在λ＞0，使得b→【分析】（1）利用新定義分別計(jì)算：d(a→，b（2）①由于?λ＞0，使b→-a→=λ(c→-b→)，可得?λ＞0，使得bi﹣ai＝λ（c因此bi﹣ai與ci﹣bi（i＝1，2，3）同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)．代入去掉絕對值符號即可證明．②不一定?λ＞0，使得b→-a→=λ(c→-b→)．舉反例如下：取a→=(1，1，1)，b→=(1，2，1)，c→=(2，2【解答】證明：（1）∵a→=(1，2，∴d(a→，b∴d(（2）①∵?λ＞0，使b→∴?λ＞0，使得（b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3）＝λ（c1﹣b1，c2﹣b2，c3﹣b3），即?λ＞0，使得bi﹣ai＝λ（ci﹣bi），其中i＝1，2，3，∴bi﹣ai與ci﹣bi（i＝1，2，3）同為非負(fù)數(shù)或同為負(fù)數(shù)．∴d(即d(②不一定?λ＞0，使得b→反例如下：取a→=(1，1，d(a→，b→)=1∵b→-a∴不存在λ＞0，使得b→【點(diǎn)評】本題考查了新定義距離、向量的線性運(yùn)算法則、絕對值的意義，屬于難題．19．平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°．（1）求線段AC1的長；（2）若AB→=a→，AD→=b【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】對應(yīng)思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）6；（2）A1【分析】（1）易得AC1→（2）設(shè)A1B→=x(【解答】解：（1）根據(jù)題意，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°．因?yàn)锳C所以A|AC1→所以|A所以線段AC1的長為6．（2）因?yàn)锳1設(shè)A1B→根據(jù)a→，b→，c所以A1【點(diǎn)評】本題考查利用向量求線段的長，考查向量不共面的證明，考查用基底向量表示空間向量，屬中檔題．20．如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，DC上的點(diǎn)，且AE＝BE，CF＝2DF，設(shè)DA→=a→（1）以{a→，（2）若∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°，且|DA→|=4，|DB→【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）FE→（2）|FE【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算直接計(jì)算；（2）利用基底法，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長．【解答】解：（1）由已知CF＝2DF得DC→則FE→（2）由（1）得FE→所以|=1所以|FE【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的概念與平面向量的?！局R點(diǎn)的認(rèn)識】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小寫字母a→、b→，…表示．有向向量的長度為模，表示為|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的長度（或稱模），記作|AB零向量長度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長度為0單位向量長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是相等向量長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．2．空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、在x、y、z軸上的點(diǎn)分別可以表示為（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz內(nèi)的點(diǎn)分別可以表示為（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，﹣b，﹣c，）點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣a，b，﹣c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣a，﹣b，c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)為（a，b，﹣c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對稱點(diǎn)為（a，﹣b，c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點(diǎn)為（﹣a，b，c，）；點(diǎn)P（a，b，c）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空間兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）則線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x13．空間向量的共線與共面【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對于空間任意兩個(gè)向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x【解題方法點(diǎn)撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（x，y），使MP→=xMA→+yMB→證明三個(gè)向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個(gè)向量可表示成另兩個(gè)向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-32分析：利用共線向量的條件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）與b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故選C．點(diǎn)評：本題考查共線向量的知識，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?解答：由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的，則D正確．故選D．點(diǎn)評：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力．是基礎(chǔ)題．4．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→3．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1→，e2→，e3其中，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量e1→，e24．空間向量的坐標(biāo)表示對于空間任意一個(gè)向量p→，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量OP→=p→，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x【解題方法點(diǎn)撥】1．基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對實(shí)數(shù)λ、μ使得a→+2．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來．3．用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．（2）若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底．選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．5．空間向量基本定理及空間向量的基底【知識點(diǎn)的認(rèn)識】空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，【解題方法點(diǎn)撥】基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對實(shí)數(shù)λ、μ使得a→【命題方向】﹣向量定理和基底：考查如何應(yīng)用向量的基本定理以及如何選擇和使用空間的基底．6．空間向量基底表示空間向量【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→【解題方法點(diǎn)撥】基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對實(shí)數(shù)λ、μ使得a→﹣基底表示：任何空間向量v→都可以表示為基底向量的線性組合：v→=c1b→1+c2b﹣線性組合：通過解線性方程組找到系數(shù)c1，c2，c3．【命題方向】﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空間中的任意向量．7．空間向