廣東省廣州市南沙區(qū)第一中學2025-2026學年數學高二第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線與直線平行，且直線在軸上的截距比在軸上的截距大，則直線的方程為（）A. B.C. D.2．設為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點構不成三角形3．已知等差數列的前項和為，，，則（）A. B.C. D.4．命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，5．設實數x，y滿足約束條件則的最小值（）A.5 B.C. D.86．雙曲線：的漸近線與圓：在第一、二象限分別交于點、，若點滿足(其中為坐標原點)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．若命題“或”與命題“非”都是真命題，則A.命題與命題都是真命題B.命題與命題都是假命題C.命題是真命題，命題是假命題D.命題是假命題，命題是真命題8．二項式的展開式中，各項二項式系數的和是（）A.2 B.8C.16 D.329．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>010．設異面直線、的方向向量分別為，，則異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.11．如果在一實驗中，測得的四組數值分別是，則y與x之間的回歸直線方程是（）A. B.C. D.12．已知點是雙曲線的左、右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（）A.與雙曲線的實軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線：（）的焦點到準線的距離為4，過點的直線與拋物線交于，兩點，若，則______14．幾位大學生響應國家創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款面向中學生的應用軟件.為激發(fā)大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”活動.這款軟件的激活碼為下面數學題的答案：記集合…，…，例如：，，若將集合的各個元素之和設為該軟件的激活碼，則該激活碼應為________.15．已知圓錐的高為，體積為，則以該圓錐的母線為半徑的球的表面積為______________.16．已知集合，，將中的所有元素按從大到小的順序排列構成一個數列，則數列的前n項和的最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.（1）求證：平面平面；（2）過棱作平面交棱于點，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關新聞．某機構將關注這件事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構通過調查，從參與調查的人群中隨機抽取100人進行分析，得到下表（單位：人）：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100（1）能否有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關？（2）現從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數為X，求X的分布列和數學期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，點E為棱PC的動點.（1）當點E是棱PC的中點時，求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（2）若E為棱PC上任一點，滿足，求二面角P-AB-E的余弦值.20．（12分）如圖是一拋物線型機械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，已知頂點深度4cm，口徑長為12cm（1）以頂點為坐標原點建立平面直角坐標系（如圖），求該拋物線的標準方程；（2）為滿足生產的要求，需將磨具的頂點深度減少1cm，求此時該磨具的口徑長21．（12分）某校高二年級共有男生490人和女生510人，現采用分層隨機抽樣的方法從該校高二年級中抽取100名學生，測得他們的身高數據（1）男生和女生應各抽取多少人？（2）若樣本中男生和女生的平均身高分別為173.6、162.2厘米，請估計該校高二年級學生的平均身高22．（10分）如圖所示等腰梯形ABCD中，，，，點E為CD的中點，沿AE將折起，使得點D到達F位置.（1）當時，求證：平面AFC；（2）當時，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分析可知直線不過原點，可設直線的方程為，其中且，利用斜率關系可求得實數的值，化簡可得直線的方程.【詳解】若直線過原點，則直線在兩坐標軸上的截距相等，不合乎題意，設直線的方程為，其中且，則直線的斜率為，解得，所以，直線的方程為，即.故選：A.2、D【解析】根據橢圓方程求出，然后結合橢圓定義和已知條件求出并求出，進而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構成三角形.故選：D.3、C【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，解得，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數列的通項公式和前項和公式，屬于基礎題.4、A【解析】特稱命題的否定是全稱命題【詳解】的否定形式是故選：A5、B【解析】做出，滿足約束條件的可行域，結合圖形可得答案.【詳解】做出，滿足約束條件可行域如圖，化為，平移直線，當直線經過點時有最小值，由得，所以的最小值為.故選：B.6、B【解析】由，得點為三角形的重心，可得，即可求解.【詳解】如圖：設雙曲線的焦距為，與軸交于點，由題可知，則，由，得點為三角形的重心，可得，即，，即，解得.故選：B【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，三角形的重心的向量表示，屬于中檔題.7、D【解析】因為非p為真命題，所以p為假命題，又p或q為真命題，所以q為真命題，選D.8、D【解析】根據給定條件利用二項式系數的性質直接計算作答.【詳解】二項式的展開式的各項二項式系數的和是.故選：D9、B【解析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B10、C【解析】利用空間向量夾角的公式直接求解.【詳解】，，，.由異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成的角為.故選：C11、B【解析】根據已知數據求樣本中心點，由樣本中心點在回歸直線上，將其代入各選項的回歸方程驗證即可.【詳解】由題設，，因為回歸直線方程過樣本點中心，A：，排除；B：，滿足；C：，排除；D：，排除.故選：B12、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進而可得A不正確，計算可判斷B正確，再求出，的關系可得C不正確，求出，的關系，進而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因為，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因為在以為直徑的圓上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】易得拋物線方程為，根據，求得點P的坐標，進而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義求解.【詳解】解：因為拋物線的焦點到準線的距離為4，所以，則拋物線：，設點的坐標為，的坐標為，因為，所以，則，則，所以直線的方程為，代入拋物線方程可得，故，則，所以故答案為：1514、376【解析】由題設知集合的規(guī)律為最小的元素為且元素構成公差1的等差數列，共有個元素，即可寫出的所有元素，應用等差數列前n項和公式求激活碼.【詳解】由題設，或，即，或，即，所以或，則，故各個元素之和為.故答案為：.15、【解析】利用圓錐體積公式可求得圓錐底面半徑，利用勾股定理可得母線長；根據球的表面積公式可求得結果.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線長為，圓錐體積，，，以為半徑的球的表面積.故答案為：.16、【解析】由題意設，，根據可得，從而，即可得出答案.【詳解】設，由，得，由，得中的元素滿足，即，可得所以，由,所以所以，要使得數列的前n項和的最大值，即求出數列中所以滿足的項的和即可.即，得，則所以數列的前n項和的最大值為故答案為：1472三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點為，連接，，證明，，即證平面，即證得面面垂直；（2）建立如圖空間直角坐標系，寫出對應點的坐標和向量的坐標，再計算平面法向量，利用所求角的正弦為即得結果.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點為，連接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如圖建立空間直角坐標系，根據邊長關系可知，，，，，∴，.∵三棱錐和的體積比為，∴，∴，∴.設平面的法向量為，則，令，得.設直線與平面所成角為，則.∴直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.18、（1）有（2）分布列見解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計算出卡方，與參考數值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，記“天文愛好者”的人數為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對應的概率，從而得到分布列與數學期望；【小問1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關.【小問2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛好者”有20人，“非天文愛好者”有30人，所以按分層抽樣在50個女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數為X，則X的可能值為0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P19、（1）（2）【解析】（1）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解，（2）設，表示出點的坐標，然后根據求出的值，從而可得點的坐標，然后利用空間向量求二面角【小問1詳解】因為底面ABCD，平面，所以因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，，點E為棱PC的動點，所以，所以,，設平面的法向量為，則，令，則設直線BE與平面PBD所成角為，則，所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為，【小問2詳解】，因為E為棱PC上任一點，所以設，所以，因為，所以，解得，所以，設平面的法向量為，則，令，則，取平面的一個法向量為，設二面角P-AB-E的平面角為，由圖可知為銳角，則，所以二面角P-AB-E余弦值為20、（1）（2）cm【解析】（1）設拋物線的標準方程為，由題意可得拋物線過點，將此點代入方程中可求出的值，從而可得拋物線方程，（2）設此時的口徑長為，則拋物線過點，代入拋物線方程可求出的值，從而可求得答案【小問1詳解】由題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線的標準方程為，因為頂點深度4，口徑長為12，所以該拋物線過點，所以，得，所以拋物線方程為；【小問2詳解】若將磨具的頂點深度減少，設此時的口徑長為，則可得，得，所以此時該磨具的口徑長21、（1）應抽取男生49人，女生51人；（2）.【解析】（1）利用分層抽樣計算男生和女生應抽取的人數；（2）利用平均數的計算公式計算求解.【小問1詳解】解：應抽取男生人，女生應抽取100-49=51人.【小問2詳解】解：估