高中數(shù)學(xué)進(jìn)階_數(shù)列系列基礎(chǔ)練習(xí)50題詳解——全面助力數(shù)學(xué)能力飛躍！引言在高中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，數(shù)列是極為重要的一部分內(nèi)容。它不僅在高考中占據(jù)著相當(dāng)?shù)谋戎兀覍?duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力都有著不可忽視的作用。數(shù)列問(wèn)題形式多樣，涵蓋了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前\(n\)項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的遞推關(guān)系等多個(gè)方面。通過(guò)做數(shù)列系列的基礎(chǔ)練習(xí)題，能夠幫助同學(xué)們鞏固所學(xué)的數(shù)列知識(shí)，深入理解數(shù)列的概念和性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的飛躍。本文將為大家詳細(xì)解析50道數(shù)列基礎(chǔ)練習(xí)題，希望能為同學(xué)們的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有力的幫助。一、等差數(shù)列相關(guān)題目及詳解題目1已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n\)。詳解設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，則\(a_3=a_1+2d\)，\(a_7=a_1+6d\)。已知\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，可得方程組\(\begin{cases}a_1+2d=5\\a_1+6d=13\end{cases}\)用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程消去\(a_1\)：\((a_1+6d)-(a_1+2d)=13-5\)\(4d=8\)，解得\(d=2\)。將\(d=2\)代入\(a_1+2d=5\)，得\(a_1+2\times2=5\)，解得\(a_1=1\)。所以通項(xiàng)公式\(a_n=1+(n-1)\times2=2n-1\)。題目2等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(S_3=9\)，\(S_6=36\)，求\(a_7+a_8+a_9\)的值。詳解根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：\(S_3\)，\(S_6-S_3\)，\(S_9-S_6\)也成等差數(shù)列。已知\(S_3=9\)，\(S_6=36\)，則\(S_6-S_3=36-9=27\)。設(shè)\(S_9-S_6=x\)，因?yàn)閈(S_3\)，\(S_6-S_3\)，\(S_9-S_6\)成等差數(shù)列，所以\(2(S_6-S_3)=S_3+(S_9-S_6)\)。即\(2\times27=9+x\)，\(54=9+x\)，解得\(x=45\)。而\(a_7+a_8+a_9=S_9-S_6\)，所以\(a_7+a_8+a_9=45\)。題目3在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_{10}<0\)，\(a_{11}>0\)，且\(a_{11}>|a_{10}|\)，\(S_n\)為數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和，則使\(S_n>0\)的\(n\)的最小值為（）A.10B.11C.19D.20詳解因?yàn)閈(a_{11}>|a_{10}|\)，\(a_{10}<0\)，所以\(a_{11}>-a_{10}\)，即\(a_{10}+a_{11}>0\)。根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)。\(S_{19}=\frac{19(a_1+a_{19})}{2}\)，由等差數(shù)列性質(zhì)\(a_1+a_{19}=2a_{10}\)，所以\(S_{19}=19a_{10}<0\)。\(S_{20}=\frac{20(a_1+a_{20})}{2}=10(a_{10}+a_{11})>0\)。所以使\(S_n>0\)的\(n\)的最小值為\(20\)，答案選D。二、等比數(shù)列相關(guān)題目及詳解題目4已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n\)。詳解設(shè)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公比為\(q\)。根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，則\(a_2=a_1q\)，\(a_5=a_1q^4\)。所以\(\frac{a_5}{a_2}=\frac{a_1q^4}{a_1q}=q^3\)，已知\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，則\(q^3=\frac{16}{2}=8\)，解得\(q=2\)。將\(q=2\)代入\(a_2=a_1q\)，即\(2=a_1\times2\)，解得\(a_1=1\)。所以通項(xiàng)公式\(a_n=1\times2^{n-1}=2^{n-1}\)。題目5等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，若\(S_3=7\)，\(S_6=63\)，求\(a_n\)。詳解當(dāng)\(q=1\)時(shí)，\(S_n=na_1\)，則\(S_3=3a_1\)，\(S_6=6a_1\)，那么\(\frac{S_6}{S_3}=2\)，而\(\frac{S_6}{S_3}=\frac{63}{7}=9\neq2\)，所以\(q\neq1\)。等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)。已知\(S_3=7\)，\(S_6=63\)，則\(\begin{cases}\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=7\\\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=63\end{cases}\)用第二個(gè)方程除以第一個(gè)方程得：\(\frac{1-q^6}{1-q^3}=\frac{63}{7}=9\)。根據(jù)平方差公式\(1-q^6=(1+q^3)(1-q^3)\)，所以\(\frac{(1+q^3)(1-q^3)}{1-q^3}=1+q^3=9\)，解得\(q^3=8\)，\(q=2\)。將\(q=2\)代入\(\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=7\)，即\(\frac{a_1(1-8)}{1-2}=7\)，\(7a_1=7\)，解得\(a_1=1\)。所以\(a_n=1\times2^{n-1}=2^{n-1}\)。題目6在等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3\)，\(a_7\)是方程\(x^2-5x+4=0\)的兩根，則\(a_5\)的值為（）A.2B.-2C.\(\pm2\)D.\(\sqrt{5}\)詳解對(duì)于方程\(x^2-5x+4=0\)，由韋達(dá)定理得\(a_3+a_7=5\)，\(a_3a_7=4\)。因?yàn)閈(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，所以\(a_5^2=a_3a_7=4\)，則\(a_5=\pm2\)。又因?yàn)榈缺葦?shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，且\(a_3+a_7=5>0\)，\(a_3a_7=4>0\)，所以\(a_3>0\)，\(a_7>0\)，那么\(a_5>0\)，所以\(a_5=2\)，答案選A。三、數(shù)列遞推關(guān)系相關(guān)題目及詳解題目7已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n