高考數(shù)學(xué)備考寶典_平面向量核心知識(shí)精講與高階技巧全解析一、引言在高考數(shù)學(xué)的龐大知識(shí)體系中，平面向量是一個(gè)極具綜合性和靈活性的重要板塊。它不僅是連接代數(shù)與幾何的橋梁，還在三角函數(shù)、解析幾何等多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。熟練掌握平面向量的核心知識(shí)和高階技巧，對(duì)于提升高考數(shù)學(xué)成績至關(guān)重要。本文將對(duì)平面向量的核心知識(shí)進(jìn)行詳細(xì)講解，并深入剖析其高階解題技巧，為廣大考生的高考備考提供有力支持。二、平面向量核心知識(shí)精講（一）向量的基本概念1.向量的定義向量是既有大小又有方向的量。我們通常用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。例如，在平面直角坐標(biāo)系中，從點(diǎn)\(A(x_1,y_1)\)到點(diǎn)\(B(x_2,y_2)\)的向量\(\overrightarrow{AB}\)，它就具有明確的大小和方向。2.向量的模向量的模即向量的大小，記作\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)。對(duì)于向量\(\overrightarrow{a}=(x,y)\)，其模\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。比如向量\(\overrightarrow{a}=(3,4)\)，則\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)。3.零向量與單位向量零向量是模為\(0\)的向量，記作\(\overrightarrow{0}\)，其方向是任意的。單位向量是模為\(1\)的向量。與非零向量\(\overrightarrow{a}\)同向的單位向量為\(\frac{\overrightarrow{a}}{\vert\overrightarrow{a}\vert}\)。例如，已知向量\(\overrightarrow{a}=(2,0)\)，則\(\vert\overrightarrow{a}\vert=2\)，與\(\overrightarrow{a}\)同向的單位向量為\((1,0)\)。4.平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任意向量平行。若\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)平行，可記作\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)。在坐標(biāo)表示中，若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)的充要條件是\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。（二）向量的線性運(yùn)算1.向量的加法-三角形法則：已知非零向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow\)，則向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的和，記作\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)，即\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。-平行四邊形法則：以同一點(diǎn)\(O\)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)為鄰邊作平行四邊形\(OACB\)，則以\(O\)為起點(diǎn)的對(duì)角線\(\overrightarrow{OC}\)就是\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的和。-運(yùn)算律：\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\overrightarrow+\overrightarrow{a}\)（交換律）；\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow+\overrightarrow{c})\)（結(jié)合律）。2.向量的減法向量的減法是加法的逆運(yùn)算。若\(\overrightarrow+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\)，則\(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow\)。同樣可以用三角形法則來作差，\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow\)表示從向量\(\overrightarrow\)的終點(diǎn)指向向量\(\overrightarrow{a}\)的終點(diǎn)的向量。3.向量的數(shù)乘實(shí)數(shù)\(\lambda\)與向量\(\overrightarrow{a}\)的積是一個(gè)向量，記作\(\lambda\overrightarrow{a}\)，它的長度與方向規(guī)定如下：-\(\vert\lambda\overrightarrow{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\overrightarrow{a}\vert\)；-當(dāng)\(\lambda\gt0\)時(shí)，\(\lambda\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{a}\)的方向相同；當(dāng)\(\lambda\lt0\)時(shí)，\(\lambda\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{a}\)的方向相反；當(dāng)\(\lambda=0\)時(shí)，\(\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)。-運(yùn)算律：\(\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}\)；\((\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}\)；\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow\)。（三）向量的數(shù)量積1.定義已知兩個(gè)非零向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)，它們的夾角為\(\theta\)，則數(shù)量\(\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\cos\theta\)叫做\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)，即\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert\cos\theta\)。規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為\(0\)。2.幾何意義\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)等于\(\overrightarrow{a}\)的長度\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)與\(\overrightarrow\)在\(\overrightarrow{a}\)方向上的投影\(\vert\overrightarrow\vert\cos\theta\)的乘積。3.運(yùn)算律\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\overrightarrow\cdot\overrightarrow{a}\)（交換律）；\((\lambda\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow=\lambda(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow)=\overrightarrow{a}\cdot(\lambda\overrightarrow)\)（數(shù)乘結(jié)合律）；\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow\cdot\overrightarrow{c}\)（分配律）。4.坐標(biāo)表示若\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)。同時(shí)，\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}}}\)，且\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)的充要條件是\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，即\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。三、平面向量高階技巧全解析（一）巧用向量共線定理解題向量共線定理：若\(\overrightarrow\neq\overrightarrow{0}\)，則\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow\)。在解決一些涉及三點(diǎn)共線的問題時(shí)，我們可以利用向量共線定理來建立等式求解。例1：已知\(A\)，\(B\)，\(C\)三點(diǎn)共線，且\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow\)，\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\)，若\(\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}\)，求\(m+n\)的值。解析：因?yàn)閈(A\)，\(B\)，\(C\)三點(diǎn)共線，所以\(\overrightarrow{AC}\)與\(\overrightarrow{AB}\)共線。\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow-\overrightarrow{a}\)。由向量共線定理可知，存在實(shí)數(shù)\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\)，即\(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=\lambda(\overrightarrow-\overrightarrow{a})\)，\(\overrightarrow{c}=(1-\lambda)\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow\)。又因?yàn)閈(\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}\)，即\(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow\)，所以\(m=1-\lambda\)，\(n=\lambda\)，則\(m+n=1\)。（二）利用向量數(shù)量積解決幾何問題向量數(shù)量積在解決幾何中的夾角、垂直、距離等問題時(shí)有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。例2：在\(\triangleABC\)中，\(\vert\overrightarrow{AB}\vert=3\)，\(\vert\overrightarrow{AC}\vert=4\)，\(\angleBAC=60^{\circ}\)，求\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}\)的值。解析：首先，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)。則\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}^{2}\)。根據(jù)向量數(shù)量積公式\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\vert\overrightarrow{AB}\vert\vert\overrightarrow{AC}\vert\cos\angleBAC=3\times4\times\cos60^{\circ}=3\times4\times\frac{1}{2}=6\)。\(\overrightarrow{AB}^{2}=\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2}=3^{2}=9\)。所以\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=6-9=-3\)。（三）坐標(biāo)法在平面向量中的應(yīng)用當(dāng)題目中出現(xiàn)具體的幾何圖形，且便于建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，我們可以通過坐標(biāo)法將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行求解。例3：在正方形\(ABCD\)中，邊長為\(2\)，\(E\)為\(BC\)的中點(diǎn)，\(F\)為\(CD\)的中點(diǎn)，求\(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}\)的值。解析：以\(A\)為坐標(biāo)原點(diǎn)，\(AB\)所在直線為\(x\)軸，\(AD\)所在直線為\(y\)軸，建立平面直角坐標(biāo)系。則\(A(0,0)\)，\(B(2,0)\)，\(C(2,2)\)，\(D(0,2)\)。因?yàn)閈(E\)為\(BC\)的中點(diǎn)，所以\(E(2,1)\)；\(F\)為\(CD\)的中點(diǎn)，所以\(F(1,2)\)。那么\(\overrightarrow{AE}=(2,1)\)，\(\overrightarrow{AF}=(1,2)\)。根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式\(\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}=2\times1+1\times2=4\)。（四）向量的極化恒等式極化恒等式：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\frac{1}{4}[(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)^{2}-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)^{2}]\)。在解決一些與向量模和數(shù)量積相關(guān)的問題時(shí)，極化恒等式可以簡化計(jì)算。例4：已知\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert=6\)，\(\vert\overrightarrow{a}-\overrightarrow\vert=2\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值。解析：根據(jù)極化恒等式\(\overrig