2021學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)（試題）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合斜率的定義即可求得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線斜率的定義可知：，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線傾斜角的定義，特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.2.已知圓的方程為，則圓心的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，可求得圓心坐標(biāo).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心的坐標(biāo)為.故選：A.3.在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A.12 B.32 C.36 D.72【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合角標(biāo)和定理即可求解.【詳解】解：等差數(shù)列中，所以等差數(shù)列的前6項(xiàng)之和為：故選：C.4.已知點(diǎn)到直線的距離為1，則m的值為（）A.或 B.或15 C.5或 D.5或15【答案】D【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式即可得出.【詳解】解：點(diǎn)到直線的距離為1，解得：m=15或5．故選：D.5.已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.6.已知的周長(zhǎng)為，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知點(diǎn)的軌跡是除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓，求出、的值，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)的位置可得出頂點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由已知可得，，且、、三點(diǎn)不共線，故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.7.在四面體中，，，，且，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】解：由題知，故選：B.8.已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，則當(dāng)時(shí)，n的最大值是（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】先求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式，然后利用分組求和求出，再對(duì)進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列所以因?yàn)槭且?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以由得：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以n的最大值是.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用分組求和求出，再通過(guò)賦值法即可求出使不等式成立的的最大值.二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.設(shè)是兩個(gè)空間向量，則一定共面B.設(shè)是三個(gè)空間向量，則一定不共面C.設(shè)是兩個(gè)空間向量，則D.設(shè)是三個(gè)空間向量，則【答案】AC【解析】【分析】直接利用空間向量的定義、數(shù)量積的定義，空間向量的應(yīng)用逐一判斷A、B、C、D的結(jié)論即可．【詳解】對(duì)于A：因?yàn)槭莾蓚€(gè)空間向量，則一定共面，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槭侨齻€(gè)空間向量，則可能共面也可能不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)槭莾蓚€(gè)空間向量，則，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)槭侨齻€(gè)空間向量，則與向量共線，與向量共線，則D錯(cuò)誤．故選：AC．10.已知點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)，，則（）A.直線與圓C相交 B.直線與圓C相離C.點(diǎn)P到直線距離小于5 D.點(diǎn)P到直線距離大于1【答案】BC【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式即可判斷直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A和B，再由圓上一點(diǎn)到直線距離的最大最小值即可判斷選項(xiàng)C和D.詳解】解：圓所以圓心為，半徑為因?yàn)?，所以直線方程為：對(duì)A，圓心到直線的距離為，所以直線與圓C相離，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由選項(xiàng)A的分析知，直線與圓C相離，故B正確；對(duì)C，由選項(xiàng)A的分析知，圓心到直線的距離為，所以圓上一點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值分別為和，因?yàn)?，所以點(diǎn)P到直線距離小于5，故C正確；對(duì)D，由選項(xiàng)C的分析知，圓上一點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在軸上，短軸長(zhǎng)等于，焦距為，過(guò)焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.橢圓的方程為 B.橢圓的離心率為C. D.【答案】AD【解析】【分析】求出、、的值，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，將代入橢圓方程，可求得的長(zhǎng)，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用橢圓的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于橢圓，由已知可得，則，，.對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，故橢圓的方程為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，橢圓的離心率為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，易知點(diǎn)，將代入橢圓方程可得，故，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D對(duì).故選：AD.12.已知數(shù)列中，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.是等比數(shù)列 C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先由分析出數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等比數(shù)列，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：數(shù)列中，，，所以，即因?yàn)?，所以所以所以?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，均為以為公比的等比數(shù)列所以對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，由分析知，是等比數(shù)列，故B正確；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)已知數(shù)列的遞推公式進(jìn)行變形整理，得到新的遞推公式，從而得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為等比數(shù)列.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知空間向量，且，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，求出的值即可.【詳解】由已知可得，解得.故答案為：.14.如圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)圖案中點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為，按此規(guī)律，則___________，___________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用題中所給規(guī)律求出即可.【詳解】解：由圖可知，，，，，因?yàn)榉系炔顢?shù)列的定義且公差為所以，所以，故答案為：，.15.已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】將直線與拋物線聯(lián)立結(jié)合拋物線的定義即可求解.【詳解】解：直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)設(shè)，直線與拋物線聯(lián)立得：所以所以即解得：所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為：.故答案為：.16.在平面上給定相異兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)P滿足，則當(dāng)且時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知橢圓的離心率，A，B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，C，D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，若的面積的最大值為3，則面積的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)求出圓的方程，再由的面積的最大值結(jié)合離心率求出和的值，進(jìn)而求出面積的最小值.【詳解】解：由題意，設(shè)，，因?yàn)榧磧蛇吰椒秸淼茫核詧A心為，半徑因?yàn)榈拿娣e的最大值為3所以，解得：因?yàn)闄E圓的離心率即，所以由得：所以面積的最小值為：故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題先根據(jù)已知的比例關(guān)系求出阿波羅尼斯圓的方程，再利用已知面積和離心率求出橢圓的方程，進(jìn)而求得面積的最值.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知圓的圓心為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出圓的半徑長(zhǎng)，結(jié)合圓心坐標(biāo)可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得.【小問(wèn)1詳解】解：圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：圓心到直線的距離為，因此，.18.在①成等差數(shù)列；②成等比數(shù)列；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并對(duì)其求解.問(wèn)題：已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且___________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：結(jié)合等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解；若選②：利用等比數(shù)列等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算求解，若選③：利用直接計(jì)算；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可知數(shù)列為等差數(shù)列，直接求和即可.【小問(wèn)1詳解】由，當(dāng)時(shí)，，即，即，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若選①：由，即，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選②：由，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；若選③：由，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以.19.如圖，正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，.（1）求點(diǎn)C到平面距離；（2）試判斷與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）平行，證明過(guò)程見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用等體積法即可求解；（2）利用線面平行的判定即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，所以，，正三棱柱中，所以又因?yàn)檎庵?，?cè)面平面且交線為且平面中，所以平面又平面所以設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為在三棱錐中，即所以點(diǎn)C到平面的距離為.【小問(wèn)2詳解】與平面的位置，證明如下：連接交于點(diǎn)，連接，如下圖所示，因?yàn)檎庵膫?cè)面為矩形所以為的中點(diǎn)又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)所以為的中位線所以又因?yàn)槠矫?，且平面所以平?0.已知三點(diǎn)共線，其中是數(shù)列中的第n項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由三點(diǎn)共線可知斜率相等，即可得出答案；(2)由題可得，利用錯(cuò)位相減法即可求出答案.【小問(wèn)1詳解】三點(diǎn)共線，【小問(wèn)2詳解】①②①—②得21.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面與平面垂直的性質(zhì)得出直線與平面垂直，進(jìn)而得出平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為且平面中，所以平面又平面所以又，且所以平面【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，平面且所以、、兩兩垂直因此以原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，，，設(shè)所以，，，，由（1）知，平面所以為平面的法向量且因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為所以解得：所以，又，，所以，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為：，所以，令，則令，則，，即設(shè)平面與平面夾角為則所以平面與平面夾角的余弦值為.22.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線與曲線C相交于兩點(diǎn)，，請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)P能否為線段的中點(diǎn)，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）不能，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用題中距離之比列出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的方程即可求解；（2）先假設(shè)點(diǎn)P能為線段的中點(diǎn)，再利用點(diǎn)差法求出直線的斜率，最后聯(lián)立直線與曲線進(jìn)行