解三角形專題：三角形中的最值范圍問題一、求最值范圍問題的預(yù)備知識：1、正弦定理：asinA=bsinB=正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。當(dāng)關(guān)于邊，或是角的正弦值具備齊次的特征，則可以直接進行邊化角或角化邊，否則不行。2、余弦定理：a3、三角形的面積公式：（1）S=12a?h（a（2）S=14、三角形內(nèi)角和定理：A+B+C=π（1）正余弦關(guān)系式：sinA=cosA=cos（2）在已知一角的情況下，可用另外一個角表示第三個角，達(dá)到消元的目的。5、兩角和與差的正、余弦公式：sinA±BcosA±B6、降冪公式：sin2A=1?cos2A7、輔助角公式：asinA+bsinA=8、利用均值不等式求函數(shù)的最大值和最小值二、三角形中的最值范圍問題處理方法法一：利用基本不等式求最值-化角為邊余弦定理公式里有“平方和”和“積”這樣的整體，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范圍，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的條件。法二：轉(zhuǎn)為三角函數(shù)求最值-化邊為角如果所求整體結(jié)構(gòu)不對稱，或者角度有更細(xì)致的要求，用余弦定理和基本不等式難以解決，這時候可以轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，消元后使得式子里只有一個角，變?yōu)槿呛瘮?shù)最值問題進行解決。要注意三角形隱含角的范圍、三角形兩邊之和大于第三邊。三、邊化角與角化邊的變換原則在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.題型一求角度或三角值的最值范圍【例1】設(shè)的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a，b，c，，且B為鈍角．的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由以及正弦定理得，所以即，又B為鈍角，所以，故于是，因為，所以由此，即的取值范圍是故選：A【變式1-1】在銳角三角形中，角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由和余弦定理得，又，∴．因為三角形為銳角三角形，則，即，解得．，∵，即，所以，則，因此，的取值范圍是．故選：A【變式1-2】已知中，角、、所對應(yīng)的邊分別為、、，且，若的面積為，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角形的面積公式可得，可得，，由余弦定理可得，由，可得，解得，，，可得，則，所以，，，，則，因此，，故選：B.【變式1-3】在銳角三角形中，角??的對邊分別為??，且滿足，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】因為，由余弦定理得，所以，，由正弦定理得，所以，因為為銳角三角形，所以，，，由，得，，，，所以．【變式1-4】△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．（1）若，且，求△ABC的面積；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，故，而，所以，故.（2）由，故，即，由余弦定理知：，即，所以，即，又，故，由，則或（舍），所以，則，即，，而，所以，當(dāng)時有最大值為.【變式1-5】在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.（1）求角的大??；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）整理得，故又，所以；（2）由銳角知，得，故，因為，得，所以.【變式1-6】已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）及，，化簡得，，又，.（2）由（1）可得為銳角三角形，且，，.，，故的取值范圍為.題型二求邊長或周長的最值范圍【例2】如圖，在中，，將繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，M是BC的中點，P是的中點，連接PM．若，則線段PM的最大值為（）A．2.5B．C．3D．4【答案】C【解析】由題意，繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，P是的中點，則設(shè),則，，，故選：C.【變式2-1】在中，，，以為邊作等腰直角三角形（為直角頂點，、兩點在直線的兩側(cè)）.當(dāng)變化時，線段長的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】方法一：如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，，在中，，，，，

，在中，，當(dāng)點在上時，即、、三點共線，此時有的最大值，的最大值為：，，的最大值為：.故選：C.方法二：如圖，設(shè)，，在中，由余弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：，由同角關(guān)系可得：，，令，則，當(dāng)時等號成立.的最大值為：.故選：C.【變式2-2】（2022春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？计谀┰阡J角三角形中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊，設(shè)A＝2C，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理可得又因為三角形是銳角三角形，所以，即，也即,所以，所以，，，，所以的取值范圍是，故選：A【變式2-3】在銳角中，分別是角所對的邊，且.（1）求角；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為中，即，由正弦定理得，所以，又因為銳角，，，所以，.（2）由正弦定理可得：，因為是銳角三角形，所以，解得，，所以，所以.【變式2-4】已知中，角所對的邊分別是，向量，，且.（1）求的值；（2）若，求周長的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1），，即，，，又，.（2）由正弦定理得：，，，；，，，則，，即周長的取值范圍為.題型三求面積的最值范圍【例3】在中，內(nèi)角的對邊分別是，.（1）求角的大??；（2）若點滿足，且，求面積的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，所以.因為，所以.因為，所以.又因為，所以.（2）因為，所以點D在線段上，且.因為，所以，即為的角平分線.由（1）得，所以.由，得，即，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，.故面積的最小值為.【變式3-1】在四邊形中，，，，設(shè)．（1）當(dāng)時，求線段的長度；（2）求面積的最大值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時，在中，，，，由正弦定理，得．（2）在中，，，由正弦定理，在中，，，此時，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故面積的最大值為．【變式3-2】在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c．已知的外接圓半徑，且．（1）求B和b的值；（2）求面積的最大值．【答案】（1），b=2；（2）【解析】（1）因為，所以，，即，因為，所以，又，所以，所以，又的外接圓半徑，所以由正弦定理得；（2）由余弦定理得，由基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故面積的最大值為．【變式3-3】已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，．（1）求角B；（2）求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在銳角中，由正弦定理及得：，而，則，又，，因此，即，所以.（2）在銳角中，由（1）知，，有，令，則，，由正弦定理得，的面積，由得，，于是得，所以面積的取值范