§2.4多元線性回歸模型的

統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計

StatisticalTestandIntervalEstimationofMultipleLinearRegressionModel

擬合優(yōu)度檢驗

AIC和SC準則

方程的顯著性檢驗（F檢驗）

變量的顯著性檢驗（t檢驗）

參數估計量的區(qū)間估計

預測值的區(qū)間估計

受約束回歸

參數穩(wěn)定性檢驗多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計說明由計量經濟模型的數理統(tǒng)計理論要求的以多元線性模型為例包括擬合優(yōu)度檢驗、總體顯著性檢驗、變量顯著性檢驗、偏回歸系數約束檢驗、模型對時間的穩(wěn)定性檢驗、參數估計量的區(qū)間估計、預測值的區(qū)間估計、受約束回歸。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計一、擬合優(yōu)度檢驗

(TestingofSimulationLevel)1、概念檢驗模型對樣本觀測值的擬合程度通過構造一個可以表征擬合程度的統(tǒng)計量來實現。問題：采用普通最小二乘估計方法，已經保證了模型最好地擬合了樣本觀察值，為什么還要檢驗擬合程度？多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計2、總體平方和、回歸平方和、殘差平方和定義總體平方和(TotalSumofSquares)回歸平方和(ExplainedSumofSquares)殘差平方和(ResidualSumofSquares)

問題：既然RSS反映了樣本觀測值與估計值偏離的大小，可否直接用它來作為擬合優(yōu)度檢驗的統(tǒng)計量？

統(tǒng)計量必須是相對量。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計TSS、ESS、RSS之間的關系

TSS=ESS+RSS3、一個有趣的現象：=多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計關鍵是在于TSS=ESS+RSS推導過程中用到的一組矩條件：矩條件在大樣本下成立，只有一個樣本時肯定不成立，在樣本足夠大時近似成立。理解教材中TSS=ESS+RSS的推導過程多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計4、擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量:可決系數r2和調整后的可決系數R2可決系數r2r2越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。

問題：如果在模型中增加一個解釋變量，r2往往增大(?)是否越多的解釋變量，模型擬合的越好？多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:CONSPMethod:LeastSquaresSample:19782000Includedobservations:23VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

GDPP0.3861800.00722253.474710.0000C201.118914.8840213.512410.0000R-squared0.992710

Meandependentvar905.3304AdjustedR-squared0.992363

S.D.dependentvar380.6334S.E.ofregression33.26450

Akaikeinfocriterion9.929800Sumsquaredresid23237.06

Schwarzcriterion10.02854Loglikelihood-112.1927

Hannan-Quinncriter.9.954632F-statistic2859.544

Durbin-Watsonstat0.550636Prob(F-statistic)0.000000在消費模型中，Eviews軟件估計結果多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:CONSPMethod:LeastSquaresSample(adjusted):19792000Includedobservations:22afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

GDPP0.2213590.0609733.6304620.0018CONSP(-1)0.4514080.1703182.6503800.0158C120.725336.513743.3062990.0037R-squared0.995403

Meandependentvar928.4909AdjustedR-squared0.994919

S.D.dependentvar372.6339S.E.ofregression26.56264

Akaikeinfocriterion9.523012Sumsquaredresid13405.90

Schwarzcriterion9.671791Loglikelihood-101.7531

Hannan-Quinncriter.9.558060F-statistic2056.887

Durbin-Watsonstat1.278902Prob(F-statistic)0.000000在消費模型中，Eviews軟件估計結果多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計調整后的可決系數R2多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計

問題：為什么以R2作為檢驗統(tǒng)計量避免了片面增加解釋變量的問題？

R2多大才算通過擬合優(yōu)度檢驗？

多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計二、AIC、SC準則

(Akaikeinformationcriterion,AIC

Schwarzcriterion,SC)AIC、SC準則要求：在模型中增加解釋變量的條件是能夠減少AIC值或SC值。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:CONSPMethod:LeastSquaresSample:19782000Includedobservations:23VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C201.118914.8840213.512410.0000GDPP0.3861800.00722253.474710.0000R-squared0.992710

Meandependentvar905.3304AdjustedR-squared0.992363

S.D.dependentvar380.6334S.E.ofregression33.26450

Akaikeinfocriterion9.929800Sumsquaredresid23237.06

Schwarzcriterion10.02854Loglikelihood-112.1927

Hannan-Quinncriter.9.954632F-statistic2859.544

Durbin-Watsonstat0.550636Prob(F-statistic)0.000000在消費模型中,用AIC、SC準則判斷是否新增解釋變量多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:CONSPMethod:LeastSquaresSample(adjusted):19792000Includedobservations:22afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

GDPP0.2213590.0609733.6304620.0018CONSP(-1)0.4514080.1703182.6503800.0158C120.725336.513743.3062990.0037R-squared0.995403

Meandependentvar928.4909AdjustedR-squared0.994919

S.D.dependentvar372.6339S.E.ofregression26.56264

Akaikeinfocriterion9.523012Sumsquaredresid13405.90

Schwarzcriterion9.671791Loglikelihood-101.7531

Hannan-Quinncriter.9.558060F-statistic2056.887

Durbin-Watsonstat1.278902Prob(F-statistic)0.000000在消費模型中,用AIC、SC準則判斷是否新增解釋變量多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計例：測度教育的回報問題

wage:小時工資(元)，educ:受教育的年數，exper:以年數計的工作經歷。其他非觀測因素：天生能力、職業(yè)道德等。

E(μ|educ,exper)=0，影響wage的其它因素與educ和exper無關。比如，如果μ是天生能力，這個假定就是要求，工人總體中受教育和工作經歷的各種組合，其平均能力都相同。

Var(μ|educ,exper)=σ2，Var(wage|educ,exper)=σ2，如果這個方差隨著兩個解釋變量中的任何一個變化，就出現了異方差。

多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:WAGEMethod:LeastSquaresSample:1526Includedobservations:526VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-3.3905400.766566-4.4230230.0000EDUC0.6442720.05380611.973970.0000EXPER0.0700950.0109786.3852910.0000R-squared0.225162

Meandependentvar5.896103AdjustedR-squared0.222199

S.D.dependentvar3.693086S.E.ofregression3.257044

Akaikeinfocriterion5.205204Sumsquaredresid5548.160

Schwarzcriterion5.229531Loglikelihood-1365.969

Hannan-Quinncriter.5.214729F-statistic75.98998

Durbin-Watsonstat1.820274Prob(F-statistic)0.000000在教育回報模型中，Eviews估計結果:多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:LOG(WAGE)Method:LeastSquaresSample:1526Includedobservations:526VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C0.2168540.1085951.9969090.0464EDUC0.0979360.00762212.848390.0000EXPER0.0103470.0015556.6533930.0000R-squared0.249343

Meandependentvar1.623268AdjustedR-squared0.246473

S.D.dependentvar0.531538S.E.ofregression0.461407

Akaikeinfocriterion1.296614Sumsquaredresid111.3447

Schwarzcriterion1.320940Loglikelihood-338.0094

Hannan-Quinncriter.1.306139F-statistic86.86167

Durbin-Watsonstat1.789452Prob(F-statistic)0.000000在教育回報對數模型中，Eviews估計結果:多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:LOG(WAGE)Method:LeastSquaresSample:1526Includedobservations:526VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C0.2843600.1041902.7292300.0066EDUC0.0920290.00733012.555250.0000EXPER0.0041210.0017232.3914370.0171TENURE0.0220670.0030947.1330700.0000R-squared0.316013

Meandependentvar1.623268AdjustedR-squared0.312082

S.D.dependentvar0.531538S.E.ofregression0.440862

Akaikeinfocriterion1.207406Sumsquaredresid101.4556

Schwarzcriterion1.239842Loglikelihood-313.5478

Hannan-Quinncriter.1.220106F-statistic80.39092

Durbin-Watsonstat1.768805Prob(F-statistic)0.000000在教育回報對數模型中加入解釋變量后的估計結果:多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計1、關于假設檢驗假設檢驗是統(tǒng)計推斷的一個主要內容，它的基本任務是根據樣本所提供的信息，對未知總體分布的某些方面的假設作出合理判斷。假設檢驗的程序是：先根據實際問題的要求提出一個論斷，稱為統(tǒng)計假設；然后根據樣本的有關信息，對它的真?zhèn)芜M行判斷，做出拒絕或接受的決策。假設檢驗的基本思想是概率性質的反證法。概率性質的反證法的根據是小概率事件原理。該原理認為，“小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的”。三、方程的顯著性檢驗(TestingtheOverallSignificance)多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計2、方程顯著性的F

檢驗

檢驗模型：

Yi=

0+

1X1i+

2X2i++

kXki+

i(i=1,2,,n)中的參數

j是否顯著不為0。

可提出如下原假設與備擇假設：

H0：

1=

2==

k=0

H1：

j不全為0

方程的顯著性檢驗，旨在對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關系在總體上是否顯著成立作出推斷。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計

如果這個比值較大，則X的聯合體對Y的解釋程度高，可認為總體存在線性關系，反之總體上可能不存在線性關系?？赏ㄟ^該比值的大小對總體線性關系進行推斷。F檢驗的思想來自于總體平方和的分解式：

TSS=ESS+RSS由于回歸平方和是解釋變量X的聯合體對被解釋變量Y的線性作用的結果，考慮比值：多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計

根據數理統(tǒng)計學的定義，在原假設H0成立的條件下，統(tǒng)計量:

服從自由度為(k,n-k-1)的F分布。

給定顯著性水平

，可得到臨界值F

(k,n-k-1),由樣本求出統(tǒng)計量F

的數值，可通過

F

F

(k,n-k-1)

或F

F

(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設H0，以判定原方程總體上的線性關系是否顯著成立。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計

例如，在消費模型中，k=2，n=22，給定

=0.01，查得F0.01(2,19)=5.93，而F=2056.887>>5.93

，所以該線性模型的總體線性關系在0.99的水平下顯著成立。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:CONSPMethod:LeastSquaresSample(adjusted):19792000Includedobservations:22afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

GDPP0.2213590.0609733.6304620.0018CONSP(-1)0.4514080.1703182.6503800.0158C120.725336.513743.3062990.0037R-squared0.995403

Meandependentvar928.4909AdjustedR-squared0.994919

S.D.dependentvar372.6339S.E.ofregression26.56264

Akaikeinfocriterion9.523012Sumsquaredresid13405.90

Schwarzcriterion9.671791Loglikelihood-101.7531

Hannan-Quinncriter.9.558060F-statistic2056.887

Durbin-Watsonstat1.278902Prob(F-statistic)0.000000在消費模型中，Eviews軟件估計結果

多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:WAGEMethod:LeastSquaresSample:1526Includedobservations:526VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-3.3905400.766566-4.4230230.0000EDUC0.6442720.05380611.973970.0000EXPER0.0700950.0109786.3852910.0000R-squared0.225162

Meandependentvar5.896103AdjustedR-squared0.222199

S.D.dependentvar3.693086S.E.ofregression3.257044

Akaikeinfocriterion5.205204Sumsquaredresid5548.160

Schwarzcriterion5.229531Loglikelihood-1365.969

Hannan-Quinncriter.5.214729F-statistic75.98998

Durbin-Watsonstat1.820274Prob(F-statistic)0.000000在教育回報模型中，Eviews估計結果:多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計2、擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關系的討論

F與R2同方向變化，當R2=0時，F=0；

R2越大，F值也越大；當R2=1時，F為無窮大?？赏瞥觯夯蚺c由多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計在消費模型中，R2>0.32→F>5.93

→該線性模型在0.99的水平下顯著成立。

因此，F檢驗是所估計回歸的總顯著性的一個度量，也是R2或r2的一個顯著性檢驗。亦即，

檢驗H0:β1=0,β2=0,…,βk=0等價于檢驗R2=0這個虛擬假設?；卮鹎懊娴膯栴}：R2多大才算通過擬合優(yōu)度檢驗收入差距與經濟增長之間關系庫茲涅茲曲線多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:LOG(WAGE)Method:LeastSquaresSample:1526Includedobservations:526VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C0.2168540.1085951.9969090.0464EDUC0.0979360.00762212.848390.0000EXPER0.0103470.0015556.6533930.0000R-squared0.249343

Meandependentvar1.623268AdjustedR-squared0.246473

S.D.dependentvar0.531538S.E.ofregression0.461407

Akaikeinfocriterion1.296614Sumsquaredresid111.3447

Schwarzcriterion1.320940Loglikelihood-338.0094

Hannan-Quinncriter.1.306139F-statistic86.86167

Durbin-Watsonstat1.789452Prob(F-statistic)0.000000在教育回報對數模型中，Eviews估計結果:（1%）F(2,523)=4.65→R2=0.0137多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計四、變量的顯著性檢驗（t檢驗）

TestingtheIndividualSignificance

對于多元線性回歸模型，方程的總體線性關系顯著

每個解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的。因此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。

用于進行變量顯著性檢驗的方法包括:F檢驗、t檢驗、Z檢驗，它們的區(qū)別在于構造的統(tǒng)計量不同，應用最多的是

t

檢驗。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計1、t統(tǒng)計量

由于模型參數βi

服從下列正態(tài)分布:

其中，cii表示矩陣(X'X)-1

主對角線上的第i個元素，

2為隨機誤差項的方差，在實際計算時，用它的估計量代替:

可以構造一個統(tǒng)計量:多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計2、t檢驗

原假設與備擇假設：

H1：

i0

給定顯著性水平

,可得到臨界值t

/2(n-k-1),于是可以根據：

|t|

t

/2(n-k-1)

或|t|

t

/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設H0，從而判定對應的解釋變量是否應包括在模型中。H0：

i=0i=1,2,…,k多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:CONSPMethod:LeastSquaresSample(adjusted):19792000Includedobservations:22afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

GDPP0.2213590.0609733.6304620.0018CONSP(-1)0.4514080.1703182.6503800.0158C120.725336.513743.3062990.0037R-squared0.995403

Meandependentvar928.4909AdjustedR-squared0.994919

S.D.dependentvar372.6339S.E.ofregression26.56264

Akaikeinfocriterion9.523012Sumsquaredresid13405.90

Schwarzcriterion9.671791Loglikelihood-101.7531

Hannan-Quinncriter.9.558060F-statistic2056.887

Durbin-Watsonstat1.278902Prob(F-statistic)0.000000在消費模型中，Eviews軟件估計結果

多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計

在消費模型中，

tC=3.306299，

tGDPP=3.630462，

tCONSP(-1)=2.650380

給定

=0.01，查得t0.005(19)=2.86093，所以該消費模型中只有常數項和人均GDP是在0.99的水平下顯著。如果給定

=0.02，查得t0.01(19)=2.53948，人均消費支出變量在0.98的水平下顯著。一個問題：是否應該接受H0：

consp(-1)

=0多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:WAGEMethod:LeastSquaresSample:1526Includedobservations:526VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-3.3905400.766566-4.4230230.0000EDUC0.6442720.05380611.973970.0000EXPER0.0700950.0109786.3852910.0000R-squared0.225162

Meandependentvar5.896103AdjustedR-squared0.222199

S.D.dependentvar3.693086S.E.ofregression3.257044

Akaikeinfocriterion5.205204Sumsquaredresid5548.160

Schwarzcriterion5.229531Loglikelihood-1365.969

Hannan-Quinncriter.5.214729F-statistic75.98998

Durbin-Watsonstat1.820274Prob(F-statistic)0.000000在教育回報模型中，Eviews估計結果:多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:LOG(WAGE)Method:LeastSquaresSample:1526Includedobservations:526VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C0.2168540.1085951.9969090.0464EDUC0.0979360.00762212.848390.0000EXPER0.0103470.0015556.6533930.0000R-squared0.249343

Meandependentvar1.623268AdjustedR-squared0.246473

S.D.dependentvar0.531538S.E.ofregression0.461407

Akaikeinfocriterion1.296614Sumsquaredresid111.3447

Schwarzcriterion1.320940Loglikelihood-338.0094

Hannan-Quinncriter.1.306139F-statistic86.86167

Durbin-Watsonstat1.789452Prob(F-statistic)0.000000在教育回報對數模型中，Eviews估計結果:多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:LOG(WAGE)Method:LeastSquaresSample:1526Includedobservations:526VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C0.2843600.1041902.7292300.0066EDUC0.0920290.00733012.555250.0000EXPER0.0041210.0017232.3914370.0171TENURE0.0220670.0030947.1330700.0000R-squared0.316013

Meandependentvar1.623268AdjustedR-squared0.312082

S.D.dependentvar0.531538S.E.ofregression0.440862

Akaikeinfocriterion1.207406Sumsquaredresid101.4556

Schwarzcriterion1.239842Loglikelihood-313.5478

Hannan-Quinncriter.1.220106F-statistic80.39092

Durbin-Watsonstat1.768805Prob(F-statistic)0.000000在教育回報對數模型中加入解釋變量后的估計結果:多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計3、一元線性回歸中，t檢驗與F檢驗一致

一方面，t檢驗與F檢驗都是對相同的原假設H0：

1=0

進行檢驗;

另一方面，兩個統(tǒng)計量之間有如下關系：多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計4、關于檢驗標準的判斷科學性靈活性注意在什么置信水平下顯著多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計五、參數估計量的置信區(qū)間1.問題的提出人們經常說：“通過建立生產函數模型，得到資本的產出彈性是0.5”，“通過建立消費函數模型，得到收入的邊際消費傾向是0.6”，等等。其中，0.5與0.6是具有特定經濟含義的模型參數估計值。

這樣的說法是否正確？

應該如何表達才正確？多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計線性回歸模型的參數估計量是隨機變量，利用一次抽樣的樣本觀測值，估計得到的只是參數的一個點估計值。如果用參數估計量的一個點估計值近似代表參數值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率達到該接近程度？這就需要構造參數的一個區(qū)間，以點估計值為中心的一個區(qū)間（稱為置信區(qū)間，confidenceinterval），該區(qū)間以一定概率（稱為置信水平，confidencecoefficient）包含該參數。

參數估計量的區(qū)間估計的目的就是求得與α相對應的a值.多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計2.參數估計量的區(qū)間估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:CONSPMethod:LeastSquaresSample(adjusted):19792000Includedobservations:22afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

GDPP0.2213590.0609733.6304620.0018CONSP(-1)0.4514080.1703182.6503800.0158C120.725336.513743.3062990.0037R-squared0.995403

Meandependentvar928.4909AdjustedR-squared0.994919

S.D.dependentvar372.6339S.E.ofregression26.56264

Akaikeinfocriterion9.523012Sumsquaredresid13405.90

Schwarzcriterion9.671791Loglikelihood-101.7531

Hannan-Quinncriter.9.558060F-statistic2056.887

Durbin-Watsonstat1.278902Prob(F-statistic)0.000000在消費模型中，Eviews軟件估計結果

給定α=0.05，查得t0.025(19)=2.093，于是有：P(0.221359-2.093×0.060973<βGDPP<0.221359+2.093×0.060973)=0.95P(0.094<βGDPP<0.349)=0.95多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計

在消費模型例中,給定

=0.05，查表得臨界值：t0.025(19)=2.093計算得參數的置信區(qū)間：

0

：(44.302,197.149)

1

：(0.094,0.349)

2

：(0.095,0.808)

從回歸計算中已得到：多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計3.如何才能縮小置信區(qū)間？

增大樣本容量n，因為在同樣的樣本容量下，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時，增大樣本容量，還可使樣本參數估計量的標準差減?。惶岣吣Ｐ偷臄M合優(yōu)度，因為樣本參數估計量的標準差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。提高樣本觀測值的分散度,一般情況下，樣本觀測值越分散，(X'X)-1的分母的|X'X|的值越大，致使區(qū)間縮小。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計六、預測值的置信區(qū)間1.問題的提出計量經濟學模型的一個重要應用是預測，對模型:

它可以是總體均值E(Y0)

或個體Y0的預測。嚴格地說,這只是被解釋變量的預測值的估計值，而不是預測值。為了進行科學預測，還需求出預測值的置信區(qū)間,包括E(Y0)和Y0的置信區(qū)間。

如果給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解釋變量的預測值：多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計2.預測值Y0置信區(qū)間的推導如果已經知道實際的預測值，那么預測誤差為：

容易證明，e0服從正態(tài)分布：

取e0的方差的估計量：

多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計

所以，當給定解釋變量值X0后，能得到被解釋變量Y0以(1-

)的置信水平處于該區(qū)間的結論。

利用構造的t統(tǒng)計量，得到在給定(1-

)的置信水平下，預測Y0的置信區(qū)間：構造統(tǒng)計量：

多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計DependentVariable:CONSPMethod:LeastSquaresSample(adjusted):19791999Includedobservations:21afteradjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C128.659537.080563.4697310.0027GDPP0.2243760.0607623.6927140.0017CONSP(-1)0.4340620.1703062.5487160.0202R-squared0.994545

Meandependentvar892.1905AdjustedR-squared0.993939

S.D.dependentvar339.6461S.E.ofregression26.44299

Akaikeinfocriterion9.519423Sumsquaredresid12586.17

Schwarzcriterion9.668641Loglikelihood-96.95394

Hannan-Quinncriter.9.551807F-statistic1640.803

Durbin-Watsonstat1.303297Prob(F-statistic)0.000000在消費模型中，Eviews軟件估計結果(1978~1999):多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計在消費模型中，

1999年的CONSP=1564.4,給出2000年的GDPP=3789.7,再由模型：CONSP=128.6595+0.2244*GDPP+0.4341*CONSP(-1)

計算得2000年CONSP的預測值為:1658,2000年人均消費的實際值為:1690.8。給定α=0.01，查得t0.005(18)=2.878，于是有：P(1658.2?2.878*30.271<CONSP(2000)<1658.2+2.878*30.271)=0.99P(1033.21<CONSP(2000)<2283.19)=0.99

結論：2000年人均消費支出的預測值1658是以0.99的概率落在了區(qū)間(1033.21，2283.19)中。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計均值E(Y|X0)的(1-α)預測區(qū)間:

3.一點啟示計量經濟學模型用于預測時，必學嚴格科學地描述預測結果。如果要求給出一個準確的預測值，那個真實值與該預測值相同的概率為0。如果要以100%的概率給出區(qū)間,那么該區(qū)間是∞。模型研究者的任務是要盡可能地縮小置信區(qū)間。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計4.如何縮小置信區(qū)間

增大樣本容量n，因為在同樣的樣本容量下，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時，增大樣本容量，還可使樣本參數估計量的標準差減??；

提高模型的擬合優(yōu)度，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應越小。

提高樣本觀測值的分散度。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計七、受約束回歸(restrictedregression)

1.問題的提出在建立計量經濟學模型時，根據經濟理論有時需要對模型中變量的參數施加一定的約束條件。能否對某一具體問題施加約束條件，需要進行F檢驗。

F檢驗的思想：構造一個統(tǒng)計量，對施加約束條件前后的模型進行回歸，用二者殘差平方和大小的差異程度來檢驗約束條件的真實性。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計在相同樣本條件下，無約束樣本回歸模型：

受約束樣本回歸模型：則，受約束樣本回歸模型的殘差表示：得受約束樣本回歸模型RSSR為：則有：2.構造F統(tǒng)計量多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計kR與kU分別是受約束與無約束回歸模型的不包括常數項的解釋變量的個數。由于，多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計例:中國城鎮(zhèn)居民食品消費需求函數模型。食品消費需求函數：Q：人均食品消費支出；X：城鎮(zhèn)居民人均消費支出；P0：城鎮(zhèn)居民消費支出價格縮減指數；P1：城鎮(zhèn)居民食品消費支出價格縮減指數；約束條件：(*)(**)多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計中國城鎮(zhèn)居民人均食品消費圖多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計對無約束的食品消費需求模型的估計結果(1981~1994):DependentVariable:LOG(Q)Method:LeastSquaresSample:19811994Includedobservations:14VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C3.6337740.4023679.0310010.0000LOG(X)1.0554180.04162825.353810.0000LOG(P1)-0.0800350.035033-2.2845560.0454LOG(P0)-0.9249270.125921-7.3452990.0000R-squared0.998711

Meandependentvar6.308220AdjustedR-squared0.998325

S.D.dependentvar0.439774S.E.ofregression0.018000

Akaikeinfocriterion-4.961921Sumsquaredresid0.003240

Schwarzcriterion-4.779333Loglikelihood38.73345

Hannan-Quinncriter.-4.978823F-statistic2583.276

Durbin-Watsonstat1.504910Prob(F-statistic)0.000000β1+β2+β3=0.05多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計對受約束的食品消費需求模型的估計結果(1981~1994):DependentVariable:LOG(Q)Method:LeastSquaresSample:19811994Includedobservations:14VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C3.8252530.05042675.859140.0000LOG(X/P0)1.0726350.02036852.662290.0000LOG(P1/P0)-0.0912250.025218-3.6173720.0040R-squared0.998682

Meandependentvar6.308220AdjustedR-squared0.998442

S.D.dependentvar0.439774S.E.ofregression0.017359

Akaikeinfocriterion-5.082004Sumsquaredresid0.003315

Schwarzcriterion-4.945063Loglikelihood38.57403

Hannan-Quinncriter.-5.094681F-statistic4166.306

Durbin-Watsonstat1.508405Prob(F-statistic)0.000000多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計對無約束和受約束的食品消費需求模型的估計結果(1981~1994)的比較:RSSR=0.00332，RSSU=0.00324，kR與kU分別是2和3，n=14，則查F0.05(1,10)=4.96，F<F0.05(1,10)，不能拒絕食品的人均消費需求函數具有零階齊次性這一假設。多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗和區(qū)間估計WaldTest:Equation:UntitledTestStatisticValue

df

ProbabilityF-statistic0.230354(1,10)

0.6416Chi-square0.2303541

0.6313NullHypothesisSummary:NormalizedRestriction(=0)