（2016-2025）十年高考真題分類匯編（2016-2025）十年高考真題分類匯編PAGE2PAGE1專題11數(shù)列解答題綜合二（新定義、不等式和最值問題，18題）考點(diǎn)十年考情(2016-2025)命題趨勢數(shù)列新定義2024新課標(biāo)Ⅰ卷：可分?jǐn)?shù)列相關(guān)問題；2024北京卷：數(shù)列變換新定義問題；2023北京卷：數(shù)列新定義與前n項(xiàng)和結(jié)合問題；2022北京卷：連續(xù)可表數(shù)列問題；2021北京卷：λ數(shù)列問題；2020北京卷：數(shù)列性質(zhì)新定義問題；2020江蘇卷：“λ~k”數(shù)列問題；2020上海卷：有限數(shù)列性質(zhì)問題新定義數(shù)列是高考考查熱點(diǎn)，常結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)，考查對(duì)新定義的理解與應(yīng)用，注重邏輯推理和轉(zhuǎn)化能力。數(shù)列不等式問題2022新高考全國Ⅱ卷：等差數(shù)列與等比數(shù)列結(jié)合的不等式證明；2022浙江卷：等差數(shù)列等比數(shù)列相關(guān)不等式問題；2021天津卷：數(shù)列不等式證明；2020浙江卷：等差數(shù)列相關(guān)不等式證明數(shù)列與不等式結(jié)合考查，多涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列，考查不等式的證明、參數(shù)范圍求解等，常需運(yùn)用放縮法、函數(shù)思想等。數(shù)列的最值問題2022全國甲卷：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值；2021新高考全國Ⅱ卷：等差數(shù)列前n項(xiàng)和最小值；2021上海卷：數(shù)列相關(guān)最值問題；2019北京卷：等差數(shù)列前n項(xiàng)和最小值；2018全國II卷：等差數(shù)列前n項(xiàng)和最小值及通項(xiàng)數(shù)列最值問題多圍繞等差數(shù)列前n項(xiàng)和展開，考查利用二次函數(shù)性質(zhì)、鄰項(xiàng)變號(hào)法等求最值，也涉及數(shù)列通項(xiàng)相關(guān)最值問題。一、考點(diǎn)01：數(shù)列新定義1．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．2．（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作；將的第項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．(1)給定數(shù)列和序列，寫出；(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個(gè)符合條件的；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．3．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m，且的前n項(xiàng)和分別為，并規(guī)定．對(duì)于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)證明：存在，滿足使得．4．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．5．（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③，．（1）如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．6．（2020·北京·高考真題）已知是無窮數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得．(Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由；(Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；(Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列.7．（2020·江蘇·高考真題）已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．（1）若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，8．（2020·上海·高考真題）有限數(shù)列，若滿足，是項(xiàng)數(shù)，則稱滿足性質(zhì).（1）判斷數(shù)列和是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說明理由.（2）若，公比為的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍.（3）若是的一個(gè)排列都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的.二、考點(diǎn)02：數(shù)列不等式問題9．（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．10．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．(1)若，求；(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．11．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明12．（2020·浙江·高考真題）已知數(shù)列中，．（Ⅰ）若數(shù)列為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，證明：．三、考點(diǎn)03：數(shù)列的最值問題13．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．14．（2021·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．15．（2021·上海·高考真題）已知數(shù)列滿足，對(duì)任意，和中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與的等差中項(xiàng)（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項(xiàng)為0，即，，且，，求的最大值.16．（2019·北京·高考真題）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．17．（2018·全國II卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求，并求的最小值．18．（2019·江蘇·高考真題）定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）已知等比數(shù)