專(zhuān)題01有理數(shù)（期中復(fù)習(xí)講義）核心考點(diǎn)復(fù)習(xí)目標(biāo)考情規(guī)律正數(shù)和負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)及其應(yīng)用熟悉正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義，并能夠運(yùn)用在實(shí)際生活中去基礎(chǔ)必考點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在選填題中數(shù)軸的認(rèn)識(shí)以及應(yīng)用理解數(shù)軸的組成，并能夠正確判斷數(shù)軸是否正確，能在數(shù)軸上表示有理數(shù)高頻易錯(cuò)點(diǎn)，在選擇題、填空題以及解答題中均可以出現(xiàn)。絕對(duì)值、相反數(shù)和倒數(shù)理解絕對(duì)值、相反數(shù)和倒數(shù)的基本概念，能熟練的運(yùn)用三者的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)求解高頻考點(diǎn)，經(jīng)常出現(xiàn)在選填題中，或者在解答題中作為橋梁科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用掌握科學(xué)記數(shù)法的基本概念，能用正確的運(yùn)用科學(xué)記數(shù)法進(jìn)行求解高頻考點(diǎn)，科學(xué)記數(shù)法作為考試中的?？?，再多年中考中都是有所考察的有理數(shù)的混合運(yùn)算熟練的掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確的計(jì)算出正確結(jié)果必考題，有理數(shù)的混合運(yùn)算作為計(jì)算題往往出現(xiàn)在解答題的第一大題中有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用準(zhǔn)確的將有理數(shù)運(yùn)用在實(shí)際生活中，將數(shù)學(xué)與實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái)期中?？碱}，有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用往往出現(xiàn)在解答題中知識(shí)點(diǎn)01正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義像12、2.5、237、0.7這樣的數(shù)是負(fù)數(shù)，像3、3.5、500、1.2這樣的數(shù)是正數(shù)。正數(shù)前面有時(shí)也可以放一個(gè)“﹢”（讀作“正”）號(hào)，如7可以寫(xiě)成+7注意：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)02有理數(shù)及其分類(lèi)①有理數(shù)的定義：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)②有理數(shù)的分類(lèi)（2種分類(lèi)方式）知識(shí)點(diǎn)03數(shù)軸相關(guān)概念①數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸②有理數(shù)比較大?。涸跀?shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。由此容易得到如下數(shù)的大小比較法則：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)都大于負(fù)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)04相反數(shù)、絕對(duì)值的相關(guān)概念①相反數(shù)的定義：像6和6、1.5和1.5那樣，只有正負(fù)號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱互為相反數(shù)，也就是說(shuō)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，例如6和6互為相反數(shù)，即6是6的相反數(shù)，6是6的相反數(shù)。②相反數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)分別位于原點(diǎn)的兩旁，且與原點(diǎn)的距離相等。注意：0的相反數(shù)是0.③絕對(duì)值的定義：我們把在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。④絕對(duì)值的意義：（1）一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；（2）0的絕對(duì)值是0；（3）一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它相反數(shù)。知識(shí)點(diǎn)05有理數(shù)比較大小在數(shù)軸上，表示兩個(gè)負(fù)數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)中，與原點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的那個(gè)點(diǎn)在左邊，也就是絕對(duì)值大的點(diǎn)在左邊，所以，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。知識(shí)點(diǎn)06有理數(shù)的加法法則（1）同號(hào)兩個(gè)數(shù)相加，取與加數(shù)相同的正負(fù)號(hào)，并把絕對(duì)值相加；（2）絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的正負(fù)號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0（4）一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù)。知識(shí)點(diǎn)07有理數(shù)的加法運(yùn)算律①加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。符號(hào)表示：a+b=b+a②加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相減，和不變。符號(hào)表示：（a+b）+c=a+（b+c）知識(shí)點(diǎn)08有理數(shù)的減法法則有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。知識(shí)點(diǎn)09有理數(shù)的乘法法則和運(yùn)算律①有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)與0相乘，都得0.②有理數(shù)的乘法運(yùn)算律：（1）乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變符號(hào)表示：ab=ba（2）乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變。符號(hào)表示：（ab）c=a（bc）（3）分配律：一個(gè)數(shù)與兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別與這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。符號(hào)表示：a（b+c）=ab+ac一般地，幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的正負(fù)號(hào)由負(fù)乘數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)乘數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)；當(dāng)負(fù)乘數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)。知識(shí)點(diǎn)10有理數(shù)的除法相關(guān)概念與運(yùn)算①倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，注意：0沒(méi)有倒數(shù)。②有理數(shù)的除法法則：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。知識(shí)點(diǎn)11有理數(shù)的乘方①求幾個(gè)相同乘數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，an讀作a的n次方，當(dāng)把a(bǔ)n看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可讀作a的n次冪。②科學(xué)記數(shù)法：一個(gè)絕對(duì)值大于0的數(shù)可以記成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整數(shù)，像這樣的記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法。知識(shí)點(diǎn)12有理數(shù)混合運(yùn)算順序（1）先做乘方，再做乘除，最后做加減；（2）同級(jí)運(yùn)算，按照從左到右的順序進(jìn)行；（3）如果有括號(hào)，就先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里的，然后算大括號(hào)里的。題型一有理數(shù)的定義相關(guān)求解【典例1】(2425七上·廣東汕頭三校聯(lián)考·期中)負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》中，如果把支出30元記作?30元，那么收入50元記作（

）A．?30元 B．50元 C．+50元 D．30元【答案】C【分析】本題涉及正負(fù)數(shù)的意義，核心是利用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，支出為負(fù)時(shí)，收入就為正．根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，支出記為負(fù)，那么收入就記為正，從而確定收入50元的記法．【詳解】解：∵支出30元記作?30元，支出和收入是相反意義的量，∴收入50元記作+50元，故選：C．【變式1】(2425七上·貴州遵義新蒲新區(qū)濱湖中學(xué)·期中)小明向北走100m記為+100m，那么?300m的意義是（

）A．小明向東走300m B．小明向西走300mC．小明向南走300m D．小明向北走300m【答案】C【分析】此題主要用正負(fù)數(shù)來(lái)表示具有意義相反的量，向北走記為正，則向南走就記為負(fù)，直接得出結(jié)論即可．【詳解】解：∵向北走100m記為+100m，∴?300m的意義是小明向南走300m，故選：C．【變式2】(2425七上·湖南永州冷水灘區(qū)李達(dá)中學(xué)·期中)乙醇，俗稱酒精，化學(xué)式為CH3CH2OH（或C2H5OH）或EtOH，是一種帶有一個(gè)羥基的有機(jī)化合物，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，它的沸點(diǎn)是零上78.5℃，熔點(diǎn)是零下117℃．若零上A．117℃ B．78.5℃ C．?78.5℃ D．?117℃【答案】D【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是明確正負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量．根據(jù)零上78.5℃記作+78.5℃，可確定零上溫度用正數(shù)表示，零下溫度用負(fù)數(shù)表示，由此可表示出零下117℃．【詳解】解：∵零上78.5℃記作+78.5℃，∴零上溫度用正數(shù)表示，零下溫度用負(fù)數(shù)表示，∴零下117℃應(yīng)記作?117℃，故選：D．【變式3】(2425七上·甘肅蘭州榆中縣連搭鎮(zhèn)連搭中學(xué)·期中)皋蘭軟兒梨也叫凍梨、香水梨，每年深秋采摘后，經(jīng)西北寒冽的冬天糖化、變黑后是皋蘭軟兒梨特有的吃法，成為當(dāng)?shù)厝罕妵?yán)冬的一道特色美食，某生態(tài)園區(qū)生產(chǎn)的軟兒梨包裝紙箱上標(biāo)明軟兒梨的質(zhì)量為10±0.05千克，如果一箱軟兒梨的質(zhì)量為10.48千克，那么這箱軟兒梨（選填“合格”或“不合格”）【答案】不合格【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，首先確定質(zhì)量的合格范圍，然后比較實(shí)際質(zhì)量是否在該范圍內(nèi)，從而得出結(jié)論．【詳解】解：∵一箱軟兒梨的質(zhì)量為10±0.05千克∴最大質(zhì)量為10.05千克，最小質(zhì)量為9.95千克∵10.48>10.05．∴這箱軟兒梨不合格．故答案為：不合格．題型二有理數(shù)的定義相關(guān)求解解｜題｜技｜巧正確對(duì)有理數(shù)定義進(jìn)行理解：整數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；需要注意的是有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)能化為分?jǐn)?shù)，所以也是有理數(shù)?！镜淅?】在?14、0.628、?3.1415、160、?28、95、?0.017001700017…、0、0.5、A．8個(gè) B．9個(gè) C．10個(gè) D．7個(gè)【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的定義，根據(jù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：有理數(shù)有?14、0.628、?3.1415、160、?28、95故選：A．【變式1】(2425七上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾第七中學(xué)等·期中)下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有（

）①?247是負(fù)分?jǐn)?shù)；②1.5不是整數(shù)；③非負(fù)有理數(shù)不包括0；④正整數(shù)、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；⑤0是最小的有理數(shù)；⑥A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)，帶“非”字的有理數(shù)的概念，注意沒(méi)有最小的有理數(shù)．本題根據(jù)有理數(shù)的基本定義，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行判定即可求得答案．【詳解】解：?241.5不是整數(shù)；故②說(shuō)法是正確的，不符合題意；非負(fù)有理數(shù)包括0，故③說(shuō)法是錯(cuò)誤的，符合題意；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，故④說(shuō)法是錯(cuò)誤的，符合題意；0不是最小的有理數(shù)，故⑤說(shuō)法是錯(cuò)誤的，符合題意；3.14是有理數(shù)，故⑥說(shuō)法是錯(cuò)誤的，符合題意；故選：D．【變式2】(2425七上·上海楊思中學(xué)·期中)在數(shù)4.19，0，29，π3，?318，?0.010010001??，?0.232323??A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類(lèi)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．根據(jù)有理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：4.19是有限小數(shù)，屬于分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，0是整數(shù)，是有理數(shù)，29是正整數(shù)，是有理數(shù)，因?yàn)棣惺菬o(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以π3?31?0.010010001??，是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不是屬于有理數(shù)，?0.232323??，是循環(huán)小數(shù)，屬于分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，共5個(gè)，故選：C．【變式3】(2425七上·廣東清遠(yuǎn)連州·期中)下列7個(gè)數(shù)74、1.010010001、34、0、?2π、?3.141441444…(每?jī)蓚€(gè)1之間依次一個(gè)4)、3.3，其中有理數(shù)有(A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都能化成分?jǐn)?shù)，對(duì)各個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：74、1.010010001、34、0、?2π、?3.141441444…(每?jī)蓚€(gè)1之間依次一個(gè)4)、其中有理數(shù)為74、1.010010001、34、0、故選：C．題型三有理數(shù)的分類(lèi)解｜題｜技｜巧有理數(shù)的分類(lèi)有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)又分為正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù)分為正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)?！镜淅?】(2425七上·福建泉州第七中學(xué)·期中)下面的大括號(hào)表示一些數(shù)的集合，把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)里：?65，0.13，20%，+7，0，π，4.7正有理數(shù)集：{…}；整數(shù)集：{…}；負(fù)分?jǐn)?shù)集：{…}；非負(fù)數(shù)集：{…}．【答案】0.13，20%，+7，4.7?；+7，0，?2024；?65；0.13，20%，+7【分析】根據(jù)正有理數(shù)、整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和非負(fù)數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：正有理數(shù)集：{0.13，20%，+7，4.7整數(shù)集：{+7，0，?2024…}，負(fù)分?jǐn)?shù)集：{?6非負(fù)數(shù)集：{0.13，20%，+7，0，π，4.7故答案為：0.13，20%，+7，4.7?；+7，0，?2024；?65；0.13，20%，+7，0，【變式1】(2425七上·貴州黔東南州凱里第十中學(xué)·期中)把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里．（填序號(hào)即可）①1，②?0.20，③315，④325，⑤?789，⑥0，⑦?23.13正有理數(shù)集合：{

…}；負(fù)有理數(shù)集合：{

…}；整數(shù)集合：{

…}；負(fù)整數(shù)集合：{

…}；有理數(shù)集合：{

…}．【答案】①③④⑧；②⑤⑦；①④⑤⑥；⑤；①②③④⑤⑥⑦⑧【分析】本題考查了有理數(shù)的定義，熟練掌握有理數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．有理數(shù)可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)分正整數(shù)，零和負(fù)整數(shù)；分?jǐn)?shù)分正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)．根據(jù)有理數(shù)的定義作答即可．【詳解】正有理數(shù)集合：{①③④⑧…}；負(fù)有理數(shù)集合：{②⑤⑦…}；整數(shù)集合：{①④⑤⑥…}；負(fù)整數(shù)集合：{⑤…}；有理數(shù)集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…}【變式2】(2425七上·陜西西安長(zhǎng)安區(qū)·期中)把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合中：15，?12，0.81，?3，227，?3.1，正數(shù)集合｛

……｝；非負(fù)整數(shù)集合｛

……｝；分?jǐn)?shù)集合｛

……｝．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查有理數(shù)的分類(lèi)，解題的關(guān)鍵是明確正數(shù)，非負(fù)整數(shù)以及分?jǐn)?shù)的定義.解題時(shí)根據(jù)定義，對(duì)所給的數(shù)逐一進(jìn)行判斷，然后分別填入對(duì)應(yīng)的集合中.【詳解】解：正數(shù)集合15,0.81,22非負(fù)整數(shù)集合15,196,0??；分?jǐn)?shù)集合?1題型四判斷數(shù)軸是否正確解｜題｜技｜巧數(shù)軸三要素：原點(diǎn)、正方向（通常用向右的箭頭標(biāo)出，代表正數(shù)方向）和單位長(zhǎng)度（必須均勻分布，確保數(shù)值對(duì)應(yīng)位置準(zhǔn)確）?！镜淅?】(2425七上·云南昭通威信縣·期中)下列數(shù)軸正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查的是數(shù)軸三要素，根據(jù)數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度且單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一，解答即可.【詳解】A、單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B、數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向與單位長(zhǎng)度且單位長(zhǎng)度統(tǒng)一，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C、沒(méi)有正方向，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D、單位刻度的數(shù)值標(biāo)錯(cuò)了，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．【變式1】(2425七上·廣西來(lái)賓象州縣·期中)下列圖形是四位同學(xué)畫(huà)的數(shù)軸，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查畫(huà)數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸的三要素，原點(diǎn)，單位長(zhǎng)度，正方向，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、沒(méi)有正方向，錯(cuò)誤，不符合題意；B、單位長(zhǎng)度不統(tǒng)一，錯(cuò)誤，不符合題意；C、畫(huà)法正確，符合題意；D、沒(méi)有原點(diǎn)，錯(cuò)誤，不符合題意；故選C．【變式2】(2425七上·貴州貴陽(yáng)第十九中學(xué)·期中)下列各圖是四位同學(xué)所畫(huà)數(shù)軸，其中正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)軸的定義，熟練掌握規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸，且數(shù)軸的單位長(zhǎng)度相同是解題的關(guān)鍵．據(jù)此即可判斷．【詳解】解：A、沒(méi)有正方向，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、單位長(zhǎng)度不一致，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、沒(méi)有原點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、所畫(huà)數(shù)軸正確，故本選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．題型五數(shù)軸上表示有理數(shù)【典例5】(2425七上·河南南陽(yáng)鄧州·期中)小宇不小心將墨水滴在了數(shù)軸上，使部分?jǐn)?shù)軸被墨跡遮蓋，則被遮蓋的部分中表示整數(shù)的點(diǎn)有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】此題考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)．寫(xiě)出被遮蓋的部分中整數(shù)即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，被遮蓋的部分中整數(shù)有?3,?2,?1,0,1，共5個(gè)，即被遮蓋的部分中表示整數(shù)的點(diǎn)有5個(gè)，故選：C【變式1】(2425七上·河南信陽(yáng)羅山縣·期中)在一條可以折疊的數(shù)軸上，A，B表示的數(shù)分別是?9，4，如圖，以點(diǎn)C為折點(diǎn)，將此數(shù)軸向右對(duì)折，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊，且AB=1，則C點(diǎn)表示的數(shù)是（

A．?2 B．?2.5 C．0 D．?1【答案】A【分析】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸的知識(shí)解答即可，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸知識(shí)．【詳解】解：∵A，B表示的數(shù)分別是?9，4，且AB=1∴4+1=5，∴關(guān)于點(diǎn)C對(duì)折后，A與表示5的點(diǎn)重合，∴5??9∴5?7=?2，∴C點(diǎn)表示的數(shù)是?2，故選：A．題型六在數(shù)軸上比較數(shù)的大?。ㄗ帜割?lèi)）（選答題）解｜題｜技｜巧核心規(guī)則（1）右大左小原則數(shù)軸上右側(cè)的數(shù)永遠(yuǎn)大于左側(cè)的數(shù)，無(wú)論正負(fù)。示例：比較3和2→2在3右側(cè)→2>3。（2）正負(fù)分界正數(shù)>0>負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)中，絕對(duì)值小的更大【典例6】(2526七上·天津河?xùn)|區(qū)多?！て谥?如圖，根據(jù)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置，下列關(guān)系正確的是（）A．b>c>0>a B．a(chǎn)>0>c【答案】B【分析】本題考查利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，解題的關(guān)鍵是掌握：數(shù)軸上的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，利用這個(gè)特點(diǎn)可比較四個(gè)數(shù)的大小．【詳解】解：∵數(shù)軸上的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，∴a>0>故選：B．【變式1】(2425七上·河南周口淮陽(yáng)區(qū)·期中)a，b是有理數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．把a(bǔ)，?a，b，?A．?b<?aC．?b<a【答案】D【分析】此題主要考查了有理數(shù)大小比較的方法，以及數(shù)軸的特征：一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)數(shù)軸正方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．根據(jù)圖示，可得0<a<1，b<?1，判斷出?a、?b的取值范圍，把a(bǔ)，b【詳解】解：根據(jù)圖示，可得0<a<1，∴?1<?a<0，∴b故選：D．【變式2】(2425七上·山西運(yùn)城平陸縣多校聯(lián)考·期中)有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）A．a(chǎn)>?2 B．a(chǎn)>b C．a(chǎn)b【答案】A【分析】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸判斷式子的大小，有理數(shù)乘法運(yùn)算，根據(jù)數(shù)軸可知a>?2，b>2，【詳解】解：A．根據(jù)數(shù)軸可知a>?2B．根據(jù)數(shù)軸可知a<C．根據(jù)數(shù)軸可知a<0，b>0，則D．根據(jù)數(shù)軸可知a>?2，b>2，則?a故選：A．題型七在數(shù)軸上比較數(shù)的大?。ń獯痤}）【典例7】(2324七下·貴州安順慧海實(shí)驗(yàn)學(xué)?！て谥?把下列各數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，并按從小到大的順序用“<”連接起來(lái)．?1,1.5,?【答案】圖見(jiàn)解析，??3【分析】本題考查有理數(shù)與數(shù)軸，絕對(duì)值的意義，化簡(jiǎn)多重符號(hào)，先去絕對(duì)值，再將各數(shù)在數(shù)軸上進(jìn)行表示，根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)右邊的比左邊的大，比較大小即可．【詳解】解：??3=?3，在數(shù)軸上表示各數(shù)如圖：由圖可知：??3【變式1】(2425七上·廣東吳川第二中學(xué)·期中)把下列各數(shù)：?2.5，?(?3)，??2，0【答案】數(shù)軸上表示見(jiàn)解析，?2.5<?【分析】本題考查了數(shù)軸與有理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是細(xì)致認(rèn)真，不要把原來(lái)的式子化簡(jiǎn)錯(cuò)誤．先把各數(shù)化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)后再在數(shù)軸上表示和比較大小．【詳解】?(?3)=3,?|?2|=?2，數(shù)軸表示如下：∴?2.5<??2【變式2】(2425七上·北京第五十中學(xué)·期中)把下列各數(shù)先在數(shù)軸上表示出來(lái)，再按從小到大的順序用“<”號(hào)連接起來(lái)：?4，0，3，?1.5，??32【答案】見(jiàn)解析，?4<?【分析】本題考查了數(shù)軸、化簡(jiǎn)多重符號(hào)、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先化簡(jiǎn)多重符號(hào)、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再畫(huà)出數(shù)軸，然后在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)；然后根據(jù)當(dāng)數(shù)軸方向朝右時(shí)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“<”號(hào)連接起來(lái)即可．【詳解】解：因?yàn)??32所以各數(shù)在數(shù)軸上表示如圖所示：

按從小到大的順序用“<”號(hào)連接起來(lái)為：?4<??2題型八數(shù)軸上的規(guī)律探索解｜題｜技｜巧做此類(lèi)規(guī)律題的方法都是先計(jì)算出前面幾個(gè)的數(shù)值，再?gòu)闹姓业揭?guī)律，從而得到一般規(guī)律，最后帶入需要求的值即可?！镜淅?】(2425七上·貴州貴陽(yáng)第二十八中學(xué)·期中)如圖，正六邊形ABCDEF（每條邊長(zhǎng)相等、每個(gè)角相等）在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為?3，?1．現(xiàn)將正六邊形ABCDEF繞著頂點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛟跀?shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1，像這樣連續(xù)翻轉(zhuǎn)后數(shù)軸上2025這個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)C B．點(diǎn)D C．點(diǎn)E D．點(diǎn)F【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸，以及圖形類(lèi)規(guī)律探究，根據(jù)題意找出規(guī)律進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，翻轉(zhuǎn)后數(shù)軸上點(diǎn)1，3，5，7，9，11的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，C，D，E，F(xiàn)，根據(jù)規(guī)律進(jìn)行判定即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，翻轉(zhuǎn)后數(shù)軸上點(diǎn)1對(duì)應(yīng)的是A，數(shù)軸上點(diǎn)3對(duì)應(yīng)的是B，數(shù)軸上點(diǎn)5對(duì)應(yīng)的是C，數(shù)軸上點(diǎn)7對(duì)應(yīng)的是D，數(shù)軸上點(diǎn)9對(duì)應(yīng)的是E，數(shù)軸上點(diǎn)11對(duì)應(yīng)的是F，……則2025÷12=168?9，所以連續(xù)翻轉(zhuǎn)后數(shù)軸上2025這個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是E．故選：C．【變式1】(2425七上·廣西柳州·期中)如圖，周長(zhǎng)為6個(gè)單位長(zhǎng)度的圓上的六等分點(diǎn)分別為A，B，C，D，A．B B．C C．D D．E【答案】C【分析】本題考查數(shù)軸上的規(guī)律探究，找出圓運(yùn)動(dòng)的周期與數(shù)軸上的數(shù)字的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．圓的周長(zhǎng)為6個(gè)單位長(zhǎng)度，所以只需先求出此圓在數(shù)軸上環(huán)繞的距離，再用這個(gè)距離除以6，看余數(shù)是幾，再確定和誰(shuí)重合即可解答．【詳解】解：由圖可知，旋轉(zhuǎn)1周，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是0，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)是?1，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)是?2，點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的數(shù)是?3，點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為?4，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為?5，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為?6，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為?7，……．∵1?又∵2025÷6=337??3，∴數(shù)軸上表示?2024的點(diǎn)與圓周上點(diǎn)D重合．故選C．【變式2】(2425七上·福建泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)·期中)如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A的初始位置表示的數(shù)為2，將點(diǎn)A做如下移動(dòng)：第1次點(diǎn)A向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A1，第2次從點(diǎn)A1向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A2，第3次從點(diǎn)A2向左移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A3，…按照這種移動(dòng)方式進(jìn)行下去，如果點(diǎn)A【答案】1009或1006【分析】本題考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，可知第奇數(shù)次移動(dòng)的點(diǎn)表示的數(shù)是2+?2×n+12【詳解】解：∵第1次點(diǎn)A向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A1=0，第2次從點(diǎn)A1向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)A2=4∴第奇數(shù)次移動(dòng)的點(diǎn)表示的數(shù)是2+?2第偶數(shù)次移動(dòng)的點(diǎn)表示的數(shù)是2+2×n∵點(diǎn)An∴當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，?1008=2+?2×n當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，1008=2+2×n2，解得故答案為：1009或1006．題型九相反數(shù)、絕對(duì)值和倒數(shù)的判斷解｜題｜技｜巧絕對(duì)值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同，數(shù)值相同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)倒數(shù)：兩個(gè)乘積為1的數(shù)互為倒數(shù)，0沒(méi)有倒數(shù)?！镜淅?】(2425七上·福建泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)·期中)?1A．?14 B．4 C．?4 【答案】D【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).根據(jù)相反數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：?14的相反數(shù)是故選：D．【變式1】下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的是（

）A．3與13 B．?3與13 C．3與?3 【答案】C【分析】本題考查了相反數(shù)和絕對(duì)值，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的定義和相反數(shù)的定義．利用絕對(duì)值和相反數(shù)的定義解答．【詳解】解：A、3與13B、?3與13C、3與?3互為相反數(shù)，符合題意；D、?3=3，所以3與?3故選：C．【變式2】(2425七上·甘肅天水麥積區(qū)·期中)?|?3|的相反數(shù)是（

）A．3 B．?3 C．±3 D．1【答案】A【分析】本題考查絕對(duì)值、相反數(shù)的定義，掌握定義是關(guān)鍵．根據(jù)絕對(duì)值、相反數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵??3?3的相反數(shù)為3，∴??3的相反數(shù)為3故選：A．【變式3】(2324七上·青海西寧二中教育集團(tuán)·期中)下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是（）A．?13和0.333 B．?+?7和7 C．?14【答案】C【分析】本題考查了相反數(shù)，化簡(jiǎn)多重符號(hào)，先整理每個(gè)選項(xiàng)的數(shù)值，再結(jié)合只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行分析，即可作答．【詳解】解：A、?13=?0.3，則?0.3B、?+?7=7C、?14=?0.25D、?6=6，則?6故選：C題型十絕對(duì)值的非負(fù)性解｜題｜技｜巧此題型經(jīng)?？疾榈念?lèi)型為：（）2+||=0，||+||=0這兩類(lèi)題型，我們歸納為0+0=0型，即遇到此類(lèi)題型只需要將平方內(nèi)和絕對(duì)值內(nèi)的數(shù)或式子等于0即可?！镜淅?0】(2425七上·山東臨沂蒙陰縣第五中學(xué)·期中)若m?2+nA．2 B．7 C．8 D．5【答案】D【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)加數(shù)也必為零．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出m、n，然后代入計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵m?2∴m?2=0，解得m=2，∴m+故選：D．【變式1】(2425七上·河南南陽(yáng)桐柏縣·期中)若|a?1|與|b+2|互為相反數(shù)，則A．1 B．?1 C．0 D．?2【答案】B【分析】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，相反數(shù)的定義，求代數(shù)式的值等知識(shí)，新根據(jù)相反數(shù)的定義得出|a?1|+|b+2|=0，然后根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可求出【詳解】解：∵|a?1|與∴|a∴a?1=0，b∴a=1，b∴a+故選：B．【變式2】(2425七上·廣東河源紫金縣·期中)若3?x與y+12的值互為相反數(shù)，則xyA．7 B．?7 C．1 D．?1【答案】C【分析】本題考查了代數(shù)式求值、絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性、相反數(shù)，熟練掌握絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．先根據(jù)相反數(shù)的定義可得3?x+y+12=0，再根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性可得【詳解】解：∵3?x與y∴3?x∴3?x=0，∴x=3,∴xy?故選：C．題型十一有理數(shù)的混合運(yùn)算（計(jì)算題）解｜題｜技｜巧有理數(shù)的混合運(yùn)算順序（1）先做乘方，再做乘除，最后做加減；（2）同級(jí)運(yùn)算，按照從左到右的順序進(jìn)行；（3）如果有括號(hào)，就先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里的，然后算大括號(hào)里的。易錯(cuò)點(diǎn)：區(qū)分12和（1）2【典例11】計(jì)算．(1)(?2)3(2)?1(3)12(4)?2【答案】(1)?1152(2)16(3)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，按運(yùn)算順序依次計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算乘方，再計(jì)算括號(hào)里面的，接著計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減；（2）先計(jì)算乘方，再計(jì)算括號(hào)里面的，接著計(jì)算乘，最后計(jì)算減；（3）利用乘法分配律即可計(jì)算；（4）先計(jì)算乘方和絕對(duì)值，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減．【詳解】（1）解：原式=?8+?3（2）解：原式=?1?0.5×1（3）解：原式=1（4）解：原式=?4×1【變式1】計(jì)算：(1)8+?(2)?24×7(3)?12(4)?1【答案】(1)3(2)?10(3)?(4)1【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）將分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算律計(jì)算即可得解；（3）將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分即可得解；（4）先計(jì)算乘方，再計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，然后計(jì)算乘法，最后計(jì)算減法即可得解．【詳解】（1）解：8+?（2）解：?24×（3）解：?12（4）解：?1【變式2】計(jì)算：(1)?2(2)?【答案】(1)7(2)?9【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．（1）先計(jì)算乘方，再根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可；（2）先計(jì)算乘方，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算乘除，最后計(jì)算加減即可．【詳解】（1）解：原式=?8×=?8×=?4+6+5=7；（2）解：原式=?9+1÷4×=?9+=?91題型十二有理數(shù)加減法中添括號(hào)解｜題｜技｜巧添括號(hào)或去括號(hào)法則：如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，在添（去）括號(hào)時(shí)，括號(hào)里面的數(shù)符號(hào)要發(fā)生變化；如果括號(hào)前是正號(hào)，在添（去）括號(hào)時(shí)，括號(hào)里面的數(shù)符號(hào)不發(fā)生變化。【典例12】(2425七上·甘肅蘭州第十六中·期中)把?2?+3??5A．?2?3?5?4+3 B．?2+3+5?4+3C．?2?3+5?4+3 D．?2?3+5?4?3【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的去括號(hào)法則，解題的關(guān)鍵是掌握“括號(hào)前是正號(hào)，去掉括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)不變；括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)均改變”的規(guī)則．根據(jù)去括號(hào)法則對(duì)原式中每個(gè)括號(hào)依次處理：將?+3化為?3,??5化為+5,+?4化為?4,+【詳解】解：先根據(jù)去括號(hào)法則化簡(jiǎn)原式：?2?+3只有選項(xiàng)C與化簡(jiǎn)結(jié)果一致；故選：C．【變式1】(2425七上·海南?？诘谑闹袑W(xué)聯(lián)考·期中)把4??2+?6A．4+2?6?5 B．4?2?6?5 C．4+2+6?5 D．4+2?6+5【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法，先將原式整理為4+(+2)+(?6)+(?5)，再寫(xiě)出省略加號(hào)的形式即可．【詳解】原式=4+(+2)+(?6)+(?5)=4+2?6?5．故選：A．【變式2】(2324七上·山東濰坊昌樂(lè)縣·期中)將??5A．5+6?3?2 B．?5+6?3?2 C．5+6+3?2 D．?5+6?3+2【答案】A【分析】本題考查了對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，關(guān)鍵是正確理解加法的定義．注意：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反．注意：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即可把減法統(tǒng)一成加法．省略加號(hào)時(shí)，注意符號(hào)變化法則：++得+，??得+，?+得?，+?得?．【詳解】解：原式=?==5+6?3?2，故選：A．題型十三判斷計(jì)算過(guò)程是否錯(cuò)誤解｜題｜技｜巧容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤：①運(yùn)算順序錯(cuò)誤：當(dāng)題目中只有乘除運(yùn)算時(shí)，應(yīng)該從左到右依次計(jì)算；②開(kāi)括號(hào)錯(cuò)誤：開(kāi)括號(hào)時(shí)需要判定括號(hào)前面是正號(hào)還是負(fù)號(hào)，從而考慮開(kāi)括號(hào)是否變號(hào)得問(wèn)題；③22和（2）2計(jì)算錯(cuò)誤；④使用乘法分配律時(shí)漏分配；⑤在同級(jí)計(jì)算中，需要優(yōu)先計(jì)算后面項(xiàng)時(shí)需要添括號(hào)提升優(yōu)先級(jí)?！镜淅?3】(2324七上·浙江杭州保俶塔教育集團(tuán)·期中)小紅與小亮兩位同學(xué)計(jì)算?4小紅：?=?16÷?8=?16÷?8=?16÷1③=?16．④小亮：?=?8=?48×?=?6．③(1)請(qǐng)指出小紅與小亮開(kāi)始出錯(cuò)的步驟；(2)寫(xiě)出你的解答過(guò)程．【答案】(1)小紅開(kāi)始出錯(cuò)的步驟在第②步，小亮開(kāi)始出錯(cuò)的步驟在第①步(2)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，對(duì)于（1），對(duì)于乘除法按照順序計(jì)算解答，再根據(jù)乘方的定義解答；對(duì)于（2），先算乘方，再按照順序計(jì)算有理數(shù)的乘除法即可.【詳解】（1）解：小紅出現(xiàn)錯(cuò)誤在第②步，小亮出現(xiàn)錯(cuò)誤在第①步；（2）解：原式=?16÷(?8)×(?=2×(?=?1【變式1】(2425七上·廣東河源連平縣隆街中學(xué)·期中)下面是樂(lè)樂(lè)同學(xué)進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：?12×=?12=?8?2?9…第二步=?10?9…第三步=?19．…第四步任務(wù)：(1)填空：①以上運(yùn)算步驟中，第一步依據(jù)的運(yùn)算律是；②第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是．(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出正確的計(jì)算結(jié)果．【答案】(1)①乘法分配律；②二，計(jì)算時(shí)符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤(2)?15【分析】本題考查有理數(shù)的乘法、乘法分配律，利用乘法分配律簡(jiǎn)便運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．（1）①利用乘法分配律可得答案；②根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則判斷即可；（2）根據(jù)乘法分配律和有理數(shù)的乘法和加減運(yùn)算法則求解即可．【詳解】（1）解：①在所給運(yùn)算步驟中，第一步依據(jù)的運(yùn)算律是乘法分配律；②第二步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是計(jì)算時(shí)符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：①乘法分配律；②二，計(jì)算時(shí)符號(hào)出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）解：?12×==?8+2?9=?6?9=?15．【變式2】(2425七上·吉林長(zhǎng)春第八十七中學(xué)·期中)小明在計(jì)算題目：24×1解：原式=6+2÷1=6+6?4…………第二步=8…………第三步根據(jù)小明的計(jì)算過(guò)程解答下列過(guò)程：(1)小明的計(jì)算過(guò)程中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是第__________步；(2)寫(xiě)出該題正確的解題過(guò)程．【答案】(1)一(2)?6，過(guò)程見(jiàn)解析【分析】此題考查有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，熟練掌握混合運(yùn)算的順序是關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行判斷即可；（2）先計(jì)算乘法和括號(hào)內(nèi)的減法，再計(jì)算除法，最后計(jì)算加減法即可．【詳解】（1）解：小明的計(jì)算過(guò)程中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是第一步，原因是除法沒(méi)有分配律；故答案為：一（2）解:24×=6+2÷=6+2÷=6+2×=6?12=?6題型十四數(shù)軸與絕對(duì)值綜合化簡(jiǎn)解｜題｜技｜巧①去絕對(duì)值：先判斷絕對(duì)值里面的數(shù)與0的大小關(guān)系，如果絕對(duì)值里面的數(shù)大于0，則直接去掉絕對(duì)值，如果絕對(duì)值里面的數(shù)小于0，則需要先把絕對(duì)值里面的數(shù)變?yōu)橄喾磾?shù)后再去掉絕對(duì)值。②進(jìn)行合并化簡(jiǎn)即可【典例14】(2425七上·貴州畢節(jié)七星關(guān)區(qū)第三實(shí)驗(yàn)學(xué)?！て谥?已知a，b，c為有理數(shù)，且它們?cè)跀?shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．(1)試判斷a，b，c的正負(fù)性：a______0；b______0；c______0（用“>”“<”“=”填）；(2)根據(jù)數(shù)軸化簡(jiǎn)：a=______；b=______；(3)若a=5.5，c=4，求a，【答案】(1)<；>；>(2)?a；b；(3)a【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，絕對(duì)值，正確讀懂?dāng)?shù)軸是解題的關(guān)鍵．（1）在原點(diǎn)左邊的數(shù)小于0，原點(diǎn)右邊的數(shù)大于0，據(jù)此可得答案；（2）正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，據(jù)此可得答案；（3）正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）解：由數(shù)軸可知a<0，（2）解：∵a<0，∴a=?a，b=（3）解：∵a=5.5，c=4，∴a=?5.5，【變式1】(2324七上·江蘇鹽城射陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)·期中)有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示．(1)判斷：a____0，a+b____0，b(2)化簡(jiǎn)：2a【答案】(1)<，<，>(2)?4【分析】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的加減法以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸判斷出有理數(shù)的正負(fù)以及絕對(duì)值的大小關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算和絕對(duì)值化簡(jiǎn)．（1）根據(jù)數(shù)軸上a，b的位置判斷a，b的正負(fù)及絕對(duì)值大小，再判斷a+（2）根據(jù)（1）中得到的正負(fù)情況，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后進(jìn)行整式的化簡(jiǎn)．【詳解】（1）由數(shù)軸可知a<0,b>0對(duì)于a+b，異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的符號(hào)，|a|>|b對(duì)于b?a,故答案為：<，<，>．（2）因?yàn)閍<0，所以|2由（1）知a+b<0由（1）知b?a>0以|2=?2=(?2=?4b故答案為：?4b【變式2】(2425七上·河南安陽(yáng)滑縣·期中)已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：(1)比較大?。篴______0；b+c______0（填“>”“<”或“(2)化簡(jiǎn)：c?【答案】(1)<；<；(2)c【分析】本題考查利用根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)，絕對(duì)值意義，絕對(duì)值性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí)．（1）根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)即可判斷a的正負(fù)，再結(jié)合絕對(duì)值意義，即可判斷b+（2）根據(jù)數(shù)軸判斷式子c?a，【詳解】（1）解：由數(shù)軸可知，a<0，b<0，且b>所以b+故答案為：<；<；（2）解：因?yàn)閏?a>0所以c?題型十五科學(xué)記數(shù)法的應(yīng)用解｜題｜技｜巧一個(gè)絕對(duì)值大于0的數(shù)可以記成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整數(shù)，【典例15】(2324七上·甘肅武威古浪縣第四中學(xué)·期中)某電視臺(tái)報(bào)道，截止到2010年5月5日，慈善總會(huì)已接受支援玉樹(shù)地震災(zāi)區(qū)的捐款15510000元．將15510000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．1.551×106 B．1.551×107 C．【答案】B【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法．按照科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的方法，把15510000寫(xiě)成a×【詳解】解：15510000=1.551×10故選：B．【變式1】(2324八上·貴州遵義南白初級(jí)中學(xué)·期中)病毒H7N9的直徑為米A．28×107 B．2.8×108 C．【答案】D【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是非負(fù)數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，n【詳解】解：米用科學(xué)記數(shù)法表示為2.8×10故選：D．【變式2】今年的國(guó)慶假期外出旅游火爆，據(jù)文化和旅游部數(shù)據(jù)中心統(tǒng)計(jì)，國(guó)慶假期國(guó)內(nèi)旅游總收入為7008.17億元．將7008.17億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．7008.17×108 B．70.0817×1010 C．【答案】C【來(lái)源】2025～2026學(xué)年華東師大版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中測(cè)試測(cè)試卷【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)的方法，掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式（其中1≤a＜10，n為整數(shù)）是關(guān)鍵，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a【詳解】解：7008.17億用科學(xué)記數(shù)法表示為7.00817×10故選：C．題型十六流程圖與有理數(shù)的運(yùn)算【典例16】(2425七上·浙江杭州下城區(qū)啟正中學(xué)·期中)我校計(jì)算機(jī)社團(tuán)的同學(xué)用編程軟件編寫(xiě)出了如下運(yùn)算程序，如果開(kāi)始輸入的x值為?24，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為?12，第2次輸出的結(jié)果為?6，……，第2021次輸出的結(jié)果為（）A．?6 B．?3 C．?24 D．?12【答案】B【分析】此題考查了代數(shù)式求值，根據(jù)運(yùn)算程序得出一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運(yùn)算程序求出前幾個(gè)輸出結(jié)果，找出循環(huán)規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律計(jì)算第2021次輸出的結(jié)果．【詳解】解：第1次輸出的數(shù)為：把x=?24代入，1第2次輸出的數(shù)為：把x=?12代入，1第3次輸出的數(shù)為：把x=?6代入，1第4次輸出的數(shù)為：把x=?3代入，x第5次輸出的數(shù)為：把x=?6代入，1由此得，從第2次輸出結(jié)果開(kāi)始，以?6，?3循環(huán)，∵2021?1∴第2021次輸出的結(jié)果為?3，故選：B．【變式1】(2425七上·甘肅蘭州樹(shù)人中學(xué)·期中)如圖所示，在這個(gè)數(shù)據(jù)運(yùn)算程序中，若開(kāi)始輸入的x的值為2，結(jié)果輸出的是1，返回進(jìn)行第二次運(yùn)算則輸出的是?4，…，則第2024次輸出的結(jié)果是（

）A．?6 B．?4 C．?1 D．?2【答案】B【分析】本題考查了程序圖與有理數(shù)計(jì)算的規(guī)律性問(wèn)題，正確歸納類(lèi)推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．先根據(jù)數(shù)據(jù)運(yùn)算程序計(jì)算出前8次的輸出結(jié)果，再歸納類(lèi)推出一般規(guī)律，由此即可得．【詳解】解：第1次：2×1第2次：1?5=?4；第3次：?4×1第4次：?2×1第5次：?1?5=?6；第6次：?6×1第7次：?3?5=?8；第8次：?8×1……∴從第2次開(kāi)始，每6次一個(gè)循環(huán)周期，∴2024?1÷6=337?1∴第2024次輸出的結(jié)果是?4，故選：B．【變式2】(2425七上·貴州遵義校聯(lián)考·期中)樂(lè)樂(lè)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到了神奇的“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”，按如圖所示的程序運(yùn)算，如果輸入1，則輸出的結(jié)果是（

）A．1 B．?5 C．?13 D．13【答案】B【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算．把代入x=1程序中計(jì)算，判斷結(jié)果與?4【詳解】解：若輸入1，則1×3?==?5<?4，即輸出的結(jié)果是?5．故選：B題型十七算“24”點(diǎn)游戲【典例17】(2425七上·浙江溫州龍灣區(qū)多校聯(lián)考·期中)有一種算“24點(diǎn)”的游戲，其游戲規(guī)則如下：取四個(gè)數(shù)，將這四個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)只能用一次）進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，使其結(jié)果等于24．現(xiàn)有四個(gè)有理數(shù)：3，4，?6，10，運(yùn)用上述規(guī)則，下列算式中不正確的是（

）A．4×3?(?6)+10 B．4?(?6÷3×10)C．10?(?6×3)?4 D．(4?6+10)×3【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算可得答案．【詳解】解：A．4×3?(?6)+10=12+6+10=28，故符合題意；B．4??6÷3×10C．10?(?6×3)?4=10+18?4=24，故不符合題意；

D．(4?6+10)×3=8×3=24，故不符合題意；故選A．【變式1】(2324七上·廣東佛山南海區(qū)·開(kāi)學(xué)考)“算24點(diǎn)”的游戲規(guī)則是：用“+，?，×，÷”…四種運(yùn)算符號(hào)把給出的4個(gè)數(shù)字連接起來(lái)進(jìn)行計(jì)算，要求最終算出的結(jié)果是24，例如，給出2，2，2，8這四個(gè)數(shù)，可以列式2÷2+2×8=24．以下的4個(gè)數(shù)用“+，?，×，÷”四種運(yùn)算符號(hào)不能算出結(jié)果為24的是（

A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8【答案】A【分析】根據(jù)題意，逐項(xiàng)組合計(jì)算，即可作答．【詳解】A項(xiàng)，1，6，8，7，不能算出結(jié)果為24，故符合題意；B項(xiàng)，1+2+3×4=24C項(xiàng)，10×10?4÷4=24D項(xiàng)，6+3×8÷3=24故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)之間的混合運(yùn)算，根據(jù)已有的數(shù)據(jù)靈活組合舉例，是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】(2425六上·山東煙臺(tái)牟平區(qū)（五四制）·期中)24點(diǎn)是棋牌類(lèi)益智游戲，要求四個(gè)數(shù)字運(yùn)算結(jié)果等于二十四，它以自己獨(dú)具的數(shù)學(xué)魅力和豐富的內(nèi)涵正逐漸被越來(lái)越多的人們所接受．小凡抽到如下四張撲克牌：湊成24的算式是．【答案】52【分析】本題考查了“24點(diǎn)”運(yùn)算．根據(jù)圖片列出算式即可．【詳解】解：由圖可知小凡抽到：2，3，4，5，則湊成24的算式是52+3?4，或2×3+4+5故答案為：52題型十八有理數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【典例18】(2425七上·云南大理白族劍川縣馬登鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)·期中)小蟲(chóng)從某點(diǎn)O出發(fā)在一直線上來(lái)回爬行，假定向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，爬過(guò)的各段路程依次為（單位：cm）：+5，?3，+10，?8，?6，+12，?10．(1)小蟲(chóng)最后是否回到出發(fā)點(diǎn)O？(2)小蟲(chóng)離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)O最遠(yuǎn)是多少cm？(3)在爬行過(guò)程中，如果每爬行1cm獎(jiǎng)勵(lì)一粒芝麻，則小蟲(chóng)一共得到多少粒芝麻？【答案】(1)小蟲(chóng)最后回到出發(fā)點(diǎn)O(2)小蟲(chóng)離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)是12cm(3)小蟲(chóng)一共得到54粒芝麻【分析】本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握正負(fù)數(shù)是表示相反意義的量，如果規(guī)定一個(gè)量為正，則與它相反的量一定為負(fù)；距離即絕對(duì)值與正負(fù)無(wú)關(guān)．（1）把記錄數(shù)據(jù)相加，結(jié)果為0，說(shuō)明小蟲(chóng)最后回到出發(fā)點(diǎn)O；（2）分別計(jì)算出每次爬行后距離O點(diǎn)的距離；（3）小蟲(chóng)一共得到的芝麻數(shù)，與它爬行的方向無(wú)關(guān)，只與爬行的距離有關(guān)，所以應(yīng)把絕對(duì)值相加，再求得到的芝麻粒數(shù)．【詳解】（1）解：∵+5?3+10?8?6+12?10=27?27=0，∴小蟲(chóng)最后回到出發(fā)點(diǎn)O；（2）解：第一次爬行距離出發(fā)點(diǎn)是5cm，第二次爬行距離出發(fā)點(diǎn)是5?3=2cm第三次爬行距離出發(fā)點(diǎn)是2+10=12cm第四次爬行距離出發(fā)點(diǎn)是12?8=4cm第五次爬行距離出發(fā)點(diǎn)是4?6=2第六次爬行距離出發(fā)點(diǎn)是?2+12=10cm第七次爬行距離出發(fā)點(diǎn)是10?10=0cm從上面可以看出小蟲(chóng)離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)是12cm；（3）解：小蟲(chóng)爬行的總路程為：+5=5+3+10+8+6+12+10=54cm54×1=54（粒），∴小蟲(chóng)一共得到54粒芝麻．【變式1】(2425七上·貴州遵義十一中·期中)無(wú)人駕駛技術(shù)逐步走向成熟，在今年7月無(wú)人駕駛網(wǎng)約車(chē)在我國(guó)各個(gè)城市開(kāi)始試運(yùn)營(yíng)．無(wú)人駕駛網(wǎng)約車(chē)在東西走向的道路上運(yùn)行，往東行駛的路程記作正數(shù)，往西行駛的路程記作負(fù)數(shù)．全天行程的記錄如下（單位：km）：6，?5.6，?2.3，7，5.4，?6，9，?5.4，?7，8．(1)當(dāng)無(wú)人駕駛網(wǎng)約車(chē)將最后一位乘客送到目的地時(shí)，距出發(fā)地點(diǎn)的距離為多少千米？(2)若無(wú)人駕駛網(wǎng)約車(chē)每公里耗電0.12度，電費(fèi)單價(jià)0.5元/度，問(wèn)該網(wǎng)約車(chē)當(dāng)天消耗電費(fèi)多少元？【答案】(1)距出發(fā)地點(diǎn)的距離為9.1千米(2)該網(wǎng)約車(chē)當(dāng)天消耗電費(fèi)3.702元【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握正負(fù)數(shù)的實(shí)際意義，有理數(shù)的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用正負(fù)數(shù)的意義，進(jìn)行有理數(shù)的加減運(yùn)算即可求解；（2）運(yùn)用絕對(duì)值的性質(zhì)求出行程，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，6?5.6?2.3+7+5.4?6+9?5.4?7+8=9.1(km)，∴距出發(fā)地點(diǎn)的距離為9.1千米．（2）解：網(wǎng)約車(chē)行駛的路程為：6+|?5.6|+|?2.3|+7+5.4+|?6|+9+|?5.4|+|?7|+8=61.7(km)，61.7×0.12×0.5=3.702（元），答：該網(wǎng)約車(chē)當(dāng)天消耗電費(fèi)3.702元．【變式2】(2425七上·遼寧沈陽(yáng)遼中區(qū)·期中)2024年7月下旬遼中區(qū)連降暴雨，28日（周日）冷子堡鎮(zhèn)團(tuán)結(jié)水庫(kù)水位已達(dá)到警戒水位，區(qū)教育局緊急抽調(diào)90名教師到冷子堡鎮(zhèn)支援，協(xié)助當(dāng)?shù)氐綀F(tuán)結(jié)水庫(kù)巡堤，下表記錄了水庫(kù)接下來(lái)一周水庫(kù)水位的變化情況：星期一二三四五六日水位變化（單位：m）+0.15+0.58?0.43+0.22?0.38+0.24?0.52注：正數(shù)表示水位比前一天上升，負(fù)數(shù)表示水位比前一天下降(1)這一周哪一天的水位最高？位于警戒水位之上還是之下？(2)與上周周末相比，這一周周末的水位是上升了還是下降了？【答案】(1)周二水位最高，在警戒水位之上；(2)與上周周末相比，這一周周末的水位下降了．【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，有理數(shù)加法的實(shí)際應(yīng)用，解決這類(lèi)題目的關(guān)鍵是理解正負(fù)數(shù)的意義．（1）分別計(jì)算出本周七天的水位，即可求解；（2）根據(jù)本周周日的水位大于上周周末的水位，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)警戒水位為0米，周一水位：0.15米，周二水位：0.15+0.58=0.73米，周三水位：0.73?0.43=0.3米，周四水位：0.3+0.22=0.52米，周五水位：0.52?0.38=0.14米，周六水位：0.14+0.24=0.38米，周日水位：0.38?0.52=?0.14米，∵0.73>0.52>0.38>0.3>0.15>0.14>?0.14，∴這一周周二水位最高，且在警戒水位之上；（2）解：0.15+0.58?0.43+0.22?0.38+0.24?0.52=?0.14∵?0.14<0，答：與上周周末相比，這一周周末的水位下降了．題型十九有理數(shù)中新定義類(lèi)題型【典例19】(2425七上·廣西柳州鐵五中學(xué)·期中)小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完有理數(shù)的運(yùn)算后，對(duì)運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的興趣，她借助有理數(shù)的運(yùn)算，定義了一種新運(yùn)算“⊕”，運(yùn)算規(guī)則為：a⊕b(1)求2⊕4的值；(2)求?3⊕【答案】(1)10(2)?7【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計(jì)算，新定義，正確根據(jù)新定義列出對(duì)應(yīng)的算式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得2⊕4=2×4+2，據(jù)此計(jì)算求解即可；（2）先根據(jù)新定義計(jì)算出2⊕12=3【詳解】（1）解；由題意得，2⊕4=2×4+2=8+2=10；（2）解：2⊕1∴?3==?3×3+2=?9+2=?7．【變式1】(2425七上·貴州畢節(jié)七星關(guān)區(qū)第三實(shí)驗(yàn)學(xué)?！て谥?現(xiàn)在定義兩種運(yùn)算“*”和“☆”，對(duì)于有理數(shù)a，b，有a?b=(1)求1??14(2)求?3☆【答案】(1)?12(2)25【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出算式．（1）根據(jù)題目給出的定義，列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)題目給出的定義，列式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵a∴1??∵a☆∴?3☆（2）解：∵a?b=∴?3=?3☆=?3☆=?3☆=2×=24+1=25．【變式2】(2425七上·河南南陽(yáng)鎮(zhèn)平縣·期中)閱讀下列內(nèi)容，完成相關(guān)問(wèn)題．明明說(shuō)：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫*（加乘）運(yùn)算．”然后他寫(xiě)出了一些按照*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：+4?+2=+6+4??2=?6+8?0=8，0?蘭蘭看了這些算式后說(shuō)：“我知道你定義的*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則了．”聰明的你也明白了嗎？(1)歸納*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則：同號(hào)得______，異號(hào)得______，并把______．特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行*（加乘）運(yùn)算，都得這個(gè)數(shù)的______．(2)計(jì)算：?5【答案】(1)正，負(fù)，絕對(duì)值相加，絕對(duì)值(2)?14【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．（1）根據(jù)所給的算式進(jìn)行分析即可；（2）根據(jù)所給的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加．特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行*（加乘）運(yùn)算，都得這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；（2）解：?5==?8?6=?=?14．題型二十有理數(shù)中找規(guī)律類(lèi)題型【典例20】(2425七上·甘肅天水麥積區(qū)·期中)觀察下列各式：313233……探索以上式子的規(guī)律：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：；(2)試寫(xiě)出第n個(gè)等式：；(3)計(jì)算30【答案】(1)3(2)3(3)3【分析】本題考查了數(shù)字類(lèi)規(guī)律探索，善于思考總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）觀察題目中的規(guī)律可知第五個(gè)等式為35（2）根據(jù)得出規(guī)律寫(xiě)出第n個(gè)等式即可；（3）將原式變?yōu)?×30+2×【詳解】（1）解：∵313233……∴第5個(gè)等式是35故答案為：3（2）解：∵313233……∴第n個(gè)等式為：3n故答案為：3（3）解：3===3【變式1】(2425七上·甘肅蘭州榆中縣連搭鎮(zhèn)連搭中學(xué)·期中)觀察下列各式∶121212×(1)猜想12×(2)根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：1?1【答案】(1)1(2)1【分析】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)所給各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，結(jié)果的分子為第1個(gè)分?jǐn)?shù)的分子，分母為最后1個(gè)分?jǐn)?shù)的分母；（2）計(jì)算每個(gè)括號(hào)，約分即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：∵121212…∴12故答案為：110（2）解：1?==1【變式2】(2425七上·安徽宿州宿城第一初級(jí)中學(xué)·期中)觀察下列等式：第1個(gè)等式：?1+1第2個(gè)等式：?1第3個(gè)等式：?13+(1)請(qǐng)寫(xiě)出第5個(gè)等式：________________________；(2)寫(xiě)出第n個(gè)等式：________________________；（用含n的式子表示，n為正整數(shù)）(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：?1×1【答案】(1)?(2)?(3)?【分析】本題考查了數(shù)字類(lèi)規(guī)律題，有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，掌握數(shù)字類(lèi)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)規(guī)律計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)規(guī)律總結(jié)歸納即可求解；（3）先將乘法化為加法，再結(jié)合分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算即可求解；【詳解】（1）解：由題意得：第5個(gè)等式：?1故答案為：?1（2）解：歸納可得：第n個(gè)等式：?1故答案為：?1（3）解：?1×=1===?=?=?3035題型二十一絕對(duì)值的幾何意義（壓軸題）【典例21】(2425七上·河南南陽(yáng)社旗縣·期中)閱讀：我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難人微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法．例如，代數(shù)式x?2的幾何意義是數(shù)軸上x(chóng)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因?yàn)閤+1=x??1，所以（1）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：代數(shù)式x+1（2）探究問(wèn)題：如圖，點(diǎn)A,B,因?yàn)閤+1+x?2的幾何意義是線段PA所以當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，PA+PB=3；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，PA(1)借助數(shù)軸，說(shuō)明x?3(2)當(dāng)代數(shù)式x+a+【答案】(1)5(2)?2或?4【分析】本題主要考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，絕對(duì)值的幾何意義．（1）把原式轉(zhuǎn)化為看作是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示3和?2的點(diǎn)之間的距離最小值，即可求解；（2）根據(jù)原式的最小值為1，得到表示3的點(diǎn)的左邊和右邊，且到3距離為1的點(diǎn)即可．【詳解】（1）解：因?yàn)閤?3如圖，x?3+x??2表示點(diǎn)P到點(diǎn)A當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，PA+當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，PA+所以x?3+x（2）解：當(dāng)a為?2或?4時(shí)，代數(shù)式x+a+x?3∵數(shù)軸上表示數(shù)2的點(diǎn)到表示數(shù)3的點(diǎn)的距離為1，數(shù)軸上表示數(shù)4的點(diǎn)到表示數(shù)3的點(diǎn)的距離也為1，∴當(dāng)a為?2或?4時(shí)，原式的最小值是1．【變式1】(2425七上·廣東廣州海珠區(qū)景中實(shí)驗(yàn)中學(xué)·期中)數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形進(jìn)行完美地結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律，如果數(shù)軸上點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB=a?b．例如數(shù)軸上表示4和(1)已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為?3，點(diǎn)B表示數(shù)為2，則線段AB的長(zhǎng)度是______．(2)x表示任意一個(gè)有理數(shù)，利用數(shù)軸回答下列問(wèn)題：①若x+3+x?2=7，求x的值；②【答案】(1)5(2)①?4或3；②5，?3≤【分析】此題考查了絕對(duì)值的幾何意義，畫(huà)出數(shù)軸數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離進(jìn)行計(jì)算即可；（2）①由題意知，x+3=x??3，表示數(shù)軸上x(chóng)和?3【詳解】（1）解：由題意知，AB=故答案為：5；（2）解：①由題意知，x+3=x??3，表示數(shù)軸上x(chóng)和?3不妨設(shè)點(diǎn)E表示為?3，點(diǎn)F表示為2，點(diǎn)A表示的數(shù)為x，∵數(shù)軸上到點(diǎn)E的距離和到點(diǎn)F的距離之和為7的點(diǎn)表示的數(shù)是?4或3，∴當(dāng)x+3+x②由題意知，x+3=x??3，表示數(shù)軸上x(chóng)和?3不妨設(shè)點(diǎn)E表示為?3，點(diǎn)F表示為2，點(diǎn)A表示的數(shù)為x，那么x+3當(dāng)x在?3左邊時(shí)，AE+當(dāng)x在2右邊時(shí)，AE+當(dāng)?3≤x≤2時(shí)，∴x+3+x?2的最小值是5，這時(shí)候【變式2】(2425七上·福建漳州平和縣廣兆中學(xué)·期中)觀察下列幾組數(shù)在數(shù)軸上體現(xiàn)的距離，并回答問(wèn)題：（1）探究：你能發(fā)現(xiàn)：3與5在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離可以表示為：5?3=2；4與?2在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離可以表示為：4??2①數(shù)軸上表示6和3的兩點(diǎn)之間的距離是．②數(shù)軸上表示?2和?4的兩點(diǎn)之間的距離是．③數(shù)軸上表示?5和2的兩點(diǎn)之間的距離是．（2）歸納：一般的，數(shù)軸上表示數(shù)a和數(shù)b的兩點(diǎn)之間的距離等于a?（3）應(yīng)用：①如果數(shù)m和4兩點(diǎn)之間的距離是6，則可記為：m?4=6，求②若數(shù)軸上表示數(shù)m的點(diǎn)位于?3與4之間，求m+3③當(dāng)m取何值時(shí)，m+4【答案】（1）①3；②2；③7；（3）①m1=10,m2=?2；②7；③當(dāng)m【分析】本題考查了絕對(duì)值，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；②根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；③根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；（3）①根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和絕對(duì)值的意義即可求解；②根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和絕對(duì)值的意義即可求解；③根據(jù)線段上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離和最小即可求解．【詳解】解：（1）①數(shù)軸上表示6和3的兩點(diǎn)之間的距離是6?3=3，故答案為：3；②數(shù)軸上表示?2和?4的兩點(diǎn)之間的距離是?2??4故答案為：2；③數(shù)軸上表示?5和2的兩點(diǎn)之間的距離是2??5故答案為：7；（3）①m?4解得：m1②∵數(shù)軸上表示數(shù)m的點(diǎn)位于?3與4之間，∴m+3>0，∴m+3③m+4+m?1+∴當(dāng)m=1時(shí)，點(diǎn)m到?4,1,3三點(diǎn)的距離和最小，即m∴m+4∴當(dāng)m=1時(shí)，m+4+題型二十二數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（壓軸題）【典例22】(2324七上·浙江寧波余姚子陵中學(xué)教育集團(tuán)子陵校區(qū)·期中)如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是?2，點(diǎn)B表示的數(shù)是3，閱讀以下材料并解決相關(guān)問(wèn)題．若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離之和等于n，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A、B的“n格距點(diǎn)”．例如：在圖1中，點(diǎn)P表示的數(shù)是?1，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離之和為1+4=5，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)A、B的“5格距點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)P表示的數(shù)是2，則n的值為_(kāi)_____；(2)數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，若整點(diǎn)P為點(diǎn)A、B的“5格距點(diǎn)”，則這樣的整點(diǎn)P有______個(gè)；(3)若