第=page1010頁，共=sectionpages1010頁2025-2026學年河北省保定市四縣六校高三（上）期中考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={0,1,2}，B={x∈N|0<x<4}，則A∪B=(

)A.{1,2} B.{0,1,2,3} C.{0,1,2,3,4} D.{x|0≤x<4}2.已知復數(shù)z=|3-4i|i-2，則z=(

)A.1+2i B.1-2i C.-2+i D.-2-i3.已知向量a=(1,1),b=(3,1)，則向量aA.(3+32,3+124.已知某圓柱的高為23，底面半徑為1，且其上、下底面圓周均在以O(shè)為球心的球面上，則球O的表面積為(

)A.4π B.8π C.16π D.24π5.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(1+x)=f(3-x)，且f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(2x-3)>f(3)的解集是(

)A.(-∞,3) B.(-∞,2) C.(3,+∞) D.(2,3)6.已知點A(-1,1)，B(3,3)，線段AB為⊙M的一條直徑.設(shè)過點C(2,-1)且與⊙M相切的兩條直線的斜率分別為k1，k2，則k1A.-32 B.-23 C.7.已知一條直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A，B兩點，過坐標原點O引AB的垂線OD，垂足D的坐標為(2,1)，OA?OB=5A.12 B.14 C.1 8.從點A(1,a)可向曲線y=x-x3引三條不同切線，則a的取值范圍為(

)A.-1<a<0 B.0<a<1 C.1<a<2 D.2<a<3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.若隨機變量X服從正態(tài)分布X(3,ω2)，且P(X≤4)=0.7，則P(3<X<4)=0.2

B.一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14

C.若線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)性越強

D.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其線性回歸方程為y=0.3x-m，若樣本點的中心為10.設(shè)函數(shù)f(x)=12cos2ωx-A.?ω∈(0,1)，f(x)在[-π6,π4]上單調(diào)遞減

B.若ω=1且|f(x1)-f(x2)|=2，則|x1-x2|min=π

11.已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線l與CA.直線AF2的斜率為352 B.C的離心率為2

C.D到C上最近點的距離為35三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x+y)(x-y)6的展開式中x3y4的系數(shù)是______13.函數(shù)f(x)=lg(2x)?14.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其內(nèi)切圓半徑r=1,cosC=45，則邊長c的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a1=12，n2an=Sn．

(1)求數(shù)列{an16.(本小題15分)

無人駕駛技術(shù)是汽車研發(fā)領(lǐng)域的一個重要方向.某學校技術(shù)俱樂部研發(fā)了一個感知路況障礙的小汽車模型，該模型通過三個傳感器共同判斷路段是否有路障.在對該模型進行測試中，該俱樂部同學尋找了80個不同的路段作為測試樣本，數(shù)據(jù)如下表：測試

結(jié)果真實

路況傳感器1傳感器2傳感器3有障礙無障礙無法識別有障礙無障礙無法識別有障礙無障礙無法識別無障礙415111548120有障礙4010104551045105假設(shè)用頻率估計概率，且三個傳感器對路況的判斷相互獨立．

(1)從這80個路段中隨機抽取一個路段，求傳感器1對該路況判斷正確的概率；

(2)從這80個路段中隨機抽取一個有障礙的路段進行測試，設(shè)X為傳感器1和傳感器2判斷正確的總路段數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(3)現(xiàn)有一輛小汽車同時裝載了以上3種傳感器.在通過某路段時，只要3個傳感器中一個判斷有障礙或無法識別，則小汽車減速.那么是否可以通過提高傳感器3的判斷正確率，使得小汽車在無障礙的道路上減速的概率小于12？(結(jié)論不要求證明)17.(本小題15分)

如圖，點P為正方形ABCD所在平面外一點，M為PA中點，DE=λDP(0<λ<1)．

(1)求證：PC//平面BDM；

(2)若平面ABCD⊥平面ABP，AB=BP=2，AB⊥BP．

(i)當λ=23時，求證：PD⊥平面BEM；

(ii)當二面角D-BM-E的正弦值為18.(本小題17分)

橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為24；點M，N為橢圓E上的兩個不同動點，△F1MF2面積的最大值為7．

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設(shè)直線MF1的斜率為k1，直線NF1的斜率為k2．

19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=kex-1-x和g(x)=lnx+kx-1．

(1)若k=1，證明：對?x≥1，f(x)≥g(x)．

(2)若函數(shù)f(x)和g(x)各有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍；

(3)若一個函數(shù)有且僅有兩個零點，則稱這兩個零點的算術(shù)平均數(shù)為該函數(shù)的“完美點”.設(shè)α和β分別為f(x)和g(x)的“完美點”，比較α參考答案1.B

2.D

3.D

4.C

5.D

6.D

7.B

8.B

9.ACD

10.AC

11.ABD

12.-5

13.-114.2+215.(1)當n≥2時，由n2an=Sn，可得(n-1)2an-1=Sn-1，

兩式相減可得n2an-(n-1)2an-1=Sn-Sn-1=an，

得(n+1)an16.(1)80個路段中，傳感器1判斷正確的路段有40+15=55個，

所以所求概率為P=5580=1116；

(2)80個路段中共有60個有障礙的路段，

60個有障礙的路段中，傳感器1判斷正確的路段有40個，錯誤的有60-40=20個，傳感器2判斷正確的路段有45個，判斷錯誤的路段有60-45=15個，

所以隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，

P(X=0)=C201X012P151所以E(X)=0×112+1×512+2×12=1712；

(3)可以通過提高傳感器3的判斷正確率，使得小汽車在無障礙的道路上減速的概率小于12，理由如下：

共有20個無障礙地路段，傳感器1判斷無障礙的有15個，

由頻率估計概率，故無障礙路段上，估計傳感器1判斷無障礙的概率為1520=34，

傳感2判斷無障礙的有15個，由頻率估計概率，

故無障礙路段上，估計傳感器2判斷無障礙的概率為17.(1)證明：連接AC交BD于點Q，連接QM，

因為四邊形ABCD是正方形，所以Q為AC中點，

又因為M為PA中點，所以在△PAC中，有QM//PC，

因為QM?平面BDM，PC?平面BDM，所以PC//平面BDM；

(2)(i)證明：因為平面ABCD⊥平面ABP，平面ABCD∩平面ABP=AB，

四邊形ABCD為正方形，AD⊥AB，AD?平面ABCD，

所以AD⊥平面ABP．

因為BM?平面ABP，所以AD⊥BM．

又AB=BP，M為AP中點，所以BM⊥AP，

又AD∩AP=A，所以BM⊥平面ADP，

又PD?平面ADP，所以BM⊥PD，

又AB=BP=2，AB⊥BP，所以AP=22，所以PM=2，

PD=AD2+AP2=23，PE=233，

又cos∠EPM=APDP=2223=63，

由余弦定理可得：

EM2=PE2+PM2-2PE?PMcos∠EPM=43+2-2×233×2×63=23，

所以PM2=PE2+EM2，所以PD⊥EM，

又EM∩BM=M，所以PD⊥平面BEM；

(ii)因為BM⊥平面ADP，DM，PM?平面ADP，

所以BM⊥DM，BM⊥PM，

又因為DM?平面DBM，PM?平面BME，

所以二面角18.(1)由題意ca=24，即a=22c，

當M點位于短軸端點時，△F1MF2

面積的最大值，得：12×2c×b=7，即b=7c，

又a2=b2+c2，

因此8c2=7c2+c2，即c2=1c2，

解得：a=22,c=1,b=7，

故橢圓的標準方程為x28+y27=1；

(2)

(i)證明：設(shè)直線MN方程為：y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

由7x2+8y2=56y=kx+m得：(7+8k2)x2+16kmx+8m2-56=0，

Δ=(16km)2-4(7+8k2)(8m2-56)>0,x1+x2=-16km7+8k2,x19.(1)證明：當k=1時，f(x)-g(x)=ex-1-x-lnx-1x+1，

設(shè)h(x)=ex-1-x-lnx-1x+1，h'(x)=ex-1-1-1x+1x2=ex-1-1+1-xx2，

當x≥1時，設(shè)t(x)=ex-1-x，t'(x)=ex-1-1≥0，t(x)單調(diào)遞增，

當x≥1，t(x)≥t(1)=e0-1=0，所以ex-1≥x，

所以當x≥1時，h'(x)=ex-1-1+1-xx2≥x-1+1-xx2=(x-1)(1-1x2)≥0,h(x)單調(diào)遞增，

所以h(x)≥h(1)=e0-1-ln1-1+1=0，所以?x≥1，f(x)≥g(x)；

(2)由f(x)=0，g(x)=0，得k=xe1-x，k=x(1-lnx)，

則f(x)，g(x)的零點等價于F(x)=xe1-x-k，G(x)=x(1-lnx)-k的零點．

F'(x)=(1-x)e1-x，G'(x)=-lnx，

x∈(1,+∞)，F(xiàn)'(x)<0，x∈(-∞,1)，F(xiàn)'(x)>0；

F(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減，在區(qū)間(-∞,1)單調(diào)遞增，

故當x∈(1,+∞)時，-k<F(x)<1-k，

當x∈(-∞,1]時，F(xiàn)(x)≤F(1)=1-k，

若F(x