重難點(diǎn)培優(yōu)03平面向量中三角形的“四心”問題及奔馳定理

秒殺應(yīng)用

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01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基..........................................................................................................1

02題型精研?技巧通法提能力..........................................................................................................5

題型一重心（★★★★★）........................................................................................................................5

題型二外心（★★★★★）........................................................................................................................9

題型三內(nèi)心（★★★★★）......................................................................................................................15

題型四垂心（★★★★★）......................................................................................................................20

題型五奔馳定理（★★★★）..................................................................................................................25

03實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?分層突破驗(yàn)成效........................................................................................................32

檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固................................................................................................................................32

檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升...............................................................................................................................52

一、三角形的重心

1、定義：三角形三條中線的交點(diǎn)為三角形的重心，重心為中線的三等分點(diǎn)；

2、重心的性質(zhì)：①重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．

②重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等．

在平面向量的應(yīng)用：（1）設(shè)點(diǎn)G是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)G是△ABC的重心時(shí)，有

1

GAGBGC0或PG(PAPBPC)（其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）；

3

（2）在向量的坐標(biāo)表示中，若G、A、B、C分別是三角形的重心和三個(gè)頂點(diǎn)，且分別為G(x,y)、

xxxyyy

A(x,y)、B(x,y)，C(x,y)，則有G(123,123).

11223333

二、三角形的外心

1、定義：三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)為三角形的外心，外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；

2、外心的性質(zhì)：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．

②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在

三角形的外部．

③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而

一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)．

3、外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．

在平面向量的應(yīng)用：若點(diǎn)O是△ABC的外心，則|OA||OB||OC|或

(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC0；

三、三角形的內(nèi)心

1、定義：三角形三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)為三角形的內(nèi)心

2、內(nèi)心的性質(zhì)：①三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等

②三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．

3、內(nèi)切圓

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做

圓的外切三角形

在平面向量的應(yīng)用：若點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，則有|BC|IA|CA|IB|AB|IC0

四、三角形的垂心

1.定義：三角形三邊上的高或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為三角形的垂心；

在平面向量的應(yīng)用：若H是△ABC的垂心，則HAHBHBHCHCHA或

222222

HABCHBACHCAB

五、奔馳定理

、奔馳定理：是△內(nèi)一點(diǎn)，且，則

1OABCxOA+yOB+zOA=0,SBOC:SCOA:SAOBx:y:z

2、奔馳定理推論：O是△ABC所在平面