一、為何需要數(shù)學(xué)建模：從“解題者”到“問題發(fā)現(xiàn)者”的跨越演講人為何需要數(shù)學(xué)建模：從“解題者”到“問題發(fā)現(xiàn)者”的跨越01如何入門數(shù)學(xué)建模：從“旁觀者”到“實踐者”的成長路徑02數(shù)學(xué)建模是什么：從“黑箱”到“可解釋系統(tǒng)”的構(gòu)建03總結(jié)：數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)是“用數(shù)學(xué)理解世界的勇氣”04目錄2025高中科技實踐之?dāng)?shù)學(xué)建模入門課件各位同學(xué)、老師們：大家好！我是一名從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育與科技實踐指導(dǎo)近十年的教師。今天站在這里，我想和大家分享一個既“古老”又“鮮活”的話題——數(shù)學(xué)建模。說它古老，是因為從人類用結(jié)繩計數(shù)記錄獵物數(shù)量開始，數(shù)學(xué)建模的思維就已萌芽；說它鮮活，是因為在人工智能、大數(shù)據(jù)、氣候變化等前沿領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍是解決復(fù)雜問題的核心工具。對于高中生而言，數(shù)學(xué)建模不僅是課本知識的延伸，更是連接“紙上數(shù)學(xué)”與“現(xiàn)實世界”的橋梁。接下來，我將從“為何需要數(shù)學(xué)建?！薄皵?shù)學(xué)建模是什么”“如何入門數(shù)學(xué)建?！比齻€遞進(jìn)層面展開，帶大家推開這扇科技實踐的大門。01為何需要數(shù)學(xué)建模：從“解題者”到“問題發(fā)現(xiàn)者”的跨越1科技實踐的核心訴求：用數(shù)學(xué)解決真實問題2023年，我?guī)W(xué)生參與“中學(xué)生氣候行動項目”時，遇到一個真實挑戰(zhàn)：如何根據(jù)校園近三年的氣象數(shù)據(jù)，預(yù)測未來十年極端高溫天氣的發(fā)生頻率，為校園綠化方案提供依據(jù)？當(dāng)時有學(xué)生說：“這不就是算平均數(shù)嗎？”但深入分析后我們發(fā)現(xiàn)，溫度變化受季風(fēng)、城市熱島效應(yīng)等多重因素影響，簡單的算術(shù)平均無法反映趨勢。最終，我們通過構(gòu)建“時間序列回歸模型”，結(jié)合ENSO（厄爾尼諾-南方濤動）指數(shù)修正，才得出了更可靠的預(yù)測結(jié)果。這個案例讓我深刻意識到：科技實踐的本質(zhì)不是重復(fù)已知的答案，而是用數(shù)學(xué)工具回應(yīng)真實世界的復(fù)雜問題。2新高考與核心素養(yǎng)的要求《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確將“數(shù)學(xué)建?！绷袨榱蠛诵乃仞B(yǎng)之一，要求學(xué)生“在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，建立模型，求解模型，檢驗結(jié)果并改進(jìn)模型”。近年來，高考數(shù)學(xué)中“情境題”占比逐年提升——比如2024年全國卷Ⅰ的“醫(yī)療資源分配問題”、新高考Ⅱ卷的“網(wǎng)絡(luò)信息傳播模型”，本質(zhì)都是對數(shù)學(xué)建模能力的考察?？梢哉f，不會建模的學(xué)生，正在失去與真實世界對話的“數(shù)學(xué)語言”。3創(chuàng)新思維培養(yǎng)的關(guān)鍵路徑我曾觀察過兩組學(xué)生：一組專注于刷傳統(tǒng)應(yīng)用題，另一組參與“校園共享單車停放優(yōu)化”建模項目。三個月后，前者解題速度更快，但面對“如何用數(shù)學(xué)解釋食堂排隊時間”這類開放問題時，常說“題目沒給條件”；后者則能主動提出“收集早中晚高峰人數(shù)”“記錄取餐時間分布”等方案。這印證了教育心理學(xué)家的結(jié)論：數(shù)學(xué)建模能強(qiáng)迫學(xué)生從“被動接受條件”轉(zhuǎn)向“主動挖掘變量”，從“單一解法”轉(zhuǎn)向“多模型驗證”，這正是創(chuàng)新思維的核心特征。02數(shù)學(xué)建模是什么：從“黑箱”到“可解釋系統(tǒng)”的構(gòu)建1數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)：用符號語言翻譯現(xiàn)實問題簡單來說，數(shù)學(xué)建模就是“給現(xiàn)實問題編程序”——把實際問題中的對象（如“排隊的人”）抽象為變量（如“人數(shù)n”），把對象間的關(guān)系（如“等待時間與人數(shù)正相關(guān)”）轉(zhuǎn)化為方程（如“T=kn+b”），最終用數(shù)學(xué)方法求解并驗證。例如，我們要研究“疫情期間教室通風(fēng)效率”，就需要：變量提取：教室體積V、窗戶面積S、風(fēng)速v、二氧化碳濃度C；關(guān)系假設(shè)：C的變化率與通風(fēng)量（S×v）成反比；模型建立：微分方程dC/dt=-k(Sv)/V；驗證修正：對比實際測量數(shù)據(jù)，調(diào)整系數(shù)k。2數(shù)學(xué)建模的標(biāo)準(zhǔn)流程：六步走的“閉環(huán)”根據(jù)我指導(dǎo)學(xué)生的經(jīng)驗，完整的建模流程可總結(jié)為“問題→抽象→假設(shè)→建?！蠼狻炞C”六步，每一步都需嚴(yán)謹(jǐn)推敲：2數(shù)學(xué)建模的標(biāo)準(zhǔn)流程：六步走的“閉環(huán)”2.1問題識別：從“模糊現(xiàn)象”到“可研究問題”這是最容易被忽視的環(huán)節(jié)。例如，學(xué)生常說“我想研究校園浪費問題”，但“浪費”是一個模糊概念。需要進(jìn)一步細(xì)化：是“食物浪費”還是“水電浪費”？如果是食物浪費，具體是“早餐、午餐還是晚餐”？目標(biāo)是“減少浪費量”還是“找出浪費原因”？好的問題應(yīng)該滿足：具體（可測量）、聚焦（單維度）、有意義（可行動）。2數(shù)學(xué)建模的標(biāo)準(zhǔn)流程：六步走的“閉環(huán)”2.2變量抽象：給現(xiàn)實對象“貼標(biāo)簽”以“食堂排隊時間”問題為例，表面看是“人多”導(dǎo)致排隊，但深入分析后，變量可能包括：窗口數(shù)量m、每個窗口打菜時間t（受菜品類型影響）、學(xué)生到達(dá)時間的分布（是否集中在12:00-12:10）、插隊行為的概率p等。關(guān)鍵是區(qū)分“關(guān)鍵變量”（如m、t）和“干擾變量”（如學(xué)生性別），避免模型過度復(fù)雜。2數(shù)學(xué)建模的標(biāo)準(zhǔn)流程：六步走的“閉環(huán)”2.3合理假設(shè)：簡化現(xiàn)實的藝術(shù)假設(shè)是建模的“過濾器”。例如，研究“校園快遞點取件效率”時，我們可以假設(shè)：學(xué)生到達(dá)時間服從泊松分布（符合隨機(jī)事件規(guī)律）；每個取件流程時間相同（忽略快遞類型差異）；無插隊行為（簡化人為干擾）。但假設(shè)必須“合理”——如果實際中取件時間差異很大（如大件需掃碼+核對），就不能忽略這一變量。假設(shè)的原則是：保留影響結(jié)果的主要因素，忽略次要或隨機(jī)因素。2數(shù)學(xué)建模的標(biāo)準(zhǔn)流程：六步走的“閉環(huán)”2.4模型構(gòu)建：選擇“稱手的工具”優(yōu)化模型：線性規(guī)劃（如“用有限預(yù)算購買最多圖書”）、圖論模型（如“校園最短路徑規(guī)劃”）。4選擇模型時需匹配問題類型——預(yù)測趨勢用回歸，分配資源用規(guī)劃，隨機(jī)事件用概率。5高中生可用的模型大致分為三類：1初等數(shù)學(xué)模型：比例關(guān)系（如“打印成本=單頁成本×頁數(shù)”）、函數(shù)模型（如“溫度隨時間變化的二次函數(shù)”）；2統(tǒng)計模型：線性回歸（如“身高與體重的相關(guān)性”）、概率模型（如“投籃命中率的二項分布”）；32數(shù)學(xué)建模的標(biāo)準(zhǔn)流程：六步走的“閉環(huán)”2.5模型求解：從“數(shù)學(xué)解”到“現(xiàn)實解”求解不僅是計算，更要關(guān)注結(jié)果的現(xiàn)實意義。例如，用線性規(guī)劃求解“食堂窗口最優(yōu)數(shù)量”時，得到的解可能是“5.2個窗口”，但現(xiàn)實中窗口數(shù)必須是整數(shù)，因此需比較5個和6個窗口的成本與等待時間，選擇更優(yōu)方案。數(shù)學(xué)解是“理想值”，現(xiàn)實解需要“落地修正”。2數(shù)學(xué)建模的標(biāo)準(zhǔn)流程：六步走的“閉環(huán)”2.6模型驗證：用數(shù)據(jù)“挑刺”這是最能體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)性的一步。我曾帶學(xué)生構(gòu)建“校園落葉清掃頻率模型”，最初假設(shè)“落葉量與溫度負(fù)相關(guān)”，但實際測量發(fā)現(xiàn)，秋季降溫時落葉量激增，而冬季低溫時落葉量反而減少（因大部分樹葉已落盡）。這說明原假設(shè)錯誤，需調(diào)整為“落葉量與積溫（累計溫度變化）相關(guān)”。驗證的核心是“用數(shù)據(jù)反駁假設(shè)”，而非“用數(shù)據(jù)證明假設(shè)”。3數(shù)學(xué)模型的評價標(biāo)準(zhǔn)：好模型的“三條金線”可推廣性：能解決同類問題（如“食堂排隊模型”稍作調(diào)整可用于快遞點、圖書館借還書等場景）。簡潔性：用最少的變量解釋最多的現(xiàn)象（奧卡姆剃刀原則）；準(zhǔn)確性：預(yù)測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)誤差在可接受范圍內(nèi)（如±5%）；一個優(yōu)秀的數(shù)學(xué)模型應(yīng)滿足：CBAD03如何入門數(shù)學(xué)建模：從“旁觀者”到“實踐者”的成長路徑1知識儲備：從課本到“工具箱”的升級高中生無需掌握高深的大學(xué)數(shù)學(xué)，但需扎實掌握以下“建?；A(chǔ)包”：1知識儲備：從課本到“工具箱”的升級1.1核心數(shù)學(xué)知識函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)（用于描述增長/衰減趨勢）；01統(tǒng)計：平均數(shù)、方差、相關(guān)系數(shù)、線性回歸（用于分析數(shù)據(jù)相關(guān)性）；02概率：古典概型、條件概率、二項分布（用于處理隨機(jī)事件）；03幾何：空間坐標(biāo)系、距離公式（用于位置分析，如快遞點選址）。041知識儲備：從課本到“工具箱”的升級1.2工具技能01數(shù)據(jù)收集：問卷設(shè)計（避免引導(dǎo)性問題）、實地測量（如用秒表記錄打菜時間）、公開數(shù)據(jù)獲?。ㄈ鐕覛庀缶帧W(xué)校后勤部門的統(tǒng)計報表）；02數(shù)據(jù)處理：Excel的“數(shù)據(jù)透視表”“圖表工具”“回歸分析”功能（90%的高中建模問題可用Excel解決）；03簡單編程：Python的Pandas（數(shù)據(jù)清洗）、Matplotlib（可視化）庫（提升效率，但非必需）。2實踐策略：“小問題→大模型”的漸進(jìn)式訓(xùn)練2.1從“身邊問題”起步A新手最有效的訓(xùn)練是“觀察日常，提出問題”。例如：B物理課學(xué)了“自由落體”，可以研究“校園噴泉的水流軌跡”（用拋物線模型）；C生物課學(xué)了“種群增長”，可以統(tǒng)計“校園流浪貓數(shù)量變化”（用邏輯斯諦模型）；D經(jīng)濟(jì)學(xué)了“供需關(guān)系”，可以分析“校園超市某商品定價與銷量的關(guān)系”（用需求函數(shù)模型）。2實踐策略：“小問題→大模型”的漸進(jìn)式訓(xùn)練2.2模仿經(jīng)典案例，學(xué)習(xí)建模思路我整理了適合高中生的“入門案例庫”，供大家參考：|問題類型|案例名稱|核心模型|關(guān)鍵變量||------------------|--------------------------|--------------------------|--------------------------||生活優(yōu)化|教室空調(diào)溫度設(shè)置與電費|成本-效益模型|溫度T、人數(shù)n、時間t||生物統(tǒng)計|校園樹木生長速度預(yù)測|線性回歸/指數(shù)模型|樹齡x、樹高y|2實踐策略：“小問題→大模型”的漸進(jìn)式訓(xùn)練2.2模仿經(jīng)典案例，學(xué)習(xí)建模思路|交通規(guī)劃|校門口擁堵時段分析|排隊論模型（M/M/1）|車輛到達(dá)率λ、通過率μ||環(huán)境科學(xué)|雨水收集池容量設(shè)計|累積-排放模型|降雨量r、蒸發(fā)量e、容量V|2實踐策略：“小問題→大模型”的漸進(jìn)式訓(xùn)練2.3團(tuán)隊合作：建模不是“個人秀”數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)“分工協(xié)作”——有人負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)收集，有人擅長數(shù)學(xué)推導(dǎo)，有人精通可視化，有人撰寫報告。我?guī)У膶W(xué)生團(tuán)隊中，曾有一個小組因“都想當(dāng)‘模型大師’”而效率低下，調(diào)整分工后（A收集數(shù)據(jù)、B做回歸分析、C畫流程圖、D寫結(jié)論），反而提前一周完成高質(zhì)量報告。團(tuán)隊的核心是“互補(bǔ)”，而非“競爭”。3常見誤區(qū)與避坑指南3.1誤區(qū)一：“模型越復(fù)雜越好”曾有學(xué)生為“校園圖書借閱量預(yù)測”構(gòu)建了包含12個變量的多元回歸模型，結(jié)果R2（擬合優(yōu)度）僅0.62，反而是用“前三年平均+季節(jié)修正”的簡單模型，預(yù)測誤差更小。模型的價值在于“有效”，而非“復(fù)雜”。3常見誤區(qū)與避坑指南3.2誤區(qū)二：“忽略驗證步驟”部分學(xué)生完成模型求解后，直接得出結(jié)論，卻未用新數(shù)據(jù)驗證。例如，某小組用2021-2023年的落葉量數(shù)據(jù)構(gòu)建模型，預(yù)測2024年時誤差達(dá)30%，原因是2024年春季異常多雨，影響了樹葉生長。驗證不是“走形式”，而是“模型的生存測試”。3常見誤區(qū)與避坑指南3.3誤區(qū)三：“排斥定性分析”數(shù)學(xué)建模需要定量數(shù)據(jù)，但定性思考同樣重要。例如，研究“校園垃圾分類效果”時，除了統(tǒng)計“可回收物重量”，還需訪談學(xué)生“不愿分類的原因”（如標(biāo)識不清、垃圾桶位置不便），這些定性信息能幫助修正模型假設(shè)。好的建模是“定量+定性”的結(jié)合。04總結(jié)：數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)是“用數(shù)學(xué)理解世界的勇氣”總結(jié)：數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)是“用數(shù)學(xué)理解世界的勇氣”回顧今天的分享，我們從“為何需要建?！钡默F(xiàn)實需求，到“建模是什么”的本質(zhì)解析，再到“如何入門”的實踐路徑，逐步揭開了數(shù)學(xué)建模的面紗。我想強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)建模不是“天才的游戲”，而是“每個愿意觀察、思考、實踐的學(xué)生都能掌握的技能”。它教會我們的不僅是解方程、畫圖表，更是一種“用數(shù)學(xué)語言翻譯世界，用理性工具改善生活”的思維方式。2025年