福建省武平縣第二中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．平面的法向量，平面的法向量，已知，則等于（）A B.C. D.2．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.3．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.1C.2 D.44．若等軸雙曲線C過點，則雙曲線C的頂點到其漸近線的距離為（）A.1 B.C. D.25．橢圓的長軸長是（）A.3 B.4C.6 D.86．如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.7．如圖，在三棱錐中，，二面角的正弦值是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.8．函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象為A. B.C. D.9．如果向量，，共面，則實數(shù)的值是（）A. B.C. D.10．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為A. B.C. D.11．過點，的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.1 B.4C.1或3 D.1或412．設(shè)是雙曲線的兩個焦點,是雙曲線上的一點,且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.48二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體的棱長為2，E為線段中點，F(xiàn)為線段BC上動點，則（1）的最小值為______；（2）點F到直線DE距離的最小值為______.14．曲線在點（1，1）處的切線方程為_____15．寫出一個同時滿足下列條件①②③的圓C的標準方程：__________①圓C的圓心在第一象限；②圓C與x軸相切；③圓C與圓外切16．設(shè)雙曲線(0<a<b)的半焦距為c，直線l過(a,0)，(0，b)兩點，且原點到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某市共有居民60萬人，為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，……分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中的a值，并估計該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)（單位：人）；（2）估計該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù)18．（12分）在平面直角坐標系中，已知圓，點P在圓上，過點P作x軸的垂線，垂足為是的中點，當P在圓M上運動時N形成的軌跡為C（1）求C的軌跡方程；（2）若點，試問在x軸上是否存在點M，使得過點M的動直線交C于兩點時，恒有？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由19．（12分）已知焦點為F的拋物線上一點到F的距離是4（1）求拋物線C的方程（2）若不過原點O的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A，B位于x軸兩側(cè)），C的準線與x軸交于點E，直線與分別交于點M，N，若，證明：直線l過定點20．（12分）圓過點A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周長最小的圓的方程；（2）圓心在直線2x－y－4＝0上的圓的方程21．（12分）等差數(shù)列中，首項，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和22．（10分）如圖，在平面直角標系中，已知n個圓與x軸和線均相切，且任意相鄰的兩個圓外切，其中圓.（1）求數(shù)列通項公式；（2）記n個圓的面積之和為S，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)兩個平面平行得出其法向量平行，根據(jù)向量共線定理進行計算即可.【詳解】由題意得，因為，所以（），即，解得，所以.故選:A2、B【解析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質(zhì)可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B3、B【解析】根據(jù)遞推式以及迭代即可.【詳解】由，得，，，，，，.故選：B4、A【解析】先求出雙曲線C的標準方程，再求頂點到其漸近線的距離.【詳解】設(shè)等軸雙曲線C的標準方程為，因為點在雙曲線上，所以，解得，所以雙曲線C的標準方程為，故上頂點到其一條漸近線的距離為.故選：A5、D【解析】根據(jù)橢圓方程可得到a，從而求得長軸長.【詳解】橢圓方程為，故，所以橢圓長軸長為，故選:D.6、D【解析】利用不等式的性質(zhì)分析判斷每個選項.【詳解】由不等式的性質(zhì)可知，因為，所以，，故A錯誤，D正確；由，可得，，故B，C錯誤.故選：D7、A【解析】利用二面角S﹣AC﹣B的余弦值求得，由此判斷出，且兩兩垂直，由此將三棱錐補形成正方體，利用正方體的外接球半徑，求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是的中點，連接，由于，所以，所以是二面角的平面角，所以.在三角形中，，在三角形中，，在三角形中，由余弦定理得：，所以，由于，所以兩兩垂直.由此將三棱錐補形成正方體如下圖所示，正方體的邊長為2，則體對角線長為.設(shè)正方體外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為，故選：.8、D【解析】分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論.詳解：觀察函數(shù)圖象，從左到右單調(diào)性先單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單調(diào)遞增.對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)符號為正，負，正.,選項D的圖象正確.故選D.點睛：本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號的對應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.9、B【解析】設(shè)，由空間向量的坐標運算可得出方程組，即可解得的值.【詳解】由于向量，，共面，設(shè)，可得，解得.故選：B.10、A【解析】每個同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A11、A【解析】解方程即得解.【詳解】由題得.故選：A【點睛】本題主要考查斜率的計算，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.12、C【解析】雙曲線的實軸長為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點睛】本題主要考查了焦點三角形以及橢圓的定義運用,屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.；②..【解析】建立空間直角坐標系.空一：利用空間兩點間距離公式，結(jié)合平面兩點間距離公式進行求解即可；空二：根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則有.空一：，代數(shù)式表示橫軸上一點到點和點的距離之和，如下圖所示：設(shè)關(guān)于橫軸的對稱點為，當線段與橫軸的交點為點時，有最小值，最小值為；空二：設(shè)，為垂足，則有，，，因為，所以，因此，化簡得：，當時，即時，此時，有最小值，即最小值為，故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點睛：利用空間向量垂直的性質(zhì)進行求解是解題的關(guān)鍵.14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點斜式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以曲線在點（1，1）處的切線的斜率為，所以所求切線方程為：，即.故答案為：.15、(答案不唯一，但圓心坐標需滿足，)【解析】首先設(shè)圓的圓心和半徑，根據(jù)條件得到關(guān)于的方程組，即可求解.【詳解】設(shè)圓心坐標為，由①可知，半徑為，由②③可知，整理可得，當時，，，所以其中一個同時滿足條件①②③的圓的標準方程是.故答案為：(答案不唯一，但圓心坐標需滿足，)16、e＝2.【解析】先求出直線的方程，利用原點到直線的距離為，，求出的值，進而根據(jù)求出離心率【詳解】由l過兩點(a,0)，(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0.由原點到l的距離為c，得＝c.將b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解關(guān)于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴應(yīng)舍去e＝.故所求離心率e＝2.【點睛】本題考查雙曲線性質(zhì)，考查求雙曲線的離心率常用的方法即構(gòu)造出關(guān)于的等式，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a0.3，72000人；（2）眾數(shù)2.25；中位數(shù)2.04.【解析】（1）根據(jù)所有小長方形面積和為1即可求得參數(shù)，結(jié)合題意求得用水量不少于3噸對應(yīng)的頻率，再求頻數(shù)即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖直接寫出眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的求法，結(jié)合頻率的計算，即可容易求得結(jié)果.【小問1詳解】由頻率分布直方圖，可知：，解得；月均用水量不少于3噸的人數(shù)為：（人）【小問2詳解】由圖可估計眾數(shù)為2.25；設(shè)中位數(shù)為x噸，因為前5組的頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4組頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5，由，可得，故居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.18、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】(1)設(shè)，根據(jù)中點坐標公式用N的坐標表示P的坐標，將P的坐標代入圓M的方程化簡即可得N的軌跡方程；(2)假設(shè)存在，設(shè)M為(m，0)，設(shè)直線l斜率為k，表示其方程，l方程和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得根與系數(shù)關(guān)系，由，得，代入根與系數(shù)的關(guān)系求k與m關(guān)系即可判斷.【小問1詳解】設(shè)，因為N為的中點，，又P點在圓上，，即C軌跡方程為；【小問2詳解】不存在滿足條件的點M，理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點M，設(shè)點M的坐標為，直線的斜率為k，則直線的方程為，由消去y并整理，得，設(shè)，則由，得，即，將代入上式并化簡，得將式代入上式，有，解得，而，求得點M在橢圓外，若與橢圓無交點不滿足條件，所以不存在這樣的點M【點睛】本題關(guān)鍵是由得，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系進行計算.19、（1）；（2）證明過程見解析.【解析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系進行求解證明即可.【小問1詳解】該拋物線的準線方程為，因為點到F的距離是4，所以有，所以拋物線C的方程為：；【小問2詳解】該拋物線的準線方程為，設(shè)直線l的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，得，不妨設(shè)，因此，直線的斜率為：，所以方程為：，當時，，即，同理，因為，所以有，而，所以有，所以直線l的方程為：，因此直線l恒過.【點睛】關(guān)鍵點睛：把直線l的方程為：，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.20、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.【解析】（1）根據(jù)當AB為直徑時，過A，B的圓的半徑最小進行求解即可；（2）根據(jù)垂徑定理，通過解方程組求出圓心坐標，進而可以求出圓的方程.【詳解】解：（1）當AB為直徑時，過A，B的圓的半徑最小，從而周長最小，即AB中點(0，1)為圓心，半徑r＝|AB|＝.故圓的方程為x2＋(y－1)2＝10；（2）由于AB的斜率為k＝－3，則AB的垂直平分線的斜率為，AB的垂直平分線的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由解得即圓心坐標是C(3，2)又r＝|AC|＝＝2.所以圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等比中項的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求出，進而得出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)裂項相消求和法得