PAGE北師大八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第1章勾股定理１．勾股定理內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c注意：（1）勾股定理是揭示直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系的定理，只適應(yīng)于直角三角形，如果不是直角三角形，那么三邊就不存在這種數(shù)量關(guān)系；（2）應(yīng)用勾股定理時(shí)，要注意確定哪條邊是直角三角形的最長(zhǎng)邊，即斜邊，在Rt△ABC中斜邊未必一定是c，當(dāng)∠A=90°時(shí)，a2=b2２.勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是面積法（圖形的割補(bǔ)、拼接等）。用拼接方式驗(yàn)證勾股定理的思路是：（1）將直角三角形拼成一個(gè)新的規(guī)則圖形，如正方形、長(zhǎng)方形、梯形等；（2）根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理.常見(jiàn)方法如下：驗(yàn)證方法一：畢達(dá)哥拉斯證法如圖1，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以圖1圖1如圖2，大正方形的面積可以表示為c2，又可以表示為12所以c即c2所以圖2圖2如圖，梯形ABCD的面積可以表示為，也可以表示為S所以12a+b?3.勾股定理的逆定理勾股定理逆定理內(nèi)容：如果三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.注意事項(xiàng)：=1\*GB2⑴定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊;=2\*GB2⑵由于未確定三角形是否為直角三角形，故在使用勾股定理的逆定理前，不能使用“斜邊、直角邊”之類的詞語(yǔ)；=3\*GB2⑶勾股定理逆定理的延伸設(shè)，，為三角形的三條邊：=1\*GB3①若滿足，則這個(gè)三角形是直角三角形；=2\*GB3②若滿足，則這個(gè)三角形是鈍角三角形；=3\*GB3③若，則這個(gè)三角形是銳角三角形；直角三角形的判斷方法有兩種：（1）根據(jù)角，利用兩銳角互余判定；（2）根據(jù)邊，利用直角三角形的判別條件（勾股定理逆定理）判定.勾股數(shù)內(nèi)容：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù).=1\*GB2⑴勾股數(shù)滿足兩個(gè)條件：=1\*GB3①；=2\*GB3②三個(gè)數(shù)均為正整數(shù).=2\*GB2⑵常見(jiàn)的勾股數(shù)有：abc備注34568105121368103，4，5同時(shí)擴(kuò)大2倍7242581517912153，4，5同時(shí)擴(kuò)大3倍940411024265，12，13同時(shí)擴(kuò)大2倍1216203，4，5同時(shí)擴(kuò)大4倍=3\*GB2⑶一組勾股數(shù)中的各數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍能得到一組新的勾股數(shù)，如，，是一組勾股數(shù)，則ka,kb,kc(k為正整數(shù)）也是勾股數(shù).但注意，每組勾股數(shù)縮小為原來(lái)的1k時(shí)，雖然依然滿足勾股定理，但不一定還是勾股數(shù)，如3，4，5是一組勾股數(shù)，6，8，10也是一組勾股數(shù)，但是0.3，0.4，0.5不是一組勾股數(shù)。=4\*GB2⑷判斷一組數(shù)是不是勾股數(shù)的方法=1\*GB3①確定三個(gè)正整數(shù)；=2\*GB3②計(jì)算最大數(shù)的平方與較小兩數(shù)的平方和；=3\*GB3③若兩者相等，則為勾股數(shù)，否則不是。=5\*GB2⑸勾股數(shù)的幾種形式=1\*GB3①若n為大于1的整數(shù)，則a=n2?1,b=2n,c=n=2\*GB3②若n為正整數(shù)，則a=2n+1,b=2n2+2n,c==3\*GB3③若m>n，m,n為正整數(shù)，則a=注意：以勾股數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形為直角三角形，但是能構(gòu)成直角三角形的三條邊長(zhǎng)度不一定是勾股數(shù).4．勾股定理（逆定理）的應(yīng)用應(yīng)用一直角的判斷勾股定理的逆定理能幫助我們通過(guò)三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過(guò)程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論；應(yīng)用二垂直距離的計(jì)算過(guò)直線外一點(diǎn)和該條直線上所有點(diǎn)的連線中，垂直線段最短，根據(jù)這一性質(zhì)，在解決最短距離的實(shí)際問(wèn)題中，就需要作出點(diǎn)到直線的垂直線段，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理去解決這類問(wèn)題；計(jì)算最短路程把立體圖形展開(kāi)，得到平面圖形，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定行走路線，根據(jù)勾股定理計(jì)算出最短距離．第2章實(shí)數(shù)1、無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)概念：內(nèi)容：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。學(xué)習(xí)無(wú)理數(shù)應(yīng)該把握無(wú)理數(shù)的三個(gè)特征：=1\*GB3①無(wú)理數(shù)是小數(shù)；=2\*GB3②無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù)；=3\*GB3③無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).判斷一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù)，對(duì)照這3個(gè)特征一個(gè)也不能少.無(wú)理數(shù)分類判斷一個(gè)數(shù)是不是無(wú)理數(shù)，關(guān)鍵就是看它能不能寫(xiě)成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)形式有三種，如下：=1\*GB3①一般的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，包含無(wú)規(guī)律的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)和有規(guī)律的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，無(wú)規(guī)律的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)如2.31257823…;有規(guī)律的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)如0.1010010001…（相鄰兩個(gè)1之間0的個(gè)數(shù)逐次加1）等；=2\*GB3②π及含π的數(shù)，如π，3π，π2，π?5等=3\*GB3③開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如等.有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的區(qū)別（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，而無(wú)理數(shù)則是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；（2）所有的有理數(shù)都能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)），而無(wú)理數(shù)則不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式。有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的判斷目前我們常見(jiàn)的數(shù)不是有理數(shù)，就是無(wú)理數(shù).在辨別時(shí)，首先要對(duì)各數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，若化簡(jiǎn)后數(shù)的外在形式是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、有限小數(shù)、循環(huán)小數(shù)，則這個(gè)數(shù)就是有理數(shù).常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)近似值2、算術(shù)平方根定義：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是0，即0=0；表示方法：記作“”，讀作根號(hào)a，其中，a稱為被開(kāi)方數(shù)。例如32=9，那么9的算術(shù)平方根是3，即。性質(zhì)正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根；算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性=1\*GB3①若有意義，則被開(kāi)方數(shù)a是非負(fù)數(shù)。=2\*GB3②算術(shù)平方根本身是非負(fù)數(shù)。上述兩點(diǎn)總結(jié)來(lái)說(shuō)，即a≥0算術(shù)平方根等于本身的數(shù)是0或1，即若a=a,3、平方根定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。表示方法：正數(shù)a的平方根記做“”，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。開(kāi)平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方。開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算。平方根等于自身的數(shù)是0，即若±a=a，那么a=算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系算術(shù)平方根是平方根中正的一個(gè)值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。算術(shù)平方根只有一個(gè)值，并且是非負(fù)數(shù)，它只表示為：；而平方根具有兩個(gè)互為相反數(shù)的值，表示為：。4、立方根定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x3=a那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）。表示方法：記作，讀作“三次根號(hào)a”；性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。根據(jù)性質(zhì)可得立方根具有兩個(gè)特征=1\*GB3①保號(hào)性，即一個(gè)數(shù)的立方根和它本身符號(hào)一致；=2\*GB3②唯一性，任何數(shù)都有且只有一個(gè)立方根.性質(zhì)延伸：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，其立方根也互為相反數(shù)，如8的立方根為2，-8的立方根為-2，即，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。開(kāi)立方：求一個(gè)數(shù)立方根的運(yùn)算叫做開(kāi)立方。開(kāi)立方與立方互為逆運(yùn)算。算術(shù)平方根、平方根與立方根的異同立方根是它本身的數(shù)是-1,0，1，即若a3立方根的幾個(gè)重要等式=1\*GB3①(3a)3=a;=2\*GB3②3a3=a;=3\*GB3③.5、估算用估算法確定無(wú)理數(shù)的大?。簥A逼法對(duì)于帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)的近似值的確定，可以通過(guò)平方運(yùn)算或立方運(yùn)算并采用“夾逼法”，即兩邊無(wú)限逼近，逐級(jí)夾逼來(lái)完成。首先確定其整數(shù)部分的范圍，再確定十分位，百分位等小數(shù)部分?！熬_到”與“誤差小于”的區(qū)別精確到1m，是指四舍五入到個(gè)位，答案唯一；誤差小于1m，答案在其值左右1m內(nèi)都符合題意，答案不唯一。用估算的方法比較數(shù)的大小用估算法比較兩個(gè)數(shù)的大小，一般至少有一個(gè)是無(wú)理數(shù)，且在比較大小時(shí)，一般先采用分析法，估算出無(wú)理數(shù)的大致范圍，再作具體比較。比較兩個(gè)數(shù)的大小常見(jiàn)方法：=1\*Arabic1.估算法：估算出所給無(wú)理數(shù)的近似值，再比較.如比較22與12，因?yàn)?≈1.414＞1，所以22＞12.2.作差法：若a?b>0，則a3.乘方法：把含有根號(hào)的兩個(gè)無(wú)理數(shù)同時(shí)乘方（一般平方或立方），比較乘方后的數(shù)的大小，同時(shí)考慮符號(hào)確定大小即可.4.放縮法：要證明a>b,可以先找個(gè)中間數(shù)c，轉(zhuǎn)證a>c,c>b.5.作商法、倒數(shù)法等.當(dāng)比較兩個(gè)帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)的大小時(shí)可用如下結(jié)論：（1）若a＞b≥0,則a>（2）若a＞b，則3（3）若a、b都為正數(shù)，且a＞b時(shí)，則a2＞b26、實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)概念內(nèi)容：有理數(shù)與無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)中，沒(méi)有最大的實(shí)數(shù)，也沒(méi)有最小的實(shí)數(shù)；絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)是0，最大的負(fù)整數(shù)是-1。實(shí)數(shù)分類注意：實(shí)數(shù)也可以分為正實(shí)數(shù)、0與負(fù)實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①相反數(shù)：實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a；=2\*GB3②倒數(shù)：實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是（a≠0）；注意：若a>0，則a的倒數(shù)是aa,即1a=3\*GB3③絕對(duì)值：實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|=，它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。實(shí)數(shù)的大小比較法則實(shí)數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的就大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)）。對(duì)于一些帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)，我們可以通過(guò)比較它們的平方或者立方的大小。實(shí)數(shù)的運(yùn)算=1\*GB3①在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方六種運(yùn)算。=2\*GB3②運(yùn)算順序與有理數(shù)的一致：先算乘方和開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。=3\*GB3③兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差、積、商不一定是無(wú)理數(shù)，如?2+2=0，?2×2=-2；無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的和、差結(jié)果一定是無(wú)理數(shù)；無(wú)理數(shù)與一個(gè)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系每個(gè)實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的：（1）每個(gè)實(shí)數(shù)可以以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示。（2）數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。7、二次根式及有關(guān)計(jì)算（1）二次根式定義形如的式子叫做二次根式，a叫做被開(kāi)方數(shù)注意：（1）從形式上看二次根式必須有二次根號(hào)“”，另外，只看它的初始外在形態(tài)，不看它計(jì)算或化簡(jiǎn)的結(jié)果，如=3，是二次根式,但3不是二次根式;（2）被開(kāi)方數(shù)a≥0，其中a可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式.（2）、二次根式性質(zhì)性質(zhì)1：即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積;注意：公式可以推廣為a?b?c?d???n=a性質(zhì)2：，即商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根除以除數(shù)的算術(shù)平方根。注意=1\*GB3①被開(kāi)方數(shù)中的分母b不能為0;=2\*GB3②若a<0,b<0,則化簡(jiǎn)ab被開(kāi)方數(shù)的被除式和除式要加上負(fù)號(hào)，即ab=?a?b.（3）最簡(jiǎn)二次根式概念：被開(kāi)方數(shù)中不含分母，也不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式最簡(jiǎn)二次根式滿足條件=1\*GB3①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不能含有分母；=2\?GB3二次根式化簡(jiǎn)后的結(jié)果應(yīng)滿足下面三個(gè)條件=1\*GB3①被開(kāi)方數(shù)中不含分母或小數(shù)；=2\*GB3②被開(kāi)方數(shù)中不含指數(shù)大于1的因數(shù)或因式；=3\*GB3③分母中不含有根號(hào).（4）同類二次根式概念：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式。例如8、18、42是同類二次根式（8=2（5）二次根式乘除法法則法則1：乘法法則）法則2：除法法則）（6）二次根式加減法步驟=1\*GB3①化：將各個(gè)二次因式化成最簡(jiǎn)二次根式；=2\*GB3②找：找出化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式=3\*GB3③合：合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式將系數(shù)相加減，根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)保持不變.（7）二次根式去根號(hào)法則=1\*GB3①注意：a2與(=1\*GB2⑴a的取值范圍不同.a2中a可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，也可以是0，而(a)=2\*GB2⑵運(yùn)算順序不同.a2中a是先平方再算算術(shù)平方根，，而(a)2中（8）分母有理化概念：把分母中的根號(hào)化去的方法叫做分母有理化。依據(jù)：分式的基本性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)公式。有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。注意互為有理化因式有如下幾種類型：與；②與；③與；④與（其中都是最簡(jiǎn)二次根式）第3章位置與坐標(biāo)1、生活中確定位置的方法在平面內(nèi)確定一個(gè)物體的位置一般需要2個(gè)數(shù)據(jù)：=1\*GB3①行列定位法=2\*GB3②方位角加距離定位法在平面中確定位置時(shí)需要兩個(gè)獨(dú)立的數(shù)據(jù)：方位角、距離。如下圖，超市在學(xué)校的北偏東60°方向，且距離學(xué)校500米處；注意事項(xiàng)：方位角加距離定位法要注意中心位置的選取，上方描述的位置是以學(xué)校為中心，如果選擇以超市為中心，則學(xué)校在超市的南偏西60°方向，且距離超市500米處；=3\*GB3③方格定位法=4\*GB3④區(qū)域定位法=5\*GB3⑤經(jīng)緯度定位法利用經(jīng)度和緯度來(lái)確定物體位置的方法，也同時(shí)需要兩個(gè)數(shù)據(jù)才能確定物體的位置。如圖北京的位置約是“北緯40°，東經(jīng)116°”.2、平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念在平面內(nèi)兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，取向右的方向?yàn)檎较?；豎直的數(shù)軸稱為y軸，又稱縱軸，取向上的方向?yàn)檎较?；兩坐?biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。注意：一般情況下，同一直角坐標(biāo)系的x軸，y軸的單位長(zhǎng)度是相同的，但在實(shí)際問(wèn)題中，兩坐標(biāo)軸的單位長(zhǎng)度要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題調(diào)整，故可以不同.但是在同一坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度必須相同.3、象限的劃分（1）、建立平面直角坐標(biāo)系后，整個(gè)平面被分為6個(gè)部分：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限、橫軸、縱軸。橫軸和縱軸是各象限的分界線，不屬于任何象限。右上部分叫做第一象限，其他三個(gè)部分按逆時(shí)針?lè)较蛞来谓凶龅诙笙?、第三象限和第四象?如下圖)．注意：=1\*GB3①理解象限的概念時(shí)，要注意它們是按逆時(shí)針?lè)较蚺帕械模灰e(cuò)方向。=2\*GB3②坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何一個(gè)象限。（2）、建立平面直角坐標(biāo)系后，平面上任何一個(gè)點(diǎn)都有唯一的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)與它對(duì)應(yīng)，稱為點(diǎn)的坐標(biāo)，反之，任何一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，都可在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)找到唯一的一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)．4、點(diǎn)的坐標(biāo)（1）、坐標(biāo)含義對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x(chóng)軸、y軸對(duì)應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)（a，b）叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)。點(diǎn)的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間用“，”分開(kāi)，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)時(shí)，（a，b）和（b，a）是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。平面內(nèi)點(diǎn)的與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的。（2）、點(diǎn)P(a,b)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：=1\*GB3①點(diǎn)P(a,b)到x軸的距離等于|b|=2\*GB3②點(diǎn)P(a,b)到y(tǒng)軸的距離等于|a|=3\*GB3③點(diǎn)P(a,b)到原點(diǎn)的距離等于a2+b2（由勾股定理得5、不同位置點(diǎn)的坐標(biāo)特征坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征x軸上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0；原點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為0。和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；各象限的角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x(chóng)與y相等點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x(chóng)與y互為相反數(shù)注意：到x軸、y軸的距離相等的點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征①點(diǎn)P與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱（上下）橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（x，-y）②點(diǎn)P與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱（左右）縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（-x，y）③點(diǎn)P與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（-x，-y）規(guī)律：關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變，另一個(gè)變相反；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩個(gè)分別變相反。6、軸對(duì)稱與坐標(biāo)變換（1）、圖形的坐標(biāo)變化與軸對(duì)稱=1\*GB3①橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)分別乘-1，所得圖形與x軸對(duì)稱；反之與y軸對(duì)稱。=2\*GB3②在坐標(biāo)系中作軸對(duì)稱圖形的方法：確定對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，描出各對(duì)稱點(diǎn)，依次連線。（2）、直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系=1\*GB3①關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；=2\*GB3②關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。7、建立直角坐標(biāo)系的原則平面直角坐標(biāo)系的建立要盡量使坐標(biāo)簡(jiǎn)單、運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)單，一般原則如下：（1）、使圖形中盡量多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；（2）、以某些特殊線段所在的直線為x軸或y軸（如三角形的底或高）；（3）以軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸為x軸或y軸；（4）以某已知點(diǎn)為原點(diǎn).注意：在平面內(nèi)，由于圖形放置方式不同，建立的平面直角坐標(biāo)系不同，所得點(diǎn)的坐標(biāo)也不同.8、平面兩點(diǎn)間的距離公式坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離如果A、B是X軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)(x1

，

0)

，B點(diǎn)(x2

，

0)

，那么點(diǎn)

A

和B

的距離為|AB|=|x1-x2|

;如果A、B是y軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)(0

，

y1)

，B點(diǎn)(0

，

y2)

，那么點(diǎn)A

和

B的距離為|AB|=|y1-y2|

.xyxyBACA1A2B2B1O如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．過(guò)A，B分別向x軸、y軸作垂線AA1，AA2和BB1，BB2，垂足分別為A1，A2，B1，B2，其中直線BB1和AA2相交于點(diǎn)C．兩點(diǎn)的距離公式：|AB|＝EQ\R(,(x2－x1)2＋(y2－y1)2)．9、用坐標(biāo)表示平移：見(jiàn)下圖P（x，y）P（x，y）P（x，y－a）P（x－a，y）P（x＋a，y）P（x，y＋a）向上平移a個(gè)單位長(zhǎng)度向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度第4章一次函數(shù)1、函數(shù)函數(shù)的概念一般的，如果在一個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量和，并且對(duì)于變量的每一個(gè)值，變量都有一個(gè)唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們就稱是的函數(shù)，其中是自變量，是因變量。理解函數(shù)的關(guān)鍵四點(diǎn)：（1）有兩個(gè)變量；（2）一個(gè)變量變化，另一個(gè)隨之變化；（3）對(duì)于自變量每一個(gè)確定的值，函數(shù)有且僅有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)；（4）函數(shù)不是數(shù)，是過(guò)程中、的變量關(guān)系。函數(shù)的三種表示方法（1）列表法（2）關(guān)系式法（3）圖像法函數(shù)的值及定義域（1）函數(shù)值：對(duì)于自變量在取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值，函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，稱為自變量等于時(shí)的函數(shù)值。（2）定義域：一般的，一次函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。確定自變量取值范圍兩點(diǎn)：一是必須使含有自變量的代數(shù)式有意義，二是必須滿足實(shí)際問(wèn)題的意義。確定函數(shù)定義域的方法（1）整式型，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；（2）分式型，分式的分母不等于零；（3）二次根式型，被開(kāi)方數(shù)大于等于零；（4）含有指數(shù)為零的式子，底數(shù)不等于零；（5）實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。2、一次函數(shù)與正比例函數(shù)一次函數(shù)的概念若兩個(gè)變量、間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示成（、為常數(shù)，）的形式，則成是的一次函數(shù)。注意：（1）一次函數(shù)關(guān)系式是一個(gè)等式，其左邊是函數(shù)y，右邊是關(guān)于自變量x的整式，分母中不能含有字母；（2）自變量x的次數(shù)是1，一次項(xiàng)系數(shù)，可以為任意實(shí)數(shù).正比例函數(shù)的概念對(duì)于一次函數(shù)（），當(dāng)時(shí)，變?yōu)?，這是把叫做的正比例函數(shù)。注意：（1）正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，即正比例函數(shù)一定是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)；（2）在正比例函數(shù)中，.3、一次函數(shù)的圖像函數(shù)的圖像把一個(gè)函數(shù)的自變量的值和與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的圖形就叫做函數(shù)的圖象。注：一次函數(shù)的圖像是一條直線，所以只需描出兩個(gè)點(diǎn)即可畫(huà)出圖象。描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖形的一般步驟（通常選五點(diǎn)法）第一步：列表（根據(jù)自變量的取值范圍從小到大或從中間向兩邊取值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái)）。正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)（0，0）、（1，k）兩點(diǎn)的直線，具體圖像與性質(zhì)如下表：（1）正比例函數(shù)的圖像的特征是由系數(shù)k決定，k的符號(hào)決定圖像經(jīng)過(guò)的象限和函數(shù)的增減性。（2）|k|越大，直線與x軸的夾角（銳角）就越大，y的值隨x值的增加（或減小）而增加（或減?。┑迷娇?。一次函數(shù)圖象的特點(diǎn)及性質(zhì)一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)如下：（1）一次函數(shù)的圖像是一條直線，因此作函數(shù)圖象時(shí)，只需要確定兩個(gè)點(diǎn)，即可連接兩點(diǎn)做出函數(shù)圖象，畫(huà)圖時(shí)通常選?。?，b）和（?bk,0（2）一次函數(shù)圖像特征由k,b共同決定，k的符號(hào)決定函數(shù)的增減性，b決定直線與y軸交點(diǎn)的位置。同樣一次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)的象限和函數(shù)的增減性也可以決定k，b的符號(hào)。（3）|k|的大小決定直線與x軸的夾角的大小，|k|越大，直線與x軸的夾角越大，直線越陡峭；|k|越小，直線與x軸夾角越小，直線越平緩。一次函數(shù)的平移上下平移直線y=kx+b向上平移m（m為正）個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線y=kx+b+m，直線y=kx+b向下平移m（m為正）個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線y=kx+b-m，這是直線直線y=kx+b上下(或沿y軸)平移的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律可以簡(jiǎn)記為：函數(shù)值：上加下減實(shí)例：直線y=?(2)左右平移直線y=kx+b向左平移n（n為正）個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線y=k(x+n)+b，直線y=kx+b向右平移n（n為正）個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線y=k(x-n)+b，這是直線y=kx+b左右(或沿x軸)平移的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律可以簡(jiǎn)記為：自變量：左加右減總結(jié)：一次函數(shù)圖像平移的規(guī)律函數(shù)值：上加下減；自變量：左加右減.拓展：直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系=1\*GB3①兩直線平行：k1=k2且b1b2=2\*GB3②兩直線重合：k1=k2且b1=b2=3\*GB3③兩直線相交：k1k2=4\*GB3④兩直線交于y軸上同一點(diǎn):k1k2，b1=b2注意：同一平面內(nèi)，K相同但b不相同的兩條直線平行，它們可以互相通過(guò)平移得到4、一次函數(shù)的應(yīng)用確定正比例函數(shù)的表達(dá)式正比例函數(shù)只有一個(gè)待定系數(shù)，只需要除原點(diǎn)之外的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出值，進(jìn)而求出函數(shù)表達(dá)式。注意：一次函數(shù)的圖像是一條直線，所以只需描出兩個(gè)點(diǎn)即可畫(huà)出圖象。用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式一次函數(shù)有兩個(gè)待定系數(shù)和，所以只需求出二者的值，即可求出函數(shù)表達(dá)式。待定系數(shù)法：首先設(shè)函數(shù)；其次將兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)帶人表達(dá)式，列出、的方程；最后求解方程。用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的步驟：設(shè)：設(shè)出一次函數(shù)表達(dá)式，如；代：將所給數(shù)據(jù)代入中；解：解方程解出k，b的值；寫(xiě)：把求出的k，b代回表達(dá)式中，寫(xiě)出表達(dá)式.一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系（1）從“數(shù)”的方面看：一次函數(shù)函數(shù)值為某一數(shù)值時(shí)，自變量的值即為方程的解。（2）從“形”的方面看：函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解。利用圖象信息解決實(shí)際問(wèn)題兩方面分析圖象：（1）根據(jù)函數(shù)圖象可判斷函數(shù)類型，注意特殊的點(diǎn)（2）從軸、軸的實(shí)際意義去理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義第五章二元一次方程組一、二元一次方程組1、概念：①二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)（即次數(shù)）都是1的方程，叫二元一次方程。一般形式為：ax+by=c（a、b、c為常數(shù)，且a、b均不為0）結(jié)合一元一次方程，二元一次方程對(duì)“元”和“次”作進(jìn)一步的理解；“元”與“未知數(shù)”相通，幾個(gè)元是指幾個(gè)未知數(shù)，“次”指未知數(shù)的最高次數(shù)。例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。而6x2=-2y-6、4x+8y=-6z、=n等都不是二元一次方程。②二元一次方程組：兩個(gè)二元一次方程（或一個(gè)是一元一次方程，另一個(gè)是二元一次方程；或兩個(gè)都是一元一次方程；但未知數(shù)個(gè)數(shù)仍為兩個(gè)）合在一起，就組成了二元一次方程組。例如：、、、等都是二元一次方程組。而、、等都不是二元一次方程組。注意：只要兩個(gè)方程一共含有兩個(gè)未知數(shù)，也是二元一次方程組。如：、也是二元一次方程組。2．二元一次方程和二元一次方程組的解（1）二元一次方程的解：能夠使二元一次方程的左右兩邊都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。（2）二元一次方程組的解：使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解。（即是兩個(gè)方程的公共解）注：①寫(xiě)二元一次方程或二元一次方程組的解時(shí)要用“聯(lián)立”符號(hào)“”把方程中兩個(gè)未知數(shù)的值連接起來(lái)寫(xiě)。二元方程解的寫(xiě)法的標(biāo)準(zhǔn)形式是：，（其中a、b為常數(shù)）；②一個(gè)二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有許多組；③而二元一次方程組的解是其中兩個(gè)二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一組，但也可能有無(wú)數(shù)組或無(wú)解（即無(wú)公共解）。二元一次方程組的解的討論：已知二元一次方程組①當(dāng)時(shí)，有唯一解；例：②當(dāng)時(shí)，無(wú)解；例：③當(dāng)時(shí)，有無(wú)數(shù)解。例：二、二元一次方程組的解法——消元（整體思想就是：消去未知數(shù)，化“二元”為“一元”）1、代入消元法：由二元一次方程組中的一個(gè)方程，將一個(gè)未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來(lái)，再代入另一方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。注：代入法解二元一次方程組的一般步驟為：①、從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)；②、將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程（不能代入原來(lái)的方程哦?。ヒ粋€(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；③、解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；④、將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式（或原來(lái)的方程組中任一個(gè)方程）中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤、把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解。2、加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等（或利用等式的性質(zhì)可變?yōu)橄喾椿蛳嗟龋r(shí)，將兩個(gè)方程的左右兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。注：加減法解二元一次方程組的一般步驟為：①、方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)前的系數(shù)既不相反又不相等時(shí)，就根據(jù)等式的性質(zhì)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘以方程的兩邊（注意，左右兩邊每一項(xiàng)都要乘以這個(gè)數(shù)），使同一未知數(shù)前的系數(shù)相反或相等；②、把兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；③、解這個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；④、將這個(gè)求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值，并把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，就是方程組的解。三、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組1、利用二元一次方程組解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般過(guò)程為：審題并找出數(shù)量關(guān)系式—>設(shè)元（設(shè)未知數(shù)）—>根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出方程組—>解方程組—>檢驗(yàn)并作答（注意：此步驟不要忘記）2、列方程組解應(yīng)用題的常見(jiàn)題型：（1）、和差倍分問(wèn)題：解這類問(wèn)題的基本等量關(guān)系式是：較大量-較小量=相差量，總量=倍數(shù)×倍量；（2）、產(chǎn)品配套問(wèn)題：解這類題的基本等量關(guān)系式是：加工總量成比例；（3）、速度問(wèn)題：解這類問(wèn)題的基本關(guān)系式是：路程=速度×?xí)r間，包括相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題等；（4）、航速問(wèn)題：①、順流（風(fēng)）：航速=靜水（無(wú)風(fēng)）時(shí)的速度+水（風(fēng)）速；②、逆流（風(fēng)）：航速=靜水（無(wú)風(fēng)）時(shí)的速度–水（風(fēng)）速；（5）、工程問(wèn)題：解這類問(wèn)題的基本關(guān)系式是：工作總量=工作效率×工作時(shí)間，（有時(shí)需把工作總量看作1）；（6）、增長(zhǎng)率問(wèn)題：解這類問(wèn)題的基本關(guān)系式是：原量×（1+增長(zhǎng)率）=增長(zhǎng)后的量，原量×（1-減少率）=減少后的量；（7）、盈虧問(wèn)題：解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是從盈（過(guò)剩）、虧（不足）兩個(gè)角度來(lái)把握事物的總量；（8）、數(shù)字問(wèn)題：解這類問(wèn)題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示；（9）、幾何問(wèn)題：解這類問(wèn)題的基本關(guān)系是有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算公式；（10）、年齡問(wèn)題：解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)相等。四、三元一次方程組的解法1、概念：由三個(gè)方程組成方程組，且方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含有的未知數(shù)的次數(shù)都是1次，這樣的方程組叫三元一次方程組。注：三元一次方程組中的三個(gè)方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足“方程組中共含有三個(gè)未知數(shù)”的條件即可。2、解三元一次方程組的基本思想：一元一次方程消元————————>(代入法、加減法)一元一次方程消元————————>(代入法、加減法)二元一次方程組消元————————>(代入法、加減法)三元一次方程組第6章數(shù)據(jù)的分析知識(shí)點(diǎn)一：平均數(shù)平均數(shù)是衡量樣本（求一組數(shù)據(jù)）和總體平均水平的特征數(shù)，通常用樣本的平均數(shù)去估計(jì)總體的平均數(shù)。平均數(shù)：把一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)所得的商。平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，平均數(shù)分為算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)。一般的，有n個(gè)數(shù)我們把叫做這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)簡(jiǎn)稱平均數(shù)，記做（讀作“x拔”）（定義法）當(dāng)所給一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)多次出現(xiàn)的數(shù)據(jù)，常選用加權(quán)平均數(shù)公式。且f1+f2+……+fk=n（加權(quán)法），其中表示各相同數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，稱為權(quán)，“權(quán)”越大，對(duì)平均數(shù)的影響就越大，加權(quán)平均數(shù)的分母恰好為各權(quán)的和。權(quán)的理解:反映了某個(gè)數(shù)據(jù)在整個(gè)數(shù)據(jù)中的重要程度。權(quán)的表示方法：比、百分比、頻數(shù)（人數(shù)、個(gè)數(shù)、次數(shù)等）。當(dāng)給出的一組數(shù)據(jù)，都在某一常數(shù)a上下波動(dòng)時(shí)，一般選用簡(jiǎn)化平均數(shù)公式，其中a是取接近于這組數(shù)據(jù)平均數(shù)中比較“整”的數(shù)。知識(shí)點(diǎn)二：眾數(shù)與中位數(shù)眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時(shí)不止一個(gè))，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)如果一組數(shù)據(jù)中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣，都是最大，那么這些個(gè)數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).如果所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣，那么這組數(shù)據(jù)沒(méi)有眾數(shù)。中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到小順）的順序進(jìn)行排列，如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則中間的那個(gè)數(shù)就是中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則中位數(shù)應(yīng)是中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)。平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是用來(lái)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量。平均數(shù)的大小與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，任何一個(gè)數(shù)的波動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的波動(dòng)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個(gè)數(shù)據(jù)太高或太低，用平均數(shù)來(lái)描述整體趨勢(shì)則不合適，用中位數(shù)或眾數(shù)則較合適。中位數(shù)與數(shù)據(jù)排列有關(guān)，個(gè)別數(shù)據(jù)的波動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒(méi)影響；當(dāng)一組數(shù)據(jù)中不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，可用眾數(shù)來(lái)描述。平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系相同點(diǎn)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的相同之處主要表現(xiàn)在：都是來(lái)描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量；都可用來(lái)反映數(shù)據(jù)的一般水平；都可用來(lái)作為一組數(shù)據(jù)的代表。不同點(diǎn)它們之間的區(qū)別，主要表現(xiàn)在以下方面。1、定義不同平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。2、求法不同平均數(shù)：用所有數(shù)據(jù)相加的總和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),需要計(jì)算才得求出。中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于最中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。它的求出不需或只需簡(jiǎn)單的計(jì)算。眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)，不必計(jì)算就可求出。3、個(gè)數(shù)不同在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)和中位數(shù)都具有惟一性，但眾數(shù)有時(shí)不具有惟一性。在一組數(shù)據(jù)中，可能不止一個(gè)眾數(shù)，也可能沒(méi)有眾數(shù)。4、代表不同平均數(shù)：反映了一組數(shù)據(jù)的平均大小，常用來(lái)一代表數(shù)據(jù)的總體“平均水平”。中位數(shù)：像一條分界線，將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，因此用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”。眾數(shù)：反映了出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，用來(lái)代表一組數(shù)據(jù)的“多數(shù)水平”。這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量雖反映有所不同，但都可表示數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，都可作為數(shù)據(jù)一般水平的代表。5、特點(diǎn)不同平均數(shù)：與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),其中任何數(shù)據(jù)的變動(dòng)都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng)。主要缺點(diǎn)是易受極端值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小數(shù)。中位數(shù)：與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)它沒(méi)有影響；它是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，不受數(shù)據(jù)極端值的影響。眾數(shù)：與數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)有關(guān)，著眼于對(duì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率的考察，其大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，不受極端值的影響,其缺點(diǎn)是具有不惟一性，一組數(shù)據(jù)中可能會(huì)有一個(gè)眾數(shù)，也可能會(huì)有多個(gè)或沒(méi)有。6、作用不同平均數(shù)：是統(tǒng)計(jì)中最常用的數(shù)據(jù)代表值，比較可靠和穩(wěn)定，因?yàn)樗c每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，反映出來(lái)的信息最充分。平均數(shù)既可以描述一組數(shù)據(jù)本身的整體平均情況，也可以用來(lái)作為不同組數(shù)據(jù)比較的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。因此，它在生活中應(yīng)用最廣泛，比如我們經(jīng)常所說(shuō)的平均成績(jī)、平均身高、平均體重等。中位數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性比較差，因?yàn)樗焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù)。但當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別數(shù)據(jù)偏大或偏小時(shí)，用中位數(shù)來(lái)描述該組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)就比較合適。眾數(shù)：作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性也比較差，因?yàn)樗仓焕昧瞬糠謹(jǐn)?shù)據(jù)。。在一組數(shù)據(jù)中，如果個(gè)別數(shù)據(jù)有很大的變動(dòng)，且某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，此時(shí)用該數(shù)據(jù)（即眾數(shù)）表示這組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”就比較適合。知識(shí)點(diǎn)三：方差與標(biāo)準(zhǔn)差用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況，這個(gè)結(jié)果叫方差，計(jì)算公式是s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]；一般的，一組數(shù)據(jù)的方差的算術(shù)平方根S=稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差＝方差與標(biāo)準(zhǔn)方差都是用來(lái)描述一組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的特征數(shù)（或衡量一組數(shù)據(jù)相對(duì)于它們的平均數(shù)的離散程度）.方差較大的波動(dòng)較大，方差較小的波動(dòng)較小，方差的單位是原數(shù)據(jù)單位的平方，標(biāo)準(zhǔn)方差的單位與原單位相同。極差：一組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差。極差反映的是數(shù)據(jù)的變化范圍。極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別與聯(lián)系：聯(lián)系：極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是用來(lái)衡量（或描述）一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小（即波動(dòng)大小）的指標(biāo)，常用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況。區(qū)別：極差是用一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差來(lái)反映數(shù)據(jù)的變化范圍，主要反映一組數(shù)據(jù)中兩個(gè)極端值之間的差異情況，對(duì)其他的數(shù)據(jù)的波動(dòng)不敏感。方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的結(jié)果，主要反映整組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，是反映一組數(shù)據(jù)與其平均值離散程度的一個(gè)重要指標(biāo)，每個(gè)數(shù)年據(jù)的變化都將影響方差的結(jié)果，是一個(gè)對(duì)整組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況更敏感的指標(biāo)。在實(shí)際使用時(shí)，往往計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差，來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小。標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)際是方差的一個(gè)變形，只是方差的單位是原數(shù)據(jù)單位的平方，而標(biāo)準(zhǔn)差的單位與原數(shù)據(jù)單位相同。平均數(shù)、方差的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)如果一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，……，xn的平均數(shù)是，方差是s2。那么（1）一組新數(shù)據(jù)x1+b，x2+b，x3+b，……，xn+b的平均數(shù)是+b，方差是s2。（2）一組新數(shù)據(jù)ax1，ax2，ax3，……，axn的平均數(shù)是a，方差是a2s2.（3）一組新數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b，ax3+b，……，axn+b的平均數(shù)是a+b，方差是a2s2.第7章平行線的證明1．相交線（1）相交線的定義兩條直線交于一點(diǎn)，我們稱這兩條直線相交．相對(duì)的，我們稱這兩條直線為相交線．（2）兩條相交線在形成的角中有特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的有對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角兩類．（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．2．對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角（1）對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．（2）鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．（3）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．（4）鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．（5）鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．3．垂線（1）垂線的定義當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．（2）垂線的性質(zhì)在平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過(guò)一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以．4．點(diǎn)到直線的距離（1）點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．（2）點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長(zhǎng)度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長(zhǎng)度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說(shuō)畫(huà)出，畫(huà)出的是垂線段這個(gè)圖形．5．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．（4）三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同